资源简介

(共22张PPT)
菱形的判定
R·八年级数学下册
四边形
21
学习目标
1. 理解并掌握菱形的判定方法，体会类比数学思想方法
的作用．
2. 引导学生从边和对角线探究菱形的判定定理，养成
主动探索的学习习惯．
3. 运用菱形的判定方法进行证明或计算，发展学生的
推理能力．
知识回顾
问题：菱形的定义是什么？性质有哪些？
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
性质：1.具有平行四边形的一切性质.
2.菱形本身具有的特殊性质：
①四条边都相等；
②两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
③菱形是轴对称图形..
3.菱形的面积=底×高或对角线乘积的一半.
根据菱形的定义，可得菱形的第一个判定方法：
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
A
B
D
C
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，
且AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形.
思考：你还有其他的判定方法吗？
探索新知
前面我们用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字. 在四周围上一根橡皮筋，做成一个平行四边形. 那么转动木条，这个平行四边形什么时候变成菱形？对此你有什么猜想.
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知：如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
且BD⊥AC. 求证：□ABCD是菱形.
证明：∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴OA = OC .
∵AC ⊥ BD，∴BO垂直平分 AC，
∴AB = CB，
∴□ABCD 是菱形.
O
A
B
C
D
尝试证明
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
菱形的判定定理1：
归纳总结
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，
且BD⊥AC，
∴□ABCD是菱形．
O
A
B
C
D
如图，在□ ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线与边AD，BC 分别相交于点 E，F. 求证：四边形 AFCE 是菱形.
例 4
A
B
C
D
F
E
O
1
2
分析：已知 AC ⊥ EF，由“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，只需证明
四边形 AFCE 是平行四边形. 由题意可
知 AO = CO，还需证明 EO = FO .
如图，在□ ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线与边AD，BC 分别相交于点 E，F. 求证：四边形 AFCE 是菱形.
例 4
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AE∥CF .
∴∠1 = ∠2 .
又∠AOE = ∠COF，AO = CO，
∴△AOE≌△COF .
∴EO = FO .
∴四边形 AFCE 是平行四边形.
又 AC ⊥ EF，
∴四边形 AFCE 是菱形.
A
B
C
D
F
E
O
1
2
练 习
1.如图，在□ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若添加一个条件，可推出□ABCD是菱形，则该条件可以是（ ）
A. AB=AC B. AC=BD
C. AC⊥BD D. AB⊥AC
C
2. 如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O 且
互相垂直平分. 求证：四边形 ABCD 是菱形.
证明：∵对角线 AC，BD 互相垂直平分，
∴AC ⊥ BD，AO = CO，DO = BO .
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
又AC ⊥ BD，∴□ABCD是菱形.
O
D
A
B
C
【选自教材第75页 练习 第1题】
用四根长度一样的木条，首尾顺次相接. 得到的四边形是菱形吗？请说明理由.
动手操作
猜想：四条边相等的四边形是菱形.
已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = DA .
求证：四边形 ABCD 是菱形.
证明：∵AB = CD，DA = BC，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
又 AB = BC，
∴ □ ABCD 是菱形.
A
B
C
D
尝试证明
菱形的判定定理2：
归纳总结
四条边相等的四边形是菱形.
几何语言：
∵AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
A
B
C
D
F
E
O
1
2
3
如图，在□ ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线与边AD，BC 分别相交于点 E，F. 求证：四边形 AFCE 是菱形.
例 4
尝试利用“四条边相等的四边形是菱形”证明.
证明：∵EF 垂直平分 AC，
∴AE = EC，AF = FC . ∴∠1 =∠3.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AE∥BC，
∴∠1 = ∠2，∴∠2 = ∠3.
又OC = OC，∠EOC = ∠FOC = 90°，
∴△EOC ≌ △FOC（ASA）.
∴EC = FC = AE = AF .
∴四边形 AFCE 是菱形.
练 习
1.如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点. 求证：四边形EFGH是菱形.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC，AB=CD．
∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，
∴AH=DH=BF=CF，AE=BE=CG=DG．
∴△AHE≌△BFE≌△CFG≌△DHG(SAS)，
∴HE=FE=FG=HG，
∴四边形EFGH是菱形．
2. 如图，两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形 ABCD 是一个菱形吗？为什么？
解：四边形 ABCD 是一个菱形. 理由：
如图，过点 A 分别作 AE ⊥ BC 于点 E，AF ⊥ CD 于点 F . 由题意，得 AE = AF.
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠B =∠D.
