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21.1.2 多边形及其内角和
R·八年级数学下册
四边形
21
学习目标
1. 了解多边形的概念及相关要素．
2. 探索并掌握多边形的内角和与外角和公式，
提升推理能力．
新课导入
多边形在生活中也很常见，观察图中的图片，你能从中找出一些几何图形的形象吗？它们都分别是什么图形？
五边形
六边形
八边形
多边形
类比三角形、四边形的概念，你能说出什么是多边形吗？
在平面内，由一些线段首尾顺次相接，组成的封闭图形叫作多边形.
B
A
C
D
多边形定义的要素：
①在同一平面内；
②若干条线段；
③首尾顺次连接；
④封闭图形.
探索新知
在平面内，由 n（n ≥ 3）条线段 A1A2，A2A3，…，An－1An，AnA1 首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形.
多边形有几条边就叫作几边形.
……
三角形
四边形
五边形
六边形
A1
A2
A3
A4
A5
An－1
An
n边形
活动
小组探究多边形的边、定点、角、对角线都有哪些规律。
请类比四边形，说出多边形的边、顶点、内角、外角、
对角线的定义.
边
顶点
内角
外角
对角线
组成多边形的各条线段
每相邻两条线段的公共端点
多边形相邻两边组成的角
多边形角的一边与另一边的延长线组成的角
连接多边形不相邻的两个顶点的线段
A
B
C
D
E
1
观察、思考、归纳：
三角形有____条边，____个内角，_____个外角.
四边形有____条边，____个内角，_____个外角.
五边形有____条边，____个内角，_____个外角.
六边形有____条边，____个内角，_____个外角.
……
n 边形有____条边，____个内角，_____个外角.
3 3 6
4 4 8
5 5 10
6 6 12
n n 2n
名称 四边形 五边形 六边形 n 边形
图形
顶点个数
从同一个顶点引出的对角线条数
对角线条数
探究多边形对角线的条数
4
5
6
n
1
2
3
n-3
2
5
9
(n-3)n
2
A
B
C
D
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
指出图中六边形的边、顶点、内角和外角，画出它的全部对角线.
六边形的边：AB，BC，CD，DE，EF，FA.
顶点：点A，点B，点C，点D，点E，点F.
内角：∠BAF，∠ABC，∠BCD，∠CDE，
∠DEF，∠AFE
A
B
C
D
E
F
对角线：AC，AD，AE，BD，BE，BF，CE，CF，DF.
1
6
5
4
2
3
外角：∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6
A
B
C
D
凸四边形
你会画凸多边形吗？
凸七边形
凸八边形
特别规定：今后，如无特殊说明，所讨论的多边形都是凸多边形。
这两个图形有什么特点？
正三角形
正方形
正五边形
正六边形
各个角都相等、各条边都相等
各个角都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形.
它们的内角和是多少度，你会求吗？
下列说法正确的有（ ）
①五个角都相等的五边形是正五边形；
②等边三角形和长方形都是正多边形；
③n边形有n条边，n个顶点，n个内角；
④六边形有9条对角线.
A. ①③④ B. ①④ C. ③④ D. ①②④
C
从五边形的一个顶点出发，可以作____条对角线，它们将五边形分为____个三角形，五边形的内角和等于____× 180°；
2
3
3
转化为三角形的内角和.
类比四边形的内角和的推导过程，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少度吗？
从六边形的一个顶点出发，可以作____条对角线，它们将六边形分为____个三角形，六边形的内角和等于____× 180°；
3
4
4
由上述推导过程，你能得出多边形的内角和与边数的关系吗？
多边形的边数 从多边形的一顶点引出的对角线条数 分割出的三角形的个数 多边形内角和
3
4
5
6
…… …… …… ……
n
0
1
1×180°=180°
1
2
2×180°=180°
2
3
3×180°=180°
3
4
4×180°=180°
(n-3)
(n-2)
(n-2)×180°
A1
A2
A3
A4
A5
An－1
An
一般地，从 n 边形的一个顶点出发，可以作 (n－3) 条对角线，它们将 n 边形分为 (n－2) 个三角形，n 边形的内角和
等于 (n－2)× 180°.
n 边形的内角和等于 (n－2)× 180°.
正多边形的每个外角的度数等于
(n－2)× 180°
n
把一个多边形分成若干个三角形，还有其他分法吗？由新的分法，能得出多边形的内角和公式吗？
A1
A2
A3
A4
A5
A6
An
P
1. 在 n 边形内任取一点 P，连接 PA1，PA2，
…，PAn；
2. 把 n 边形分成 n 个三角形，这 n 个三角形
的内角和为 n ×180°；
3. 再减去以 P 为顶点的一个周角的度数；
4. 即得 n 边形的内角和为
n×180°－360°= (n－2)×180°
把一个多边形分成若干个三角形，还有其他分法吗？由新的分法，能得出多边形的内角和公式吗？
A1
A2
A3
A4
A5
A6
An
P
① 在 n 边形的一边上任取一点 P，与各顶点
相连，得 (n－1) 个三角形；
② n 边形内角和等于这 (n－1)个三角形的
内角和减去以 P 为顶点的一个平角的度数；
③ 即得 n 边形的内角和为
(n－1)×180°－180°= (n－2)×180°
已知一个正多边形的内角和等于2160°，求这个正多边形的边数以及每个内角的度数.
