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(共26张PPT)
第一轮　基础复习　
第一部分　数与代数
第一章　数与式
第1讲　实数
知识点1　 正负数
如果一个问题出现 意义的量，通常用正数和负数分别表示
它们.
具有相反
1. （1）（2025·达州）如果收入100元记作＋100元，那么支出40元应记
作（　C　）
A. ＋60元 B. ＋40元
C. －40元 D. －60元
（2）【易错】小明的体重增加－3kg表示的实际意义是 .
（3）（2025·广东）某品牌乒乓球产品质量参数是2.74g±0.02g，如果
一只乒乓球的质量高于标准质量0.02g记作＋0.02g，那么低于标准质量
0.02g记作（　A　）
A. －0.02g B. ＋0.02g
C. －0.04g D. ＋0.04g
C
小明体重减少3kg
A
知识点2　 相反数
（1）定义：只有 不同的两个数互为相反数.
（2）性质：若a与b互为相反数 a＋b＝ .
符号
0
2. （1）（2025·眉山）2025的相反数是 ；
（2025·凉山州改编）－ 的相反数是 　 　；
（2026·中考预测）0的相反数是 ；
（2025·东莞模拟）化简－（－2025）＝ .
（2）a的相反数是 ，a－b的相反数是 .
（3）（教材母题改编）若a，b互为相反数，且a，b的值不为0，则
＝ .
－2 025

0
2 025
－a
b－a
－1
知识点3　 倒数
（1）定义：乘积为1的两个实数互为倒数.
（2）性质：m和n互为倒数 mn＝ .（注意：0没有倒数）
3. （1）（教材母题改编）－3的倒数是 　－ 　，－ 的倒数是 ，1.5的倒数是 　 　.
（2）（2026·原创）倒数等于它本身的数是 .
1
－
－

±1
知识点4　 数轴（规定了原点、正方向和单位长度的直线）
（1）数轴三要素： 、 、 .
（2）实数与数轴上的点是一一对应的.　　　
原点
正方向
单位长度
4. （1）下列数轴的画法中正确的是（　C　）
A B C D
（2）如图，在数轴上，点A，B分别表示数a，b，且a＋b＝0，若AB
＝6，则点A表示的数为（　A　）
A. －3 B. 0 C. 3 D. －6
（3）（2025·吉林）如图，点A表示的数是1.若将点A向左移动3个单位
长度得到点A'，则点A'表示的数为 .
C
A
－2
知识点5　 绝对值
（1）定义：数轴上表示数a的点与 的距离叫做数a的绝对值，
记作｜a｜.
（2）性质：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；零的
绝对值是零.
｜a｜＝
原点
5. （1）（2025·连云港）－5的绝对值是 ，0的绝对值是　 ，－4.8的
绝对值是 .
（2）｜－1 ｜＝ ，－｜－5｜＝ ，｜2－ ｜＝ .
（3）（教材母题改编）若｜x｜＝2，则x＝ .
5
0
4.8
1
－5
－2
±2
知识点6　 科学记数法
（1）把一个数记作a×10n的形式（其中1≤｜a｜＜10，n为整数），
这种记数方法叫做科学记数法.
（2）若原数为大于10的正数，则n是正整数；若原数为小于1的正数，
则n是负整数.
6. 用科学记数法表示下列各数：
（1）（2025·广东改编）384 000＝ ；
（2025·广西改编）1 300万＝ .
（2）（2025·眉山改编）244 亿＝ ；
（2025·河南改编）0.000 074＝ .
3.84×105
1.3×107
2.44×1010
7.4×10－5
知识点7　近似数
一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.
7. （1）（教材母题改编）近似数5.70精确到 或说精确到
位.
（2）（教材母题改编）37.953（精确到百分位）≈ ，37.953
（精确到0.1）≈ .
0.01
百
分
37.95
38.0
知识点8　 实数的相关概念及分类
实数
（1）有理数：有理数包括整数、有限小数或无限循环小数.
（2）无理数：无限不循环小数.
（3）常见无理数：① ；②π；③0.303 003 000 3…（每两个3之间依
次多1个0）；④tan 38°等.
8. （1）（2025·德阳改编）下列数是正整数的是（　A　）
A. 1 B. 0 C. －1 D.
（2）（2025·江西）下列各数中，是无理数的是（　B　）
A. 0 B. C. 3.14 D.
A
B
知识点9　 实数的大小比较
（1）正负数比较法：①正数都大于0；②负数都小于0；③两个负数比较
大小，绝对值大的反而小.
（2）数轴比较法：数轴上的点表示的数右边的总比左边的大.
（3）作差比较法：①若a－b＞0，则a＞b；②若a－b＝0，则a＝b；
③若a－b＜0，则a＜b.
（4）平方比较法.
9. （1）比较下列实数的大小：
①3 －2，－2.3 0，－ － ；
② 3，3 2 .
＞
＜
＞
＜
＞
（2）（2025·福建）下列实数中，最小的数是（　A　）
A. －1 B. 0 C. D. 2
（3）（2025·湖北）数轴上表示数a，b的点如图所示，下列判断正确的
是（　A　）
A. a＜b B. a＞b C. b＜0 D. a＞0
A
A
知识点10　 实数的运算
（1）实数混合运算的顺序：
①先算乘方、绝对值，再算乘除，最后算加减；
②若有括号，先算括号里面的；
③同级运算，从左到右进行.
（2）an＝
a－n＝ .

