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(共31张PPT)
平行四边形的性质
R·八年级数学下册
四边形
21
学习目标
1. 理解平行四边形的概念．
2. 探究并掌握平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分
的性质，发展学生的合情推理能力，培养学生主动探究的习惯．
3. 利用平行四边形的性质进行简单的计算和证明，提高学生运用
数学知识解决实际问题的能力．
新课导入
下面图形给我们留下什么图形的形象？
伸缩门
竹篱笆
只有一组对边平行
两组对边分别平行
四边形
平行四边形
梯形
探索新知
A
B
C
D
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.
什么样的图形叫作平行四边形呢？
平行四边形用“□ ”表示.
平行四边形 ABCD 记作“□ ABCD”.
注意：表示平行四边形时，要按照顺时针或者逆时针方向依次书写各顶点字母，不能打乱顺序.
几何语言:
双重 含义
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD 是平行四边形；
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC.
A
B
C
D
平行四边形的基本元素
基本元素 主要内容 图示
边 邻边
对边 角 邻角 对角 对角线 四组：AD和AB，DA和DC，CD和CB，BC和BA
两组：AB 和 DC，AD 和 BC
四组：∠BAD和∠ADC，∠ADC 和 ∠DCB，∠DCB 和∠ABC，∠BAD 和 ∠ABC
两组：∠BAD 和 ∠BCD，∠ADC 和 ∠ABC
两条：AC 和 BD
D
A
C
B
O
你能从以下图形中找出平行四边形吗？
平行四边形满足两个条件
一、是四边形
二、两组对边分别平行
×
√
×
×
√
如图，在□ABCD中，EF//AB，GH//AD , EF 与GH 交于点O，则图中平行四边形共有（ ）.
A. 7个 B. 8个 C. 9个 D. 11个
A
B
C
D
E
G
H
O
F
C
图中EF分出2个，
GH分出2个，
EF和GH分出4个，
加上□ABCD，
共有9个平行四边形 .
A
D
B
C
根据定义画一个平行四边形并进行观察，除了“两组对边分别平行”，它的边之间还有什么关系？它的角之间呢？度量一下，和你的猜想一致吗？你能证明你的猜想吗？把你的结论和同学比较一下.
AD = 5.5 cm，
BC = 5.5 cm，
AD = BC
A
D
B
C
BA = 3.5 cm，
CD = 3.5 cm，
BA = CD
猜想 1：平行四边形的对边相等.
A
D
B
C
∠A = 120°，
∠C = 120°，
∠A = ∠C ，
∠B = 60°，
∠D = 60°，
∠B = ∠D .
猜想 2：平行四边形的对角相等.
猜想 1：平行四边形的对边相等.
猜想 2：平行四边形的对角相等.
你能证明这些猜想吗？
A
D
B
C
思考：要证明边、角相等，常利用全等三角形的性质.如何构造三角形？
连接任意一条对角线即可.
1
4
2
3
证明：如图，连接□ ABCD 的对角线 AC.
A
D
B
C
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴∠1 = ∠2，∠3 = ∠4.
又 AC 是△ABC 和△CDA 的公共边，
∴△ABC ≌△CDA
∴AB = CD，BC = DA，∠B = ∠D.
（两直线平行，内错角相等）
（ASA）
请你自己证明∠BAD = ∠DCB.
∵∠1 = ∠2，∠4 = ∠3，
∴∠1 + ∠4 = ∠2 + ∠3，
即∠BAD = ∠DCB.
A
D
B
C
不添加辅助线你能否直接运用平行四边形的定义，
证明其对角相等呢？
答：能.证明：
∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD.
∴∠A + ∠B = 180°，∠B + ∠C = 180°.
∴∠A = ∠C.
同理可证 ∠B = ∠D.
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角相等 .
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴ AB = CD,BC = AD；
∠A = ∠C，∠B = ∠D.
归纳小结
在平行四边形ABCD中，
AB ＝ CD，AD ＝ BC.
∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
几何语言：
平行四边形的性质
A
D
B
C
1. 如图，在□ ABCD 中，E，F 分别是 AB，CD 的中点.
求证:∠ADE = ∠CBF.
证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠A =∠C，AD = CB，AB = CD.
∵E，F 分别是 AB，CD 的中点，
∴AE = AB，CF = CD. ∴AE = CF.
∴△AED≌△CFB(SAS).
∴△ADE=∠CBF.
2. 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 边上，以 CB，CD 为边作 □ BCDE，DE 交 AB 于点 F.
（1）若∠A = 50°，求 ∠E 的度数；
解: 在△ABC中，∵∠A = 50°，AB = AC，
∴∠C =∠ABC = (180°－50°)÷2 = 65°.
