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(共21张PPT)
平行四边形的判定2
R·八年级数学下册
四边形
21
1. 理解并掌握用一组对边平行且相等来判定
平行四边形的方法．
2. 会将平行四边形问题转化为三角形的问题，
渗透化归意识．
3. 综合运用平行四边形的判定方法和性质进行
证明和计算．
学习目标
复习导入
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
∵AB∥CD，AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
∵AB=CD，AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形
对角线互相平分的四边形是平行四边形
∵OA=OC ， OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
根据平行四边形的定义和它的判定定理可知，两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形.
如果只考虑四边形的一组对边，那么它们满足什么条件时这个四边形是平行四边形呢？
探索新知
对于平行四边形的一组对边，从它们的位置关系和数量关系考虑，你能得到什么结论？
动手画一画
问题1 一组对边平行的四边形是平行四边形吗？
问题2 满足一组对边相等的四边形是平行四边形吗？
问题3 如果一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？
猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
A
B
C
D
如图，在四边形 ABCD 中，AB CD. 求证：四边形ABCD 是平行四边形.
表示平行且相等.
AB∥CD
AB = CD
活动：
分析给出的条件，讨论证明过程中还需要什么条件，并进行证明.
AD∥BC
AD = BC
（两组对边分别平行）
（两组对边分别相等）
A
B
C
D
如图，在四边形 ABCD 中，AB CD. 求证：四边形ABCD 是平行四边形.
证明：连接 BD.
∵AB∥CD，
∴∠1 = ∠2.
又 AB = CD，BD = DB，
∴△ABD ≌△CDB .（SAS）
∴∠3 = ∠4，∴ AD ∥ BC.
又 AB ∥ CD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
1
2
4
3
AB∥CD
AD∥BC
A
B
C
D
如图，在四边形 ABCD 中，AB CD. 求证：四边形ABCD 是平行四边形.
证明：连接 AC.
∵AB∥CD，
∴∠1 = ∠2.
又 AB = CD，AC = CA，
∴△ABC ≌△CDA .（SAS）
∴BC = DA.
又 AB = CD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
1
2
AB = CD
AD = BC
归纳小结
几何语言：
平行四边形的判定方法5
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
在四边形 ABCD 中，
∵AB∥CD，AB = CD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形．
A
B
C
D
提示：同一组对边平行且相等.
等腰梯形
A
B
C
D
问题4 如果一组对边平行，而另一组对边相等的四边形是平行四边形吗？
等腰梯形属于一组对边平行（上底和下底），而另一组对边相等（两腰），但是等腰梯形不是平行四边形．
例 5
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
如图，在 ABCD 中，E，F 分别是 AB，CD 的中点. 求证 DE BF .
∴ AB CD .
又 EB = AB，DF = CD，
∴ EB DF .
∴四边形 EBFD 是平行四边形.
∴ DE BF .
D
A
B
C
E
F
只需证四边形 EBFD 是平行四边形.
1. 如图，在 ABCD 中，点 E，F 分别在边 AD，BC 上，添加下列 条件中的一项，不能保证四边形 AFCE 是平行四边形的是（ ）
①AF＝CE；②BF＝DE；③∠AFC＝∠AEC；④∠BAF＝∠DCE．
A.①　　　　　B.②　　　　　C.③　　　　　D.④
A　　　
2. 四边形 AEFD 和 EBCF 都是平行四边形，求证：
四边形 ABCD 是平行四边形.
证明：∵四边形 AEFD 和 EBCF 都是平行四边形，
∴AD∥EF，AD = EF，
EF∥BC， EF = BC.
∴AD∥BC，AD = BC.
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
A
B
C
D
E
F
3. 如图，点 A，B，C，D 在同一条直线上，点 E，F 分别在
直线 AD 的两侧，AE = DF，∠A = ∠D，AB = DC． 求证：
四边形 BFCE 是平行四边形．
证明： ∵AB = CD，
∴AB + BC = CD + BC，即 AC = BD，
在△ACE 和△DBF 中，
AC＝DB，∠A＝∠D，AE＝DF，∴△ACE ≌△DBF (SAS).
∴CE = BF，∠ACE =∠DBF.
∴CE∥BF.
∴四边形 BFCE 是平行四边形．
A
B
C
D
E
F
如图，在四边形 ABCD中，AD∥BC，AD = 9cm，BC = 6cm.
P，Q分别是AD，BC上的动点，点P以1cm/s 的速度由点A出发向终点D运动，同时点Q以2cm/s的速度由点C出发向终点B运动，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止运动.经过几秒，直线 P Q 在四边形 ABCD 上截出一个平行四边形？
思维拓展
BQ = AP
CQ = PD
思维拓展
解：设点 P，Q运动的时间为t s.
依题意，得 AP = t cm，CQ = 2t cm.
则BQ = (6－2t) cm，PD = (9－t) cm.
