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10.3 实际问题与二元一次方程组（第1课时）
人教版(2024)七年级下册
第十章 二元一次方程组
学习目标
1
能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决实际问题
2
掌握构建二元一次方程组解决有关实际问题的基本步骤
3
学会利用二元一次方程组解决和差倍分、数字与配套问题
旧识回顾
用加减消元法解二元一次方程组的步骤：
变形
加减
求解
回代
写解
用代入消元法解二元一次方程组的步骤：
变形
代入
求解
回代
写解
解二元一次方程组的方法有哪些？
代入消元法和加减消元法.
探索新知
养牛场原有 30 头大牛和 15 头小牛，1 天约用饲料 675 kg；一周后又购进 12 头大牛和 5 头小牛，这时 1 天约用饲料 940 kg. 饲养员李大叔估计每头大牛 1 天约需饲料 18~20 kg，每只小牛 1 天约需饲料 7~8 kg. 你能通过计算检验他的估计吗？
题中有哪些未知量，你如何设未知数？
探究
未知量：每头大牛 1 天需用的饲料；每头小牛 1 天需用的饲料.
设未知数：设每头大牛和每头小牛平均 1 天各需用饲料为 x kg和 y kg.
和差倍分问题
探索新知
养牛场原有 30 头大牛和 15 头小牛，1 天约用饲料 675 kg；一周后又购进 12 头大牛和 5 头小牛，这时 1 天约用饲料 940 kg. 饲养员李大叔估计每头大牛 1 天约需饲料 18~20 kg，每只小牛 1 天约需饲料 7~8 kg. 你能通过计算检验他的估计吗？
题中有哪些等量关系？
探究
(1) 30 只大牛和 15 只小牛一天需用饲料为 675 kg；
(2) (30＋12) 只大牛和 (15＋5) 只小牛一天需用饲料为 940 kg.
和差倍分问题
探索新知
解：设每头大牛和小牛平均 1 天各需用饲料为 x kg和 y kg，
根据等量关系，列方程组：
＋ ＝ 675
＋ ＝ 940
30x
15y
42x
20y
①
②
如何解这个方程组呢？
直接消元.
直接消元：
①×4，得 120x＋60y＝2 700.③
②×3，得 126x＋60y＝2 820.④
④－③，得 6x＝120，解得 x＝20.
把 x＝20 代入①，
得 30×20＋15y＝675，
解得 y＝5.
所以这个方程组的解是
探索新知
根据等量关系，列方程组：
＋ ＝ 675
＋ ＝ 940
30x
15y
42x
20y
①
②
如何解这个方程组呢？
先化简再消元.
先化简再消元：
方程组可化简为
由③，得 y＝45－2x.⑤
把⑤代入④，得 21x＋10(45－2x)＝470，
解得 x＝20.
把 x＝20 代入③，得 2×20＋y＝45，
解得 y＝5.
所以这个方程组的解是
解：设每头大牛和小牛平均 1 天各需用饲料为 x kg和 y kg，
探索新知
饲养员李大叔的估计正确吗？
饲养员李大叔对大牛的食量估计正确，对小牛的食量估计错误.
二元一次方程组是刻画实际问题的重要数学模型，用二元一次方程组解决实际问题时，要注意分析题目中的数量关系，设出合适的未知数，将已知量和未知量通过题目中的等量关系联系起来，列出方程组，将实际问题转化为数学问题.
探索新知
列方程组解决和、差、倍、分问题时，要抓住题目中反映数量关系的关键字（词）：和、差、倍、几分之几、比、大、小、多、少、增加、减少等. 列方程时，要明确这些关键字(词) 的含义，寻找等量关系，设出合适的未知数.
和、差、倍、分问题的求解策略
探索新知
列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
审：认真审题，分清题中的已知量、未知量，并明确它们之间的等量关系；
设：恰当地设未知数；
列：依据题中的等量关系列出方程组；
解：解方程组，求出未知数的值；
验：检验所求得的未知数的值是否符合题意和实际意义；
答：写出答.
探索新知
有一个三位数，若将最左边的数字移到最右边，则比原数小 45，又知原百位数字的 9 倍比由原十位数字和个位数字组成的两位数 (原个位数字仍作为个位数字) 小 3，求原三位数.
探究
等量关系：
将最左边的数字移到最右边后得到的数＝原数－ 45.
9 ×原百位数字＝由原十位数字和个位数字组成的两位数－3.
数字问题
探索新知
有一个三位数，若将最左边的数字移到最右边，则比原数小 45，又知原百位数字的 9 倍比由原十位数字和个位数字组成的两位数 (原个位数字仍作为个位数字) 小 3，求原三位数.
探究
解这个方程组，得
所以原三位数为 4×100＋39＝439.
答：原三位数为 439.
解：设原百位数字为 x，由原十位数字和个位数字组成的两位数为 y.
根据题意，得
数字问题
探索新知
1. 列方程组解决数字问题的关键在于正确地用式子表示一个多位数，如一个三位数的百位上的数字为 a，十位上的数字为 b，个位上的数字为 c，则这个三位数为 100a＋10b＋c.
2. 利用方程组解决数字问题时，一般不直接设这个数，而是设这个数的数位上的数字，再根据数的表示方法表示出这个数.
数字问题的求解策略
探索新知
某车间有 22 名工人，每人每天可以生产 1200 个螺钉或 2000 个螺母. 1 个螺钉需要配 2 个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应各安排多少名工人生产螺钉和螺母？
探究
产品类型 所需人数 生产总量
螺钉 x
螺母 y
螺母总产量是
螺钉的 2 倍
人数和为 22
1200x
2000y
配套问题
探索新知
某车间有 22 名工人，每人每天可以生产 1200 个螺钉或 2000 个螺母. 1 个螺钉需要配 2 个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应各安排多少名工人生产螺钉和螺母？
探究
解：设安排 x 人生产螺钉，y 人生产螺母.
依题意，可列方程组
解方程组，得
答：安排生产螺钉的10人，生产螺母的12人.
配套问题
探索新知
如果 a 件甲产品和 b 件乙产品配成一套，
即 b×甲产品的件数＝a×乙产品的件数.
配套问题中隐含的等量关系
当堂检测
当堂检测
B
当堂检测
A
当堂检测
A
当堂检测
C
当堂检测
B
当堂检测
B
当堂检测
当堂检测
当堂检测
本节课学习了哪些知识点呢？
列二元一次方程组解应用题的一般步骤
审：认真审题，分清题中的已知量、未知量，并明确它们之间的等量关系.
设：恰当地设未知数.
列：依据题中的等量关系列出方程组.
解：解方程组，求出未知数的值.
验：检验所求得的未知数的值是否符合题意和实际意义.
答：写出答.
THANKS

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