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(共26张PPT)
习题21.3
人教·八年级数学下册
四边形
21
复习巩固
1. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC，BD 相交
于点 O，且 ∠1 = ∠2. 四边形 ABCD 是矩形吗？为什么？
解：四边形 ABCD 是矩形. 理由：
∵∠1 = ∠2，∴OB = OC.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA = OC，OB = OD.
∴OA = OC = OB = OD.
∴AC = BD . ∴ □ ABCD 是矩形.
【选自教材第78页 习题21.3 第1题】
2. 如图，一个木匠要制作一块矩形的木板. 他在一块对边平行
的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到
矩形木板. 为什么？
解：如图，∵AB ⊥ BC，CD ⊥ BC，
∴易得 AB∥CD，∠ABC = 90°.
∵AD∥BC，∴四边形 ABCD 是平行四边形.
又∠ABC = 90°，∴ □ ABCD 是矩形.
因此，他能得到矩形木板.
【选自教材第79页 习题21.3 第2题】
3. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 2AC . 利用本节所学的直角三角形的性质，求∠A，∠B 的度数.
解：如图，取 AB 的中点 D，连接 CD.
∵CD 是Rt△ABC 斜边上的中线，
∴△ACD 是等边三角形. ∴∠A = 60°.
又∠ACB = 90°，∴∠A + ∠B = 90°，∴∠B = 30°.
∴CD = AB = AD .
∵AB = 2AC，∴AC = AB. ∴AC = CD = AD .
【选自教材第79页 习题21.3 第3题】
4. 如图，四边形 ABCD 是菱形，∠ACD = 30°，BD = 6. 求：
（1）∠BAD，∠ABC 的度数；
（2）AB，AC 的长.
解：（1）∵四边形 ABCD 是菱形，
∴CA 平分∠BCD，AD∥BC .
∴∠BCD = 2∠ACD = 60°.
∴∠BAD = ∠BCD = 60°.
又AD∥BC，∴∠ABC = 180°－∠BAD = 120°.
【选自教材第79页 习题21.3 第4题】
（2）设 AC 与 BD 交于点 O .
由（1）知∠BAD = 60°，AB = AD，
∴△ABD 是等边三角形. ∴AB = BD = 6.
在Rt△ABO 中，AB = 6，BO = BD = 3，
∴AO = = = 3 ，∴AC = 2AO = 6 .
4. 如图，四边形 ABCD 是菱形，∠ACD = 30°，BD = 6. 求：
（1）∠BAD，∠ABC 的度数；
（2）AB，AC 的长.
【选自教材第79页 习题21.3 第4题】
5. 如图，AE∥BF，AC 平分∠BAE，且交 BF 于点 C，BD 平分∠ABF，且交 AE 于点 D，连接 CD. 求证：四边形 ABCD 是菱形.
证明：∵AE∥BF，
∴∠DAC = ∠BCA，∠ADB = ∠CBD .
∵AC 平分∠BAD，BD 平分∠ABC，
∴∠BAC = ∠DAC，∠ABD = ∠CBD .
∴∠BAC = ∠BCA，∠ABD = ∠ADB .
∴AB = AD = BC.
又AD∥BC，∴四边形 ABCD 是平行四边形.
∵AB = BC，∴ □ ABCD 是菱形.
【选自教材第79页 习题21.3 第5题】
6. 如图，E 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，且 BE = BC，
过点 E 且与 BD 垂直的直线交 CD 于点 F，连接 BF. DE 与 CF
相等吗？说一说你的理由.
解：DE = CF. 理由：
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠C = 90°，∠BDC = 45°.
∵EF ⊥ BD，∴∠DEF = ∠BEF = 90°.
∴∠DFE = 90°-∠BDC = 45°. ∴∠BDC = ∠DFE，∴DE = EF .
在Rt△BEF 和Rt△BCF 中，
BF = BF，
BE = BC，
∴Rt△BEF≌Rt△BCF（HL）. ∴EF = CF，∴DE = CF.
【选自教材第79页 习题21.3 第6题】
综合运用
7. 如图，把一张矩形的纸片对折两次，然后剪下一个角.
