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太湖部分学校联考2025-2026学年上学期九年级12月月考试卷
数　学
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中，是二次函数的是( )
A. B.
C. D.
2.已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：；；；；，的实数其中正确的结论有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3.已知抛物线，其中，若，是方程的两根，且，则当时，的值( )
A. 小于零 B. 等于零
C. 大于零 D. 与零的大小关系无法确定
4.某拱桥呈抛物线形，水面宽度为时，拱顶离水面当水面上升后，宽度变为( )
A. B. C. D.
5.如图，直线，直线分别交，，于点，，，直线分别交，，于点，，，若，，则的值等于( )
A. B. C. D.
6.已知的三边长分别为、、，的两边长分别是和，如果与相似，那么的第三边长应该是 ．
　
A. 　　　 B. 　　　 C. D.
7.图是墨经中记载的“小孔成像”实验图，图是其示意图，其中物距，像距若像的高度是，则物体的高度为( )
A. B. C. D.
8.如图，在边长为的正方形网格中，点，，，，都在小正方形顶点的位置上，连接，相交于点，根据图中提示添加的辅助线，可以得到的值等于( )
A. B. C. D.
9.若二次函数与轴只有个公共点，则锐角等于( )
A. B. C. D.
10.如图，在中，，，垂足为，若，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.若函数是二次函数，则的值为 ．
12.若双曲线在每一个象限内，随的增大而增大，则的取值范围是 ．
13.如图，在边长为的正方形网格中，点，，，，都是小正方形的顶点，则图中所形成的三角形中，与相似的三角形是 ．
14.如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，连接，以为边向上作等边三角形，则线段所在直线的函数表达式为 ．
15.已知关于的二次函数与，这两个二次函数图象中只有一个图象与轴交于，两个不同的点．
试判断哪个二次函数的图象经过，两点；
若点坐标为，试求该二次函数的对称轴．
16.计算：．
四、解答题：本题共7小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知二次函数抛物线经过，．
求抛物线的表达式，并画出这个函数的图象；
根据图象，直接写出：
当函数值时，自变量的取值范围；
当时，函数值的取值范围．
18.本小题分
某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙墙的长度为，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积比为的矩形，已知栅栏的总长度为，设较小矩形的宽为如图．
若矩形养殖场的总面积为，求此时的值；
当为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
19.本小题分
如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上．
填空：______，______；
判断与是否相似？并说明理由．
20.本小题分
如图在中，，点、、、在同一条直线上，且．
求证：∽；
若，求的长度．
21.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的，两点，与轴交于点．
求该反比例函数和一次函数的表达式；
直接写出当时，的取值范围；
在轴上找一点，使的值最大，求的最大值及点的坐标．
22.本小题分
如图，，平分，过点作交于，连接交于．
求证：；
若，，求的长．
23.本小题分
烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动．
如图，一艘渔船自东向西以每小时的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息：
位置信息 码头在灯塔北偏西方向
时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处
时，渔船航行至灯塔东北方向的处
天气预警 受暖湿气流影响，今天到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气请注意防范
请根据以上信息，解答下列问题：
求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离
若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头参考数据：，，，，，
太湖部分学校联考2025-2026学年上学期九年级12月月考试卷
数学答案
选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
8. 9. 10.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.
12.
13.
14.
三、计算题：本大题共2小题，共16分。
15.（8分） 对于关于的二次函数．
由于，
所以此函数的图象与轴没有交点．
对于关于的二次函数．
由于，
所以此函数的图象与轴有两个不同的交点．
故图象经过，两点的二次函数为；
将代入．
得．
整理，得．
解得或．
当时，对称轴为直线
当时，对称轴为直线．
16. （8分） 解：原式
．
四、解答题：本题共7小题，共74分。
17. （8分）解：根据题意得，
解得
，
如图所示，
由图像得当时，
当时，，当时，，
当时，．
18. （8分）（1）由题意，得较大矩形的宽为，则长为由题意，得，解得或当时，，不符合题意，舍去；当时，符合题意．则此时的值为．
（2）设矩形养殖场的总面积是因为墙的长度为，所以由题意，得因为，对称轴为直线，所以当时，取得最大值，且最大值为则当时，矩形养殖场的总面积最大，且最大值为．

19. （10分）解：，
；
故答案为：；．
与相似，理由如下：
，，，，
，
，
又，
∽．
20. （10分）证明：，
，
，
，
又，
∽；
解：∽，
，
，，
，
．
21. （12分）（1）【解】把点的坐标代入，
可得，反比例函数的表达式为．
把点的坐标代入，可得，．
把，的坐标代入，
可得解得一次函数的表达式为．
（2）当时，的取值范围为或．
（3）在中，令，则，
一次函数图象与轴的交点为，该点即为所要求的点，
此时，的值最大，为的长．
令，则，．
的最大值为，点的坐标为．

22. （11分）（1）
【证明】平分，．
又，．
．
（2）【解】，．
又，．
，，．
．
，，，．
，．
．

23. （14分）（1）解：过点作于点．
设．
由题知，，，
，，
．
在中，，
解得．
答：渔船在航行过程中到灯塔的最短距离约为．
（2）在中，，，
，
，
．
到为，
不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头．

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