∵AD//BC，∴分两种情况讨论：
①当 BQ = AP 时，四边形 APQB 是平行四边形，
此时 6－2t = t，解得 t = 2.
②当 CQ = PD 时，四边形 CQPD 是平行四边形，
此时 2t = 9－t，解得 t = 3.
综上所述，经过2s或3s，直线 PQ 在四边形 ABCD 上截出一个平行四边形.
练 习
1. 如图，为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行
的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了. 你能说出其中的道理吗？
解：由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可知，当两条枕木平行且相等时，两条直铺的铁轨互相平行.
【选自教材第62页 练习 第1题】
易证 AE∥CF，只需再证 AE = CF 或 AF∥CE .
证明：∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AD = BC，AD∥BC，
∴∠ADE = ∠CBF.
又 AE ⊥ BD，CF ⊥ BD，
∴易得∠AED = ∠CFB = 90°，AE∥CF.
∴△AED≌△CFB（AAS），∴AE = CF.
∴四边形 AFCE 为平行四边形.
2. 如图，在 ABCD 中，BD 是它的一条对角线，过 A，C
两点分别作 AE ⊥ BD，CF ⊥ BD，垂足分别为 E，F .
求证：四边形 AFCE 是平行四边形.
【选自教材第62页 练习 第2题】
3. 如图，由六个全等的正三角形拼成的图形中，有多少个
平行四边形？为什么？
解：有 6 个平行四边形.
A
B
C
D
E
F
O
□ ABOF
□ AOEF
□ ABCO
□ BCDO
□ CDEO
□ DEFO
【选自教材第62页 练习 第3题】
课堂小结
这节课有什么收获呢？
平行四边形的判定
定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形
边：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
判定方法的选择
元素 已知条件 证明思路 本质
边 一组对边相等
一组对边平行
角 角
对角线 对角线相交
另一组对边相等
两组对边分别相等
另一组对边平行
对角线相互平分
两组对角分别相等
两组对边分别平行
对角线相互平分
两组对角分别相等
该组对边平行
一组对边平行且相等
该组对边相等
一组对边平行且相等(共25张PPT)
平行四边形的判定1
R·八年级数学下册
四边形
21
学习目标
1.理解并掌握用边、角、对角线来判定平行四边形的方法,
培养学生严谨的书写表达能力．
2.理解平行四边形的判定定理与性质定理之间的区别和联系,
感悟用逆向思维来研究问题．
3.综合运用平行四边形的判定方法与性质进行证明和计算．
平行四边形的定义.
新课导入
2
3
4
（提示：点击传送门分别打开平行四边形的创造方法）
探索新知
A
B
C
小华家准备安装一块平行四边形的装饰玻璃 ABCD，但是粗心的小华不小心碰碎了玻璃的一部分，剩下的部分如图所示.
现在小华想买一块一模一样的玻璃，你能在图纸上帮他画出来吗？
我根据平行四边形的定义来画.
D
还有其他的方法吗？
归纳小结
几何语言：
平行四边形的判定方法1
∵AB∥CD，AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
A
B
C
D
如图①为便携式折叠钓鱼椅，将其抽象成几何图形，如图②所示.已知∠ABD = 118°，∠GFE = 62°，BD ∥ CE ∥ GE.
求证：四边形 BCED 是平行四边形.
证明：BD∥GF，∠GFE = 62°，
∴∠BDF = 180°－∠GFE = 118°.
∵∠ABD = 118°，
∴∠ABD = ∠BDF，
∴ BC∥DE.
又 ∵BD∥CE， ∴四边形 BCED 是平行四边形.
逆命题
A
B
C
D
O
平行四边形有哪些性质？
反过来成立吗？
平行四边形的性质
对边相等
对角相等
对角线互相平分
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线互相平分的四边形是平行四边形
猜想
已知：如图所示，在四边形 ABCD 中，AD = BC，AB = CD.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
证明：如图所示，连接 BD.
∵AD = CB，AB = CD，BD = DB，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
∴∠ABD = ∠CDB，∠ADB = ∠CBD，
∴AB∥CD，AD∥BC .
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
A
B
C
D
猜想：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
归纳小结
几何语言：
平行四边形的判定方法2
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
A
B
C
D
∵ AB = CD，AD = BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
如图，AE = DF，BE = CF，AD = BC，且∠AEB = ∠DFC，
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
证明：在△AEB 和△DFC中，
AE = DF，
∠AEB = ∠DFC，
BE = CF，
∴ △AEB ≌ △DFC（SAS），
∴AB = DC.