解：设这个多边形的边数为n.
根据题意，得(n－2)×180°= 2160°.
解得 n = 14.
因此，这个多边形的边数为14，每个内角的度数约为154.29°.
正多边形每个内角的度数是2160°÷14 ≈ 154.29°.
在多边形的每个顶点处各取一个外角，它们的和叫作多边形的外角和.
四边形的外角和等于 360°.
A
B
C
D
你能根据四边形的外角和，说一说什么是多边形的
外角和？
A1
A2
A3
A4
A5
An－1
An
多边形的外角和等于 ？
A1
A2
A3
A4
A5
An－1
An
多边形的每一个内角与和它相邻的外角是_______.
n 边形的内角和与外角和的总和等于__________.
n 边形的内角和等于_____________.
n 边形的外角和的总等于
邻补角
n × 180°
(n－2)×180°
n×180°－(n－2)×180°= 360°
多边形的外角和等于 360°.
从多边形的一个顶点 A 出发，沿多边形的各边依次走过各顶点，再回到点 A，然后转向出发时的方向.
在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和.
由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于 360°.
你还有其他方法帮助理解为什么多边形的外角和等于 360°吗？
知道了多边形的外角和公式，那么回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个外角是多少度吗？为什么？
因为正多边形的每个外角相等，所以用外角和（360°）除以内角的个数（n）即可得到正多边形每个外角的度数.
正多边形的每个外角的度数等于
360°
n
例 2
一个多边形的内角和等于外角和的 2 倍，这个多边形是几边形？
解：设这个多边形的边数为 n. 因为它的内角和等于 (n－2)× 180°，外角和等于 360°，所以
(n－2)× 180° = 2 × 360°.
解得 n = 6.
因此这个多边形是六边形.
1. 一个多边形，它的内角和比外角和的 3 倍多 180°，求这个多边形的边数及内角和度数．
解:设多边形的边数为 n，
由题意，得 (n－2)×180°＝ 3×360°+ 180°，
解得 n ＝ 9.
内角和度数为 (9－2)×180°＝1260°.
答:这个多边形的边数为 9，内角和度数为 1260°．
1. 一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原多边形的边数是（ ）
A. 10或11 B. 10或12 C. 11或12 D.10或11或12
思维拓展
(n－2)×180°＝ 1620°
n ＝ 11
新多边形：
原多边形：
n ＝ 11
n ＝ 10
n ＝ 12
D
2. 已知一个多边形除一个内角外其余内角的和为1710°，求这个多边形的边数及这个内角的度数.
思维拓展
解:设多边形的边数为n，则内角和为(n－2) ×180°.
根据题意，得1710°<（n－2）×180°< 1710°＋ 180°.
解得11.5 < n < 12.5.
∵ n 为正整数. ∴ n ＝ 12.
∴ 这个多边形的边数为12.
∴ 这个内角的度数为(12－2)×180°－1710°＝ 90°.
练 习
1. 求出下列图形中 x 的值：
解：图①中，∵五边形的内角和等于
(5－2)×180°= 540°，
∴150 + 120 + 90 + x + 2x = 540. ∴x = 60.
图②中，∵六边形的内角和等于
(6－2)×180°= 720°，
∴x + x + x + x + 90 + 90 =720. ∴ x = 135.
【选自教材第52页 练习 第1题】
图③中，∵AB∥ CD，∴∠B +∠C = 180°.
∵∠A + ∠B + ∠C + ∠D +∠E = (5－2)×180°= 540°，
即 135 + 180 + 150 + x = 540，∴x = 75.
2.（1）一个多边形的内角和等于 1080°，这个多边形是几边形？
（2）一个多边形的每一个内角都等于 120°，这个多边形是几边形？
（3）一个多边形的每一个外角都等于 72°，这个多边形是几边形？
解：（1）设这个多边形的边数为 n.
则有 (n－2)×180°= 1080°. ∴ n = 8.
因此这个多边形是八边形.
（2）由题意，得每一个外角都等于 180°－120°= 60°.
∵360°÷ 60°= 6，∴这个多边形是六边形.
（3）∵360°÷ 72°= 5，∴这个多边形是五边形.
【选自教材第52页 练习 第2题】
3. 如图，剪去多边形ABCDE…FG一个内角，得到的新多边形的内角和与外角和之差为1080°，则原多边形是（ ）
A. 七边形
B. 八边形
C. 九边形
D. 无法确定
C
4. 如图，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝ ______ .
360°
1
2
∠F + ∠C = ∠1 + ∠2
= ∠E + ∠D + ∠EAB + ∠DBA
课堂小结
这节课有什么收获呢？
多边形
正多边形
多边形的内角和
多边形的外角和
(n－2)× 180°
360°
多边形及其内角和

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