要得到一个正方形，裁剪线与折痕应成多少度的角？
解：裁剪线与折痕应成 45°的角.
【选自教材第79页 习题21.3 第7题】
8. 如图，将矩形纸片 ABCD 沿直线 BD 折叠，使点 C 落在
C′ 处，BC′，AD 相交于点 E，AD = 8，AB = 4. DE 的长
是多少？△BDE 的面积呢？
解：∵纸片ABCD是矩形，∴∠A = 90°，AD∥BC，
∴∠ADB = ∠CBD.
由折叠知∠C'BD = ∠CBD，
∴∠C'BD = ∠ADB. ∴BE = DE.
设 DE = BE = x，则 AE = AD－DE = 8－x .
在Rt△ABE 中，由勾股定理，AE2 + AB2 = BE2，
即 (8－x)2 + 42 = x2，解得 x = 5. ∴DE = 5.
∴S△BDE = DE·AB = ×5×4 = 10.
【选自教材第79页 习题21.3 第8题】
9. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD ⊥ AB，垂足为 D， ∠ACD = 3∠BCD，E 是边 AB 的中点. ∠ECD 是多少度？为什么？
解：∠ECD = 45°. 理由：
∵∠ACB = 90°，∴∠BCD + ∠ACD = 90°.
∵∠ACD = 3∠BCD，
∴∠BCD + 3∠BCD = 90°，
∴∠BCD = 22.5°，∠ACD = 67.5°.
∵CD ⊥ AB，∴∠A + ∠ACD = 90°. ∴∠A = 22.5°.
在Rt△ABC中，E 是斜边 AB 的中点，
∴CE = AB = AE . ∴∠ACE = ∠A = 22.5°.
∴∠ECD =∠ACD－∠ACE = 67.5°－22.5°= 45°.
【选自教材第80页 习题21.3 第9题】
10. 如图，四边形 ABCD 是菱形，点 M，N 分别在 AB，AD 上，且 BM = DN，MG∥AD，NF∥AB；点 F，G 分别在 BC，CD 上，MG 与 NF 相交于点 E. 求证：四边形 AMEN，EFCG 都是菱形.
证明：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB = DA = BC = CD，AB∥CD，AD∥BC.
∵MG∥AD，NF∥AB，
∴AB∥NF∥CD，AD∥BC∥MG.
∴四边形 AMEN，BCGM，CDNF，EFCG 都是平行四边形.
∴BM = CG，DN = CF.
∵BM = DN，∴CG = CF，AB－BM = DA－DN，即AM = AN.
∴ □ AMEN， □ EFCG 都是菱形.
【选自教材第80页 习题21.3 第10题】
11. 如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 相交于点 O，
AC = 8，DB = 6，DH ⊥ AB，垂足为 H. 求 DH 的长.
解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AC ⊥ BD，AO = AC = 4，BO = DB = 3.
∴AB = = = 5.
∵S菱形ABCD = AC·DB = AB·DH，
即 ×8×6 = 5DH. ∴DH = .
【选自教材第80页 习题21.3 第11题】
12.（1）如图（1），四边形 OBCD 是矩形，O，B，D 三点
的坐标分别是 (0，0)，(b，0)，(0，d). 求点 C 的坐标.
解：（1）∵四边形 OBCD 是矩形，
∴OD = BC，OB = DC，
且 CD ⊥ OD，CB ⊥ OB.
∵D(0，d)，B(b，0)，
∴C(b，d) .
【选自教材第80页 习题21.3 第12题】
（2）如图（2），四边形 ABCD 是菱形，C，D 两点的坐标
分别是 (c，0)，(0，d)，点 A，B 在坐标轴上.
求 A，B 两点的坐标.
（2）∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AO = CO，BO = DO .
∵C (c，0)，∴A (－c，0).
∵D (0，d)，∴B (0，－d).
【选自教材第80页 习题21.3 第12题】
（3）如图（3），四边形 OBCD 是正方形，O，D 两点的
坐标分别是 (0，0)，(0，d). 求 B，C 两点的坐标.
