资源简介

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四边形
四边形及其内角和
平行四边形
多边形及其内角和
特殊的平行四边形
概念
边、顶点、对角线、内角、外角
四边形的内角和与外角和
四边形的不稳定性
概念、性质、判定
矩形、菱形、正方形
概念、内角和、外角和
两条平行线之间的距离
三角形的中位线
本章知识框架
21.1.1 四边形及其内角和
人教·八年级数学下册
四边形
21
学习目标
1.了解四边形的概念及四边形的边、顶点、对角线、
内角与外角．
2. 探索并掌握四边形的内角和与外角和，提升推理能力．
3.了解四边形的不稳定性及其在生活中的一些应用．
新课导入
说一说在生活中，你在哪些地方见到过四边形的形象？
新课导入
三角形
相关定义
分类
性质
判定
相关定义
分类
性质
判定
？
探索新知
在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形.
在平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫作三角形.
三角形 四边形
概念 由不在同一条直线上的三条线 段首尾顺次相接所组成的图形 叫作三角形
边 组成三角形的线段 叫作三角形的边
顶点 相邻两边的公共端点 叫作三角形的顶点
图形及记法
在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形.
组成_______的各条线段叫作
四边形的边
每相邻两条_____________　
叫作四边形的顶点
A
B
C
D
记作：_____________
记作：△ABC
线段的公共端点　
四边形
四边形 ABCD
找出下面的四边形.
×
√
×
×
A
C
B
D
记作：
四边形 ACBD
四边形 ADBC
ps：字母必须按顺时针或逆时针的方向排列.
这两个四边形有什么不同？
A
A
B
C
D
B
C
D
四边形 ABCD 都在
直线 CD 的同一侧，
也都在直线 AB，
BC，AD 的同一侧.
四边形 ABCD 不都在直线 CD（或 BC）的同一侧.
如左图，画出四边形 ABCD 的任何一条边（例如 CD）所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凸四边形.
凸四边形
特别规定：今后，如无特殊说明，所讨论的四边形都是凸四边形.
A
B
C
D
连接 AC 和 BD，你能发现什么？
连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线.
AC 将四边形分为 _______ 和 _______ .
BD 将四边形分为 _______ 和 _______ .
△ABC
△ACD
△BDA
△BDC
A
B
C
D
请在图中分别画出四边形 ABCD 顶点 A，C 处的内角和外角.
与三角形类似，四边形相邻两边组成的角叫作四边形的内角，简称四边形的角；
四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的外角.
内角
我们知道，三角形的内角和是 180°，长方形的内角和是 360°. 那么，任意一个四边形的内角和是多少度？你能证明你的结论吗？
180°
？
360°
思考
材料准备：剪刀、量角器等.
活动1 分别剪下一些形状不同、大小不同的四边形，测量每一个内角的度数，并计算出四边形的内角和.
A
B
C
D
O
观察猜想
根据测量的结果，你有什么猜想？
猜想：四边形的内角和都是360°.
你能证明吗？
四边形 ABCD 的内角和 = _______________ + _______________
A
B
C
D
1
2
3
4
如图，在四边形 ABCD 中，连接对角线 AC，则四边形ABCD 被分为 △ABC 和 △ACD 两个三角形.
四边形
三角形
转化
△ABC 的内角：
△ACD 的内角：
∠1、∠B、∠3
∠2、∠D、∠4
△ABC 的内角和
△ACD 的内角和
A
B
C
D
1
2
3
4
如图，在四边形 ABCD 中，连接对角线 AC，则四边形ABCD 被分为 △ABC 和 △ACD 两个三角形.
在△ABC 中，由三角形内角和定理，得
∠1 + ∠B + ∠3 = 180°.
同理∠2 + ∠4 + ∠D = 180°.
由此可得
∠DAB + ∠B + ∠BCD + ∠D
= ∠1 + ∠2 + ∠B + ∠3 + ∠4 + ∠D
=（∠1 + ∠B + ∠3）+（∠2 + ∠4 + ∠D）
= 180°+ 180° = 360°.
