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(共24张PPT)
三角形的中位线
R·八年级数学下册
四边形
21
学习目标
1. 理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．
2. 通过对三角形中位线的观察、测量获得猜想，进一步
验证猜想，提高学生合情推理能力和逻辑思维能力．
3. 能熟练运用三角形的中位线定理进行证明和计算，
逐步提高学生分析问题和解决问题的能力．
转化成几何问题就是把这个三角形四等分，你会吗？
新课导入
如图，将任意一个三角形形状的蛋糕平均分给四个小朋友，要求每人分得的形状和大小必须完全相同，该如何分？
探索新知
如图，在△ABC 中，D，E 分别是边 AB，AC 的中点，连接 DE .
A
B
C
D
E
像 DE 这样，连接三角形两边
中点的线段叫作三角形的中位线 .
∵D，E 分别是边 AB，AC 的中点
∴DE 为△ABC 的中位线
∵DE 为△ABC 的中位线
∴D，E 分别是边 AB，AC 的中点
A
B
C
D
E
F
一个三角形有三条中位线.
思考：
1. 一个三角形有几条中位线？自己试着画一画．
分别是DE、DF、EF
2. 三角形的中位线和中线一样吗？
A
B
C
D
E
F
A
B
C
不一样.
三角形的中线是连接三角形顶点与其对边中点的线段.
三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段，
观察下图，你能发现 △ABC 的中位线 DE 与边 BC 的位置关系吗？度量一下，DE 与 BC 之间有什么数量关系？你能证明你发现的结论吗？
A
B
C
D
E
两条线段的关系
位置关系
数量关系
分析：
DE与BC的关系
自己画一个三角形量一量
观察下图，你能发现 △ABC 的中位线 DE 与边 BC 的位置关系吗？度量一下，DE 与 BC 之间有什么数量关系？你能证明你发现的结论吗？
A
B
C
D
E
∠B =∠ADE
DE = BC
你会证明吗？
位置关系
数量关系
DE∥BC
同位角相等，两直线平行
BC = 6cm
DE = 3cm
猜想：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．
中位线
倍长
构造全等三角形
平行四边形
作等长延长线
得线段相等、角相等
得线段相等、平行
F
如图，D，E 分别是△ABC 的边 AB，AC 的中点.
求证：DE∥BC，且 DE = BC.
【思路分析】
A
B
C
D
E
方法一
证明：如图，延长DE到F，使EF = DE，连接CF.
在△ADE和△CFE中，
∵AE=CE，∠ADE=∠CEF，DE = FE，
∴△ADE≌△CFE.
∴∠A =∠ECF，AD = CF.
∴CF∥AB.
∵BD = AD， ∴CF = BD.
∴四边形DBCF是平行四边形
（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∴DF∥BC（平行四边形的定义），
DF = BC（平行四边形的对边相等）.
∴ DE∥BC，DE= BC.
F
A
B
C
D
E
如图，D，E 分别是△ABC 的边 AB，AC 的中点.
求证：DE∥BC，且 DE = BC.
A
B
C
D
E
F
证四边形 ADCF 是平行四边形
CF DA
CF BD
四边形 DBCF 是平行四边形
DE∥BC，DF = BC = 2DE
【思路分析】
方法二
A
B
C
D
E
F
证明：如图，延长 DE 到点 F，使 EF = DE，连接 FC，DC，AF .
∵AE = EC，DE = EF，
∴四边形 ADCF 是平行四边形.
∴ CF DA .
又 D 是 AB 的中点，
∴ CF BD .
∴四边形 DBCF 是平行四边形.
∴ DF BC .
又 DE = DF，
∴DE∥BC，且 DE = BC .
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
归纳小结
几何语言：
三角形的中位线定理：
A
B
C
D
E
∴DE∥BC，且 DE = BC .
在△ABC 中，
∵点 D，E 分别为 AB，AC 的中点，
可用于证明两直线平行、线段的相等或倍分关系.
一个三角形有三条中位线，这三条中位线将原三角形分割成四个全等的小三角形；
每个小三角形的周长都是原三角形周长的
每个小三角形的面积都是原三角形面积的.
