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10.2.1 代入消元法
人教版(2024)七年级下册
第十章 二元一次方程组
学习目标
1
理解并掌握代入消元法的意义
2
会用代入消元法解二元一次方程组
3
初步感受运用二元一次方程组解决实际问题的过程
????+????=6，2????+????=8
?
租用了 x 台大型采棉机，y 台小型采棉机，可以列方程组
探索新知
上一节中，对于引言问题，我们直接设两个未知数：
表示问题包含的相等关系.
如果只设一个未知数：租用 x 台大型采棉机 ，那么这个问题也可以用一元一次方程 2x＋(6－x)＝8 来解决.
探索新知
思考
对于本章引言中的问题，采用不同的设未知数的方法，由问题中的相等关系，可以分别列出二元一次方程组和一元一次方程. 你能由所列出的二元一次方程组得到所列的一元一次方程吗？
????+????=6，①2????+????=8.②
?
2x＋(6－x)＝8
？
方程 ① 改写：y＝6－x. ③
由于两个方程中的 y 都表示租用小型采棉机的台数.
可以把方程 ② 2x＋y＝8 中的 y 换为方程 ③ 6－x.
?
探索新知
思考
对于本章引言中的问题，采用不同的设未知数的方法，由问题中的相等关系，可以分别列出二元一次方程组和一元一次方程. 你能由所列出的二元一次方程组得到所列的一元一次方程吗？
????+????=6，①2????+????=8.②
?
2x＋(6－x)＝8
？
这个方程就化为一元一次方程 2x＋(6－x)＝8.
解这个一元一次方程，得 x＝2.
把 x＝2 代入 y＝6－x，得 y＝4，从而得到这个方程组的解.
探索新知
代入消元法
二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就可以把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程. 我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数. 这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫作消元思想.
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解. 这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法.
二元一次方程组
一元一次方程
消元
转化
典型例题
例 1 用代入法解方程组
解：由①，得 ????=????+3. ③
把③代入②，得 3(????+3)?8????=14.
解这个方程，得 ????=?1.
把 ????=?1 代入③，得 ????=2.
所以这个方程组的解是 ????=2，????=?1.
?
?????????=3,????????????? ???????????①3?????8????=14?.??????????????????②
?
分析：方程①中 x 的系数是 1，用含 y 的式子表示 x，再代入方程②，比较简便.
把③代入①可以吗？试试看.
不可以.
因为方程③是由方程①变形而来的，把③代入①后只能得到一个恒等式.
把????=?1代入①或②可以吗？
?
可以.都可以求出另一个未知数的值，但代入方程③最简便.
典型例题
例 2 用代入法解方程组
解：由②，得 y＝2x?16. ③
把③代入①，得 3x?5(2x?16)＝3.
解这个方程，得 x＝11.
把 x＝11 代入③，得 y＝6.
所以这个方程组的解是 ????=11，????=6.
?
3?????5????=3,??? ?????????? ???????????①2?????????=16?.?????? ????????????②
?
分析：方程②中 y 的系数是 ?1，用含 x 的式子表示 y，再代入方程①，比较简便.
?
探索新知
步骤
具体做法
目的
注意事项
①变形
用含一个未知数的式子表示另一个未知数
变形为y=ax＋b (或x=ay＋b) (a，b 是常数，a ≠ 0)的形式
一般选未知数系数比较简单的方程变形
②代入
把y=ax＋b( 或x=ay＋b)代入另一个没有变形的方程
消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程
变形后的方程只能代入另一个方程 (或另一个方程变形后的方程)
③求解
解消元后的一元一次方程
求出一个未知数的值
去括号时不能漏乘，移项时所移的项要变号
④回代
把求得的未知数的值代入步骤①中变形后的方程中
求出另一个未知数的值
一般代入变形后的方程
⑤写解
把两个未知数的值用大括号联立起来
表示为 ????=…,????=… 的形式
用“｛” 将未知数的值联立起来
用代入消元法解二元一次方程组的步骤：
典型例题
例 3 用代入法解方程组
2?????5????=?11,????????????? ???????????①9????+7????=39?. ?????? ????????????②
?
分析：方程①中x的系数的绝对值较小，可以考虑在方程①中用含y的式子表示x，再代入方程②.
解：由①，得 . ③
?
????=52?????112
?
把 ③ 代入②，得 .
?
952?????112+7????=39
?
解这个方程，得 y＝3.
把 y＝3 代入③，得 x＝2.
所以这个方程组的解是 ????=2，????=3.
?
解这个方程组时，可以先消去 y 吗？试试看.
典型例题
例 3 用代入法解方程组
2?????5????=?11,????????????? ???????????①9????+7????=39?. ?????? ????????????②
?
解：由①，得 . ③
?
????=25????+115
?
把 ③ 代入②，得 .
?
9????+725????+115=39
?
解这个方程，得 x＝2.
把 x＝2 代入③，得 y＝3.
所以这个方程组的解是 ????=2，????=3.
?
典型例题
例 4 快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件. 某快递员星期一的送件数和揽件数分别为 120 件和 45 件，报酬为 270 元；他星期二的送件数和揽件数分别为 90 件和 25 件，报酬为 185 元. 如果这名快递员每送一件和每揽一件货物的报酬分别相同，他每送一件和每揽一件的报酬各是多少元?
分析：由题意可知
送件
揽件
报酬
星期一
星期二
120
45
90
25
270
185
由此可以列出方程组，通过解方程组解决问题.
典型例题
例 4 快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件. 某快递员星期一的送件数和揽件数分别为 120 件和 45 件，报酬为 270 元；他星期二的送件数和揽件数分别为 90 件和 25 件，报酬为 185 元. 如果这名快递员每送一件和每揽一件货物的报酬分别相同，他每送一件和每揽一件的报酬各是多少元?
解：设这名快递员每送一件的报酬是 x 元，每揽一件的报酬是 y 元.
根据这名快递员星期一和星期二取得的报酬满足的相等关系，
列得方程组 120????+45????=270,?????①90????+25????=185.??? ?②
?
典型例题
由①，得 . ③
?
????=94?38????
?
把 ③ 代入②，得 .
?
9094?38????+25????=185
?
解这个方程，得 y＝2.
把 y＝ 2代入③?，得 x＝1.5.
所以这个方程组的解是 ????=1.5，????=2.
答：这名快递员每送一件的报酬是 1.5 元，每揽一件的报酬是 2 元.
?
当堂检测
当堂检测
D
当堂检测
B
当堂检测
12?????????=10
?
当堂检测
5
当堂检测
当堂检测
当堂检测
当堂检测
本节课学习了哪些知识点呢？
将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想
消元思想
方法
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.
代入
消元法
应用
解决实际问题
THANKS

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