资源简介

(共21张PPT)
正方形的性质
R·八年级数学下册
四边形
21
学习目标
1. 掌握正方形的性质以及正方形与平行四边形、矩形、
菱形之间的关系．
2. 让学生感受从一般到特殊，化未知为已知的数学思想
及转化的数学思想．
3. 能正确运用正方形的性质进行简单的计算、推理、
论证．
仔细观察下列实际生活中的物品，你会发现里面都有正方形的形象．
正方形是我们熟悉的图形，回忆一下小学学过的正方形，它有什么性质？
新课导入
探索新知
正方形
一个角是直角
一组邻边相等
正方形
平行四边形
一个角是直角
矩形
平行四边形
一组邻边相等
菱形
有一组邻边相等的矩形是正方形.
有一个角是直角的菱形是正方形.
定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
一组邻边
正方形
矩形
相等
正方形
一个角是
菱形
直角
正方形是我们熟悉的几何图形，它的四条边都相等，四个角都是直角. 正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形，因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.
平行四边形 矩形特殊性质 菱形特殊性质
性质 边 对边平行且相等 四条边都相等
角 对角相等，邻角互补 四个角都是直角
对角线 对角线互相平分 对角线相等 对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
猜想：1.正方形的四个角都是直角，四条边都相等.
2.正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角.
已知：如图，四边形ABCD是正方形.
求证：正方形ABCD四条边都相等，四个角都是直角.
尝试证明
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，AB=AD（正方形的定义）.
又∵正方形是平行四边形，
所以四边形ABCD是矩形（矩形的定义），
且四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD.
A
B
C
D
已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交与点O. 求证：AO=BO=CO=DO，AC⊥BD.
尝试证明
A
B
C
D
O
证明：在四边形ABCD 中，
∵正方形是矩形，
∴AO=BO=CO=DO.
又∵正方形是菱形，
∴AC⊥BD.
请同学们拿出准备好的正方形纸片，折一折，观察并思考：正方形是不是轴对称图形？如果是，那么它有几条对称轴？
是轴对称图形，有4条对称轴.
归纳总结
A
B
C
D
O
正方形的性质：
边
对边平行
四条边都相等
角：四个角都是直角
对角线
对角线相等
对角线互相垂直平分
每一条对角线平分一组对角
对称性：是轴对称图形，有4条对称轴.
求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
例 5
已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC，BD 相交于点 O .
求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO 是全等的等腰直角三角形.
A
B
D
C
O
证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AC = BD，AC ⊥ BD .
∴∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠AOD = 90°，
AO = BO = CO = DO .
∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO
都是等腰直角三角形，并且
△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
A
B
D
C
O
（SAS）
正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？与同学讨论一下，并列表或画框图表示这些关系.
平行四边形
矩形
菱形
正
方
形
一个角是直角
平行四边形
矩形
一组邻边相等
一个角是直角
一组邻边相等
菱形
一组邻边相等
一个角是直角
正方形
练 习
1.（1）把一张矩形纸片按如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片.
为什么？
（2）如何从一块矩形木板中裁出一块面积最大的正方形木板呢？
解：（1）如图，由折叠知 AB = AD，
∠B =∠ADC = 90°. ∵∠BAD = 90°，
∴四边形 ABCD 是矩形，且 AB = AD，
由正方形是有一组邻边相等的矩
形可知，四边形 ABCD 是正方形.
（2）如（1）所示的正方形面积最大，即令正方形的边长等于长方形的宽.
【选自教材第76页 练习 第1题】
A
B
D
C
2. 如图，一块正方形场地的四个顶点分别是 A，B，C，D .
李明和张华在边 AB 上取了一点 E，EC = 30 m，EB = 10 m.
这块场地的面积和对角线长分别是多少？
解：如图，连接 AC .
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠B = 90°，AB = BC .
在Rt△BEC 中，∠B = 90°，EB = 10 m，EC = 30m，
由勾股定理，BC = = = 20（m）.
【选自教材第76页 练习 第2题】
在Rt△ABC 中，∠B = 90°，AB = BC = 20 m，
由勾股定理，AC =
∴S正方形ABCD = BC2 = = 800（m2）.
∴这块场地的面积为 800 m2，对角线长为 40 m.
2. 如图，一块正方形场地的四个顶点分别是 A，B，C，D .
李明和张华在边 AB 上取了一点 E，EC = 30 m，EB = 10 m.