∵四边形 BCDE 是平行四边形，
∴∠E = ∠C = 65°.
2. 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 边上，以 CB，CD 为边作 □ BCDE，DE 交 AB 于点 F.
（2）若 AD = CD，BC = 6，求 EF 的长.
∵四边形 BCDE 是平行四边形，
∴BE // CD，DE = BC = 6，BE = CD，
∴∠E =∠ADF，∠EBF =∠A.
∵AD = CD，BE = AD.
∴△BEF≌△ADF (ASA). ∴EF = DF = DE = 3.
如图，在□ ABCD 中，连接 AC，BD，并设它们相交于点 O. 点 O 把每条对角线都分成两部分，这两部分有什么关系？
D
C
A
B
O
用尺子量一量，你发现了什么？自己动手试一试.
OA = OC，OB = OD.
单击跳转几何画板
D
C
A
B
O
改变□ ABCD 的形状，你发现的结论还成立吗？
D
C
A
B
O
D
C
A
B
O
想一想，怎么证明？
如图，在□ ABCD 中，连接 AC，BD，并设它们相交于点 O. 点 O 把每条对角线都分成两部分，这两部分有什么关系？
D
C
A
B
O
4
2
1
3
证明：
∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴DC∥AB，DC = AB.
∴∠1 = ∠2，∠3 = ∠4.
∴△DCO ≌ △BAO（ASA）.
∴OD = OB，OC = OA.
同理，△OAD ≌△OCB.
平行四边形的对角线互相平分.
几何语言：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA = OC，OB = OD.
A
B
C
D
O
1
2
4
3
归纳小结
平行四边形的性质
例 1
如图， □ ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB = 10，AD = 8，AC ⊥ BC. 求 BC，CD，AC，OA 的长，以及 □ ABCD 的面积.
A
B
C
D
O
【思路分析】
平行四边形对边相等
BC，CD 的长
运用勾股定理
AC 的长
面积公式
□ ABCD 的面积
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴BC = AD = 8，CD = AB = 10.
∵AC ⊥ BC，
∴△ABC 是直角三角形.
根据勾股定理，AC = = 6.
∴ OA = OC = S□ABCD = BC · AC = 8×6 = 48.
A
B
C
D
O
例 1
如图， □ ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB = 10，AD = 8，AC ⊥ BC. 求 BC，CD，AC，OA 的长，以及 □ ABCD 的面积.
1. 如图，将□ ABCD 沿对角线 AC 折叠，使点 B 落在点B′处.若∠1 ＝∠2 ＝ 44°，则∠B 的度数为（ ）
A. 66°
B. 104°
C. 114°
D. 124°
思维拓展
C
2. 如图， □ABCD 的周长是36cm，从顶点 D 分别向 AB，BC 引两条高 DE，DF.若 DE = cm，DF = cm，求这个平行四边形的面积.
思维拓展
解：设AB ＝ x cm，BC ＝ y cm.
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，∴ AB ＝CD，AD ＝BC.
又□ ABCD 的周长是36 cm，∴ x ＋ y ＝ 18.①
∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ BC，∴ S □ ABCD ＝ AB·DE ＝ BC·DF.
∴ .②
由①②，得 x = 10，y ＝ 8.∴ AB ＝ 10 cm，BC ＝ 8 cm.
∴
练 习
1. 在□ ABCD 中，
（1）已知 AB = 5，BC = 3，求另外两边的长；
（2）已知 ∠A = 38°，求其余各内角的度数.
解：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴CD = AB = 5，AD = BC = 3.
（2）∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠C = ∠A，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠A + ∠B = 180°，∠A + ∠D = 180°.
∵∠A = 38°，∴∠C = 38°，∴∠D = ∠B = 180°－38°= 142°.
【选自教材第57页 练习 第1题】
2. 如图， □ ABCD 的对角线AC，BD相交于点O，BC = 10，AC = 8，BD = 14. △AOD 的 周长是多少？△ABC 与△DBC 的周长哪个长？长多少？
A
B
C
D
O
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD＝ BC＝10，OA＝ OC ＝ 4，
OD＝ OB ＝ 7，
△ABO 与△ADO 的周长呢？
又△DBC 的周长－△ABC 的周长 = (BD +
BC + CD)－(AB + BC + AC)= BD + BC + CD－AB－BC－AC = BD－AC = 14－8 = 6，
∴△DBC 的周长比△ABC 的周长要长 6.
归纳：相邻两个小三角形的周长之差等于邻边长之差.