10. （1）计算：32＝ ，－14＝ ，－103＝ ，（π
－1）0＝ .
（2）计算：（ ）－1＝ ，2－3＝ 　 　，（－ ）－2＝ 　 　.
9
－1
－1 000
1
3


（3）计算：
①（2025·连云港）（－2）×（－5）－ － ；　　　　
解：（3）①原式＝10－3－1＝7－1＝6.
②（2025·福建）20＋｜1－ ｜－ .
解：（3）②原式＝1＋ －1－2 ＝－ .
（4）（2025·北京）计算：｜－3｜＋ ＋ －2 sin 30°.
解：原式＝3＋3 ＋2－2× ＝3＋3 ＋2－1＝4＋3 .
解：（3）①原式＝10－3－1＝7－1＝6.
解：（3）②原式＝1＋ －1－2 ＝－ .
解：原式＝3＋3 ＋2－2× ＝3＋3 ＋2－1＝4＋3 .
重点1　相反数、倒数、绝对值【考查选择与填空题】
[例 1]（2025·泸州）下列各组数中，互为相反数的是（　A　）
A. 7和－7 B. 3和－2
C. 2和 D. －0.1和10
[变式1]（1）（教材母题改编）若m，n互为倒数，且满足m＋mn＝3，
则n的值为（　B　）
A. B. C. 2 D. 4
（2）（2025·烟台）｜－3｜的倒数是（　B　）
A. 3 B. C. －3 D. －
A
B
B
重点2　科学记数法【考查选择与填空题】
[例 2]（2025·安徽改编）数据10.75万亿用科学记数法表示为a×10n，
则a＝ ，n＝ .
[变式2]（2025·北京改编）已知某小行星与地球的最近距离约为月球远地
点距离的45倍，月球远地点距离约为4×105km，则该小行星与地球的最
近距离约为（　C　）
A. 1.8×105km B. 1.8×106km
C. 1.8×107km D. 1.8×1010km
1.075
13
C
重点3　实数的运算
[例 3]（2025·齐齐哈尔）计算： －｜1－ ｜＋2 sin 45°－ .
解：原式＝3－（ －1）＋2× －9＝3－ ＋1＋ －9＝－5.
[变式3]（2026·原创）计算： － ＋ ＋2 cos 30°.
解：原式＝4－3＋2－ ＋2× ＝3－ ＋ ＝3.
解：原式＝3－（ －1）＋2× －9＝3－ ＋1＋ －9＝－5.
解：原式＝4－3＋2－ ＋2× ＝3－ ＋ ＝3.
1. （2025·内蒙古）｜－2025｜的相反数是（　B　）
A. 2025 B. －2025 C. D. －
B
2. （2025·威海）下表记录了某日我国四个城市的平均气温：
城市 北京 哈尔滨 威海 香港
气温/℃ －2.6 －19.8 4.2 18.7
其中，平均气温最低的城市是（　B　）
A. 北京 B. 哈尔滨 C. 威海 D. 香港
3. （2025·自贡）若（－4）× ＝8，则 内的数字是（　A　）
A. －2 B. 2 C. 4 D. －4
B
A
4. （2025·孝义三模）中国人很早就开始使用负数.魏晋时期的数学家刘
徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹分别表示正数和负数
（红色为正，黑色为负）.若红色算筹“ ”表示的数是“＋32”，则
黑色算筹“ ”表示的数是（　C　）
A. ＋53 B. ＋35 C. －53 D. －35
C
5. （2025·福建）为响应“体重管理年”有关倡议，小敏对自己的体重进
行了跟踪统计.为方便记录，他将体重增加1.5kg记作＋1.5，那么体重减
少1kg应记作 .
6. （2025·威海改编）“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次
擦或者写.一皮秒仅相当于一万亿分之一秒.400皮秒用科学记数法表示
为 秒.
－1
4×10－10
7. （2025·成都）任意给一个数x，按如图所示的程序进行计算.若输出
的结果是15，则x的值为 .
8. （2025·南充）如图，把直径为1个单位长度的圆从点A沿数轴向右滚
动一周，圆上点A到达点A'，点A'对应的数是2，则滚动前点A对应的数
是 .
3
2－π
9. 纽约与北京的时差为－13小时，李伯伯在北京乘坐早晨8：00的航班
飞行约20小时到达纽约，则李伯伯到达纽约的时间是 时.
15
10. （2025·河北）一道习题及其错误的解答过程如右下图：
