资源简介

18.1.1　从分数到分式
1．构建问题情境，通过分析实际问题的数量关系列出分式，了解分式是刻画现实问题中数量关系的一种模型．
2．类比分数，经历从特殊到一般、从具体到抽象的认识过程，在观察、分析、比较的基础上抽象概括出分式的概念，感受数式通性．
3．理解分式的概念，探究并掌握对分式有意义的条件的认识，解决一些简单的问题．
分式的概念，分式有意义的条件．
分式有意义的条件．
新课导入
一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行90 km所用的时间，与以最大航速逆流航行60 km所用的时间相等，你能求出江水的流速吗？
【师生活动】师生共同分析，明确解决问题的思路：先假设江水的流速为v km/h，再根据问题中的数量关系（顺流航行90 km所用的时间＝逆流航行60 km所用的时间）列方程、解决问题．
学生独立思考，教师引导学生回顾整式和分数的相关知识，提示学生两个数相除可以表示成分数的形式，整式的除法也可以用类似的方法表示，学生尝试完成以下填空．
轮船顺流航行：速度为_______km/h，航行90 km所用的时间为_______h；
轮船逆流航行：速度为_______km/h，航行60 km所用的时间为_______h；
列出的方程：_______＝______．
教师进行小结，指出像和这样，分母中含有字母的式子都是分式，像＝这样，分母中含有未知数的方程是分式方程，这也是我们这一章要学习的重点内容．
【设计意图】借助实际背景构建问题情境，在探索数量关系的过程中，类比两个数相除可以表示成分数，列出分式，自然过渡到分式的探索和分式学习的必要性．
新知探究
1．长方形的面积为10，长为7，则宽为_____；长方形的面积为S，长为a，则宽为_____．
2．在越野滑雪比赛中，若一名滑雪运动员在平地滑行a km用时b h，则他的平均速度为_____km/h；若他在上坡滑行a km比在平地滑行同样的距离多用c h，则他的平均速度为______km/h．
【师生活动】学生独立在学习任务单上完成解答，学生代表回答，师生共同点评．
【答案】，；，．
【问题1】观察一下，上述式子，，以及前面问题中的式子，有什么共同点？
【师生活动】学生通过观察，尝试归纳得出这些式子的共同点．一般地，学生很容易注意到分母B中含有字母，但是会忽略分子、分母都是整式的形式．教师可以提醒学生考虑分数的分子、分母都是什么样的数，再由此联系到分式的分子、分母是什么样的式子．
【答案】（1）都是的形式；
（2）分子、分母都是整式；
（3）分母中都含有字母．
【追问】再和分数比较一下，你能发现什么？它们与分数有什么相同点和不同点？
【师生活动】学生通过观察、比较，发现这些式子与分数的异同点，师生共同进行归纳，形成分式的概念．
【答案】
【提醒】A÷B与是同一运算关系的两种不同表示方法．既可以表示除法运算，即A÷B（除法），又可以表示这个运算的结果（商）.
【新知】一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫作分式．在分式中，A叫作分子，B叫作分母．
【提醒】（1）分式是不同于整式的另一类代数式．
（2）因为字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性．例如，分数仅表示2÷3的商，而分式既可以表示2÷3，又可以表示（－5）÷2，8÷（－9）等．
【设计意图】在实际问题中得到具体的分式，通过观察、分析和比较，概括出分式的概念，渗透由特殊到一般、从具体到抽象的研究方法，加深学生对分式概念的理解．
例题精讲
【例1】下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？
，，，，，，．
【师生活动】学生根据分式的概念逐一进行判断，并在学习任务单上进行解答，教师组织全班交流．
【答案】分式：，，，．
整式：，，．
【归纳】1．分式要满足的形式，且B中一定要有字母．
2．π是圆周率，它代表的是一个常数而不是字母．
【设计意图】通过简单的例题，帮助学生理解分式的概念．
新知探究
【问题2】我们知道，要使分数有意义，分数中的分母不能为0．要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？
【师生活动】教师组织学生交流分享，师生达成共识：因为分式的分母表示除数，而除数不能为0，所以分式的分母不能为0．
【答案】当B≠0时，分式才有意义．
【设计意图】类比分数的分母不能为0，根据除法的意义，得出使分式有意义的条件．
例题精讲
【例2】下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
（1）； （2）； （3）； （4）．
