资源简介

(共20张PPT)
矩形的性质
R·八年级数学下册
四边形
21
学习目标
1. 理解矩形的概念，明确矩形与平行四边形的区别和联系，
体会特殊与一般之间的关系．
2. 探究矩形的性质和证明条件，提高学生的推理能力．
3. 利用矩形的性质定理进行证明和计算．
4. 掌握直角三角形斜边上的中线的性质，会用它求线段长
或解决线段的倍分关系问题．
情境导入
长方形在生活中无处不在.
思考：长方形与我们前面学行四边形有什么关系？
长方形是平行四边形吗？
观察这些图形：
新课导入
一个角是直角
平行四边形
矩形
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形（长方形）.
★矩形是特殊的平行四边形.
★平行四边形不一定是矩形.
A
B
C
D
O
因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的
所有性质. 但由于它有一个角为直角，它是否具有一般
平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
可以从边、角、对角线等方面来考虑。
材料准备：直尺、量角器、铅笔、橡皮擦等.
活动1 测量数学书的四条边长度、四个角的度数和对角线的长度，并记录测量的结果.
A
B
C
D
O
观察猜想
根据测量的结果，你有什么猜想？
猜想1：矩形的四个角都是直角.
猜想2：矩形的对角线相等.
你能证明吗？
下面我们来一起验证一下：
如图，四边形ABCD是矩形，∠B=90°.
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
A
B
C
D
证明：∵矩形 ABCD 是平行四边形.
∴∠B=∠D，∠C=∠A，AB // DC.
∴∠B+∠C=180°.
又∵∠B=90°，∴∠C=90°.
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
A
B
C
D
如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与DB相交于点O.
求证：AC=DB.
O
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AB = DC，∠ABC = ∠DCB = 90°.
在△ABC和△DCB中
∵AB=DC，∠ABC = ∠DCB ，BC = CB，
∴△ABC ≌ △DCB（SAS），
∴AC = DB.
归纳总结
矩形除了具有平行四边形的所有性质，
特殊性质有：
性质1：矩形的四个角都是直角.
性质2：矩形的对角线相等.
几何语言：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，AC=DB.
A
B
C
D
O
如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，∠AOB = 60°，AB = 4. 求矩形 ABCD 的对角线的长.
例 1
解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AC 与 BD 相等且互相平分.
∴OA = OB.
又∠AOB = 60°，
∴△OAB 是等边三角形.
∴OA = AB = 4，
∴AC = BD = 2OA = 8.
A
B
C
D
O
活动2 请同学们准备一张矩形纸片，折一折，观察并思考：矩形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？
A
B
C
D
l1
l2
2条
1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（ ）
A. AB // DC B. AC=BD
C. AC⊥BD D. OA=OB
C
2.如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C 落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则
△DFC′的周长为_______.
12
活动3 如图，一张矩形纸片，画出两条对角线，沿着对角线AC减去一半.
A
B
D
C
O
A
B
C
O
思考：Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？它的长度与斜边AC有什么关系？
猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
试给出数学证明.
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线.
求证：BO= AC.
A
B
C
O
D
证明：如图，延长BO到点D，使OD=OB，连接AD，CD.
∵OA = OC，OD = OB，
∴四边形 ABCD 为平行四边形.
又∵∠ABC = 90°，所以平行四边形ABCD是矩形.
∴AC=BD，∴BO= BD= AC.
性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
1. 如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，AD = BD，CD = 4，
则 AB 的长为 （ ）
A. 8　　　B. 6　　　　C. 4　　　　D. 2
A
2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥ AB 于点 D ，
E 是斜边 AB 的中点，若∠ECD =50°，则 ∠A =（ ）
A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°
在 Rt△CDE中，
∠ECD = 50°，∠CED = 40°.
50°
40°
在 △CEA中，
CE = EA，∠ECA = ∠EAC
20°
20°
B
3. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，
AE⊥ BD 于点 E，且 BE ∶ ED =1 ∶ 3，AD = 6 cm. 求 AE 的长.
