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(共27张PPT)
第一轮　基础复习　
第一部分　数与代数
第三章　函数
第10讲　一次函数
知识点1　 一次函数的概念
一次函数：一般地，形如y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫
做一次函数.特别地，当b＝0时，y＝kx为正比例函数.
1. （1）（2026·原创）已知一次函数y＝（m－1）·x｜m｜＋4，则m
＝ .
（2）（2026·原创）若一次函数y＝x＋m2－4是正比例函数，则m的值
为 .
－1
±2
知识点2　 一次函数的图象与性质
（1）一次函数的图象与性质.
表达式 图　象 一次函数 y＝kx＋
b （k≠0
） k＞0 k＜0 b＝0 （正比例函数） b＞0 b＜0 b＝0 （正比例函数） b＞0 b＜0
性质 y的值随x值的增大而 y的值随x值的增大而
与坐标 轴交点 与x轴的交点坐标为（－，0），与y轴的交点坐标为（0，
b） 增大
减小
（2）一次函数图象的平移（上加下减）.
直线y＝kx＋b向上平移m（m＞0）个单位长度→直线y＝kx＋b＋m；
直线y＝kx＋b向下平移m（m＞0）个单位长度→直线y＝kx＋b－m.
2. （1）（2025·湖北）已知一次函数y＝kx＋b，y随x的增大而增大，
写出一个符合条件的k的值是 .
（2）（2025·广州模拟）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在直线y＝
－3x＋5上，且x1＞x2，则y1 y2.（填“＞”“＜”或“＝”）
（3）（2025·东莞模拟）函数y＝3x－4的图象与y轴的交点坐标
是 .
（4）（2025·天津）将直线y＝3x－1向上平移m个单位长度，若平移后
的直线经过第一、二、三象限，则m的值可以是 .
（写出一个即可）
（答案不唯一）1
＜
（0，－4）
（答案不唯一）2
知识点3　 待定系数法求一次函数表达式的步骤
（1）设：设一次函数的表达式为y＝kx＋b（若为正比例函数，则设y
＝kx）.
（2）代：将已知点坐标代入表达式中，得到含有待定系数k，b的方程
或方程组.
（3）解：求出待定系数k，b的值，得到函数表达式.
3. （1）（2025·广西）已知一次函数y＝－x＋b的图象经过点P（4，
3），则b＝（　D　）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 7
（2）（2025·梧州二模）已知点（2，1）是正比例函数y＝kx图象上的
一点，则下列点也在该函数图象上的是（　C　）
A. （1，2） B. （2，4）
C. （4，2） D. （－1，－2）
D
C
（3）（教材母题改编）已知一次函数的图象过点（3，5）与（－4，－
9），求：
①该一次函数的表达式；
解：（3）①设一次函数的表达式为y＝kx＋b（k≠0）.
根据题意，得 解得
∴该一次函数的表达式为y＝2x－1.
②若点（m，3）在该函数的图象上，求m的值.
解：（3）②把（m，3）代入y＝2x－1，
得3＝2m－1，解得m＝2.
解：（3）①设一次函数的表达式为y＝kx＋b（k≠0）.
根据题意，得 解得
∴该一次函数的表达式为y＝2x－1.
解：（3）②把（m，3）代入y＝2x－1，
得3＝2m－1，解得m＝2.
知识点4　 一次函数与一元一次方程（或不等式）的联系
（1）看图找出y＝0，y＞0，y＜0的解集.
（2）看图找出y1＝y2，y1＞y2，y1＜y2的解集.
4. （1）（2025·广东模拟）如图所示是关于x的函数y＝kx＋b
（k≠0）的图象，则不等式kx＋b≤0的解集为 .
第4题（1）图　　　　　
x≤2
（2）（2025·汕头模拟改编）如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝kx
＋b相交于点P（1，m），则不等式x＋1＞kx＋b的解集为 .
第4题（2）图
x＞1
知识点5　 一次函数的实际应用
一般步骤：（1）设实际问题中的变量；（2）列出一次函数表达式；
（3）确定自变量的取值范围；（4）利用函数性质解决问题；（5）
作答.
