资源简介

10.2.2 加减消元法
人教版(2024)七年级下册
第十章 二元一次方程组
学习目标
1
理解并掌握加减消元法的意义
2
会用加减消元法解二元一次方程组
3
初步感受运用二元一次方程组解决实际问题的过程
旧识回顾
用代入消元法解二元一次方程组的步骤：
变形
选取一个系数比较简单的二元一次方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数.
把 y=ax+b (或 x=ay+b) 代入另一个没有变形的方程.
代入
求解
写解
把两个未知数的值用大括号联立起来.
解消元后的一元一次方程.
把求得的未知数的值代入步骤 1 中变形后的方程.
回代
探索新知
思考
前面我们用代入法求出了方程组 ????+????=6，①2????+????=8.② 的解. 这两个方程组的两个方程中，y 的系数有什么关系？利用这种关系，你能发现新的消元的方法吗？
?
这两个方程中未知数 y 的系数相等.
②－①可以消去未知数 y，得 x＝2.
把 x＝2 代入①，得 y＝4.
所以这个方程组的解是 ????=2，????=4.
?
②－①就是用
方程②的左边减去方程①的左边，
方程②的右边减去方程①的右边.
也可以是①－②.这样做的依据是等式的性质，即“等式两边都加(减)相等的量，结果仍相等”.
探索新知
思考
联系上面的解法，想一想怎样解方程组 3????+10????=2.8，①15?????10????=8. ②
?
两个方程中未知数 y 的系数互为相反数，所以两个方程相加就可以消去 y .
①＋②，得 18x＝10.8，解得 x＝0.6.
把 x＝0.6 代入②，得 y＝0.1.
所以这个方程组的解是 ????=0.6，????=0.1.
?
探索新知
加减消元法
当二元一次方程组的两个方程中某个未知数的系数互为相反数或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解.
这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法.
典型例题
例 5 用加减法解方程组
解：①＋②，得 5x＝15，x＝3.
把 x＝3 代入①，得
3×3+????2=0，
解得 y＝?18.
所以这个方程组的解 ????=3， ????=?18.
?
3????+????2=0，???①2?????????2=15.? ②
?
把 x＝3 代入②，可以解得 y 吗.
可以解得 y. 解法如下：
把 x＝3 代入②，得
2×3?????2=15，6?????2=15，
解得 y＝?18.
?
当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数既不相等也不互为相反数时，能用加减法解方程组吗？
典型例题
例 6 用加减法解方程组
解：①×2，得 6?????4????=8. ③
②＋③，得 13????=26， ????=2.
把 ????=2 代入①，得 3×2?2????=4，????=1.
所以这个方程组的解是 ????=2，????=1.
?
3?????2????=4,????????????? ???????????①7????+4????=18?. ??????????????????②
?
分析：这两个方程中同一个未知数的系数既不相等也不互为相反数，直接把这两个方程进行加减不能消元. 观察这两个方程中未知数 y 的系数之间的关系，将①×2 可以使两个方程中 y 的系数互为相反数，就可以用加减法求解了.
探索新知
两方程中同一未知数的系数不相等也不互为相反数时，利用等式的基本性质对方程进行变形，使得未知数的系数相等或互为相反数.
用加减消元法解二元一次方程组的步骤：
①变形
根据绝对值较小的未知数(同一个未知数)的系数的最小公倍数，将方程的两边都乘适当的数.
两个方程中同一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加，同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减.
②加减
③求解
解消元后的一元一次方程.
④回代
把求得的未知数的值代入方程组中比较简单的方程中.
⑤写解
把两个未知数的值用大括号联立起来.
探索新知
思考
所以这个方程组的解是 ????=?1，????=3.5.
?
把 x＝－1代入③，得 y＝3.5.
把③代入②，得 0.8x＋0.6(1.5－2x)＝1.3.
由①，得 y＝1.5－2x.③
解这个方程，得 x＝－1.
第一个方程中字母 y 的系数为 1，采用代入法较方便.
字母 y 的系数互为相反数，采用加减法较方便.
①＋②，得 4x＝8，
解这个方程，得 x＝2，
把 x＝2 代入①，得 2＋2y＝3，
解这个方程得， y＝ ，
12
?
所以这个方程组的解是
????=2，????=12.
?
怎样解下面的方程组？
2????+????=1.5， ①0.8????+0.6????=1.3????② ????+2????=3，????????①3?????2????=5．?? ②
?
典型例题
例 7 我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：
今有牛五、羊二，直金十两：牛二、羊五，直金八两. 问牛、羊各直金几何？
意思是：假设 5 头牛、2 只羊，共值金 10 两；2 头牛、5 只羊，共值金 8 两. 那么每头牛、每只羊分别值金多少两？你能解答这个问题吗？
分析：由于每头牛和每只羊的价格分别相等，所以根据“5 头牛、2 只羊，共值金 10 两；2 头牛、5 只羊，共值金 8 两”可列得方程组.
典型例题
④－③，得 21y＝20，解得 .
????=2021
?
解：设每头牛和每只羊分别值金 x 两和 y 两. 根据问题中的相等关系，
列得方程组 5????+2????=10,????????????? ???????????①2????+5????=8?. ?????? ????????????②
①×2，得 10x＋4y＝20. ③
②×5，得 10x＋25y＝40. ④
?
把 代入①，得 .
????=3421
?
????=2021
?
所以这个方程组的解是
????=3421，????=2021.
?
利用等式的性质对方程适当变形，使得两个方程中某个未知数的系数互为相反数或相等，就可以用加减法求解了.
典型例题
如果用加减法消去 y，应该怎样解？解得的结果一样吗？
5????+2????=10,???????①2????+5????=8?. ??????②
?
①×5，得 25x＋10y＝50. ③
②×2，得 4x＋10y＝16. ④
③－④，得 21x＝34，解得 .
????=3421
?
把 代入①，得 .
????=2021
?
????=3421
?
所以这个方程组的解是
????=3421，????=2021.
?
解得的结果一样.
当堂检测
当堂检测
A
当堂检测
C
当堂检测
A
当堂检测
C
当堂检测
加减
代入
当堂检测
－1
当堂检测
当堂检测
本节课学习了哪些知识点呢？
定义
步骤
(1)变形(2)加减(3)求解(4)回代(5)写解.
加减
消元法
当二元一次方程组的两个方程中某个未知数的系数互为相反数或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法.
应用
选择合适的解二元一次方程组的方法解决实际问题
THANKS

展开更多......

收起↑