这块场地的面积和对角线长分别是多少？
= = 40（m）
【选自教材第76页 练习 第2题】
3. 如图，一个正方形草坪的四个顶点分别是 A，B，C，D .
要修建 BE 和 AF 两条路，使点 E，F 分别在边 AD，CD 上，
且 DE = CF. 这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？
解：这两条路等长，它们互相垂直. 理由：
如图，设 AF 与 BE 交于点 O.
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB = AD = CD，∠BAE = ∠D = 90°.
又 DE = CF，∴AD－DE = CD－CF，即AE = DF.
∴△ABE≌△DAF（SAS）.
∴BE = AF，∠AEB = ∠DFA.
∵∠D = 90°，∴∠DFA + ∠DAF = 90°.
∴∠AEB + ∠DAF = 90°. ∴∠AOE = 90°，即 BE ⊥ AF .
O
【选自教材第77页 练习 第3题】
1. 正方形的边长是 3，则它的对角线的长是______．
2. 如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在 BD 上，且 BE = CD，
则 ∠BEC 的度数为________．
67.5°
3
3.如图，在边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的点，过点P作PE⊥PB，PE交线段DC于点E．求证：PB=PE．
A
B
D
C
P
E
证明：如图，过点P分别作PG⊥BC于点G，
PH⊥DC于点H，
∴∠PGB=∠PGC=∠PHE=90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴CA平分∠BCD，∠BCD=90°．
∴PG=PH，四边形PGCH是矩形，∴∠HPG=90°．
G
H
又PE⊥PB，∴∠BPE=90°．∴∠BPE－∠GPE=∠GPH－∠GPE，
即∠BPG=∠EPH ．
在△PGB 和△PHE中，∠PGB=∠PHE，PG=PH，∠BPG=∠EPH，
∴△PGB≌△PHE(ASA)，∴PB=PE．
课堂小结
正方形的定义和性质
定义
性质
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
四个角都是直角
四条边都相等
对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角(共18张PPT)
正方形的判定
R·八年级数学下册
四边形
21
学习目标
1. 掌握正方形的判定方法．
2. 巩固对各种特殊平行四边形性质与判定的掌握，
培养对知识的综合运用能力．
复习回顾
平行四边形 矩形 菱形 正方形
性质 边 对边平行且相等 对边平行且相等 四条边都相等 对边平行，
四条边都相等
角 对角相等，邻角互补 四个角都是直角 对角相等，邻角互补 四个角都是直角
对角线 对角线互相平分 对角线相等 对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
对称性 不是轴对称图形 轴对称 轴对称 轴对称
探索新知
王芳在商场看中一条丝巾，她不确定其是不是正方形样式， 于是售货员拿起丝巾拉起一组对角把丝巾对折（如图所示）， 让王芳看丝巾是否完全重合；见她还有些犹豫，售货员又拉起另一组对角把丝巾对折，让她看丝巾是否也完全重合. 王芳发现这两次都重合，就买下了这条丝巾. 你认为王芳买的这条丝巾是正方形样式吗？为什么？
【选自教材第78页 练习 第3题】
活动1：准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形.
正方形
猜想：满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
正方形
一组邻边相等
对角线互相垂直
尝试证明
对角线互相垂直的矩形是正方形.
已知：如图，在矩形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC⊥DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=CO.
又∵AC⊥DB，∴AB=BC.
∴四边形ABCD是正方形.
活动2：把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状，看是不是正方形.
猜想：满足怎样条件的菱形是正方形？
正方形
菱形
一个角是直角
对角线相等
尝试证明
对角线相等的菱形是正方形.
已知：如图，在菱形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC=DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD， AC⊥DB.
∵AC=DB，∴AO=BO=CO=DO，
∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC是等腰直角三角形.
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=45°+45°=90°，
∴四边形ABCD是正方形.
归纳总结
正方形判定的几条途径：
先判定菱形
正方形
①有一个直角
②对角线相等
先判定矩形
正方形
①一组邻边相等
②对角线垂直
平行四边形
正方形
①一组邻边相等且有一个直角
②对角线相等且垂直
练 习
1. 满足下列条件的四边形是不是正方形？为什么？
（1）对角线互相垂直且相等的平行四边形；
（2）对角线互相垂直的矩形；
（3）对角线相等的菱形；
（4）对角线互相垂直平分且相等的四边形.
