资源简介

18.2　分式的乘法与除法（第1课时）
1．类比分数的乘除法法则，经历分式乘除法法则的获得过程，理解分式乘除法运算的算理，感悟类比和化归思想．
2．能运用分式的乘除法法则准确进行分式的乘法和除法运算，提升运算能力．
运用分式的乘除法法则进行运算．
分子或分母为多项式的分式的乘除运算．
新课导入
在前面的课程中，我们学习了分式的概念和基本性质，对分式有了初步的了解．根据学习整式的经验，大家觉得，接下来应该研究分式的哪些知识呢？
【师生活动】教师请学生集体口答，共同明确分式的研究路径：概念—性质—运算—应用，以及接下来的学习内容——分式的运算（法则）．
【思考】请你完成下面的计算题，并回顾分数的乘除法法则．
（1）×；
（2）÷．
【师生活动】教师请学生代表口答，与学生一起回顾和“分数的乘除法法则”有关的知识．
【答案】解：（1）×＝＝；
（2）÷＝×＝＝．
分数的乘法法则：分数乘分数，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．
分数的除法法则：一个数除以一个分数，等于乘上这个分数的倒数．
【设计意图】明确分式的研究路径，通过回顾分数的乘除法法则，为接下来学习分式的乘除法法则作铺垫．
新知探究
【问题】类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则吗？
【师生活动】学生小组讨论，师生共同根据分数与分式的联系，类比分数的乘除法法则，猜想并归纳出分式的乘除法法则．
【新知】类似于分数，分式有如下运算法则．
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
【追问】你能用数学式子把这两个法则简洁地表示出来吗？
【师生活动】师生共同用数学符号语言表达法则：，．
【设计意图】让学生经历分式的乘除法法则的获得过程，在从分数到分式的推广中，加强对数式通性的认识，并通过文字形式和符号形式两种表述方式，加深对法则的认识和理解．
例题精讲
【例1】计算：
（1）·；
（2）÷．
【师生活动】学生尝试在学习任务单上进行解答，教师板书示范，强调运算结果要化成最简分式．
【答案】解：（1）·＝＝；
（2）÷＝·＝－＝－．
【提醒】对于分式的乘除法运算，运算结果应化为最简分式．
【例2】计算：
（1）·；
（2）÷．
【师生活动】师生共同完成第（1）题，教师强调分子、分母是多项式时，通常先分解因式，再约分．学生独立在学习任务单上完成第（2）题，教师组织全班交流，强调分式的除法运算要先转化为乘法运算．
【答案】解：（1）·
＝·
＝
＝；
（2）÷
＝－·(m2－7m)
＝－
＝－．
【例3】计算：
（1）x·；
（2）3a÷．
【师生活动】学生在学习任务单上进行解答，教师组织全班交流．
【答案】解：（1）x·＝·＝；
（2）3a÷＝·＝a(a＋1)(a－1) ．
【提醒】整式与分式进行乘除运算时，整式可以看作分母是1的“分式”．
【归纳】分式的乘除法运算，归根结底是乘法运算．
（1）分子、分母是单项式时，先将分子、分母分别相乘，化成一个分式后再进行约分，化为最简分式；
（2）若分子、分母中有多项式，则先把多项式分解因式，再将分子、分母分别相乘，这样便于约分，从而简化运算．
【设计意图】从分子、分母都是单项式的分式，到分子、分母出现多项式的分式，通过有层次的例题讲解，循序渐进地帮助学生理解运算法则，提升运算能力．
【例4】如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a m(a＞1)的正方形去掉一个边长
为1 m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a－1) m的正方形，两块试验田都收获了500 kg小麦．
（1）哪种小麦的单位面积产量高？
（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
【师生活动】本题的第一个难点在于理清数量关系．教师可通过提问“小麦的单位面积产量指的是什么？它由什么决定？如何用关系式表示出来？”引导学生弄清题意，列出算式，将实际问题转化为数学问题．
本题的第二个难点在于分别表示出了两块试验田的单位面积产量后，对两个分式进行比较大小．教师可引导学生关注两个分式的分子都是相同的正数，分母也是正数，所以可以转化为比较分母的大小，比较大小的时候可以借助图形进行直观比较，也可以利用整式的知识进行严格证明．学生独立思考后小组交流，小组代表分享思路，教师点评完善．
【答案】解：（1）“丰收1号”小麦的试验田面积是(a2－1) m2，它的单位面积产量是 kg/m2；“丰收2号”小麦的试验田面积是(a－1)2 m2，它的单位面积产量是 kg/m2．
方法一 借助图形直观比较
因为a＞1，
所以(a－1)2＞0，a2－1＞0.