又∠AEB = ∠AFD = 90°，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AB = AD，∴ □ ABCD 是菱形.
A
B
C
D
E
F
【选自教材第75页 练习 第2题】
3. 一张三角形纸片如图所示，请你用纸片折出一个菱形，
使∠A 是菱形的一个内角，和点 A 相对的顶点在边 BC
上，并说明所折图形是菱形的理由.
解：如图，将△ABC 折叠，使 AB，AC 重合，得折痕 AD . 展开后再次折叠使点 A，D 重合，得折痕 EF，连接 DE，DF，则四边形 AEDF 为菱形.
A
B
C
E
D
F
【选自教材第75页 练习 第3题】
A
B
C
E
D
F
O
理由：设 AD，EF 相交于点 O .
由折叠可知，∠EAO = ∠FAO，EF 垂直平分AD .
∴∠AOE = ∠AOF = 90°，AE = DE，AF = DF .
∴△AEO≌△AFO（ASA）.
∴AE = AF . ∴AE = AF = DE = DF .
∴四边形 AEDF 为菱形.
在△AEO 和△AFO 中，
∠EAO = ∠FAO，
AO = AO，
∠AOE = ∠AOF，
4.如图，在□ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF 于点O，交BC于点E，连接EF.
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
A
B
E
C
D
F
O
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠EBF=∠AFB．
∵BF 平分∠ABC，∴∠ABF=∠EBF，∴∠ABF=∠AFB，∴AB=AF．
∵AE⊥BF，∴∠AOB=∠EOB=90°．
又BO=BO，∴△ABO≌△EBO(ASA)，∴AB=BE．∴BE=AF．
又BE∥AF，∴四边形ABEF是平行四边形．
又AB=AF，∴四边形ABEF是菱形．
（2）若AE=6，BF=8，CE=3，求□ABCD的面积．
A
B
E
C
D
F
O
解:如图，过点F作FG⊥BC于点G．
G
∵四边形ABEF是菱形，AE=6，BF=8，
∴OE= AE=3，OB= BF=4.
在Rt△BOE中，BE=
∵S菱形ABEF= AE·BF=BE·FG，∴FG= .
∵BC=BE+CE=5+3=8，∴S□ABCD=BC·FG=8× = .
课堂小结
菱形的判定
定义法
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
判定定理
四条边相等的四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
运用定理进行计算和证明(共22张PPT)
菱形的性质
R·八年级数学下册
四边形
21
学习目标
1. 理解菱形的概念，了解菱形与平行四边形之间的关系．
2. 经历菱形性质定理的探索过程，发展学生的推理能力．
3. 能运用菱形的性质定理进行计算或证明，提高学生
分析问题、解决问题的能力．
复习回顾
我们已经学习了特殊的平行四边形——矩形，它是从哪个角度特殊化来进行研究的？它有哪些性质？
平行四边形
矩形
一个角是直角
平行四边形 矩形
边 对边平行且相等 对边平行且相等
角 对角相等，邻角互补 四个角都是直角
对角线 对角线互相平分 对角线相等且互相平分
对称性 中心对称 既是中心对称，又是轴对称
探索新知
平行四边形的角特殊化得到特殊的平行四边形——矩形；平行四边形的边特殊化，我们得到的特殊的平行四边形是什么，它有什么特征？
平行四边形
一组邻边相等
点击链接打开几何画板
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
菱形
★菱形是特殊的平行四边形.
★平行四边形不一定是菱形.
菱形也是常见的几何图形.
窗格
中国结
活动挂架
你还能举出一些例子吗？
点击图片播放视频
做一做
A
B
C
D
活动：根据前面视频的方法做一个菱形，并猜一猜它有什么性质.
试着证明你的猜想.
已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O.
求证：（1）AB=BC=CD=AD；
（2）AC⊥BD；∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
A
B
C
D
O
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC (平行四边形的对边相等).
又∵AB=AD，
∴AB=BC=CD=AD .
A
B
C
D
O
（2）证明：∵AB=AD，
∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD（平行四边形的对角线互相平分）.
在等腰三角形ABD中，∵OB=OD，
∴AO⊥BD，AO平分∠BAD.
即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.
同理可证∠DCA=∠BCA，∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
归纳总结
性质1：菱形的四条边都相等.
几何语言：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB = BC = CD = AD .
性质2：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
几何语言：∵四边形 ABCD 是菱形，∴AC ⊥ BD，
AC 平分∠BAD，CA 平分∠BCD，
BD 平分∠ABC，DB 平分∠ADC.