请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答
过程.
解：原解题步骤从第一步开始出现错误.正确的解答过程如下：原式
＝（－6）× ＋（－6）× －（－6）× ＝－3－4＋5＝－2.（答案
不唯一）
解：原解题步骤从第一步开始出现错误.正确的解答过程如下：原式
＝（－6）× ＋（－6）× －（－6）× ＝－3－4＋5＝－2.（答案
不唯一）
11. （教材母题改编）你会玩“24点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、
小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌只能用
一次），使得运算结果为24或－24，其中红色扑克牌（红桃、方块）代
表负数，黑色扑克牌（黑桃、梅花）代表正数，J，Q，K分别代表11，
12，13.例如：抽到了黑桃7，黑桃3，梅花3，梅花7，运用下面的方法凑
成了24：7×（3＋3÷7）＝24.
（1）如果抽到的是黑桃7，黑桃3，红桃3，梅花7，你能凑成24吗？
解：（1）（答案不唯一）[3－（－3）÷7]×7＝24.
解：（1）（答案不唯一）[3－（－3）÷7]×7＝24.
（2）请将下面的一组扑克牌凑成24：黑桃Q，红桃Q，梅花3，方块A.
（请用两种方法）
解：（2）（答案不唯一）①12×3－（－12）×（－1）＝24；②12＋
（－12）×（－1）3＝24.
解：（2）（答案不唯一）①12×3－（－12）×（－1）＝24；②12＋
（－12）×（－1）3＝24.(共23张PPT)
第一轮　基础复习　
第一部分　数与代数
第一章　数与式
第3讲　整式与因式分解
知识点1　 整式的有关概念
单项
式 （1）概念：只含有数与 　的代数式叫做单项
式，单独的一个 　或 　也是单项式.
（2）系数：单项式中的 　叫做单项式的系数.
（3）次数：单项式中所有的字母的 　的和叫做这个单
项式的次数.
字母的乘积
数
字母
数字因数
指数
多项
式 （1）概念：几个单项式的 　叫做多项式.
（2）项：多项式中的每个 　叫做多项式的项，其中
不含 　的项叫做常数项.
（3）次数：多项式里次数最 　的项的次数，叫做这个多
项式的次数.
整式 　与 　统称为整式.
和
单项式
字母
高
单项式
多项式
1. （1）下列式子是单项式的是（　A　）
A. 5x B. x＋5 C. D. x－5
（2）单项式－ 的系数是 　－ 　，次数是 .
（3）（2025·广东模拟）多项式2a2b－ab－1的次数是（　B　）
A. 5 B. 3 C. 2 D. 1
（4）多项式3x2y3－xy2－4的项分别是 ，它
是 次 项式.
A
－
3
B
3x2y3，－xy2，－4
五
三
知识点2　 代数式的概念，代数式的值
（1）代数式：用基本运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做
代数式.
（2）代数式求值：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关
系计算得出结果.
2. （1）（2025·广安）一种商品每件标价为a元，按标价的八折出售，
则每件商品的售价是 元.
（2）已知x＝－1，则代数式1－x的值为 ，代数式x2＋3的值
为 .
（3）（2025·威海）若2x－3y＝2，则6y－4x＋1＝ .
0.8a
2
4
－3
知识点3　 幂的计算【常考选择或填空题】
同底数幂相乘 am·an＝am＋n，如a3·a2＝a3＋2＝a5
幂的乘方 （am）n＝amn，如（a3）2＝a3×2＝a6
积的乘方 （ab）n＝anbn，如（3a）2＝32·a2＝9a2
同底数幂相除 am÷an＝am－n（a≠0），如a6÷a2＝a6－2＝a4
零指数幂 a0＝1（a≠0），如2 0260＝1
负整数指数幂 a－m＝ （a≠0），如3－2＝ ＝
3. （1）计算：x3·x4＝ ，（x3）4＝ ，x4÷x3＝ ，
（2x2）3＝ .
（2）计算：（π－1）0＝ ，－30＝ ，3－2＝ 　 　，（－ ）
－1＝ .
（3）【易错】若am＝6，an＝2，则am＋n＝ ，am－n＝ ，am
＋2n＝ .
x7
x12
x
8x6
1
－1

