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10.1 二元一次方程组的概念
人教版(2024)七年级下册
第十章 二元一次方程组
学习目标
1
了解二元一次方程 (组) 及其解的定义
2
会检验一对数值是不是某个二元一次方程 (组) 的解
3
能根据简单的实际问题列出二元一次方程 (组)
情景引入
新疆是我国棉花的主要产地之一. 近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式. 某种棉大户租用 6 台大、小两种型号的采棉机，1 h 就完成了 8 hm 棉田的采摘.如果大型采棉机 1 h 完成 2 hm 棉田的采摘，小型采棉机 1 h 完成 1 hm 棉田的采摘，那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台？
在这个问题中，要求的是两个未知数.如果用一元一次方程来解决，列方程时，要用一个未知数表示另一个未知数.能不能根据题意直接设两个未知数，使列方程变得容易呢？
探索新知
思考
列方程要先找到相等关系. 本章引言中的问题包含了哪些必须同时满足的相等关系？若设这个种棉大户租用了 x 台大型采棉机，y 台小型采棉机，你能用方程把这些相等关系表示出来吗？
容易发现，问题包含两个必须同时满足的相等关系：
大型采棉机台数 ＋ 小型采棉机台数 ＝ 总台数，
大型采棉机 1 h 采摘面积 ＋ 小型采棉机 1 h 采摘面积＝1 h 采摘总面积.
这两个相等关系可以分别用方程 x＋y＝6 和 2x＋y＝8 表示.
探索新知
观察
x＋y＝6 和 2x＋y＝8
这两个方程有什么特点？
与一元一次方程比较有什么不同？
(2) 含有两个未知数；
(3) 含有未知数的项的次数都是 1.
含未知数的个数不同
(1) 是整式方程，即等号的两边必须都是整式；
探索新知
二元一次方程的概念
含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是 1，像这样的方程叫作二元一次方程.
1.“一次”是指含未知数的项的次数是 1，而不是未知数的次数；
2. 方程的左右两边都是整式.
探索新知
二元一次方程组的概念
含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是 1，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组.
前面的问题包含了两个必须同时满足的条件，也就是未知数 x，y 必须同时满足方程 x＋y＝6和 2x＋y＝8．把两个方程合在一起，写成 就组成了一个方程组．
探索新知
二元一次方程组的概念
含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是 1，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组.
注意：二元一次方程组一共含有两个未知数，并不是每个方程都必须含有两个未知数，例如方程组也是二元一次方程组. 若每个方程都含有两个未知数，则这两个方程中的两个未知数必须相同，即方程组的各个方程中同一个字母表示的是同一个数量.
探索新知
探究
满足方程 x＋y＝6，且符合问题的实际意义的 x，y 的值有哪些？把它们填入表中.
x
y
如果不考虑方程表示的实际意义，还可以取哪些值？这些值是有限的吗？
x，y 还可以取小数，如 x＝0.1，y＝5.9；有无数组这样的值.
1
3
4
5
5
3
2
1
下表中哪对 x，y 的值还满足方程 2x＋y＝8？
4
2
探索新知
二元一次方程的解
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解.
判断一对数值是不是二元一次方程的解的方法
判断一对数值是不是二元一次方程的解，只需将这对数值分别代入方程的左、右两边，若左边右边，则这对数值是这个方程的解；若左边右边，则这对数值不是这个方程的解.
探索新知
2. 一般地，二元一次方程有无数组解，即有无数多对数值满足这个二元一次方程.但如果对未知数的取值附加某些限制条件，那么也可能解的数量是有限的.
3. 在二元一次方程中，只要给定其中一个未知数的值，就可以相应地求出另一个未知数的值.
1.二元一次方程的解都是成对的两个数，一般要用大括号联立表示，如 x＝2，y＝4 是二元一次方程 x＋y＝6 的一组解，可写为 .
二元一次方程的解的特点：
探索新知
二元一次方程组的解
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解.
x＝2，y＝4 还满足方程 2x＋y＝8. 也就是说，x＝2，y＝4是方程 x＋y＝6 与方程 2x＋y＝8 的公共解，记作 .
联系前面的问题可知，这个种棉大户租用了 2 台大型采棉机，4 台小型采棉机.
探索新知
二元一次方程组的解
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解.
判断一对数值是不是二元一次方程组的解的方法
判断一对数值是不是二元一次方程组的解，只需将这对数值分别代入方程组中的每一个方程进行检验，若满足每一个方程，则这对数值就是这个方程组的解；若不满足其中任何一个方程，则这对数值就不是这个方程组的解.
当堂检测
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A
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C
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A
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D
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B
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C
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C
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D
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B
本节课学习了哪些知识点呢？
二元一次方程
二元一次方程组
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解.
二元一次方程(组)
定义
二元一次
方程的解
含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫作二元一次方程.
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解.
定义
二元一次
方程组的解
含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有两个方程.
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