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(共22张PPT)
球的切、接问题
第1课时
导
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1、为什么爸爸买的礼物盒(正方体)装不下篮球呢？
2、那应该买多大的礼物盒（正方体）才能装下呢？（篮球的直径为24.6cm）
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正方体的内切球：与正方体的 6 个面都相切的球
正方体的棱切球：与正方体的12 条棱都相切的球
正方体的外接球：正方体的8 个顶点都在球面上的球
长方体的外接球：长方体的8个顶点均在球面上的球
O
a
b
c
思考
（1）如何求长方体外接球的半径？
（2）如何求正方体内切球、棱切球、外接球的半径？
要求：思考以下问题（3分钟），展示成果

O
1.长方体的外接球
①长方体的外接球直径=
长方体的中心与其外接球球心重合.
O
a
b
c
即直径 ,半径
（a,b,c为长，宽，高）
长方体的体对角线长.

O
2.正方体的内切球
②正方体内切球直径=正方体棱长 即直径2R=a 即半径
3.正方体的棱切球
③正方体的棱切球直径2R=
正方体面对角线长.
即直径2R=，半径
4.正方体的外接球
④正方体的外接球直径=正方体体对角线长.
正方体的中心与其外接球球心重合.
即直径2R=a, 半径
长方体
堑堵
鳖臑
阳马
《九章算术》：斜解立方，得两堑堵。斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑。
（1）以长方体顶点为截面切入点，能够截得哪些类型的多面体？
（2）所切出来的多面体外接球与原长方体的外接球有什么关系？
议
要求：请大家起立，小组讨论5分钟，讨论结束展示成果
墙角体
鳖臑(biē nào)
阳马
对棱相等
的四面体
可补形为长方体的几何体：
2.墙角体: 三条侧棱两两垂直的三棱锥
3.鳖臑：四个面都是直角三角形
4. 对棱相等的四面体
正四面体: 所有棱长都相等，补形为正方体
5.阳马：一条侧棱垂直底面，底面是矩形的棱锥
1.堑堵: 底面是直角三角形的直三棱柱
堑堵
例1 已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为( )
解：
∵三棱柱ABC－A1B1C1是直棱柱，
且AB⊥AC，
∴A1A⊥ 平面ABC，
∴可以把直三棱柱ABC－A1B1C1补成一个长方体，
设球O在的半径为R，
例2 在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD 两两垂直， ABC， ACD，
ADB 的面积分别为 ，则三棱锥A－BCD的外接球的
体积为( )
解：
∴外接球直径
∴外接球的体积
变式1 四面体 中， 底面 , , 则四面体
外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
解：在四面体A-BCD中,AB⊥底面BCD，AB=BD=
CB=CD=1可得∠BCD=90° ,
补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1,l, ,
则长方体的体对角线长为
则三棱锥A-BCD的外接球的半径为1
其表面积为 .
故选B.
例3 已知三棱锥P－ABC的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且PA＝ ，PB＝PC＝5，则该三棱锥的外接球的表面积为________．
解：
∵三棱锥P－ABC的每条侧棱与它所对的底面边长相等，
∴以三棱锥的相对棱为长方体相对面的对角线，
补成长方体，如图
∴外接球直径
变式2 已知正四面体的棱长为2，其外接球半径为______.
解：如下图，补形成正方体后，正方体的棱长为 ，
体对角线长为 ，
所以外接球的半径为 .
课堂小结
1.正方体内切球、棱切球、外接球的半径：
2.长方体的外接球的半径：
3.可补形为长方体的几种几何体：
1.《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑(biē nào)，若三棱锥P-ABC为鳖臑, PA⊥平面ABC ，PA=BC=4 ，AB=3 , AB⊥BC,若三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O上，则球O的半径为( ).
A. B. C. D.
解：由题意，将鳖臑补形为长方体如图，则三棱锥
的外接球即为长方体的外接球.
外接球的半径为 .
故选:A
检测达标
A
2.已知四面体中 ， , , ,若该四面体的各个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
解：由题意，四面体扩充为长方体，且面上的对角线分别为 ，
所以长方体的对角线长为 ，
所以球的半径长为 .
所以此球的表面积为 .
检测达标
C
3.若正四面体的表面积为 ，则其外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
解：设正四面体的棱长为 ，由题意可知： ，解得 ，
所以正四面体的棱长为 .
如图，将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为 ，
正方体的体对角线为 .
因为正四面体的外接球的直径为正方体的体对角线长，所以外接球半径 .
则外接球的体积为：
故选A.
A
检测达标
作业布置
必做题：1、正四面体的棱长为 6，求其内切球的半径。
2、已知正方体的棱长为 4，求其外接球的表面积。
3、三棱锥的三条侧棱分别为 3、4、5，且两两垂直，求 从 其外接球的体积。
选做题：正四棱锥底面边长为 4，侧棱长为，求其外接球与内切球 x 的半径。

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