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(共35张PPT)
正方体中的截面问题
导入新课：从生活实例感知截面概念
01
同学们，在正方体蛋糕上切一刀你会得到什么形状？
？
目前同学们切出的形状
截面的定义与形成条件
02
1．截面定义：
用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面．此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线；此平面与几何体的棱的交集(交点)叫做截点
【问题1】“截面”是什么？
1.截面
基本事实：
（2）如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在此平面内；
（3）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
常用基本定理：线面平行性质定理及面面平行性质定理。
【追问】截线确定的主要依据是什么？
1.截面
常见正方体的截面形状分析
03
以正方体，演示过三点作截面的具体流程与延长线找点技巧
1．立体几何截面问题的求解方法
几何法：从几何视角人手，借助立体几何中的线面平行及面面平行的性质定理，找到该截面与相关线、面的交点位置、依次连接这些点，从而得到过三点的完整截面，再进行求解.
2．截面、交线问题的解题策略
(1)作截面应遵循的三个原则：
①在同一平面上的两点可引直线；
②凡是相交的直线都要画出它们的交点；
③凡是相交的平面都要画出它们的交线.
(2)作交线的方法有如下两种：
①利用基本事实3作交线；
②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线.
【例1】（1）已知三点E，F，G中任意两点的连线都在几何体的表面上：
2.得到截面的方法
作法一（直接法）：
如图①，直接连线即可得到截面.
2.得到截面的方法
【例1】（2） 已知三点E，F，G中任意两点的连线恰有两条在几何体的表面上：
作法二（平行法）：如图②，
连接EF，GF，在平面ABB1A1内过点E作EI∥GF，并交AA1于点I，连接GI，则四边形EFGI为所求的截面.
作法三（相交法）：如图③，连接FE并延长交DA的延长线于点H，连接GH交AA1于点I，则四边形EFGI为所求的截面.
【例1】（2） 已知三点E，F，G中任意两点的连线恰有两条在几何体的表面上：
2.得到截面的方法
【例1】（3）已知三点E，F，G中任意两点的连线恰有一条在几何体的表面上：
作法四（平行四边形法）：如图④，连接FG并延长，交DD1的延长线于点P，连接PE交A1D1于点H，则点H为截面上一点，以PE，PF为邻边做平行四边形PEQF，则QF与BC的交点I也为截面上的点，则五边形EIFGH即为所求的截面.
2.得到截面的方法
【例1】（4）已知三点E，F，G中任意两点的连线都不在几何体的表面上：
作法五（辅助平面法）：如图⑤，在平面A1B1C1D1内过点G作GH∥A1B1，交B1C1于点H，连接HB并延长交GE的延长线于点I，连接IF交BC于点J，连接EJ并延长交DC的延长线于点L，交DA的延长线于点K，连接KG交AA1于点M，连接LF并延长交D1C1于点N，则六边形EJFNGM为所求的截面.
2.得到截面的方法
2.得到截面的方法
3.截面问题
【例1】（1）（多选）已知过BD1的平面与正方体ABCD-A1B1C1D1相交，分别交棱AA1，CC1于点M，N，则下列关于截面BMD1N的说法正确的是（　　）
A.截面BMD1N可能是矩形
B.截面BMD1N可能是菱形
C.截面BMD1N可能是梯形
D.截面BMD1N不可能是正方形
　ABD
【例1】（2）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，R分别是A1D1，C1D1，AA1的中点，试过P，Q，R三点作其截面.
3.截面问题
【例1】（3）如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别在AB，BC，DD1上，求作过E，F，G三点的截面.
作法：
(1)在底面AC内，过E，F作直线EF分别与DA，DC的延长线交于L，M.
(2)在侧面A1D内，连接LG交AA1于K.
(3)在侧面D1C内，连接GM交CC1于H.
(4)连接KE，FH.则五边形EFHGK即为所求的截面.
3.截面问题
变式1：（作截面问题）
3.截面问题
变式2：（截面形状研究）
3.截面问题
变式3：（截面形状研究）
3.截面问题
变式4：（截面面积计算）
3.截面问题
变式5：（截面周长计算）
3.截面问题
变式6：（截面面积计算）
3.截面问题
巩固练习与思维拓展
04
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是 .
思考
答案 ①②③⑤
思考
思考
动手作图：在长方体中作出指定三点的截面并判断其形状
几何截面
点线定位
点A为长方体底面顶点，是截面起点。
点E为BC边中点，通过AE连线延伸确定交点P。
交点构造
延长AE交DC于点P，用于连接PC'确定后续交点。
PC'与DD'相交于F，确认截面可能顶点之一。
共面验证
四点A、E、C'、F经验证位于同一平面内。
尽管形成四边形AEC'F，但实际为退化四边形。
图形简化
点F落在AC'所在平面，导致四边形退化为三角形。
最终截面实为由A、E、C'构成的三角形。
空间关系
利用长方体结构特性，各边平行垂直便于坐标分析。
通过三维几何推理确定截面形状与位置。
截面性质
三角形AEC'为平面与长方体棱的交线围成的区域。
该截面反映平面与立体图形相交的基本规律。
提高挑战：求解过顶点与对棱中点的正方体截面面积
问题描述
已知正方体棱长为1，求过一个顶点和其对棱中点的截面面积。
确定顶点位置
设顶点为A，对棱为C'D'，其中点为P，构造平面ACP。
作图与定形
连接AP、CP，确定截面三角形ACP，验证三点共面。
面积计算
利用向量法或坐标系求边长与夹角，得面积为√6/4。
课堂小结与学习反思
05
回顾本课四大核心内容：定义、形状、作图、计算
01
截面定义
截面是截平面与几何体各面交线围成的封闭图形，强调相交且封闭两个关键条件。
02
形状规律
不同几何体在不同位置截切可得三角形至六边形等多种截面，受几何体结构与截面位置影响。
03
作图方法
通过找交线、定顶点、顺次连接完成作图，掌握延长线与面面关系的应用技巧。
04
面积计算
结合坐标系与向量法确定顶点位置，利用叉积或几何公式准确计算截面面积。
作业布置与后续学习引导
06
完成教材基础习题，巩固课堂所学知识与方法
明确任务目标
确立练习的核心目标，巩固对截面定义的理解，掌握作图与计算的基本方法。
理解概念定义
深入理解教材中截面的定义，为判断截面形状和后续计算打下理论基础。
掌握作图步骤
规范执行作图流程，准确绘制截面图形，标注清晰的交点与连接线。
判断截面形状
通过几何特征分析，正确判断不同情境下的截面形状，提升空间想象能力。
准确面积计算
合理设定坐标系，应用正确公式完成面积计算，确保过程完整与结果精确。
规范解题过程
强调解题的条理性和规范性，完整呈现作图与计算步骤，提升综合表达能力。
THANKS
现在 ，你能把正方体蛋糕切出更多形状吗？

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