（3）∵四边形 OBCD 为正方形，
∴OD = CD = CB = OB，
且 CB ⊥ OB，CD ⊥ OD.
又D (0，d)，
∴B (d，0)，C (d，d).
【选自教材第80页 习题21.3 第12题】
13. 如图，将等腰三角形纸片 ABC 沿底边 BC 上的高 AD 剪成
两个三角形. 用这两个三角形你能拼成多少种平行四边形？
试一试，分别求出它们的对角线的长.
解：能拼成三种平行四边形.
（1）如图①的矩形，其对角线长均为 m.
（2）如图②的平行四边形.
其两条对角线长分别为 n， .
（3）如图③的平行四边形，
其两条对角线长分别为 h， .
【选自教材第80页 习题21.3 第13题】
14. 如图，矩形 ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点 E，
F，G，H. 试判断四边形 EFGH 的形状，并证明你的结论.
【选自教材第81页 习题21.3 第14题】
解：四边形 EFGH 是正方形.
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠BAD =∠ABC =∠CDA = ∠DCB = 90°.
∵AF，BH，CH，DF 分别是四个内角的平分线，
∴∠BAF = ∠DAF = ∠ADF = ∠ABE = ∠CBH = ∠BCH = 45°.
∴AE = BE，∠HEF = ∠AEB = 180°－45°－45°= 90°，
∠F = ∠H = 180°－45°－45°= 90°.
∴四边形 EFGH 是矩形.
易证△ADF≌△BCH（ASA）. ∴AF = BH.
∴AF-AE = BH－BE，即 EF = EH .
∴矩形 EFGH 是正方形.
15. 如图，一块正方形草地，要在上面修建两条交叉的笔直
小路，使这两条小路将草地分成面积相等的四部分，
你有多少种方法？与同学交流一下.
有多种方法，两条小路均经过正方形对角线的交点且两条小路互相垂直即可.
【选自教材第81页 习题21.3 第15题】
拓广探索
16. 如图，四边形 ABCD 是正方形. G 是边 BC 上任意一点，
DE ⊥ AG，垂足为 E；BF∥DE，交 AG 于点 F.
求证：AF－BF = EF.
分析：由图易知AF－AE = EF，所以只需证明 BF = AE 即可.通过证明 BF，AE 各自所在的△ABF 与△DAE 全等可得到 BF = AE.
【选自教材第81页 习题21.3 第16题】
证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB = AD，∠BAD = 90°.
∴∠BAF + ∠DAE = 90°.
∵DE ⊥ AG，∴∠DEA = ∠DEF = 90°.
∵BF∥DE，∴∠AFB = ∠DEF = 90°= ∠DEA.
∴∠ABF + ∠BAF = 90°. ∴∠ABF = ∠DAE.
∴△ABF≌△DAE（AAS）. ∴AE = BF.
∴AF－BF = AF－AE = EF.
17. 如图，在△ABC 中，BD，CE 分别是边 AC，AB 上的中线，BD 与
CE 相交于点 O. BO 与 OD 的长度有什么关系？BC 边上的中线是否
一定过点 O？为什么？（提示：分别作 BO，CO 的中点 M，N，
连接 ED，EM，MN，ND.）
解：（1）BO = 2OD.
（2）BC 边上的中线一定过点 O.
【选自教材第81页 习题21.3 第17题】
证明：（1）∵E，D 分别是 AB，AC 的中点，
∴ED 是△ABC 的中位线，∴ED∥BC，且 ED = BC.
∵M，N 分别是 BO，CO 的中点，
∴MN 是△OBC 的中位线，OM = BM = BO.
∴MN∥BC，且 MN = BC . ∴ED MN.
∴四边形 EMND 是平行四边形. ∴OM = OD.
又OM = BO，∴BO = 2OD.
（2）作三角形 BC 边上的中线，与 BD 相交于点 O′.
同（1）中过程可证 BO′ = 2O′D .
∴点 O 与点 O′ 重合，即 BC 边上的中线一定过点 O.
