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10.3 实际问题与二元一次方程组（第3课时）
人教版(2024)七年级下册
第十章 二元一次方程组
学习目标
1
能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决稍复杂的实际问题
2
学会利用二元一次方程组解决行程问题、销售问题
旧识回顾
列二元一次方程组解应用题的一般步骤是什么？
列二元一次方程组解应用题的一般步骤
1.审：审题，分析已知量与未知量，明确题目中的等量关系.
2.设：设未知数.
3.列：根据等量关系列出方程组.
4.解：解方程组，求出未知数的值.
5.验：检验所求的解是否正确，是否符合实际意义.
6.答：写出答案.
探索新知
如图，丝路纺织厂与 A，B 两地由公路、铁路相连．
这家纺织厂从 A 地购进一批长绒棉运回工厂，制成纺织面料运往 B 地. 已知长绒棉的进价为 3.08 万元/ t，纺织面料的出厂价为 4.25 万元/ t，公路运价为 0.5 元/(t·km)，铁路运价为 0.2 元/(t·km)，且这两次运输共支出公路运费 5 200 元，铁路运费 16 640 元. 那么这批纺织面料的销售额比原料费 (原料费只计长绒棉的价格)与运输费的和多多少元？
探究
较复杂的实际问题
探索新知
问题 1　要求“这批产品的销售额比原料费与运输费的和多多少元？”我们必须知道什么？
探究
较复杂的实际问题
销售额与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关．因此，我们必须知道产品的数量和原料的数量．
销售额
原料费
运输费 (公路和铁路)
产品数量
原料数量
探索新知
问题 2　本题涉及的量较多，这种情况下常用列表的方式来处理，列表直观、简洁．本题涉及哪两类量呢？
探究
较复杂的实际问题
一类是公路运费，铁路运费，价值；另一类是原料数量，产品数量．
x t 长绒棉
y t 纺织面料
合计
公路运费/元
铁路运费/元
价值/元
0.5×10x
0.5×20y
0.5(10x＋20y)
0.2×120x
0.2(120x＋110y)
0.2×110y
42 500y
30 800x
探索新知
探究
较复杂的实际问题
解：由上表列得方程组0.5(10????+20????)=5 200, 0.2(120????+110????)=16 640.
化简得 ????+2????=1 040, ① 12????+11????=8 320. ②解得 ????=400,????=320.
?
销售额：42 500×320＝13 600 000元；
原料费：30 800×400＝12 320 000元；
运输费：5 200＋16 640＝21 840元．
13 600 000－12 320 000－21 840＝1 258 160 元．
这批纺织面料的销售额比原料费与运输费的和多 1 258 160 元．
探索新知
若在直接设要求的量为未知数不容易列方程 (组) 时，应设间接未知数，求得未知数的值后再计算要求的量．
从以上探究可以看出，方程组是解决含有多个未知数问题的重要工具. 用方程组解决问题时，要根据问题中的数量关系列出方程组，求出方程组的解后，应进一步考虑它是否符合问题的实际意义．
探索新知
小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路. 假设他始终保持平路每分钟走 60 m，下坡路每分钟走 80 m，上坡路每分钟走 40 m，则他从家里到学校需 10 min，从学校到家里需 15 min. 问小华家离学校多远？
探究
行程问题
分析：小华到学校的路分成两段，一段为平路，一段为下坡路.
平路：60 m/min
下坡路：80 m/min
上坡路：40 m/min
走平路的时间＋走下坡路的时间＝_____，
走上坡路的时间＋走平路的时间＝ ____ ．
路程＝平均速度×时间
10
15
探索新知
方法一 (直接设元法)
平路时间
坡路时间
总时间
上学
放学
解：设小华家到学校平路长 x m，下坡路长 y m.
10
?
根据题意，可列方程组：
????60+????80=10????60+????40=15
?
解方程组，得 ????=300，????=400.
?
答：小明家到学校的距离为 700 m.
15
?
????60
?
????80
?
????60
?
????40
?
