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8.2 立方根
人教版(2024)七年级下册
第八章 实数
学习目标
1
了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根，并掌握它的性质
2
了解立方与立方互为逆运算，会用立方运算求千以内完全立方数的立方根
3
会用计算器求一个数的立方根
旧识回顾
1．什么是一个数 a 的平方根？如何用符号表示数 a (a≥0) 的平方根？
2．正数的平方根有几个？它们之间的关系是什么？
一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根或二次方根．
正数有两个平方根，它们互为相反数．
数 a (a≥0) 的平方根用符号表示为 ±???? ．
?
3．负数有没有平方根？0 的平方根是什么？
负数没有平方根，0 的平方根是 0．
探索新知
思考
如果一个数的立方等于 8，那么这个数是多少?
因为 23＝8，所以这个数可以是 2.
除 2 以外，任何一个数的立方都不等于 8.
因此，如果一个数的立方等于 8，那么这个数是 2.
探索新知
立方根的概念
一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3＝a，那么这个数 x 叫作 a 的立方根或三次方根.
2 叫做 8 的立方根；
23＝8
(－2)3＝－8
03＝0
－2 叫做－8 的立方根；
0 叫做 0 的立方根．
探索新知
开立方
类似开平方运算，求一个数的立方根的运算叫做开立方.
1.正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算.
2.立方根与开立方的关系：立方根是一个数，是开立方的结果；而开立方是求一个数的立方根的运算 .
23＝( ？ )
立方运算
( ？ )3＝8
开立方运算
互逆
互逆
探索新知
立方根的表示方法
根指数
被开方数
类似于平方根，一个数 a 的立方根记为“3????”，读作“三次根号 a”，其中 a 是被开方数，3 是根指数．
?
????????
?
注意：这个根指数 3 绝对不可省略！
例如：38表示 8 的立方根，38＝2；3?8表示－8 的立方根，3?8＝－2.
?
???? 实际上省略了 2???? 中的根指数 2. 因此，???? 也可读作“二次根号 a”.
?
探索新知
探究
根据立方根的意义填空.
因为 23 ＝8，所以 8 的立方根是( )；
因为( )3 ＝0.064，所以 0.064 的立方根是( )；
因为( )3 ＝0，所以 0 的立方根是( )；
因为( )3 ＝－8，所以 －8 的立方根是( )；
0
2
－2
0
－2
0.4
0.4
?12
?
因为( )3 ＝ ，所以 的立方根是( ).
?18
?
?18
?
?12
?
你能发现正数、0 和负数的立方根各有什么特点？
立方根的性质：
1.正数的立方根是正数.
2. 0 的立方根是 0.
3.负数的立方根是负数.
注意：立方根是它本身的数有 1，－1，0.
探索新知
你能说一说数的立方根与数的平方根有什么不同吗？
(1) 个数不同：
正数的平方根有两个，且互为相反数；
正数的立方根有一个，是正数.
(2) 负数没有平方根；
负数的立方根有一个，是负数.
典型例题
解：(1) (－2)3 的立方根是 －2，即 3(?2)＝－2；
?
例 1 求下列各数的立方根：
(1) (－2)3； (2) 343； (3) －64； (4) .
12527
?
(4)因为 ，所以 的立方根是 ，即 .
533=12527
?
12527
?
53
?
312527=53
?
(2) 因为 73＝343，所以 343 的立方根是 7，即 3343＝7；
?
(3) 因为 (－4)3＝－64，所以 －64 的立方根是 －4，即 3?64=?4；
?
探索新知
探究
因为 3?8 ＝ ， ?38 ＝ ，
所以 3?8 ?38?；
因为 3?27 ＝ ，?327 ＝ ，
所以 3?27 ?327 .
?
－2
－2
＝
－3
－3
＝
请你再试几个不同的数 a，观察 3?????与 ?3???? 是否仍相等.
?
结论：一般地，互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数，即 3??????=??3???? .
?
利用“??????????=??????????，可以把求一个负数的立方根转化为求一个正数的立方根的相反数.
?
典型例题
解：(1) 3?512=?3512?=?8；
(2) -3?0.001= 30.001=0.1；
(3) 3?43?=?343?=?4.
?
例 2 求下列各式的值：
(1) 3?512； (2) ?3?0.001； (3) 3?43?.
?
3?????=?3????
可以看作：根号内外同时添加“-”.
?
探索新知
平方根与立方根的区别
平方根
立方根
区别
性
质
正数
0
负数
表示方法
被开方数的范围

两个，互为相反数
一个，为正数
0
0
没有平方根
一个，为负数
可以为任何数
非负数
±????
?
3????
?
联系
运算关系
0 的开方
都与相应的乘方运算互为逆运算.
0 的平方根与立方根都是 0.
探索新知
实际上，很多有理数的立方根是无限不循环小数. 例如 32 ，33 等都是无限不循环小数. 我们可以用有理数近似地表示它们.
?
有些计算器需要用第二功能键求一个数的立方根.
按键顺序为：先按 2nd F 键，再按 31 键 ，然后输入被开方数，最后按 ＝ 键.
?
提示：不同型号的计算器按键的顺序可能不同，使用计算器时，一定要按说明书操作.
一些计算器设有 31 键，用它可以求出一个数的立方根 (或其近似值).
按键顺序为：先按 31 键，再输入被开方数，最后按 ＝ 键.
?
探索新知
探究
30.000?216?＝_____，
30.216?＝_____，
3216?＝_____，
3216?000?＝_____，
?
用计算器计算···，30.000?216?，30.216?，3216?，3216?000?，···，你能发现什么规律？
?
0.06
0.6
6
60
被开方数的小数点向右或向左移动 3 位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动 1 位.
探索新知
探究
30.1?≈________，
30.000?1?≈________，
3100?000?≈_______.
?
3100?≈______，
?
用计算器计算 3100? (结果保留到小数点后三位)，并利用你发现的规律求 30.1?，30.000?1?，3100?000?的近似值
?
4.642
0.464 2
0.046 42
46.42
被开方数的小数点向左或向右移动 3n 位时，立方根的小数点就相应地向左或向右移动 n 位 (n 为正整数).
当堂检测
当堂检测
C
当堂检测
D
当堂检测
D
当堂检测
B
当堂检测
A
当堂检测
4
当堂检测
本节课学习了哪些知识点呢？
立方根
性质
表示
定义
如果 x3=a，那么 x 叫作 a 的立方根或三次方根.
正数的立方根是正数；
负数的立方根是负数；
0 的立方根是 0.
一个数 a 的立方根记为“3????”，读作“三次根号 a”.
?
用计算器计算及探索规律
被开方数的小数点向右或向左移动 3 位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动 1 位.
THANKS

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