5. 【跨学科】（2025·陕西）研究表明，一定质量的气体，在压强不变的
条件下，气体体积y（单位：L）与气体温度x（单位：℃）成一次函数
关系.某实验室在压强不变的条件下，对一定质量的某种气体进行加热，
测得的部分数据如下表：
解：（1）根据表格，气体温度升高1 ℃，气体体积增大2L，
则y＝596＋2（x－25）＝2x＋546.
∴y与x的函数关系式为y＝2x＋546.
解：（1）根据表格，气体温度升高1 ℃，气体体积增大2L，
则y＝596＋2（x－25）＝2x＋546.
∴y与x的函数关系式为y＝2x＋546.
气体温度x/℃ … 25 30 35 …
气体体积y/L … 596 606 616 …
（1）求y与x的函数关系式；
（2）为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到700L时停止
加热.求停止加热时的气体温度.
解：（2）当y＝700时，2x＋546＝700，解得x＝77.
答：停止加热时的气体温度为77 ℃.
解：（2）当y＝700时，2x＋546＝700，解得x＝77.
答：停止加热时的气体温度为77 ℃.
5. 【跨学科】（2025·陕西）研究表明，一定质量的气体，在压强不变的
条件下，气体体积y（单位：L）与气体温度x（单位：℃）成一次函数
关系.某实验室在压强不变的条件下，对一定质量的某种气体进行加热，
测得的部分数据如下表：
解：（1）根据表格，气体温度升高1 ℃，气体体积增大2L，
则y＝596＋2（x－25）＝2x＋546.
∴y与x的函数关系式为y＝2x＋546.
气体温度x/℃ … 25 30 35 …
气体体积y/L … 596 606 616 …
重点1　一次函数的综合
[例 1]（2025·广州二模）如图，直线y＝x＋3交y轴于点A，交x轴于点
B，经过点（2，2）且平行于直线y＝－2x的直线交x轴于点C，交y轴
于点D，交直线AB于点E.
（1）直线CD的解析式为 ；
（2）△EBC的面积为 ；
y＝－2x＋6
12
（3）P是直线AB上的一个动点，过点P作PQ∥y轴，交直线CD于点
Q，若PQ＝2AD，求点P的坐标.
解：（3）如图，设P（x，x＋3），则Q（x，
－2x＋6）.
∵PQ＝2AD，
∴｜x＋3－（－2x＋6）｜＝6，解得x1＝3，x2
＝－1.
∴P（3，6）或（－1，2）.
解：（3）如图，设P（x，x＋3），则Q（x，－2x＋6）.
∵PQ＝2AD，
∴｜x＋3－（－2x＋6）｜＝6，解得x1＝3，x2＝－1.
∴P（3，6）或（－1，2）.
重点2　利用一次函数增减性解决实际问题
[例 2]（2025·广安）某景区需要购买A，B两种型号的帐篷.已知用1800元
购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的
单价比A种帐篷的单价多400元.
（1）求A，B两种帐篷的单价各为多少元？
解：（1）设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为（x＋400）元.
根据题意，得 ＝ ，解得x＝600.
经检验，x＝600是所列方程的解，且符合题意.
∴x＋400＝1000.
答：A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1000元.
解：（1）设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为（x＋400）元.
根据题意，得 ＝ ，解得x＝600.
经检验，x＝600是所列方程的解，且符合题意.
∴x＋400＝1000.
答：A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1000元.
（2）若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷
均需购买），且购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的 ，
则购买A，B两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总费用是多
少元？
[例 2]（2025·广安）某景区需要购买A，B两种型号的帐篷.已知用1800元
购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的
单价比A种帐篷的单价多400元.
解：（2）设购买A种帐篷m顶，则购买B种帐篷（20－m）顶，总费用
为W元.
根据题意，得20－m≥ m，解得m≤15.
又∵两种型号的帐篷均需购买，
∴0＜m≤15.
W＝600m＋1000（20－m）＝－400m＋20000.
∵－400＜0，
∴W随m的增大而减小.
∴当m＝15时，W取最小值，W最小＝－400×15＋20000＝14000.
此时20－m＝5.
解：（2）设购买A种帐篷m顶，则购买B种帐篷（20－m）顶，总费用
为W元.
根据题意，得20－m≥ m，解得m≤15.