－5
12
3
24
知识点4　 整式的运算
（1）①同类项：所含 　相同，并且相同字母的 　也相
同的项叫做同类项，几个常数项也是同类项.②合并同类项：把同类项
的 　相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数 ，即am＋bm＝（a＋b）m.
（2）单项式乘单项式：3m·2m＝6m2；单项式乘多项式：m（a＋b）
＝am＋bm；
多项式乘多项式：（a＋b）（m＋n）＝am＋an＋bm＋bn.
（3）单项式除以单项式：am÷m＝a；多项式除以单项式：（ma＋
mb）÷m＝a＋b.
字母
指数
系数
不变
4. （1）计算：3m＋2m＝ ，3m－2m＝ ，2m－ m
＝ .
（2）计算：6x2·2x＝ ，6x2÷2x＝ ，2x÷6x＝ .
（3）计算：（6x2－4x）·2x＝ ，（6x2－4x）÷2x
＝ .
（4）计算：（x＋3）（x＋2）＝ ，（2x＋3）（x－1）＝ .
5m
m
m
12x3
3x

12x3－8x2
3x－2
x2＋5x＋6
2x2＋x－3
知识点5　 乘法公式
（1）平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2.如（m＋3）（m－3）＝ .
（2）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＋b2.如（m＋3）2＝
.
m2－9
m2＋
6m＋9
5. （1）下列式子中是完全平方式的是（　D　）
A. a2＋ab＋b2 B. a2＋2a＋2
C. a2－2b＋b2 D. a2＋2a＋1
（2）若x2＋kx＋25是完全平方式，则k的值为 .
（3）计算：（x＋3）（x－3）＝ ，（2x＋5）（2x－5）
＝ .
（4）计算：（x－5）2＝ ，（3x＋2y）2＝
.
D
±10
x2－9
4x2－25
x2－10x＋25
9x2＋
12xy＋4y2
知识点6　 因式分解【常考填空题】
（1）定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式
分解.
（2）因式分解的方法
（3）因式分解的步骤：①提；②套；③检查.
6. 分解因式：
（1）【提单】（2025·长沙）mx－2my＝ ，（2025·广
东）a2b＋ab2＝ .
（2）【套公式】（2025·惠州二模）9－m2＝ ，
（2025·广东三模）a2＋6a＋9＝ .
（3）【提＋套】（2025·深圳模拟）2x2－8＝ ，（2025·绥化）2mx2－4mxy＋2my2＝ .
m（x－2y）
ab（a＋b）
（3－m）（3＋m）
（a＋3）2
2（x－2）（x＋2）
2m（x－y）2
重点1　幂的运算
[例 1]（1）（2025·广州模拟）下列运算正确的是（　C　）
A. x2·x4＝x8 B. （x－1）2＝x2－1
C. （－m2）3＝－m6 D. m2＋m3＝m5
（2）（2025·广州模拟）若am＝7，an＝3，则am＋2n＝ .
C
63
[变式1]（1）（2025·汕尾一模）若3m－n－2＝0，则8m÷2n的值是
（　D　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
（2）（2025·汕头三模）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则下列关系中
正确的是（　C　）
A. b＞c＞a B. a＞c＞b
C. a＞b＞c D. a＜b＜c
D
C
重点2　因式分解
[例 2]（1）（2025·普宁一模）分解因式：a3－9a＝（　A　）
A. a（a－3）（a＋3） B. a（a2＋9）
C. （a－3）（a＋3） D. a2（a－9）
（2）（2025·汕头一模）已知a－b＝－3，则2a2－4ab＋2b2＝ .
A
18
[变式2]（1）（2025·深圳三模）已知x－y＝2，xy＝3，则代数式x2y－
xy2的值为 .
（2）（2025·广东模拟）分解因式：x（x－3）＋（3－x）＝
.
（3）（2025·东莞模拟）分解因式：（x－3）（x－5）＋1＝ .
6
（x－
3）（x－1）
（x－4）2
重点3　整式的运算【能利用乘法公式进行简单的推理】
[例 3]（1）（2025·台湾）计算（5x2－2x）－（4－3x）的结果，正确
的是（　B　）
A. 5x2－3x B. 5x2＋x－4
（2）（2025·高州模拟）先化简，再求值：（2x＋1）（2x－1）－（2x
－3）2，其中x是4的算术平方根.
解：（2）原式＝4x2－1－（4x2－12x＋9）＝4x2－1－4x2＋12x－9＝
12x－10.
∵x是4的算术平方根，∴x＝2.
当x＝2时，原式＝12×2－10＝24－10＝14.
B
解：（2）原式＝4x2－1－（4x2－12x＋9）＝4x2－1－4x2＋12x－9＝
12x－10.
∵x是4的算术平方根，∴x＝2.
当x＝2时，原式＝12×2－10＝24－10＝14.
C. 5x2－5x＋4 D. 5x2－5x－4
[变式3]（2025·广州模拟）已知多项式A＝（x＋2）2＋（1－x）（2＋