A
B
C
D
O
菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外还有平行四边形所没有的特殊性质.
平行四边形的性质
菱形的特殊性质
角：对角相等.
边：对边平行且相等.
对角线：互相平分.
轴对称：是轴对称图形，对称轴是每条对角线所在的直线.
边：四条边都相等.
对角线：互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
角：对角相等.
练 习
1.菱形不具有的性质是（ ）
A.四条边都相等 B.对角线相等
C.是轴对称图形 D.对角线互相垂直
2.如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，点E在BC的延长线上.若∠ADB=32°，则∠DCE的度数为_______.
B
64°
3. 如图，在菱形 ABCD 中，BD=4，∠A ∶ ∠ABC = 1 ∶ 2 .
求△ABD 的周长.
A
B
C
D
解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AD∥BC，AB = AD.
∴∠A + ∠ABC = 180°.
又∠A∶∠ABC = 1∶2，
∴∠A = 60°，∠ABC = 120°.
又 AB = AD，∴△ABD 是等边三角形.
∴AB = AD = BD = 4.
∴△ABD 的周长 = AB + AD + BD = 12.
【选自教材第73页 练习 第2题】
A
B
C
D
O
由于菱形的对角线互相垂直，可以发现，菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形.
菱形的面积计算除了像平行四边形那样利用底×高，是否可以转化成三角形来求得？
A
B
C
D
O
如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 交于点 O,
试用对角线表示出菱形 ABCD 的面积.
解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AC ⊥ BD .
∴S菱形ABCD = S△ABC + S△ADC
= AC·BO + AC·DO
= AC·( BO + DO )
= AC·BD .
菱形的面积 = 底×高
= 对角线乘积的一半
知识串联
两组对边分别平行
有一个角
是直角
一组邻边相等
四边形
平行四边形
矩形
菱形
性质
边
对角线
面积
如图，菱形花坛 ABCD 的边长为 20 m，∠ABC = 60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路 AC 和 BD. 求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）.
例 3
A
B
C
D
O
30°
20 m
解：设 AC，BD 相交于点 O.
∵花坛 ABCD 的形状是菱形，
∴AC ⊥ BD，∠ABO = ∠ABC = × 60°= 30°.
在Rt△ABO 中，AO = AB = × 20 = 10，
BO = = = 10.
∴花坛的两条小路长 AC = 2AO = 20（m）
BD = 2BO = 20 ≈ 34.64（m）.
花坛的面积 S菱形ABCD = 4 × S△ABO
= 4 × AO·BO = 200 ≈ 346.4（m2）.
A
B
C
D
O
30°
20 m
练 习
1. 四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 AB = 5，
AO = 4. 求 AC，BD 的长以及菱形 ABCD 的面积.
解：如图. ∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AC ⊥ BD，AO = CO，BO = DO.
在 Rt△AOB 中，AB = 5，AO = 4，
∴BO = = = 3.
∴AC = 2AO = 8，BD = 2BO = 6.
∴S菱形ABCD = AC·BD = ×8×6 = 24.
D
A
B
C
O
【选自教材第73页 练习 第1题】
2. 如图，在菱形 ABCD 中，∠A = 60°，连接对角线 BD，E，
F 分别是边 AB，BC 的中点，分别连接 DE，DF，EF.
求证：△DEF 是等边三角形.
证明：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB = AD = CD = BC，∠C = ∠A = 60°，
∴△ABD，△CBD 是等边三角形，
∴∠ADB =∠CDB = 60°.
∵E，F 分别是边 AB，BC 的中点，
∴∠BDE = ∠ADB = 30°，∠BDF = ∠CDB = 30°，
AE = AB，CF = BC .
【选自教材第74页 练习 第3题】
∴∠EDF = ∠BDE + ∠BDF = 60°，AE = CF .
∵AD = CD，∠A = ∠C，AE = CF，
∴△ADE≌△CDF（SAS）. ∴DE = DF .
∴△DEF 是等边三角形.
2. 如图，在菱形 ABCD 中，∠A = 60°，连接对角线 BD，E，
F 分别是边 AB，BC 的中点，分别连接 DE，DF，EF.
求证：△DEF 是等边三角形.
【选自教材第74页 练习 第3题】
课堂小结
菱形的性质
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
特殊性质
四条边都相等
对角线互相垂直平，且每一条对角线平分一组对角
是轴对称图形，对称轴有两条，为对角线所在的直线
菱形的面积=底×高或对角线乘积的一半
A
B
C
D
O

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