18. 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠B = 90°，AD = 24 cm，
BC = 26 cm. 点 P 从点 A 出发，以 1 cm/s 的速度向点 D 运动；
同时点 Q 从点 C 出发，以 3 cm/s 的速度向点 B 运动. 规定其中
一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动. 从运动开始，
需经过多长时间，才能使 PQ = CD？为什么？
分析：由题意可知，需分两种情况讨论：
①四边形 PQCD 为平行四边形；
②四边形 PQCD 为等腰梯形.
【选自教材第81页 习题21.3 第14题】
解：经过 6 s或7 s，才能使 PQ = CD.
理由：设经过 t s 使 PQ = CD，则 DP = (24－t) cm，QC = 3t cm，
分以下两种情况讨论：
①四边形 PQCD 为平行四边形，由平行四边形的性质可得 DP = QC，即 24－t = 3t，解得 t = 6；
②四边形 PQCD 是等腰梯形，则此时下底 QC 比上底 PD 长
2×(26－24) = 4（cm），
即 3t－(24－t) = 4，解得 t = 7.
综上所述，经过 6 s 或 7 s，才能使 PQ = CD.(共11张PPT)
习题21.1
人教·八年级数学下册
四边形
21
复习巩固
1. 四边形的四个角可以都是锐角吗？可以都是钝角吗？
可以都是直角吗？为什么？
解：四边形的四个角不可以都是锐角，不可以都是钝角，可以都是直角. 理由如下：
若四个角都是锐角，则四边形的内角和小于 360°，这与四边形的内角和等于 360°相矛盾.故四边形的四个角不可以都是锐角.
若四个角都是钝角，则四边形的内角和大于 360°，这与四边形的内角和等于 360°相矛盾. 故四边形的四个角不可以都是钝角.
【选自教材第52页 习题21.1 第1题】
若四个角都是直角，则四边形的内角和等于 360°，符合四边形的内角和定理. 故四边形的四个角可以都是直角.
复习巩固
1. 四边形的四个角可以都是锐角吗？可以都是钝角吗？
可以都是直角吗？为什么？
【选自教材第52页 习题21.1 第1题】
2. 填表：
多边形的边数 3 4 5 6 8 12 20
内角和
外角和
180°
360°
360°
360°
540°
360°
720°
360°
1080°
360°
1800°
360°
3240°
360°
【选自教材第52页 习题21.1 第2题】
3. 求正五边形和正十边形的每个内角的度数.
解：∵正五边形的每个外角的度数为 360°÷5 = 72°，
∴每个内角的度数为 180°－72°= 108°.
∵正十边形的每个外角的度数为 360°÷10 = 36°，
∴每个内角的度数为 180°－36°= 144°.
【选自教材第53页 习题21.1 第3题】
4.（1）一个多边形的内角和与外角和相等，求它的边数；
（2）一个多边形的内角和是外角和的一半，求它的边数.
解：（1）设它的边数为 n，则有 (n－2)×180°= 360°，解得 n = 4.
∴它的边数为 4.
（2）设它的边数为 n，则有 (n－2)×180°= 360°×，
解得 n = 3.
∴它的边数为 3.
【选自教材第53页 习题21.1 第4题】
综合运用
5. 如图，在四边形 ABCD 中，∠A = ∠C，∠B = ∠D，AB 与 DC 有怎样的位置关系？为什么？BC 与 AD 呢？
解：∵∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°，∠A = ∠C，∠B = ∠D，
∴2(∠A + ∠D) = 360°，
即∠A + ∠D = 180°. 故 AB∥DC .
同理可得 ∠A + ∠B = 180°.
故 BC∥AD .
【选自教材第53页 习题21.1 第5题】
6. 如图，在 n 边形内任取一点 O，连接点 O 与 n 边形的各个
顶点，n 边形被分成多少个三角形？请你利用这种方法推导
n 边形的内角和公式.
解：由题意，得 n 边形被分成 n 个三角形.
∵ 1 个三角形的内角和等于 180°，
∴ n 个三角形的内角和等于 n×180°.
去掉中间的周角，得 n 边形的内角和为
n×180°－360°，
即 n 边形的内角和公式为 (n－2)×180°.
【选自教材第53页 习题21.1 第6题】
n－1
7. 如图，五边形 ABCDE 的内角都相等，且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4， 求 x 的值.