∴ △AOD的周长＝AD+OA+OD＝10+4+7＝21，
【选自教材第57页 练习 第2题】
3. 如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，重合的部分
构成了一个四边形. 转动其中一张纸条，线段 AD 和 BC 的
长度有什么关系？为什么？
解：AD = BC. 理由：
∵两张纸条的两组对边都互相平行，
∴重合的部分构成的四边形是平行四边形.
由平行四边形的对边相等，得 AD = BC.
【选自教材第57页 练习 第3题】
平行四边形的概念是什么？平行四边形的边、角有哪些性质？
全等三角形
平行四边形
概念：对边平行
边、角、对角线的性质
简单应用
课堂小结
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角相等；
平行四边形的对角线互相平分.(共23张PPT)
平行四边形的性质的运用
R·八年级数学下册
四边形
21
学习目标
1. 进一步提高对平行四边形性质的认识，并且能灵活
运用各种性质．
2. 以数学的眼光观察生活中的场景，从中抽象出两条
平行线之间的距离．
3. 理解两条平行线之间的距离的概念，能度量两条平
行线之间的距离．
知识回顾
平行四边形有哪些性质？
平行四边形
定义：
两组对边分别平行
AB∥CD 且 AD∥BC
边：对边平行且相等
AB = CD，AD = BC
角：对角相等
∠BAD = ∠BCD，∠ABC = ∠ADC
邻角互补
∠BAD + ∠ABC = 180°
对角线：互相平分
AO = OC，BO = OD
A
B
C
D
O
探索新知
如图，□ ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，EF 过点 O 且与 AB，CD 分别相交于点 E，F. 求证 OE = OF.
例 2
B
C
A
D
O
E
F
【解题思路】
四边形问题
三角形问题
转化
再想三角形全等定理，看符合哪个就用哪个.
SSS
SAS
ASA
AAS
探索新知
如图，□ ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，EF 过点 O 且与 AB，CD 分别相交于点 E，F. 求证 OE = OF.
例 2
B
C
A
D
O
E
F
证明：在□ ABCD 中，AB∥CD，
∴∠EAO = ∠FCO，∠AEO = ∠CFO.
又 OA = OC，
∴△AOE≌△COF，∴OE = OF.
同理也可证△BOE ≌ △DOF.
改变直线 EF 的位置，OE = OF 还成立吗？
□ ABCD 被线段 EF 所截的两部分面积与周长呢？
点击打开几何画板演示
归纳：若一条直线经过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边所截的线段相等，且这条直线平分该平行四边形的面积和周长.
A
B
C
D
E
F
O
距离是几何中的重要度量之一.想一想我们学过哪些距离？
点与点之间的距离
点到直线的距离
两条平行线之间的距离
有什么特点？
利用方格纸画出直线 a//b，A，D 为直线 a 上任意两点.
a
b
c
d
A
B
D
C
再测量一下点 A，D 的距离和点 B，C 的距离，它们相等吗？
过点 A，D 分别画直线 c，d，使 c∥d，B，C 分别是直线 c 和 b，直线 d 和 b 的交点，用刻度尺测量点 A，B 的距离和点 D，C 的距离，它们相等吗？
AB = 2.9cm
CD = 2.9cm
相等
AD = 2.7cm
BC = 2.7cm
相等
如图，a∥b，c∥d，c，d 与 a，b 分别相交于 A，B，C，D 四点.
A
a
b
c
d
C
B
D
AB 和 CD 之间有什么关系？
∵AC∥BD，
∴四边形 ABDC 是平行四边形，
夹在两条平行线之间的任何
两条平行线段都相等.
AB∥CD，
∴AB = CD.
a
b
A
B
C
D
E
F
概念引入: 从上面的结论进一步可以知道: 如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等. 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离.
图中 AB，CD 均可表示平行线 a，b 之间的距离.
a
b
A
B
C
D
E
F
AB、CD、EF 之间有什么关系？
AB∥CD∥EF
两条平行线之间的距离处处相等.
位置关系：
AB = CD = EF
数量关系：
图中 AB，CD 均可表示平行线 a，b 之间的距离.
如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，即平行线间的距离处处相等.
归纳小结
几何语言：
两条平行线之间的距离的性质
a
b
A
B
C
D
E
F
∵ a // b ，AB⊥ b ，CD⊥ b ，EF⊥ b ，
∴ AB = CD = EF.
两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点到直线的距离有何联系与区别？
类别 两点间的距离 点到直线的距离 两条线平行线之间的距离
区别
联系 连接两点的线段的长度
直线外一点到
这条直线的垂
线段的长度
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度
都是指相应线段的长度，点到直线的距离、两条平行线之间的距离的本质都是点与点之间的距离
如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB = DC . 求证 ∠B = ∠C.