x）－3.
（1）化简多项式A；
解：（1）A＝（x＋2）2＋（1－x）（2＋x）－3＝x2＋4x＋4＋2＋x
－2x－x2－3＝3x＋3.
（2）若（x＋1）2＝8，求A的值.
解：（2）∵（x＋1）2＝8，
∴x＋1＝±2 .
∴A＝3x＋3＝3（x＋1）＝±6 .
解：（1）A＝（x＋2）2＋（1－x）（2＋x）－3＝x2＋4x＋4＋2＋x
－2x－x2－3＝3x＋3.
解：（2）∵（x＋1）2＝8，
∴x＋1＝±2 .
∴A＝3x＋3＝3（x＋1）＝±6 .
1. （2025·河源模拟）已知a＋b＝2，a－b＝3，则a2－b2＝ .
2. （2025·广州二模）计算：20252－20242＝ .
3. （2025·成都）多项式4x2＋1加上一个单项式后，能成为一个多项式的
平方，那么加上的单项式可以是 .（填一个即可）
6
4049
（答案不唯一）4x
4. （2025·东莞模拟）阅读理解：引入新数i，新数i满足分配律、结合
律、交换律，已知i2＝－1，那么（1＋i）·（1－i）的平方根是 .
5. （2025·广东模拟）某密码翻译爱好者的书记录着2，x，x2－1，x＋
1，x－1分别对应：“2”“4”“6”“5”“3”的数字，则多项式2x3－
2x因式分解后呈现的密码信息可以是 .
±
（答案不唯一）2435
6. （2025·梅州一模）已知ab＝2，a＋b＝－3，则a2＋b2＝ .
7. （2025·东莞三模）如图，某校九年级两个班级的劳动实践基地是两块
边长为m，n的正方形，其中重叠部分B为池塘，S1，S2分别表示两个
阴影部分的面积.若m＋n＝9，mn＝15，则S1－S2＝ .
5
9
8. （2025·广东模拟）如图，有三种卡片，其中边长为a的正方形卡
片有4张，边长分别为a，b的矩形卡片有12张，边长为b的正方形卡
片有9张.
（1）取甲、乙卡片各一张，其面积和为 ；
a2＋ab
（2）用这25张卡片拼成一个正方形，求这个正方形的边长；（用含a，
b的代数式表示）
解：（2）∵这25张卡片拼成的正方形面积为4a2＋12ab＋9b2，
∴这个正方形的边长为 ＝ ＝2a＋
解：（2）∵这25张卡片拼成的正方形面积为4a2＋12ab＋9b2，
∴这个正方形的边长为 ＝ ＝2a＋3b.
2
（3）取其中的若干张拼成一个矩形（三种卡片都要用到且不重叠），使其面积为a2＋nab＋8b2，则n可能的整数值有 个.
9. （教材母题改编）已知一些两位数相乘的算式：53×57，38×32，
84×86，71×79.（每个算式中两个因数的十位数字相同，个位数字的和
等于10）
（1）计算已知算式中两个数的积，观察计算结果，你能发现不经过乘法
运算就可以快速直接写出积的规律吗？请用文字描述这个规律；
解：（1）53×57＝3021，38×32＝1216，84×86＝7224，71×79＝
5609，
规律为：如果两个两位数的十位数字相同，个位数字的和等于10，那么
积的前两位是十位数字乘比它大1的数字，积的后两位是两个个位数字的
乘积.
解：（1）53×57＝3021，38×32＝1216，84×86＝7224，71×79＝5609，
规律为：如果两个两位数的十位数字相同，个位数字的和等于10，那么
积的前两位是十位数字乘比它大1的数字，积的后两位是两个个位数字的
乘积.
9. （教材母题改编）已知一些两位数相乘的算式：53×57，38×32，
84×86，71×79.（每个算式中两个因数的十位数字相同，个位数字的和
等于10）
（2）请用整式乘法的知识证明（1）中的规律；
（2）证明：设这两个两位数分别为10a＋b和10a＋10－b，
（10a＋b）（10a＋10－b）＝100a2＋100a－10ab＋10ab＋10b－b2
＝100a2＋100a＋10b－b2＝100a（a＋1）＋b（10－b）.
（3）利用你总结的规律计算：58×52＝ ，752＝ .
（2）证明：设这两个两位数分别为10a＋b和10a＋10－b，
（10a＋b）（10a＋10－b）＝100a2＋100a－10ab＋10ab＋10b－b2
＝100a2＋100a＋10b－b2＝100a（a＋1）＋b（10－b）.
3016
5625(共20张PPT)
第一轮　基础复习　
第一部分　数与代数
第一章　数与式
第2讲　二次根式
知识点1　 平方根与立方根
（1）平方根：如果x2＝a，那么x叫做a的平方根，a的平方根用符号
“± ”表示.其中 表示a的算术平方根.（注：正数的平方根
有 个，它们互为 ；0的平方根是 ； 没有平
方根）
（2）立方根：如果x3＝a，那么x叫做a的立方根，a的立方根记为 .
（注：正数的立方根是 数，负数的立方根是 数，0的立方根是 ）
2
相反数
0
负数
正
负
0
1. （1）4的平方根是 ，算术平方根是 　；0的平方根
是 .
（2）7的平方根是 　± 　，10的算术平方根是 　 　.
（3）（2025·眉山）－27的立方根是 ，64的平方根是 ，
64的立方根是 .
（4）若一个数的平方根是x＋1和x－5，则x＝ ，这个数是 .
（5）计算： ＝ ，－ ＝ ， ＝ .
±2
2
0
±