【师生活动】学生独立思考并在学习任务单上进行解答，教师组织全班交流，重点分析第（4）题，帮助学生认识到：不论分式中的分母含有一个字母还是两个字母，要使得分式有意义，都要从分母不等于0入手．当分母中含有多个字母时，如，为使分母不为0，不是对每个字母的取值进行限制，而是从整体上考虑，对这两个字母之间的关系进行限制，得出x－y≠0，即x≠y．
【答案】解：（1）要使分式有意义，则分母3x≠0，即x≠0；
（2）要使分式有意义，则分母x－1≠0，即x≠1；
（3）要使分式有意义，则分母5－3b≠0，即b≠；
（4）要使分式有意义，则分母x－y≠0，即x≠y．
【归纳】要使得分式有意义，从分母不等于0入手：（1）当分母只含有一个字母时，结果是这个字母不等于某个数值(如x≠0)的形式；（2）当分母含有多个字母时，结果是这些字母之间有某种关系(如x≠y)的形式．
【例3】当x取何值时，分式的值为0？
【师生活动】学生在学习任务单上进行解答，教师组织全班交流，提醒学生注意：解决和分式有关的问题，前提条件一定要先保证分式有意义，即分母不为0．
【答案】解：要使得分式有意义，分母x－1≠0，即x≠1．
因为分式的值为0，所以分子x2－1＝0，即x＝1（舍）或x＝－1．
故当x＝－1时，原分式的值为0．
【归纳】若分式的值为0，需同时具备两个条件：
（1）分子为0；
（2）分母不为0．
【例4】（1）当x取何值时，分式的值为正？
（2）当b取何值时，分式的值为负？
【师生活动】学生小组讨论，教师提醒学生可以从分子分母同号（正）、异号（负）入手，学生在学习任务单上尝试进行解答，教师组织全班交流．
【答案】解：（1）当分子x＞0，分母x－1＞0，即x＞1时，的值为正；
当分子x＜0，分母x－1＜0，即x＜0时，的值为正．
所以当x＞1或x＜0时，的值为正．
（2）当分子b＞0，分母5－b＜0，即b＞5时，的值为负；
当分子b＜0时，分母5－b＞0，即b＜0时，的值为负．
所以当b＞5或b＜0时，的值为负．
【归纳】分式取特殊值的条件
分式的值为0：分子为0，且分母不为0；
分式的值为正：分子、分母符号相同；
分式的值为负：分子、分母符号相反．
注意：解决和分式有关的问题，前提条件一定要先保证分式有意义，即分母不为0．
【设计意图】通过例题的讲解，巩固对分式有意义的条件的认识，培养学生的逻辑思维能力．
课堂练习
1．列式表示下列各量：
（1）某村有n个人，耕地40 hm2，则人均耕地面积为____hm2．
（2）△ABC的面积为S，边BC的长为a，则高AD为____．
【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，学生代表分享做法，教师点评．
【答案】解：（1）；（2）．
2．下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？两类式子的区别是什么？
，，，，，，，．
【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，学生代表分享做法，教师点评．
【答案】分式：，，，，，．
整式：，．
区别：分母中是否含有字母．
3．下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）．
【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，学生代表分享做法，教师点评．
【答案】解：（1）要使分式有意义，则分母a≠0；
（2）要使分式有意义，则分母x－1≠0，即x≠1；
（3）要使分式有意义，则分母3m＋2≠0，即m≠；
（4）要使分式有意义，则分母x－y≠0，即x≠y；
（5）要使分式有意义，则分母3a－b≠0，即b≠3a；
（6）要使分式有意义，则分母(x＋2)2≠0，即 x≠－2．
4．分式可以表示现实生活中的某些数量关系．请你构造一个问题情境，使其中的数量关系可以用分式表示．
【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，学生代表分享做法，教师点评．
【答案】苹果a元1 kg，100元可以买 kg苹果（答案不唯一）．
【设计意图】通过课堂练习，帮助学生深入体会用字母表示数的意义，巩固对分式的概念以及分式有意义的条件的理解，提升抽象能力．
课堂小结
【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，请学生从以下方面进行梳理和总结，并在学习任务单上进行记录．
1．什么是分式？分式和整式有何区别？
2．使得分式有意义的条件是什么
3．什么情况下分式的值为0 什么情况下分式的值为正？什么情况下分式的值为负？
【思维导图参考】
【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯．
课后任务
完成教材第144～145页习题18.1第1、2、3、8题．

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