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(共22张PPT)
高中数学必修第一册（人教A版2019）
2025
4.5.1 函数的零点与方程的解
情景引入
y
6
3
x
0
2
温馨提示：为更好地满足您的学习和使用需求，课件在下载后可以自由编辑，请您根据实际情况进行调整！Thank you for watching and listening.I hope you can make great progress！
情景引入
我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程
一元二次方程的实数根
就是相应二次函数的零点
就是相应二次函数图象与x轴交点的横坐标.
例如：方程x2-5x+6=0的根为x1=2,x2=3,则：
二次函数f(x)=x2-5x+6的零点就是2和3.
函数的零点定义：
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)有零点
等价关系
对于一般函数y=f(x), 我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
答：不是。函数y=f(x)的零点是方程f(x)=0的实数解，也就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标。
概念分析
问：函数的零点是点吗？
零点的求法
代数法
图象法
当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，得x＝－3;
当x>0时，令－2＋ln x＝0，得x＝e2.
所以函数f(x)的零点为－3和e2.
(2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点.
由已知得f(3)＝0，即3a－b＝0，则b＝3a.
例1
典例讲解
A.(－1，0)， (1，0) B.－1，1 C.(－1，0) D.－1
√
变式训练1
探索新知
问题1 像lnx+2x-6=0这样不能用公式求解的方程，能否用相应的函数研究它的解的情况呢？
求方程f(x) =0的实数解，就是确定函数y=f(x)的零点
由函数零点的等价关系我们知道：
像lnx+2x-6=0这样不能用公式求解的方程
一般地，对于不能用公式求解的方程f(x) =0，我们可以把它与相应的函数y=f(x)联系起来，利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的解。
问：二次函数 f(x)=x2-2x-3,观察它的图象(图4.5-1),发现它在区间[2, 4]上有零点。你认为应如何利用函数 f(x)的取值规律来刻画这种关系
图4.5-1
2
1
1
-2
2
-1
3
4
-1
-2
-3
-4
0
y
x
探索新知
观察函数的图象
①在区间(a,b)上____(有/无)零点；f(a) f(b)_____0（＜或＞）．
② 在区间(b,c)上______(有/无)零点；f(b) f(c) _____ 0（＜或＞）．
③ 在区间(c,d)上______(有/无)零点；f(c) f(d) _____ 0（＜或＞）．
b
a
c
0
y
x
d
有
＜
有
＜
有
＜
探索新知
思考1：如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上有 f(a) f(b)<0，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内是否一定有零点？
0
y
x
思考2：如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上是连续不断的一条曲线，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内是否一定有零点？
0
y
x
这说明什么？
“在给定区间[a,b]上连续”和“f(a) f(b)<0”这两个条件缺一不可
探索新知
如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有 f(a) f(b)<0 ，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点，即存在 c ∈ (a,b)，使得 f(c) =0，这个c也就是方程 f(x)=0 的解。
函数零点存在定理
探索新知
思考3：如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上是一条连续不断的曲线，且在区间 (a,b) 内有零点，是否一定有f(a) f(b)<0 ？
x
y
0
这说明什么？
“在给定区间[a,b]上连续”和“f(a) f(b)<0”这两个条件是函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点的充分不必要条件。
探索新知
问题4 如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有 f(a) f(b)<0 ，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点，但是否只有一个零点呢？
0
y
x
这又说明什么？
函数零点存在定理可以证明函数有零点，但不能判定零点的个数。
探索新知
A.(0，1) B.(1，10) C.(10，100) D.(100，＋∞)
√
函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且函数f(x)在定义域内单调递增，
典例分析
如果函数 y=f(x) 在[a,b]上,图象是连续的,并且在闭区间的两个端点上的函数值互异，即f(a)f(b)﹤0,且是单调函数,那么，这个函数在(a,b)内必有惟一的一个零点。
零点唯一性定理：
归纳总结
变式训练2
(链接教材P143例1)函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点个数为
A.0 B.1 C.2 D.3
由题意知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞).
√
由函数零点的定义知，f(x)在(0，＋∞)内的零点即是方程
|x－2|－ln x＝0的根.
令y1＝|x－2|，y2＝ln x(x>0)，在同一平面直角坐标系中画
出两个函数的图象.
易知两个函数图象有两个交点，故方程有两个根，即对应函数有两个零点.
变式训练3
2、函数零点存在定理
本节课同学们有什么收获和体会？
1、函数零点的定义
3、函数零点唯一性定理
课堂小结
1.课本P155 第2,3题
2.课本P160 第4题
课后作业
下课
Thanks!
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