－3
±8
4
2
9
3
－5
－5
知识点2　 二次根式的有关概念
（1）二次根式：一般地，形如 （a≥0）的式子叫做二次根式.
（2）二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零，即若二次根式
有意义，则 .
（3）最简二次根式：同时满足①被开方数不含分母；②被开方数不含能
开得尽方的因数.
（4）同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数 　的二次
根式叫做同类二次根式.
a≥0
相同
2. （1）（2026·原创）要使下列式子有意义，请把 满足的条件写在横
线上.
① ： ；
② ：　 　　；
③ ： 　 　.
x≤5
x＞3
x≥－3且x≠1
（2）（2025·惠州二模）下列各式中，是最简二次根式的是（　B　）
A. B. C. D.
B
（3）下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（　C　）
A. B. C. D.
（4）化简： ＝ 　4 　， ＝ 　5 　， ＝ 　 　，
＝ .
C
4
5


知识点3　 二次根式的性质公式
（1）（ ）2＝ （a≥0）；
（2） ＝｜a｜＝
（3） ＝ 　 · （a≥0，b≥0）；
（4） ＝ 　 　（a≥0，b＞0）.
a
·

3. （1）计算：（ ）2＝ ， ＝ ，
＝ ， ＝ 　 　.
（2）若x＝ ＋1，则式子x2－2x＋1的值为 .
1.5
3
36

3
知识点4　 二次根式的运算
（1）二次根式的加减法：先化为最简二次根式，再合并同类二次根式.
（2）二次根式的乘法法则： · ＝ （a≥0，b≥0）.
（3）二次根式的除法法则： ＝ （a≥0，b＞0）.
4. （1）（2025·广东）计算 × 的结果是（　B　）
A. 3 B. 6 C. D. 2
（2）（2025·吉林）计算： ＋ ＝ 　3 　.
（3）（2025·河北）计算：（ ＋ ）（ － ）＝ .
（4） ÷ ＝ .
B
3
4
4
重点1　平方根、立方根
[例 1]下列说法中正确的是（　C　）
A. 0.09的平方根是0.3 B. ＝±4
C. 0的立方根是0 D. 1的立方根是±1
[变式1]（1）（2026·原创） 的立方根是 ， 的平方根
是 .
（2）一个正数a的两个平方根分别是2b－1和b＋4，则a＋b的立方根
为 .
C
2
±2
2
重点2　二次根式的双重非负性
[例 2]（1）（2025·凉山州）若式子 在实数范围内有意义，则m的取
值范围是 .
（2）（2025·广州一模）当x＝ 时， 的值最小.
m≥1
3
[变式2]（2025·福建）（1）若 在实数范围内有意义，则实数x的
值可以是（　D　）
A. －2 B. －1 C. 0 D. 2
（2）若 ＋｜b－1｜＝0，则（a＋b）2 026＝ .
D
1
重点3　二次根式的计算
[例 3]（2025·广东模拟）计算：
－6 ＋ × .　　　　　　　　
解：原式＝ － ＋ ＝ ＝2 .
[变式3]计算：
（2 －1）2－（ ＋2）（ －2）.
解：原式＝12－4 ＋1－3＋4＝14－4 .
解：原式＝ － ＋ ＝ ＝2 .
解：原式＝12－4 ＋1－3＋4＝14－4 .
1. （2025·东莞模拟）下列二次根式运算正确的是（　B　）
A. ＋ ＝ B. × ＝2
C. ＝±3 D. ＝－6
2. （2025·惠州二模）若 ＋ 有意义，则（－n）2的平方
根是（　D　）
A. B. C. ± D. ±
B
D
3. （教材母题改编）若 是整数，则正整数n的最小值为 .
4. 如图，四边形ABCD，DEFG，GHIJ均为正方形，且S正方形ABCD＝
10，S正方形GHIJ＝1，则正方形DEFG的边长可以是 .
（写出一个答案即可）
5. （2025·齐齐哈尔）若代数式 ＋（x－2 025）0有意义，则实数x
的取值范围是 .
3
（答案不唯一）2
x＞3且x≠2 025
6. （教材母题改编）计算：
（1）2 －6 ＋3 ；
解：（1）原式＝4 －2 ＋12 ＝14 .
（2） －3 .
解：（2）原式＝ ＋ －3 ＝ ＋2 －3 ＝0.