例 3
A
D
B
C
E
F
【思路分析】
AD∥BC
平行线之间的距离相等
三角形全等
∠B = ∠C
如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB = DC . 求证 ∠B = ∠C.
例 3
证明：如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，过点 A，D 分别作 AE ⊥ BC，DF ⊥ BC，垂足分别为 E，F.
∵AE，DF 的长都是平行线 AD，BC 之间的距离，
∴AE = DF.（两条平行线之间的距离处处相等）
又 AB = DC，
∴Rt△ABE ≌ Rt△DCF .
∴∠B = ∠C.
A
D
B
C
E
F
如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB = DC . 求证 ∠B = ∠C.
例 3
A
D
B
C
你还有其他证明方法吗？
有. 证明：如图，过点 A 作 AE∥DC交 BC 于点 E .
∵AD∥BC，AE∥DC，AB = DC，
∴AE = DC = AB，∠C = ∠AEB .
∴∠B = ∠AEB = ∠C.
E
如图，在□ ABCD 中，∠BAD 的平分线 AP 交 BC 于点 P，∠ABC ＝ 110°.
（1）求∠APB 的度数；
（2）若 AB＝3，AD ＝5，求 PC 的长．
解:（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠DAB ＝ 180°－∠ABC ＝ 70°，
∠APB ＝ ∠DAP．
∵AP 平分∠DAB，∴∠DAP＝∠DAB＝35°，
∴∠APB＝∠DAP＝35°.
如图，在□ ABCD 中，∠BAD 的平分线 AP 交 BC 于点 P，∠ABC ＝ 110°.
（1）求∠APB 的度数；
（2）若 AB＝3，AD ＝5，求 PC 的长．
（2）∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD ＝ BC ＝ 5．
由（1）得∠DAP＝∠BAP，∠DAP＝∠APB，
∴∠APB＝∠BAP ，
∴BP＝AB＝3，∴PC＝BC－BP＝5－3＝2．
练 习
1. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，∠ABC = 70°，BE 平分∠ABC
且与 AD 相交于点 E，DF∥EB 且与 BC 相交于点 F. 求∠1 的大小.
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∠ABC = 70°，
∴∠ADC = ∠ABC = 70°，AD∥BC. ∵BE 平分∠ABC，
∴∠ABE = ∠EBC = ∠ABC = 35°.
又 DF∥EB，∴∠DFC = ∠EBC = 35°.
∵AD∥BC，∴∠ADF = ∠DFC = 35°.
∴∠1 =∠ADC－∠ADF = 35°.
【选自教材第59页 练习 第1题】
2. 如图， □ ABCD 的周长为 16，对角线 AC，BD 相交于点 O，
点 E 在 AD 上，OE ⊥ AC . 求△CDE 的周长.
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
且周长为 16，两条对角线的交点为 O，
∴AD + CD = 16÷2 = 8，OA = OC.
又 OE ⊥ AC，
∴OE 垂直平分 AC，∴AE = CE，
∴△CDE 的周长为 CE + DE + CD = AE + DE + CD = AD + CD = 8.
【选自教材第59页 练习 第2题】
3. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠C = 90°，AD = 3，AB = 4，
BC = 5，E 为边 BC 上一点，AB∥DE. 求 AD，BC 之间的距离.
解：∵AD∥BC，AB∥DE，
∴DE = AB = 4，BE = AD = 3.
∴CE = BC－BE = 5－3 = 2.
在 Rt△DCE 中，CD = = = 2，
∴AD，BC 之间的距离是 2.
【选自教材第59页 练习 第3题】
4. 如图，已知直线 l1 ∥ l2，点C 1 ，C2 ，C 3 在直线 l 1上，且C1A⊥l2，垂足为A，点B在直线 l2 上.设△ABC1 的面积为S1，△ABC2 的面积为S2，△ABC3 的面积为S3 ，小颖认为S1 ＝ S2 ＝ S3 ，请帮小颖说明理由.
解：∵ 直线l 1 ∥ l2 ，点C 1 ，C2 ，C 3 均在l 1上，
∴ △ABC1 ， △ABC2 ， △ABC3的边AB上的高相等.
∴ △ABC1 ， △ABC2 ， △ABC3同底等高.
∴ S1 ＝ S2 ＝ S3 .
课堂小结
两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.
两条平行线之间的距离处处相等.
A
a
b
c
d
C
B
D
a
b
A
B
C
D
E
F
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离.

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