又∵两种型号的帐篷均需购买，
∴0＜m≤15.
W＝600m＋1000（20－m）＝－400m＋20000.
∵－400＜0，
∴W随m的增大而减小.
∴当m＝15时，W取最小值，W最小＝－400×15＋20000＝14000.
此时20－m＝5.
答：当购买A种帐篷15顶，B种帐篷5顶时，总费用最低，最低总费用为
14000元.
答：当购买A种帐篷15顶，B种帐篷5顶时，总费用最低，最低总费用为
14000元.
[变式]（2025·深圳模拟）小亮坚持体育锻炼，并用某种健身软件进行记
录.小亮周六进行了两组运动，第一组安排30个深蹲，20个开合跳，健身
软件显示消耗热量34 kcal；第二组安排20个深蹲，40个开合跳，健身软
件显示消耗热量36 kcal.
（1）小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗多少热量？
解：（1）设小亮每做一个深蹲消耗x kcal的热量，一个开合跳消耗yckal
的热量.
根据题意，得 解得
答：小亮每做一个深蹲消耗0.8kcal的热量，一个开合跳消耗0.5kcal
的热量.
解：（1）设小亮每做一个深蹲消耗x kcal的热量，一个开合跳消耗yckal
的热量.
根据题意，得 解得
答：小亮每做一个深蹲消耗0.8kcal的热量，一个开合跳消耗0.5kcal
的热量.
[变式]（2025·深圳模拟）小亮坚持体育锻炼，并用某种健身软件进行记
录.小亮周六进行了两组运动，第一组安排30个深蹲，20个开合跳，健身
软件显示消耗热量34 kcal；第二组安排20个深蹲，40个开合跳，健身软
件显示消耗热量36 kcal.
（2）小亮想设计一个10 min的锻炼组合，只进行深蹲和开合跳两个动
作，且深蹲的数量不少于开合跳的数量.每个深蹲用时4 s，每个开合跳用
时2 s.
①假设安排m个深蹲，则安排 个开合跳；（用含m的
代数式表示）
②小亮安排多少个深蹲使消耗的热量最多？
（300－2m）
解：（2）②根据题意，得m≥300－2m，
解得m≥100.
设消耗的总热量为wkcal，
则w＝0.8m＋0.5（300－2m），即w＝－0.2m＋150.
∵－0.2＜0，∴w随m的增大而减小.
∴当m＝100时，w取得最大值.
答：小亮安排100个深蹲消耗的热量最多.
解：（2）②根据题意，得m≥300－2m，
解得m≥100.
设消耗的总热量为wkcal，
则w＝0.8m＋0.5（300－2m），即w＝－0.2m＋150.
∵－0.2＜0，∴w随m的增大而减小.
∴当m＝100时，w取得最大值.
答：小亮安排100个深蹲消耗的热量最多.
1. （2025·佛山二模）若点（m，n）在直线y＝－2x＋4上，则代数式
2m＋n－1的值是 .
2. （2025·广安）已知一次函数y＝－3x－6，当x＜－1时，y的值可以
是 .（写出一个合理的值即可）
3. （2025·东莞一模）将直线y＝kx－2（k≠0）向右平移1个单位后，
正好经过点（2，4），则k的值为（　D　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3
（答案不唯一）1
D
4. 【跨学科】（2025·内蒙古）在闭合电路中，通过定值电阻的电流I
（单位：A）是它两端的电压U（单位：V）的正比例函数，其图象如图
所示.当该电阻两端的电压为15V时，通过它的电流为（　A　）
A. 12 A B. 8 A C. 6 A D. 4 A
第4题图　　　　　
A
5. （2025·广州）如图，在平面直角坐标系中，点A（－3，1），点B
（－1，1），若将直线y＝x向上平移d个单位长度后与线段AB有交
点，则d的取值范围是（　D　）
A. －3≤d≤－1 B. 1≤d≤3
C. －4≤d≤－2 D. 2≤d≤4
第5题图
D
6. （教材母题改编）（2025·广州模拟）综合与实践.
【问题情境】“漏壶”也称为“漏刻”，是一种古代计时器，在社会实
践活动中，某同学根据“漏壶”的原理制作了如图1所示的液体漏壶，漏
壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中
匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体.