由图可得(a－1)2＜a2－1．
所以＜．
所以“丰收2号”小麦的单位面积产量高．
方法二 利用整式的知识严格证明
因为a＞1，
所以(a－1)2－(a2－1)＝(a2－2a＋1) －(a2－1)＝－2(a－1)＜0，
即(a－1)2＜a2－1．
所以＜．
所以“丰收2号”小麦的单位面积产量高．
（2）÷＝·＝＝．
所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的倍．
【设计意图】通过运用分式的乘除法运算解决带有实际背景的问题，培养学生将实际问题转化为数学问题的能力，提升应用意识和模型意识．
课堂练习
1．计算：
（1）；　　　 （2）；
（3）；　 （4）．
【师生活动】学生在学习任务单上进行解答，教师组织全班交流．
【答案】解：（1）原式＝＝；
（2）原式＝＝＝；
（3）原式＝＝－＝－；
（4）原式＝－＝－1．
2．计算：
（1）；　　　 （2）．
【师生活动】学生在学习任务单上进行解答，教师组织全班交流．
【答案】解：（1）原式＝
＝
＝；
（2）原式＝
＝
＝－
＝－．
3．一个水平放置的长方体容器，其容积为V，底面的长为a，宽为b，当容器内的水占容积的时，水面的高度为多少？
【师生活动】学生先独立思考，教师引导学生找出本题中的数量关系：水面的高度＝容器内水的容积÷容器底面的面积．容器内水的容积为V·，容器底面的面积为ab，所以水面的高度为V·÷ab．
【答案】水面的高度为．
4．大拖拉机m天耕地a hm2，小拖拉机n天耕地b hm2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机工作效率的多少倍？
【师生活动】学生先独立思考，教师引导学生了解到“工作效率”即 “耕地速度”，那么大拖拉机的工作效率为hm2/天，小拖拉机的工作效率为hm2/天，所以大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的（÷）倍．
【答案】大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的倍．
【设计意图】通过有层次性的练习题，巩固学生对分式的乘除法运算的理解，强化学生的运算能力，以及运用数学知识解决问题的能力．
课堂小结
【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，请学生从以下方面进行梳理和总结，并在学习任务单上进行记录．
1．我们是如何探究并得到分式的乘除法法则的？
2．你能说出分式的乘除法法则吗？
3．对分式进行乘除法运算时，有哪些注意事项？
【思维导图参考】
【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯．
课后任务
完成教材第150～151页习题18.2第1、2、6、7、8、9题．18.2　分式的乘法与除法（第2课时）
1．通过特殊形式的分式乘法运算，从特殊到一般，经历分式乘方法则的获得过程，理解分式乘方运算的算理，提升抽象能力．
2．能灵活应用分式的四则运算法则进行分式的乘除、乘方混合运算，提升运算能力．
灵活应用分式的四则运算法则进行分式的乘除、乘方混合运算．
灵活应用分式的四则运算法则进行分式的乘除、乘方混合运算．
知识回顾
分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．
分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
【设计意图】通过回忆上节课的旧知，引出本课新知，让学生体会到新知是在旧知的基础上生成的．
新知探究
前面我们学习了分式的乘法与除法，这节课，我们继续研究分式的乘除混合运算．请你计算÷·，想一想，在计算时需要注意什么？