解：∠DEA = ∠EDC = ∠DCB = = 108°.
(5－2)×180°
5
在△DEA 中，∠DEA + ∠1 + ∠2 = 180°.
∵∠1 = ∠2，∴∠1 = 36°.
在△DCB 中，∠DCB + ∠3 + ∠4 = 180°.
∵∠3 = ∠4，∴∠3 = 36°.
∴∠ADB = ∠EDC-∠1-∠3 = 108°-36°-36°= 36°，即 x = 36.
【选自教材第53页 习题21.1 第7题】
拓广探索
8. 如图，在四边形 ABCD 中，AC，BD 是它的两条对角线.
比较 AC + BD 与四边形周长的大小.
解：在△ABD 中，根据三角形的三边关系，得 AB + AD > BD.
同理可得，AB + BC > AC，AD + CD > AC，BC + CD > BD，
∴2(AB + BC + CD + AD) > 2(AC + BD) ，
即 AB + BC + CD + AD > AC + BD.
∴AC + BD 小于四边形的周长.
【选自教材第53页 习题21.1 第8题】
9. 如图，要使四边形木架（用 4 根木条钉成）不变形，至少
要再钉上几根木条？五边形木架和六边形木架呢？
分析：要使多边形木架不变形，钉上木条使其变成三角形即可.
解：四边形木架至少要再钉上 1 根木条，五边形木架至少要再钉上 2 根木条，
六边形木架至少要再钉上 3 根木条.
【选自教材第53页 习题21.1 第9题】(共24张PPT)
习题21.2
R·八年级数学下册
四边形
21
复习巩固
1. 如果四边形 ABCD 是平行四边形，AB = 6，且 AB 的长是
ABCD 周长的 ，那么 BC 的长多少？
解：∵AB = 6，且 AB 的长是 ABCD 周长的 ，
∴ ABCD 的周长是 6÷ = 32.
又平行四边形的对边相等，∴BC = (32－6×2)÷2 = 10.
答：BC 的长是 10.
2. 如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板. 如果光线
与纸板右下方所成的 ∠1 是 72°15′，那么光线与纸板左上方
所成的 ∠2 是多少度？为什么？
解：∠2 = 72°15′ . 理由：
如图，∵光线 AD∥BC，纸板对边 AB∥DC，
∴光线与纸板所形成的四边形 ABCD 是平行
四边形，而平行四边形的对角相等，
∴∠2 = ∠1 = 72°15'.
A
D
B
C
3. 如图， ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，
且 AC + BD = 36，AB = 11. 求 △OCD 的周长.
A
B
D
C
O
解：∵ ABCD 的对角线互相平分且和为 36，
∴OC + OD = (AC + BD) = ×36 = 18.
又 ABCD 的对边相等，
∴DC = AB = 11，
∴△OCD 的周长= OC + OD + DC = 18 + 11 = 29.
答：△OCD 的周长为 29.
A
B
D
C
O
平行四边形中与周长有关的结论：
（1）C△AOB = C△DOC = (AC + BD) + AB (或CD)；
（2）C△AOD = C△BOC = (AC + BD) + AD (或BC)；
（3）C△AOB － C△BOC = AB － BC ；
（4）C△ABC － C△ABD = AC － BD .
4. 在 ABCD 中，∠A = 45°，AB = 4，AD = 2.
求 ABCD 的面积.
解：如图，过点 B 作 BE ⊥ AD 于点 E，
∴∠BEA = 90°.
∵∠A = 45°，∴∠ABE = 45°= ∠A .
∵AB = 4，∴易得 BE = AB = .
∴S ABCD =AD·BE = 2× = .
5. 如图，在 ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，AD 上，
且 AF = CE . 求证：四边形 AECF 是平行四边形.
平行四边形判定方法的选择：
已知条件 证明思路
一组对边相等 （1）另一组对边相等
（2）该组对边平行
一组对边平行 （1）另一组对边平行
（2）该组对边相等
对角线相交 对角线互相平分
角 两组对角分别相等
5. 如图，在 ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，AD 上，
且 AF = CE . 求证：四边形 AECF 是平行四边形.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，即 AF∥CE .