【实验观察】（1）下表是实验记录的圆柱体容器液面高度y（单位：
cm）与时间x（单位：h）的数据：
时间x/h 1 2 3 4 5
圆柱体容器液面高度y/cm 6 10 14 18 22
在图2所示的平面直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接；
解：（1）描出各点，并连接，如图：
解：（1）描出各点，并连接，如图：
6. （教材母题改编）（2025·广州模拟）综合与实践.
【问题情境】“漏壶”也称为“漏刻”，是一种古代计时器，在社会实
践活动中，某同学根据“漏壶”的原理制作了如图1所示的液体漏壶，漏
壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中
匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体.
【探索发现】（2）请你根据表中的数据及图象，用所学过的一次函数、
二次函数、反比例函数的知识确定y与x之间的函数表达式；
解：（2）由（1）中图象，可知该函数为一次函数，设该函数的表达式
为y＝kx＋b（k≠0）.
∵点（1，6），（2，10）在该函数图象上，
∴ 解得
∴y与x之间的函数表达式为y＝4x＋2.
解：（2）由（1）中图象，可知该函数为一次函数，设该函数的表达式
为y＝kx＋b（k≠0）.
∵点（1，6），（2，10）在该函数图象上，
∴ 解得
∴y与x之间的函数表达式为y＝4x＋2.
6. （教材母题改编）（2025·广州模拟）综合与实践.
【问题情境】“漏壶”也称为“漏刻”，是一种古代计时器，在社会实
践活动中，某同学根据“漏壶”的原理制作了如图1所示的液体漏壶，漏
壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中
匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体.
【结论应用】（3）如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当
圆柱体容器液面高度达到20 cm时是几点？
解：（3）当y＝20时，即4x＋2＝20，
解得x＝4.5.
∴8＋4.5＝12.5.
∴当圆柱体容器液面高度达到20cm时是下午12：30.
解：（3）当y＝20时，即4x＋2＝20，
解得x＝4.5.
∴8＋4.5＝12.5.
∴当圆柱体容器液面高度达到20cm时是下午12：30.(共29张PPT)
第一轮　基础复习　
第一部分　数与代数
第三章　函数
第12讲　二次函数
知识点1　 二次函数的概念
一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做
二次函数.
1. （1）若关于x的函数y＝（a－2）x2－x是二次函数，则a的取值范围
为 .
（2）若y＝（m－2）x｜m｜＋x是以x为自变量的二次函数，则m的值
为（　B　）
A. 2 B. －2 C. ±2 D. 0
a≠2
B
知识点2　 二次函数的图象与性质
表达式 y＝ax2＋bx＋c（a≠0） 图象 a＞0 a＜0
开口向 开口向
对称轴：直线x＝ ，顶点坐标： 增减
性 在对称轴左侧，y的值随x值
的增大而减小； 在对称轴右侧，y的值随x值
的增大而增大 在对称轴左侧，y的值随x值的
增大而增大；
在对称轴右侧，y的值随x值的
增大而减小
上
下
最值 当x＝ 时，y最小＝ 当x＝ 时，y最大＝
2. （1）（2025·汕头模拟）若抛物线y＝（m－1）x2－2的开口向上，
则m的取值范围是 .
（2）（2025·惠州模拟）关于二次函数y＝－3（x－1）2＋2，下列说法
正确的是（　C　）
A. 抛物线的开口向上
B. 对称轴是直线x＝－1
C. 抛物线的顶点坐标是（1，2）
D. 当x＞3时，y随x的增大而增大
m＞1
C
（3）（2025·肇庆模拟）抛物线y＝ x2－2x＋3的对称轴是直线（　B　）
A. x＝－2 B. x＝2 C. x＝1 D. x＝－1
（4）（2025·广东模拟）若点A（－3，y1），B（－2，y2），C（2，
y3）在二次函数y＝a（x＋1）2（a＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大
小关系是（　D　）
A. y1＜y2＜y3 B. y1＜y3＜y2
C. y3＜y2＜y1 D. y3＜y1＜y2
B
D
（5）（教材母题改编）求下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标.
①y＝－x2＋4x－3；
解：（5）①对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，1）.