又AD = BC，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
已知：如图所示，在四边形 ABCD 中，∠A = ∠C，∠B = ∠D.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
证明：∵∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°，
∠A = ∠C，∠B = ∠D，
∴∠A + ∠B = 180°，∠C + ∠B = 180°，
∴ AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
A
B
C
D
猜想：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
归纳小结
几何语言：
平行四边形的判定方法3
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
∵∠A =∠C，∠B =∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形
D
C
A
B
如图，在四边形 ABCD 中，AB//CD，∠B = 55°，∠1 = 85°，∠2 = 40°.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
证明：∵AB//CD，
∴∠DCB = 180°－∠B = 125°，∠CAB = ∠2 = 40°.
∴∠DAB =∠1 + ∠CAB = 85°+ 40°= 125°.
∴∠DCB =∠DAB.
∵∠D = 180°－∠1－∠2 = 180°－85°－40°= 55°，
∴∠D =∠B，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
如图，在四边形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，且OA = OC，OB = OD. 求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
A
B
C
D
O
证明：∵OA = OC，OB = OD，∠AOB = ∠COD，
∴△AOB ≌△COD. （SAS）
∴∠OAB = ∠OCD.
∴AB∥CD.（内错角相等，两直线平行）
同理 AD∥BC.
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
猜想：
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
归纳小结
几何语言：
平行四边形的判定方法4
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
∵OA=OC，OB=OD
∴四边形ABCD是平行四边形
D
C
A
B
O
如图，在四边形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，AE ⊥ BD，CF ⊥ BD，垂足分别为 E，F，BE ＝ DF，AF∥CE．试判断
四边形 AECF、四边形 ABCD 的形状，并说明理由．
解：四边形 AECF、四边形 ABCD 都是平行四边形．
∵AE ⊥ BD，CF ⊥ BD，
理由如下:
∴易得 AE∥CF．
又 AF∥CE，
∴四边形 AECF 是平行四边形．
∴ OA ＝OC，OE＝OF．
又 BE＝DF，
∴OE + BE ＝ OF + DF，
即 OB ＝ OD ．
∴四边形 ABCD 是平行四边形．
如图，在四边形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，AE ⊥ BD，CF ⊥ BD，垂足分别为 E，F，BE ＝ DF，AF∥CE．试判断
四边形 AECF、四边形 ABCD 的形状，并说明理由．
如图，□ ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 在 AC 上，并且 AE = CF. 求证：四边形 BFDE 是平行四边形.
例 4
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AO = CO，BO = DO .
∵AE = CF，
∴AO－AE = CO－CF，即 EO = FO.
又 BO = DO，
∴四边形 BFDE 是平行四边形.
（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
你还有其他证明方法吗？
有.证明如下：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB = CD，AB∥CD，∴∠BAE = ∠DCF .
在△BAE 和△DCF 中，
∵AB = CD，∠BAE = ∠DCF，AE = CF，
∴△BAE ≌ △DCF（SAS），
∴BE = DF . 同理可证△BCF ≌ △DAE，∴BF = DE，
∴四边形 BFDE 是平行四边形.
如图，在△ABC中，分别以AB，AC，BC为边在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF.试说明四边形 DAEF 是平行四边形．
证明：∵△ABD和△BCF都是等边三角形，
∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝60°.
∴∠DBF＝∠ABC.又∵BD＝BA，BF＝BC，
∴△DBF≌△ABC(SAS).∴AC＝DF.
又∵△ACE是等边三角形，∴AC＝DF＝AE.
同理可证△ABC≌△EFC，∴AB＝EF＝AD.
∴四边形DAEF是平行四边形．
思维拓展
练 习
1. 如图，在四边形 ABCD 中，∠ADB =∠CBD，∠C +∠ABC =180°，
四边形 ABCD 是平行四边形吗？请说明理由.
解：四边形 ABCD 是平行四边形.
理由如下：
∵∠ADB =∠CBD，∴AD∥BC.
∵∠C + ∠ABC = 180°，∴AB∥CD.
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
B
C
A
D
【选自教材第60页 练习 第1题】
2. 如图，AB = DC = EF，AD = BC，DE = CF . 图中有哪些
互相平行的线段？
先判定平行四边形，再找平行的线段.
解：AB∥CD∥EF，AD∥BC，DE∥CF.
【选自教材第61页 练习 第2题】
3. 如图， ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，且 E，F
分别是 OA，OC 的中点，连接 DE，DF，BE，BF .
求证：四边形 DEBF 是平行四边形.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA = OC，OB = OD.
∵E，F 分别是 OA，OC 的中点，
∴OE = OA，OF = OC.
∴OE = OF.
∴四边形 DEBF 是平行四边形.
【选自教材第61页 练习 第3题】
课堂小结
图示 元素 文字语言 符号语言（书写格式）
边
角
对角线
平行四边形的判定方法
已知四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O.
D
C
A
B
O
∵OA=OC，OB=OD
∴四边形ABCD是平行四边形
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
∵∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC，
∴四边形ABCD是平行四边形
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
∵AB=CD，AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
∵AB∥CD，AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

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