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8.1.2 算术平方根
人教版(2024)七年级下册
第八章 实数
学习目标
1
了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根
2
了解并掌握算术平方根的性质
3
会估算一个数的算术平方根的大致范围，掌握估算的方法
4
会用计算器求算术平方根
探索新知
算术平方根的概念
我们知道，正数 a 有两个平方根，其中正的平方根 叫作 a 的算术平方根. 正数 a 的算术平方根用 来表示.
规定：0 的算术平方根是 0. 0 的算术平方根也记为 .
总结：
具有双重非负性：①被开方数 a 是非负数，即 a≥0；
② 是非负数，即 ≥0.
算术平方根是它本身的数只有 0 和 1.
探索新知
算术平方根 平方根
区别 定义
个数
表示方法
结果
一个
两个，且互为相反数
一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根.
一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根或二次方根.
正数的算术平方根一定是正数
正数的平方根一正一负
联系 具有包含关系
存在条件相同
特殊值 0
平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的正的平方根
只有非负数才有平方根和算术平方根
0 的平方根和算术平方根都是 0
平方根与算术平方根的区别与联系
典型例题
解：(1)因为 102＝100，所以 100 的算术平方根是 10，即 ＝10；
例 3 求下列各数的算术平方根：
(1) 100； (2) ； (3) 0.0001.
(3)因为 (0.01)2＝0.000 1，所以 0.000 1 的算术平方根是 0.01，即.
(2)因为 ，所以 的算术平方根是 ，即 ；
可以看出：被开方数越大，对应的算术平方根就越大. 这个结论对所有正数都成立.
探索新知
探究
如图，把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的 4 个直角三角形拼在一起，就得到了面积为 2 dm2 的大正方形
怎样用两个面积为 1 dm2 的小正方形拼成一个面积为 2 dm2 的大正方形 这个大正方形的边长是多少？
探索新知
探究
怎样用两个面积为 1 dm2 的小正方形拼成一个面积为 2 dm2 的大正方形 这个大正方形的边长是多少？
面积为 2 dm2
设大正方形的边长为 x dm，则
x2＝2.
由边长的实际意义可知
x＝，
所以大正方形的边长是 dm.
探索新知
小正方形的对角线的长是多少呢？
根据下图的拼图过程可以得到小正方形的对角线的长就是大正方形的边长，为 dm.
探索新知
有多大呢？
因为 12＝1，22＝4，1＜2＜22 ，所以 1＜＜2；
探究
因为 1.42＝1.96，1.52＝2.25，1.42＜2＜1.52，所以 1.4＜＜1.5；
因为 1.412＝1.9881，1.422＝2.0164，1.412＜2＜1.422，所以
1.41＜＜1.42；
因为 1.4142＝1.999396，1.4152＝2.002225，而 1.4142＜2＜1.4152，
所以 1.414＜＜1.415；
······
说明 的整数部分为 1，
小数部分为 －1.
确定十分位上的数为 4.
确定百分位上的数为 1.
探索新知
有多大呢？
探究
如此进行下去，可以得到 的更精确的估计范围.
事实上， ＝1.414 213 562 373···，它是一个无限不循环小数.
无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数.
实际上，很多正有理数的算术平方根 (例如 ， 等) 都是无限不循环小数.
探索新知
用计算器求正有理数的算术平方根
在估计有理数的算术平方根的过程中，为方便计算，可借助计算器求一个正有理数 a 的算术平方根 (或其近似数).
a
＝
按键顺序：
注意：计算器的型号不同，按键顺序可能有所不同，要注意阅读使用说明书.
探索新知
现在你能解决新课导入中的问题吗？
当“天问一号”火星探测器的速度大于第二宇宙速度 v(单位：m/s) 时，它就会克服地球引力，永远离开地球，飞向火星. v 的大小满足 v2＝2gR，其中 g 是地球表面的重力加速度，g≈9.8(单位：m/s2)，R 是地球半径，R≈6.4×106 (单位：m). 怎样求 v 呢
由 v2＝2gR 及 v 的实际意义，
得 v＝，其中 g≈9.8 (单位：m/s2)，R≈6.4×106 (单位：m).
用计算器求得 v≈＝1.12×104.
因此，第二宇宙速度 v 约为 1.12×104m/s，即 11.2 km/s.
探索新知
(1) 利用计算器计算下表中的算术平方根，并将计算结果填在表中.
探究
… …
… …
0.25
0.791
2.5
7.91
25
79.1
250
你发现了什么规律？
被开方数的小数点向右每移动 位，它的算术平方根的小数点就向右移动 位；
被开方数的小数点向左每移动 位，它的算术平方根的小数点就向左移动 位.
2
1
2
1
探索新知
(2) 用计算器计算 (结果保留小数点后三位)，并利用你在 (1) 中发现的规律求出 ， ， 的近似值，你能根据 的值求出 的近似值吗
探究
用计算器求得：≈ 1.732，根据 (1) 中发现的规律可得：
≈ 0.173 2， ≈ 17.32， ≈ 173.2.
不能根据 的值求出 的近似值.
典型例题
例 5 小丽想用一块面积为 400 cm2 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为 300 cm2 的长方形纸片，使它的长宽之比为 3: 2. 她不知能否裁得出来，正在发愁. 小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片.”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
典型例题
解：设长方形纸片的长为 3x cm，宽为 2x cm. 根据边长与面积的关系得
3x 2x＝300，6x2 ＝300， x2 ＝50. 由边长的实际意义，得 x ＝.
因此长方形纸片的长为 cm.
因为 50＞49，所以 ＞7.
由上可知 ＞21，即长方形纸片的长应该大于 21 cm.
因为 ＝20，所以正方形纸片的边长只有 20 cm.
这样，长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长.
答：不能同意小明的说法. 小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片.
当堂检测
当堂检测
A
当堂检测
B
当堂检测
B
当堂检测
C
当堂检测
A
当堂检测
C
当堂检测
C
本节课学习了哪些知识点呢？
算术平方根
性质及
双重非负性
估算
定义
正数 a 有两个平方根，其中正的平方根 叫作 a 的算术平方根.
(a≥0) 具有双重非负性:
①被开方数 a 是非负数，即 a≥0；
② 是非负数，即 ≥0.
利用与被开方数比较接近的两个完全平方数的算术平方根来估计这个被开方数的算术平方根的大小.
THANKS

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