②y＝－ x2－2x.
解：（5）②对称轴为直线x＝－ ，顶点坐标为 .
解：（5）①对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，1）.
解：（5）②对称轴为直线x＝－ ，顶点坐标为 .
知识点3　 求二次函数的表达式
设表达式的形式 需要条件 对称轴 待定系数法求
表达式
顶点式：y＝a
（x－h）2＋k 顶点（h，k）及另一点
坐标 x＝h 联立方程，得
出结果，再代
回所设表达式
交点式： y＝a（x－
x1）（x－x2） 与x轴的两个交点坐标
（x1，0），（x2，0）及另一点坐标 x＝
一般式：y＝
ax2＋bx＋c 任意三个点坐标 x＝ 3. （1）若二次函数图象的顶点为（－1，3），且过点（0，2），则该
二次函数的表达式为 .
（2）（2026·原创）抛物线经过点（－1，6），（0，3）和（2，9），
求该抛物线的表达式.
解：（2）设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c（a≠0），将点（－1，
6），（0，3），（2，9）代入，
得 解得
∴该抛物线的表达式为y＝2x2－x＋3.
y＝－（x＋1）2＋3
解：（2）设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c（a≠0），将点（－1，
6），（0，3），（2，9）代入，
得 解得
∴该抛物线的表达式为y＝2x2－x＋3.
知识点4　 抛物线y＝a（x－h）2＋k的平移规律：上加下减，左加
右减
（1）左右平移在括号内变：向左平移n（n＞0）个单位长度得y＝a
（x－h＋n）2 ＋k；向右平移n（n＞0）个单位长度得y＝a（x－h
－n）2＋k；
（2）上下平移在括号外变：向上平移m（m＞0）个单位长度得y＝a
（x－h）2＋k＋m；向下平移m（m＞0）个单位长度得y＝a（x－
h）2＋k－m.
4. （1）（2025·潮州四模）把抛物线y＝2x2向左平移3个单位长度，得
到的表达式为 .
（2）（2025·东莞模拟）抛物线的函数表达式为y＝3（x－2）2＋1，将
函数图象向上平移2个单位长度，向左平移3个单位长度，则该抛物线在
新的平面直角坐标系中的函数表达式为（　B　）
A. y＝3（x－5）2＋3 B. y＝3（x＋1）2＋3
C. y＝3（x－5）2－1 D. y＝3（x＋1）2－1
y＝2（x＋3）2
B
知识点5　 二次函数与一元二次方程、不等式的关系
（1）二次函数与一元二次方程的关系.
Δ＝b2－
4ac 一元二次方程ax2＋bx＋c＝
0的根 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴
的交点
Δ＞0 两个不相等的实数根 个交点
Δ＝0 两个相等的实数根 个交点
Δ＜0 无实数根 交点
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根是抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点
的横坐标. 2
1
无
（2）二次函数与不等式的关系.
①ax2＋bx＋c＞0的解集 函数y＝ax2＋bx＋c的图象位于x轴上方对
应的点的横坐标的取值范围；
②ax2＋bx＋c＜0的解集 函数y＝ax2＋bx＋c的图象位于x轴下方对
应的点的横坐标的取值范围.
5. （1）（2025·东莞模拟）若二次函数y＝x2－4x＋m的图象与x轴有
交点，则m的取值范围是 .
（2）（2025·深圳模拟）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝（x＋1）
（x－2）＋5向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点
P，Q，则PQ＝ .
（3）抛物线y＝x2－3x－4与x轴的交点坐标为 ，与y轴的交点坐标为 ，当y＞0时，x的取值范围为
，当y＜0时，x的取值范围为 .
m≤4
3
（－1，0），（4，0）
（0，－4）
x＜－1或x＞4
－1＜x＜4
重点1　二次函数的图象与系数的关系
[例 1]（2025·东莞一模）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的一
部分如图所示.已知图象经过点（－1，0），其对称轴为直线x＝1.下面
四个结论：①abc＜0；②4a＋2b＋c＜0；③8a＋c＜0；④若抛物线经
过点（－3，n），则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c－n＝0
（a≠0）的两根分别为－3，5.其中正确结论的个数为（　C　）
C
A. 1个 B. 2个
例1题图　　　　　　
C. 3个 D. 4个
[变式]（2025·惠州二模）如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图
象与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝－1，下列四个
结论：①abc＜0；②b2＝4ac；③4a－2b＋c＜0；④当－3＜x＜1时，
ax2＋bx＋c＜0.其中正确结论的个数为（　C　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
变式题图
C
重点2　二次函数的综合
[例 2]（2025·德阳）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝－
x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（－1，0），B（3，0），与y轴交于
点C.