解：（1）原式＝4 －2 ＋12 ＝14 .
解：（2）原式＝ ＋ －3 ＝ ＋2 －3 ＝0.
7. （教材母题改编）母亲节要到了，小华给妈妈准备了一张正方形贺卡，面积为100cm2，还配了一个漂亮的长方形信封，长、宽比为5∶3，面积为150cm2，他能将这张贺卡不折叠地放入此信封吗？请通过计算说明理由.
解：小华不能将这张贺卡不折叠地放入此信封.理由如下：
设长方形信封的长为5xcm，宽为3xcm，
根据题意，得5x·3x＝150.
解得x＝ 或x＝－ （舍去）.
∴长方形的长和宽分别为5 cm，3 cm.
∵正方形贺卡的面积为100cm2，
∴正方形贺卡的边长为 ＝10cm.
∵（3 ）2＝90＜100，∴3 ＜10.
∴长方形信封的宽小于正方形贺卡的边长.
∴小华不能将这张贺卡不折叠地放入此信封.
解：小华不能将这张贺卡不折叠地放入此信封.理由如下：
设长方形信封的长为5xcm，宽为3xcm，
根据题意，得5x·3x＝150.
解得x＝ 或x＝－ （舍去）.
∴长方形的长和宽分别为5 cm，3 cm.
∵正方形贺卡的面积为100cm2，
∴正方形贺卡的边长为 ＝10cm.
∵（3 ）2＝90＜100，∴3 ＜10.
∴长方形信封的宽小于正方形贺卡的边长.
∴小华不能将这张贺卡不折叠地放入此信封.
8. （教材母题改编）【观察规律】观察下列式子： ＝2 ， ＝
3 ， ＝4 ……
【类比分析】（1）按照上述式子的书写格式，再写出两个同类型的
式子；
解：（1） ＝5 ， ＝6 .
解：（1） ＝5 ， ＝6 .
8. （教材母题改编）【观察规律】观察下列式子： ＝2 ， ＝
3 ， ＝4 ……
【推理证明】（2）用含n（n≥2，且n为正整数）的式子表示上述规
律，并给出证明；
解：（2） ＝n （n≥2，且n为正整数）.
证明：左边＝ ＝ ＝ ＝n ＝右边，
∴此等式成立.
解：（2） ＝n （n≥2，且n为正整数）.
证明：左边＝ ＝ ＝ ＝n ＝右边，
∴此等式成立.
8. （教材母题改编）【观察规律】观察下列式子： ＝2 ， ＝
3 ， ＝4 ……
【创新应用】（3）按此规律，若 ＝a （a，b为正整数），
求a＋b的值.
解：（3）∵ ＝a ，
∴由（2），可知a＝45，b＝452－1＝2 024.
∴a＋b＝2 069.
解：（3）∵ ＝a ，
∴由（2），可知a＝45，b＝452－1＝2 024.
∴a＋b＝2 069.(共17张PPT)
第一轮　基础复习　
第一部分　数与代数
第一章　数与式
第4讲　分式
知识点1　 分式的有关概念
（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字
母，那么式子 叫做分式（其中B≠0）.如 是分式， 不是分式.
（2）分式 有意义的条件是 .
（3）分式 的值为0的条件是 　且 .
B≠0
A＝0
B≠0
1. （1）下列是分式的是（　B　）
A. x＋1 B. C. D.
（2）（2025·肇庆二模）要使分式 有意义，则x的取值范围为（　A　）
A. x≠1 B. x≠0 C. x≠2 D. x≠－1
（3）若分式 的值为0，则x的值为 ；若 的值为0，则x的
值为 .
B
A
2
－2
知识点2　 分式的基本性质
分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值
不变.
即①通分： ＝ （M≠0），②约分： ＝ （M≠0），其中A，
B，M是整式.
2. （1）（教材母题改编）填空： ＝ ， ＝ .
（2）约分： ＝ ， ＝ ， ＝ 　 　，
＝ .
（3）通分：① ＝ 　 　， ＝ 　 　；②
＝ 　 　， ＝ 　 　.
（4）（2025·成都）若 ＝3，则 的值为 .
－1
1






4
知识点3　 分式的运算
（1）加减运算：①同分母： ± ＝ .
②异分母： ± .
（2）分式的乘法： · ＝ .
（3）分式的除法： ÷ ＝ · ＝ .
（4）分式的乘方： ＝ .
3. （1）计算： · ＝ 　 　， ÷ ＝ 　 　.
（2）（2025·汕头一模）计算 ＋ 的结果是 .
（3）（2025·河南）化简 － 的结果是 .
（4）计算：（ ）2＝ 　 　，（2025·天津） ＋＝ .