解:∵四边形 ABCD 是矩形，
∴BO=OD = BD = AC = OA，∠BAD = 90°．
∵BE ∶ ED =1 ∶ 3，∴BE=OE．
又 AE ⊥ BD，∴AE 垂直平分 BO，
∴AB = AO = BO．∴△ABO 是等边三角形．
∴∠ABO=60°．∴∠ADE=90°– 60°=30°.
∴AE= AD = ×6 = 3 (cm)．
练 习
1. 一个矩形的一条对角线长为 8，两条对角线相交所成的角中
有一个为 120°. 求这个矩形相邻两边的长.
解：如图，四边形 ABCD 是矩形，AC = 8，∠AOD = 120°.
根据矩形的性质，AC 与 BD 相等且互相平分，∠ABC = 90°，
∴OA = OB = AC = 4.
又∠AOD = 120°，∴∠AOB = 60°，∴△AOB 是等边三角形，
∴AB = OA = 4.
在Rt△ABC 中，由勾股定理，BC = = = 4 .
∴这个矩形相邻两边的长分别为 4 和 4.
【选自教材第70页 练习 第1题】
2. 如图，四边形 ABCD 是矩形，点 E 在 BC 的延长线上，
DE // AC . △DBE 是等腰三角形吗？试说明理由.
解：△DBE 是等腰三角形. 理由：
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AD // BC，AC = BD .
又 DE // AC，∴四边形 ACED 是平行四边形，
∴AC = DE，∴BD = DE .
∴△DBE 是等腰三角形 .
【选自教材第70页 练习 第2题】
课堂小结
矩形的相关概念及性质
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形
具有平行四边形的一切性质
四个内角都是直角，
两条对角线互相平分且相等
轴对称图形
有两条对称轴
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(共25张PPT)
矩形的判定
R·八年级数学下册
四边形
21
学习目标
1. 理解并掌握矩形的判定方法．
2. 通过互逆命题提出猜想，验证矩形的判定定理，
培养分析问题和解决问题的能力．
3. 能应用矩形的判定方法进行证明和计算．
复习回顾
问题1：矩形的定义是什么？
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.
问题2：矩形有哪些性质？
矩形
边：对边平行且相等
角：四个角都是直角
对角线：对角线互相平分且相等
问题3：你知道如何判定一个平行四边形是矩形吗？
定义判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形.
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形.
思考：你还有其他的判定方法吗？
A
B
C
D
探索新知
性 质
猜 想
判定定理
逆命题
证明
你还记得学习平行四边形的判定时，我们是如何猜想并进行证明的吗？
同样，我们能否通过研究矩形性质定理的逆命题，得到判定矩形的方法呢？
我们知道，矩形是对角线相等的平行四边形. 反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？
注意对角线相等的四边形不一定是矩形.
等腰梯形的两条对角线也相等.
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD.
求证：四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
O
证明：∵AB=DC，BC=CB，AC=DB，
∴ △ABC≌△DCB .
∴∠ABC=∠DCB .
∵ AB∥CD，
∴∠ABC +∠DCB = 180°.
∴ ∠ABC=90°.
∴ □ ABCD 是矩形 (矩形的定义).
尝试证明
对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
且 AC = BD.
∴四边形 ABCD 是矩形.
A
B
C
D
O
归纳总结
矩形的判定定理1：
数学来源于生活
工人师傅在做矩形门窗或零件时，为了确保它们的形状是矩形，不仅要测量它们的两组对边是否分别相等，还要测量它们的两条对角线是否相等，你知道其中的道理吗？
对角线相等的平行四边形是矩形.
练 习
如图，□ABCD的对角线AC，BD 相交于点O，△OAB是等边三角形，且 AB = 2. 求□ABCD的面积.
A
B
C
D
O
提示：
（方法一）先判定矩形，再根据勾股定理求 BC.
（方法二）S ABCD = 4 S△OAB .
【选自教材第71页 练习 第2题】
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
又△OAB 是等边三角形，AB = 2，
∴AO = BO = AB = 2，∴AC = BD = 4，
∴□ABCD 是矩形，∴∠ABC = 90°.