探索新知
方法二 (间接设元法)
平路
距离
坡路距离
上学
放学
解：设小华下坡路所花时间为 x min，上坡路所花时间为 y min.
根据题意，可列方程组：
6010?????=60(15?????)80????=40????????????????????????????????
?
解方程组，得 ????=5，????=10.
?
答：小明家到学校的距离为 700 m.
故平路距离：60×(10－5)＝300 (m)
坡路距离：80×5＝400 (m)
60(10－x)
60(15－y)
40y
80x
探索新知
甲、乙两人相距 4 km，以各自的速度同时出发.如果同向而行，甲 2 h 追上乙；如果相向而行，两人 0.5 h 后相遇.试问两人的速度各是多少？
探究
行程问题
1.同时出发，同向而行：
甲出发点
乙出发点
4 km
甲追上乙
乙 2 h 行程
甲 2 h 行程
甲 2 h 行程＝4 km＋乙 2 h 行程
探索新知
甲、乙两人相距 4 km，以各自的速度同时出发.如果同向而行，甲 2 h 追上乙；如果相向而行，两人 0.5 h 后相遇.试问两人的速度各是多少？
探究
行程问题
2.同时出发，相向而行：
甲出发点
乙出发点
4 km
相遇地
甲 0.5 h 行程
乙 0.5 h 行程
甲 0.5 h 行程＋乙 0.5 h 行程＝4 km
探索新知
甲、乙两人相距 4 km，以各自的速度同时出发.如果同向而行，甲 2 h 追上乙；如果相向而行，两人 0.5 h 后相遇.试问两人的速度各是多少？
探究
解：设甲、乙的速度分别为 x km/h，y km/h.
根据题意，得 2????=4+2????,????????0.5????+0.5????=4.
?
解这个方程组，得 ????=5,????=3.
答：甲的速度为 5 km/h，乙的速度为 3 km/h.
?
行程问题
探索新知
基本关系：路程＝速度×时间.
相向相遇问题：两者的路程和＝初始时两者间的距离.
同向追及问题：两者的路程差＝初始时两者间的距离.
相遇及追及问题中常用的等量关系
路程、速度、时间三者中，若其中一个为已知数，另一个设为未知数，则用第三个的等量关系来列方程.如本题中，时间为已知数，速度设为未知数，则利用路程之间的等量关系来列方程.
探索新知
某商场按定价销售某种商品时，每件可获利 45 元；按定价的 8.5 折销售该商品 8 件与将定价降低 35 元销售该商品 12 件所获利润相等.求该商品每件的进价和定价分别是多少元.
探究
销售问题
解：设该商品每件的定价为 x 元，进价为 y 元，
根据题意得 &????=????+45, &8×(0.85?????????)=12×(45?35),
解得 &????=200,&????=155.
答：该商品每件的进价是 155 元，定价是 200 元.
?
探索新知
利润 ＝ 售价 － 进价
利润率=利润进价×100%=售价???进价进价×100%
进价 ＝ 售价 ÷(1＋ 利润率)
?
常用的与销售相关的公式
探索新知
实际问题
数学问题
(二元一次方程组)
数学问题的解
(二元一次方程组的解)
实际问题的答案
设未知数
列方程组
解方程组
代入法
加减法
消元
检验
当堂检测
当堂检测
B
当堂检测
B
当堂检测
当堂检测
当堂检测
当堂检测
当堂检测
当堂检测
当堂检测
当堂检测
当堂检测
本节课学习了哪些知识点呢？
行程问题
路程(s)= 速度(v)× 时间(t).
(1)相遇问题：甲路程 + 乙路程 = 总距离 .
(2)追及问题：①同地不同时出发：前者走的路程 = 追者走的路程；②同时不同地出发：前者走的路程 + 两地距离 = 追者走的路程 .
(3)航行问题：①顺水速度 = 静水速度 + 水流速度；
②逆水速度 = 静水速度 - 水流速度
列二元一次方程组解决实际问题
销售问题
利润 = 售价 - 进价
利润率 = 利润进价 ×100%= 售价???进价进价 ×100%
进价 = 售价 ÷(1+ 利润率)
?
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