3
x＋1


重点1　分式的约分与计算
[例 1]（1）（2025·深圳模拟）根据分式的基本性质对分式进行变形，下
列正确的是（　C　）
A. ＝ B. ＝a
C. ＝ D. ＝
（2）（2026·原创）约分： ＝ 　 　， ＝ 　－ 　.
C

－
[变式1]（1）下列各分式中，是最简分式的是（　A　）
A. B. C. D.
（2）化简：（2025·内蒙古） · ＝ 　 　， －
＝ .
A


重点2　分式的化简求值
[例 2]（2025·深圳模拟）以下是某同学化简分式 ÷ 的部
分运算过程：
（1）上面的运算过程中第 步出现了错误；
（2）请你在上述右框中写出完整的解答过程，并在“－2，0，2”中选
择一个合适的数代入求值.
③
解：（2）原式＝ ·
＝ ·
＝ ·
＝ · ＝ .
∵a＋2≠0，a－2≠0，∴a≠±2.
∴当a＝0时，原式＝ .
解：（2）原式＝ ·
＝ ·
＝ ·
＝ · ＝ .
∵a＋2≠0，a－2≠0，∴a≠±2.
∴当a＝0时，原式＝ .
[变式2]（2025·东营）先化简，再求值： ÷ ，其中
a是使不等式 ≤1成立的正整数.
解：原式＝ ÷
＝ · ＝ ·
＝ .
∵a是使不等式 ≤1成立的正整数，
∴a≤3且a为正整数.
解：原式＝ ÷
＝ · ＝ ·
＝ .
∵a是使不等式 ≤1成立的正整数，
∴a≤3且a为正整数.
∴a＝1，2，3.
又∵a－2≠0，（a＋3）（a－3）≠0，
∴a≠2，3，－3.∴a＝1.
当a＝1时，原式＝ ＝－ .
∴a＝1，2，3.
又∵a－2≠0，（a＋3）（a－3）≠0，
∴a≠2，3，－3.∴a＝1.
当a＝1时，原式＝ ＝－ .
1. （2025·惠州一模）已知x＝2y，则分式 的值为（　D　）
A. B. C. D.
2. （2025·汕头一模）不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是
（　D　）
A. x＋1 B. x2－1 C. （x＋1）2 D.
D
D
3. （2025·广东模拟）对于分式 ，当a，b都扩大到原来的2倍时，
则分式的值（　B　）
A. 不变 B. 扩大到原来的2倍
C. 扩大到原来的4倍 D. 不能确定
B
4. （2025·佛山模拟）已知 ＋ ＝1（a＋b≠0），则 ＝ .
2
5. （2025·广州二模）已知T＝ － （m≠±n）.
（1）化简T；
解：（1）T＝ －
＝ ＝
＝ ＝ .
解：（1）T＝ －
＝ ＝
＝ ＝ .
5. （2025·广州二模）已知T＝ － （m≠±n）.
（2）若点（m，n）在一次函数y＝x＋ 的图象上，请求出T的值.
解：（2）∵点（m，n）在一次函数y＝x＋ 的图象上，
∴n＝m＋ .
∴m－n＝－ .
∴T＝ ＝－ .
解：（2）∵点（m，n）在一次函数y＝x＋ 的图象上，
∴n＝m＋ .
∴m－n＝－ .
∴T＝ ＝－ .
6. （2025·广州模拟）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自
动减去m2，同时B区就会自动加上2m，且均显示化简后的结果.已知A，
B两区初始显示的分别是4和－8，如图.
例如：第一次按键后，A，B两区分别显示： .
（1）从初始状态按2次后，若A区、B区的代数式的值相等，求m的值；
解：（1）A区显示的结果为4－m2－m2＝4－2m2；
B区显示的结果为－8＋2m＋2m＝－8＋4m，
根据A区，B区的代数式的值相等，可得4－2m2＝－8＋4m，
解得m1＝－1＋ ，m2＝－1－ ，
即m的值为－1＋ 或－1－ .
解：（1）A区显示的结果为4－m2－m2＝4－2m2；
B区显示的结果为－8＋2m＋2m＝－8＋4m，
根据A区，B区的代数式的值相等，可得4－2m2＝－8＋4m，
解得m1＝－1＋ ，m2＝－1－ ，
即m的值为－1＋ 或－1－ .
（2）已知m≠1，从初始状态按4次后，若把A区的代数式作分子，B区
的代数式作分母得到一个分式，请将这个分式化简.
解：（2）设从初始状态按4次后，
A区显示的结果为4－m2－m2－m2－m2＝4－4m2；
B区显示的结果为－8＋2m＋2m＋2m＋2m＝－8＋8m，
根据题意有分式 ＝ ＝ ＝－ .
解：（2）设从初始状态按4次后，
A区显示的结果为4－m2－m2－m2－m2＝4－4m2；
B区显示的结果为－8＋2m＋2m＋2m＋2m＝－8＋8m，
根据题意有分式 ＝ ＝ ＝－ .
6. （2025·广州模拟）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自
动减去m2，同时B区就会自动加上2m，且均显示化简后的结果.已知A，
B两区初始显示的分别是4和－8，如图.
例如：第一次按键后，A，B两区分别显示： .

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