又 AF = CE，
∴四边形 AECF 是平行四边形.
6. 如图， ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，且 E，F，
G，H 分别是 AO，BO，CO，DO 的中点.
求证：四边形 EFGH 是平行四边形.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AO = CO，BO = DO.
又 E，F，G，H 分别是 AO，BO，CO，DO 的中点，
∴EO = AO，FO = BO，GO = CO，HO = DO .
∴EO = GO，FO = HO .
∴四边形 EFGH 是平行四边形.
7. 如图，在长方形台球桌面上击球，得到球的运动轨迹恰好为
四边形 EFGH. 当台球每次撞击一条桌边时，入射方向与这条
桌边的夹角等于反弹方向与这条桌边的夹角，如∠BEH = ∠AEF，
则四边形 EFGH 是平行四边形吗？为什么？
解：四边形 EFGH 是平行四边形.
理由如下：
由题意知∠BEH = ∠AEF，∠AFE =∠DFG，∠BHE = ∠CHG.
∵∠B = ∠A = 90°，
∴∠BHE = ∠AFE .
∴∠AFE = ∠DFG = ∠BHE = ∠CHG .
∴易得∠EFG = ∠GHE .
同理可得∠HEF = ∠FGH .
∴四边形 EFGH 是平行四边形 .
8. 如图，四边形 AEFD 和四边形 EBCF 都是平行四边形.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形 .
证明：∵四边形 AEFD 和 EBCF 都是平行四边形，
∴AD EF，EF BC，∴AD BC，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
9. 如图，直线 l1∥l2，△ABC 与△DBC 的面积相等吗？为什么？
你还能画出一些与△ABC 面积相等的三角形吗？
A
D
B
C
l2
l1
解：△ABC 与△DBC 的面积相等.
理由：∵l1∥l2，∴△ABC与△DBC 同底等高，面积相等.
图中还能画出无数个与△ABC 的面积相等的三角形，凡是以 BC 为底，另一顶点在 l1上的三角形均与△ABC 的面积相等.
综合运用
10. 如图，在 ABCD 中，点 E 在 BC 上，∠ADE = 30°，
EA 平分∠BED，DE = 8. 求 △ADE 的面积.
A
D
B
C
E
F
解：如图，过点 E 作 EF ⊥ AD 于点 F .
在 Rt△DEF 中，DE = 8，∠ADE = 30°，
∴ EF = DE = 4 .
∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE = ∠BEA.
∵EA 平分∠BED，∴∠DEA = ∠BEA，
∴∠DAE = ∠DEA，∴AD = DE = 8.
∴S△ADE = AD·EF = ×8×4 = 16.
11. 如图，在梯形 ABCD 中，AB∥DC，∠A = ∠B.
求证 AD = BC .
A
B
D
C
转化到同一个三角形中.
证明: 如图，过点 C 作 CE ∥AD，交 AB 于点 E.
∵AB∥DC，∴四边形 AECD 是平行四边形.
∴AD = CE .
∵CE∥AD，∴∠A = ∠CEB .
又∠A = ∠B，∴∠B =∠CEB，∴CE = BC .
∴AD = BC .
E
12. 如图， OABC 的顶点 O，A，C 的坐标分别是（0，0），
（a，0），（b，c）. 求顶点 B 的坐标.
解：如图，延长 BC 交 y 轴于点 M .
∵四边形 OABC 为平行四边形，
∴BC OA .
根据题意可知，OA 与 x 轴重合，OA = a .
∴BC∥x 轴，BC = a，∴CM = b .
∴点 B 的纵坐标为 c，横坐标为 BC + CM = a + b .
即顶点 B 的坐标为（a + b，c）.
M
13. 如图，已知△ABC，过点 A，B，C 分别作 B'C'∥CB，
C'A'∥AC，A'B'∥BA，那么∠ABC 与∠B' 有什么关系？
线段 AB' 与线段 AC' 呢？为什么？
解：∠ABC =∠B'，AB' = AC' . 理由：
∵A'B'∥BA，B'C'∥CB，C'A'∥AC，
∴四边形 ABCB' 、四边形 C'BCA 都是平行四边形，
∴∠ABC = ∠B' ，且 AB' = BC，AC' = BC，
∴AB' = AC' .