提示：
例 6
求证：顺次连接四边形各边的中点，所得的四边形是平行四边形.
已知：如图，在四边形 ABCD 中，E，F，G，H 分别是边 AB，BC，CD，DA 的中点.
求证：四边形 EFGH 是平行四边形.
A
B
C
D
E
F
G
H
分析：题目中给出了四边形各边中点，可以连接四边形的一条对角线，利用三角形中位线定理证明要证的四边形一组对边平行且相等，从而证明它是平行四边形.
A
B
C
D
E
F
G
H
证明：连接 AC .
∵AH = HD，CG = GD，
∴HG∥AC，且 HG = AC .
同理 EF∥AC，且 EF = AC .
∴四边形 EFGH 是平行四边形.
∴ HG EF .
如图，在 ABCD 中，E 是 AD 的中点，点 F 在 BA 的延长线上，
且 AF ＝ AB，连接 EF，BD.
（1）请用无刻度的直尺作出△ABD 中
与 AB 平行的中位线 EG (不写作
法，保留作图痕迹)；
A
B
C
D
E
F
G
解:如图，EG 即为所求．
（2）在（1）的基础上，判断四边形 AGEF 的形状，并说明理由．
四边形 AGEF 是平行四边形．理由如下:
∵EG 是△ABD 的中位线，
∴EG∥AB，EG＝ AB．
又 AF＝ AB，∴EG ＝ AF．
又 EG∥AF，∴四边形 AGEF 是平行四边形．
A
B
C
D
E
F
G
思维拓展
如图，在四边形ABCD中，AB = CD，M，N， P分别是AD， BC，BD的中点，∠ABD = 20°，∠BDC = 70°，求∠PMN的度数．
解：∵M，N，P分别是AD，BC，BD的中点，
∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线.
∴PM = AB，PN = DC，PM∥AB，PN∥DC.
∵AB = CD，∴PM = PN.∴△PMN是等腰三角形.
∵PM∥AB，PN∥DC，
∴∠MPD =∠ABD = 20°，∠BPN =∠BDC = 70°.
∴∠MPN =∠MPD+(180° ∠NPB) = 130°.
∴∠PMN =(180° 130°)÷ 2 = 25°．
思维拓展
如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，BD = 12，AC = 16，E，F分别为 AB，CD 的中点，求 EF 的长．
G
解：取BC边的中点G，连接EG ， FG．
∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴EG是△ABC的中位线，FG是△BCD的中位线.
又BD = 12，AC = 16，AC⊥BD，
∴EG = 8，FG = 6，EG⊥FG.
∴
∴EG∥AC,
FG∥BD,
练 习
1. 如图，在△ABC 中，D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点.
以这些点为顶点，在图中，你能画出多少个平行四边形？
为什么它们是平行四边形？
解：如图，连接 DE，EF，FD.
能在图中画出 3 个平行四边形，
分别是 BEFD， DECF， DEFA.
理由：一组对边平行且相等的四边形
是平行四边形.
【选自教材第65页 练习 第1题】
2. 如图，△ABC 的中线 BD，CE 相交于点 O，且 F，G 分别是
OB，OC 的中点. 求证：四边形 DEFG 是平行四边形.
证明：∵BD，CE 是 △ABC 的中线，
∴D，E 分别是 AC，AB 的中点，
∴DE 是 △ABC 的中位线.
∴DE∥BC，且 DE = BC .
∵F，G 分别是 OB，OC 的中点，∴FG 是 △OBC 的中位线，
∴FG∥BC，且 FG = BC . ∴DE FG .
∴四边形 DEFG 是平行四边形.
【选自教材第65页 练习 第2题】
3. 如图，A，B 两点被池塘隔开，在 AB 外选一点C，连接 AC 和 BC.
怎样利用三角形的中位线定理测出 A，B 两点间的距离？
解：如图，分别取 AC，BC 的中点 D，E，
连接 DE，并量出 DE 的长，则 AB = 2DE.
根据：三角形的中位线平行于三角形的
第三边，并且等于第三边的一半.
（方法不唯一）
D
E
【选自教材第65页 练习 第3题】
课堂小结
这节课有什么收获呢？
三角形中位线
定理
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
定义

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