解：分别满足条件（1）（2）（3）（4）的四边形都是正方形.
【选自教材第78页 练习 第1题】
2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD 平分∠ACB，
DE ⊥ BC，DF⊥ AC，垂足分别为 E，F .
求证：四边形 CEDF 是正方形.
证明：∵DE ⊥ BC，DF ⊥ AC，
∴∠DEC = ∠DFC = 90°.
又∠ACB = 90°，∴四边形 CEDF 是矩形.
∵CD 平分∠ACB，DE ⊥ BC，DF ⊥ AC，
∴DF = DE .
∴矩形 CEDF 是正方形.
【选自教材第78页 练习 第2题】
如图，E，F，G，H 分别是正方形 ABCD 四条边上
的点，且 AE = BF = CG = DH. 求证：四边形 EFGH 是正方形.
例 6
A
B
D
C
F
H
E
G
1
2
3
分析：要证明四边形 EFGH 是正方形，需证明它既是菱形，也是矩形，也就是要先证明它的四条边相等，再证明它的一个角是直角，而这可以由△AEH，△BFE，△CGF，△DHG 全等得出.
证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB = BC = CD = DA .
又 AE = BF = CG = DH，∴EB = FC = GD = HA .
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴△AEH ≌△BFE ≌△CGF ≌△DHG .
A
B
D
C
F
H
E
G
1
2
3
∴HE = EF = FG = GH .
∴四边形 EFGH 是菱形 .
∵△AEH ≌△BFE，∴∠2 = ∠3.
又∠1 + ∠2 = 90°，∴∠1 + ∠3 = 90°.
∴∠HEF = 180°－(∠1 + ∠3) = 90°.
∴四边形 EFGH 是正方形 .
1. 如图，在矩形 ABCD 中，∠ABC 的平分线交对角线 AC 于点E，EF⊥AB， EG⊥BC，垂足分别是F，G. 判断四边形 EFBG 的形状，并证明你的结论.
解：四边形EFBG是正方形．证明：
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°.
又 EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠BFE = ∠BGE = 90°，
∴四边形 EFBG 是矩形．
∵BE 为∠ABC 的平分线，∴EF = EG，
∴矩形 EFBG 是正方形．
A
D
B
C
E
F
G
2. 如图，四边形AECF是菱形，对角线AC，EF交于点O，点 D， B是对角线EF所在直线上两点，且DE=BF，连接AD，AB， CD，CB，∠ADO=45°．求证：四边形ABCD是正方形.
证明: ∵四边形 AECF 是菱形，
∴AC ⊥ EF，OA = OC，OE = OF．
∵DE=BF，∴OE + DE=OF + BF，即 DO=BO，
∴四边形 ABCD 是平行四边形．
又 AC ⊥ BD，∴四边形 ABCD 是菱形．
∵∠ADO=45°，∴∠ADC=2∠ADO=90°．
∴四边形 ABCD 是正方形．
3.如图，点E在正方形ABCD的边BC上，∠AEF=90°且AE=EF，过点F作FM⊥BC，垂足为M．
（1）求证：BE=CM；
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，AB=BC，∴∠BAE+∠BEA=90°．
∵∠AEF=90°，∴∠BEA+∠FEM=90°，
∴∠BAE=∠FEM．
在△ABE与△EMF中，
∠B=∠M=90°，∠BAE=∠FEM，AE=EF，
∴△ABE≌△EMF(AAS)，∴AB=EM．
∴BC=EM，∴BC－EC=EM－EC，即BE=CM．
（2）延长CD至点N，使得DN=BE，连接AN，FN.
求证：四边形AEFN是正方形.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠BAD=∠ADC=∠BCD=90°，AB=AD．
∵DN=BE，∴△ABE≌△ADN(SAS)，
∴AE=AN，∠BAE=∠DAN．
∵AE=EF，∴EF=AN．
∵∠EAN=∠DAN+∠EAD=∠BAE+∠EAD=∠BAD=90°，
∴∠EAN+∠AEF=180°，∴AN∥EF，
∴四边形AEFN是平行四边形．
∵AE=EF，∴四边形AEFN是菱形．
∵∠AEF=90°，∴四边形AEFN是正方形．
课堂小结
任意
四边形
平行
四边形
正方形
矩形
菱形
5种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角且一组邻边相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等

展开更多......

收起↑