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8.1.1 平方根
人教版(2024)七年级下册
第八章 实数
学习目标
1
了解平方根的概念，并理解平方与开平方的关系
2
知道平方根的性质，会用符号表示平方根，会求非负数的平方根
新知引入
当“天问一号”火星探测器的速度大于第二宇宙速度 v (单位：m/s)时，就会克服地球引力，永远离开地球，飞向火星. v 的大小满足 v ＝2gR，其中 g 是地球表面的重力加速度，g≈9.8 (单位：m/s2)，R 是地球半径，R≈6.4×106 (单位：m)，怎样求 v 呢
天
问
一
号
这就要用到平方根的概念.
探索新知
(1) 32＝ ，(－3)2＝ ；
(3) 0.82＝ ，(－0.8)2＝ .
(2) ， ；
填空：
9
0.64
0.64
9
反过来，如果已知一个数的平方，那么怎样求这个数呢？
探索新知
思考
如果一个数的平方等于 9，那么这个数是多少？
因为 32＝9，所以这个数可以是 3；又因为 (－3)2＝9，所以这个数也可以是 －3. 除 3，－3 以外，任何一个数的平方都不等于 9.
因此，如果一个数的平方等于 9，那么这个数是 3 或－3.
x2 1 16 36 49
x
完成下列表格：
1或－1
4或－4
6或－6
7或－7
或
探索新知
平方根的概念
一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2＝a，那么这个数 x 叫作 a 的平方根或二次方根.
例如：3 和－3 是 9 的平方根.
通常把 3 和－3 合在一起简记为“±3” ，则±3 是 9 的平方根.
求一个数的平方根的运算，叫作开平方.
a≥0
也可以说 3 是 9 的平方根或－3 是 9 的平方根，
但不能说 9 的平方根是 3，也不能说 9 的平方根是－3.
探索新知
+1
-1
+2
-2
+3
-3
平方
1
4
9
+1
-1
+2
-2
+3
-3
1
4
9
开平方
观察下图，你发现了什么
平方与开平方互为逆运算
想求一个数的平方根，就想谁的平方等于它
典型例题
解：(1)因为 (±8)2＝64，所以 64 的平方根是 ±8；
例 1 求下列各数的平方根：
(1) 64； (2) ； (3) 0.01.
(3)因为 (±0.1)2＝0.01，所以 0.01 的平方根是 ±0.1.
(2)因为 ，所以 100 的平方根是 ± ；
探索新知
思考
正数的平方根有什么特点？
0 的平方根是多少？
负数有平方根吗？
从上面的例子可以看出，正数有两个平方根，它们互为相反数.
因为 02＝0，并且任何一个不为 0 的数的平方都不等于 0，
所以 0 的平方根是 0.
正数的平方是正数，负数的平方也是正数，0 的平方是 0，即在我们所认识的数中，任何一个数的平方都不是负数，所以负数没有平方根.
探索新知
平方根的表示方法
a 的平方根
平方根号
被开方数
读作：正、负根号 a
(a≥0)
(a≥0)
根指数为 2，省略不写
2
x =±
探索新知
平方根的表示方法
表示 a 的正的平方根
表示 a 的负的平方根
读作“正、负根号 ”
只有当 a≥0 时， 才有意义；而当 a＜0 时， 没有意义.为什么？
特别地，0 的平方根记为 .
记作±
因为任何一个数的平方都是非负数， 所以找不到一个数的平方为负数，故当 a＜0 时， 无意义.
典型例题
解：(1) 因为 0.36 是正数，所以 0.36 有两个平方根，±＝±0.6；
(2) 因为 －5 是负数，所以－5 没有平方根；
(3) 因为 (－4)2＝16 是正数，所以 (－4)2 有两个平方根，±＝±＝±4.
例 2 下列各数有平方根吗 如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由.
(1) 0.36； (2) －5； (3) (－4)2.
当堂检测
当堂检测
D
当堂检测
A
当堂检测
C
当堂检测
B
当堂检测
9
2
当堂检测
当堂检测
本节课学习了哪些知识点呢？
平方根
一般地，如果一个数x的平方等于 a，即 x ＝a，那么这个数 x 叫作 a 的平方根或二次方根.
±（a 大于或等于 0）
表示
(1) 正数有两个平方根，它们互为相反数；
(2) 0 的平方根是 0；
(3) 负数没有平方根.
开平方与平方互为逆运算
运算
概念
性质
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