【师生活动】学生独立完成，教师巡视，注意观察有没有学生先计算·＝1，再用÷1＝，如果有，可以作为典型错误计算方法进行展示，通过集体纠错，让学生了解到，对于分式的乘除混合运算，要注意以下两点：（1）乘除是同一级运算，如果没有其他附加条件 (如括号等)，应按从左到右的顺序进行计算；（2）一般先把算式中除式的分子、分母颠倒位置，将除法运算转化成乘法运算再计算．
【设计意图】通过具体的分数乘除混合运算算式，帮助学生理解混合运算的运算规则．
例题精讲
【例1】计算：÷·．
【师生活动】学生独立思考、在学习任务单上完成解答．教师板书示范例题解答，并通过逐步计算，强调重点，提醒易错点．
【答案】解：÷·
＝··
＝··
＝．
【归纳】分式的乘除混合运算
（1）把除法运算化成乘法运算；
（2）按从左到右的顺序依次计算，有括号的先算括号里面的式子；
（3）当分子、分母是多项式时，应先因式分解，再计算；
（4）确定分式的符号，约分，计算结果应为最简分式．
【设计意图】通过例题，帮助学生巩固分式乘除混合运算的方法，积累分式乘除混合运算的经验，提升运算能力．
新知探究
【思考】计算：
（1）＝__________； （2）＝__________； （3）＝__________．
【师生活动】学生独立思考后，教师组织全班交流，先引导学生复习乘方的意义，即求n个相同乘数a的积的运算，叫作乘方，记作＝an，在这里，a可以是一个数，可以是一个代数式，当然也可以是一个分式．
【答案】根据乘方的意义和分式的乘法法则，可得：
＝＝＝；
＝＝＝；
＝＝＝．
【追问】当n是正整数时，＝？
【师生活动】师生共同归纳得到分式乘方的运算法则．
【新知】一般地，当n是正整数时，
＝＝＝，即＝．
这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方．
【提醒】这里的字母a，b分别表示分式的分子与分母，它们是整式（不一定是数）；
指数n表示因式的个数．
【设计意图】结合乘方的意义，让学生在观察、比较、联想、探索中归纳出分式乘方的运算法则，培养学生的抽象、归纳能力．
例题精讲
【例2】计算：
（1）； （2）．
【师生活动】学生尝试在学习任务单上进行解答，教师板书示范，提醒易错点．如，第（1）题，要注意分子中的负号，对这个负号也要进行乘方；第（2）题，除了符号，还涉及乘方与乘除混合运算，运算顺序是先乘方再乘除．
【答案】解：（1）＝＝；
【注意】①分式乘方时，要把分式的分子、分母分别加上括号；②分式本身的符号也要同时乘方．
（2）
＝
＝
＝．
【归纳】分式乘方及乘除混合运算
（1）运算顺序是先乘方再乘除；
（2）当分式进行乘方运算时，可先确定乘方结果的符号，再进行其他运算，即正的分式的任何次幂都为正；负的分式的偶次幂为正，奇次幂为负．
【设计意图】通过例题，帮助学生梳理分式乘方及乘除混合运算中的易错点和注意事项，充分理解分式四则运算的算理和算法．
课堂练习
1．计算：
（1）；　　　 （2）．
【师生活动】学生在学习任务单上进行解答，教师组织全班交流．
【答案】解：（1）原式＝＝；
（2）原式＝＝＝．
2．计算：
（1）；　　　 （2）；
（3）； （4）．
【师生活动】学生在学习任务单上进行解答，教师组织全班交流．
【答案】解：（1）原式＝＝；
（2）原式＝＝＝；
（3）原式＝＝＝－；
（4）原式＝＝＝－．
【设计意图】通过课堂练习，帮助学生巩固分式乘方及乘除混合运算的方法，积累运算经验，提升运算能力．
课堂小结
【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，请学生从以下方面进行梳理和总结，并在学习任务单上进行记录．
1．我们是如何探究并得到分式乘方的运算法则的？
2．如何进行分式的乘方及乘除混合运算？有哪些注意事项？
【思维导图参考】
【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯．
课后任务
完成教材第150～151页习题18.2第3、4、5、10题．

展开更多......

收起↑