在Rt△ABC 中，由勾股定理，BC= = = 2 ，
∴S矩形ABCD = AB·BC =2×2 = 4 .
∴AO = CO= AC，BO = DO = BD .
A
B
C
D
O
我们知道，矩形是四个角都是直角的四边形，它的逆命题是什么？成立吗？
逆命题：四个角都是直角的四边形是矩形.
成立.
至少有几个角是直角的四边形是矩形？
一个直角
两个直角
三个直角
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形.
已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
证明：∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°.
∴AD∥BC，AB∥CD .
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
又∠B = 90°，∴四边形ABCD是矩形.
尝试证明
有三个角是直角的四边形是矩形.
归纳总结
矩形的判定定理2：
A
B
C
D
几何语言：
在四边形ABCD中，
∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形 ABCD 是矩形.
练 习
1.依据所标数据，下列不一定是矩形的是（ ）
B
2.求证：四个角都相等的四边形是矩形.
已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D.
求证：四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
证明：由四边形的内角和为360°，
得∠A+∠B+∠C+∠D=360°.
∵∠A=∠B=∠C=∠D，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∴四边形 ABCD 是矩形.
【选自教材第71页 练习 第1题】
如图，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H. 求证：四边形 EFGH 是矩形.
例 2
分析：根据已知条件，容易证明
四边形 EFGH 的一个内角∠F为直角，
同理可证∠H，∠AEB 也为直角，
从而证明四边形 EFGH 是矩形.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD .
∴∠BAD + ∠ADC = 180°.
又 AF，DF 分别平分∠BAD，∠ADC，
∴∠DAF + ∠ADF = ∠BAD + ∠ADC
= (∠BAD + ∠ADC) = 90°.
∴∠F = 90°.
同理∠H = ∠AEB = 90°.
∴∠FEH = ∠AEB = 90°.
∴四边形 EFGH 是矩形.
练 习
如图，在△ABC 中，AB=AC，D，E分别是线段BC，AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF . 求证：四边形ADCF是矩形.
【选自教材第71页 练习 第3题】
证明：∵AF∥BC，∴∠EAF = ∠EDB .
∵E 是 AD 的中点，∴AE = DE.
∴△AEF ≌△DEB（ASA）. ∴AF = BD.
在△AEF 和△DEB 中，
∠AEF = ∠DEB，
AE = DE，
∠EAF = ∠EDB，
∵AB = AC，D 是 BC 的中点，
又 AF∥DC，∴四边形 ADCF 是平行四边形.
又∠ADC = 90°，∴□ADCF是矩形.
∴∠ADC = 90°，BD = DC，∴AF = DC.
归纳总结
判定矩形时，首先要分清是在平行四边形基础上判定，还是在四边形基础上判定.
四边形
有三个角是直角
矩形
对角线互相平分且相等
矩形
平行
四边形
对角线相等
矩形
有一个角是直角
矩形
如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥AB，∠AOB=60°，E，F分别是OB，OD的中点，连接AE，CE，CF，AF.
（1）求证：四边形AECF为矩形；
（2）若AB=3，求矩形AECF的面积.
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．
∵E，F分别是OB，OD的中点，
∴OE= OB，OF= OD．
∴OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形．
∵AC⊥AB，∠AOB=60°，∴∠BAO=90°，∠ABO=30°，
∴OA= OB=OE．
∴AC=EF，∴□AECF为矩形．
（2）解:由（1）得OA=OE=OC=OF，
∠AOB=60°，∠ABO=30°，
∴△OAE是等边三角形，
∠OFA=∠OAF= ∠AOB=30°=∠ABO．
∴AE=OA，AF=AB=3．
在Rt△OAB中，由勾股定理易得OA= ，
∴AE=OA= ．
∴矩形AECF的面积=AF·AE= ．
课堂小结
矩形的判定方法
从四边形来判定
从平行四边形来判定
矩形的常用判定方法
定义法
判定1
判定2
判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形.
判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形.

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