四边形
三角形
转化
四边形的内角和等于 360°
例 1
如图，在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和. 四边形的外角和等于多少？
活动2 画出四边形的外角，并计算出四边形的外角和.
根据测量的结果，你有什么猜想？请证明你的猜想是否正确。
例 1
如图，在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和. 四边形的外角和等于多少？
内角+其邻补角=180°
分析：因为四边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，所以四边形的外角和与内角和的总和为 4 × 180°. 根据这个关系，可以利用四边形的内角和求出其外角和.
解：如图.
∵∠DAB 与∠1 是邻补角，
∴∠DAB + ∠1 = 180°.
同理∠ABC + ∠2 = 180°，∠BCD + ∠3 = 180°，
∠CDA + ∠4 = 180°.
∴∠DAB + ∠1 + ∠ABC + ∠2 + ∠BCD + ∠3 + ∠CDA + ∠4 = 720°.
而∠DAB + ∠ABC + ∠BCD + ∠CDA = 360°，
∴∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 360°.
四边形的外角和等于 360°
四边形的内角和等于 360°
归纳小结
几何语言：
在四边形 ABCD 中，
∴∠A +∠B +∠C +∠D = 360°.
A
B
C
D
四边形的外角和等于 360°
在四边形 ABCD 中，
∴∠1 +∠2 +∠3 +∠4 = 360°.
如图，在四边形 ABCD 中，∠1 + ∠2 + ∠3 = 320°，则∠D 的度数为（ ）
A. 120° B. 130° C. 140° D. 150°
4
四边形的外角和
∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 360°
320°
∠4 = 360°－320°= 40°
∠D = 180°－∠4 = 180°－40°= 140°
C
如图①，在每个角上钉一枚钉子，将四根木条钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
如图②，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？为什么？
形状会发生改变
形状不变
现象
结论
四边形不具有稳定性
三角形具有稳定性
形成两个三角形
四条边确定后，四个角并不确定
你能说一说它们的原理吗？
利用四边形的不稳定性：伸缩门、升降机。
克服四边形的不稳定性：在窗框上钉一根木条，
以防窗框变形。
练 习
1. 求出下列图形中 x 的值：
解：图①中，∵四边形的内角和等于 360°，
∴90 + 140 + x + x = 360. ∴ x = 65.
图②中，∵四边形的内角和等于 360°，
∴3x + 3x + 2x + 4x = 360. ∴x = 30.
图③中，与 x°角相邻的内角的度数为 (180－x)°.
∵四边形的内角和等于 360°，
∴120 + 75 + (180－x) + 80 = 360. ∴ x = 95.
【选自教材第49页 练习 第1题】
2. 一个四边形的一组对角互补，它的另一组对角有什么关系？
已知：∠1 + ∠2 = 180°，
求 ∠3 与∠4 的关系.
解：如图，若 ∠1 + ∠2 = 180°，
由四边形的内角和等于 360°，得
∴它的另一组对角也互补.
∠3 + ∠4 = 360°－(∠1 + ∠2)
= 360°－180°= 180°.
【选自教材第49页 练习 第2题】
3. 下列图形中哪些具有稳定性？
√
√
【选自教材第49页 练习 第3题】
4. 在四边形 ABCD 中，∠A，∠B，∠C，∠D 的度数之比为1∶2∶3∶3，则∠B 的度数为（ ）
A. 30° B. 40° C. 80° D. 120°
C
x
2x
3x
3x
∠A +∠B +∠C +∠D = (1 + 2 + 3 + 3)x = 360°
∠B = 360°÷9×2 = 80°
课堂小结
在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形.
定义：
顶点：
边：
记作：
四边形有4个顶点
点A、点B、点C、点D
四边形有4条边
边AB、边BC、边CD、边AD
四边形 ABCD
A
C
D
B
一条对角线将这个四边形分为两个三角形
对角线：
内角：
外角：
四边形不具有稳定性
四边形有4个内角
∠A、 ∠B、 ∠C、 ∠D
四边形的外角和等于360°
A
C
D
B
四边形的内角和等于360°

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