14. 如图，四边形 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD = 12，
DO = OB = 5，AC = 26， ∠ADB = 90°. 求 BC 的长和四边形
ABCD 的面积.
解：在△ADO 中，AD = 12，DO = 5，∠ADO = 90°，
∴AO = = = 13.
∵AC = 26，∴OC = AC－AO = 26－13 = 13，
即 AO = OC.
又 DO = OB = 5，∴四边形 ABCD 是平行四边形，BD = 10，
∴BC = AD = 12，S ABCD =2S△ABD = 2× BD·AD = 10×12 = 120.
拓广探索
15. 如图，在 ABCD 中，过对角线 BD 上一点 P 作 EF∥BC，
GH∥AB . 图中哪两个平行四边形面积相等？为什么？
分析：利用题中平行关系找出相应的
平行四边形，再结合平行四边形的对
角线平分其面积得到 S△ABD = S△CBD，
S△EBP = S△GBP，S△HPD = S△FPD，
最后由面积的和差关系找出面积相等
的平行四边形.
解： AEPH 与 PGCF面积相等. 理由：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴S△ABD = S△CBD，AB∥CD，AD∥BC .
结合 EF∥BC，GH∥AB，易证四边形 EBGP、四边形 PFDH、
四边形 AEPH、四边形 PGCF 都是平行四边形.
∴ S△EBP = S△GBP，S△HPD = S△FPD，
∴S△ABD －S△EBP － S△HPD = S△CBD － S△GBP －S△FPD，
即 S AEPH = S PGCF .
同理还有：S ABGH = S BCFE，S AEFD = S CDHG .
16. 如图，用硬纸板剪一个平行四边形，找出它的对角线的交点 O，
把一根细直木条平放在硬纸板上，用大头针固定在点 O 处，
并使细木条可以绕点 O 随意转动. 拨动细木条，让它转动后停止.
观察若干次拨动的结果，你能发现什么结论？证明你的发现.
E
F
分析：连接 AC，BD，结合平行四边形的对角线互相平分，找出图中的全等三角形，从而得到线段、面积的等量关系.
解：如图，设木条与AD，BC 的交点分别为 E，F.
发现：（1）OE = OF，（2）AE = CF，
（3）DE = BF，（4）S四边形ABFE = S四边形CDEF .
证明（1）过程如下：连接 AC，BD .
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AO=CO，AD∥BC，∴∠EAO =∠FCO .
又∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE = OF. 其余结论证明略.
E
F
17. 求证：平行四边形两条对角线长的平方和等于四条边长的平方和.
分析：画出图形，作某条边上的高，结合勾股定理得到几个关于平方的等式，通过等式的变形代入，进而证明结论正确.
已知：如图，在 ABCD中，AC，BD 是它的对角线.
求证：AC2 + BD2 = AB2 + BC2 + CD2 + AD2 .
证明：如图，过点 A 作 AE ⊥ BC 于点 E，过点 D 作 DF ⊥ BC 于点 F .
设 BE = x，AE = h，AB = CD = a，AD = BC = b，AC = c，BD = d，
∴AC2 + BD2 = c2 + d2，
AB2 + BC2 + CD2 + AD2 = a2 + b2 + a2 + b2 = 2a2 + 2b2 .
易证△ABE≌△DCF，∴CF = BE = x，DF = AE = h.
在Rt△ABE 中，由勾股定理，a2 = h2 + x2；①
在Rt△ACE 中，由勾股定理，c2 = h2 + (b－x)2；②
在Rt△DBF 中，由勾股定理，d2 = (b + x)2 + h2，③
∴c2 + d2 = 2h2 + (b－x)2 + (b + x)2 = 2h2 + 2b2 + 2x2 = 2(h2 + x2) + 2b2 = 2a2 + 2b2，
即 AC2 + BD2 = AB2 + BC2 + CD2 + AD2 .

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