（1）求抛物线的函数表达式；
解：（1）∵A（－1，0），B（3，0），在二次函数y＝－x2＋bx＋c
的图象上，
设该二次函数的表达式为y＝－（x－x1）（x－x2），
∴y＝－（x＋1）（x－3）.
∴抛物线的函数表达式为y＝－x2＋2x＋3.
解：（1）∵A（－1，0），B（3，0），在二次函数y＝－x2＋bx＋c
的图象上，
设该二次函数的表达式为y＝－（x－x1）（x－x2），
∴y＝－（x＋1）（x－3）.
∴抛物线的函数表达式为y＝－x2＋2x＋3.
[例 2]（2025·德阳）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝－
x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（－1，0），B（3，0），与y轴交于
点C.
（2）如图1，连接BC，过点C作CD⊥BC与抛物线相交于另一点D.
①求点D的坐标；
解：（2）①把x＝0代入y＝－x2＋2x＋3，得y＝3，
∴C（0，3）.
如图1，延长DC与x轴相交于点G，
∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3.
∵∠COB＝90°，∴∠CBO＝45°.
∵∠DCB＝90°＝∠BCG，
解：（2）①把x＝0代入y＝－x2＋2x＋3，得y＝3，
∴C（0，3）.
如图1，延长DC与x轴相交于点G，
∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3.
∵∠COB＝90°，∴∠CBO＝45°.
∵∠DCB＝90°＝∠BCG，
∴∠CGB＝90°－∠CBO＝90°－45°＝45°.
∴∠GCO＝180°－∠COG－∠CGB＝180°－90°－
45°＝45°.
∴OG＝OC＝3.
∴G（－3，0）.
设直线CG的表达式为y＝kx＋m（k≠0），
∴∠CGB＝90°－∠CBO＝90°－45°＝45°.
∴∠GCO＝180°－∠COG－∠CGB＝180°－90°－45°＝45°.
∴OG＝OC＝3.
∴G（－3，0）.
设直线CG的表达式为y＝kx＋m（k≠0），
把C（0，3），G（－3，0）代入，得
解得
∴直线CG的表达式为y＝x＋3.
∵点D是直线CG与二次函数的交点，
把C（0，3），G（－3，0）代入，
得
解得
∴直线CG的表达式为y＝x＋3.
∵点D是直线CG与二次函数的交点，
∴联立表达式
解得 或
∴点D的坐标为（1，4）.
[例 2]（2025·德阳）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝－
x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（－1，0），B（3，0），与y轴交于
点C.
（2）如图1，连接BC，过点C作CD⊥BC与抛物线相交于另一点D.
②如图2，点E，F为线段BC上两个动点（点E在点F的右侧），且EF
＝ ，连接OF，DE. 求OF＋DE的最小值.
图2
解：（2）②如图2，过点D作二次函数图象的对称轴平行于y轴，过点O
作OH∥EF交二次函数图象的对称轴于点H，连接HE，
设DH交x轴于点G'，
∵OH∥EF，∠CBO＝45°，
图2
∴∠BOH＝45°.
∵DH⊥x轴，
∴△OG'H为等腰直角三角形.
∴OG'＝G'H＝1.
∴在Rt△OG'H中，OH＝ ＝ .
∴EF＝OH.
∴∠BOH＝45°.
∵DH⊥x轴，
∴△OG'H为等腰直角三角形.
∴OG'＝G'H＝1.
∴在Rt△OG'H中，OH＝ ＝ .
∴EF＝OH.
∵OH∥EF，
四边形OFEH为平行四边形.
∴OF＝EH.
图2
∵OH∥EF，
∴四边形OFEH为平行四边形.
∴OF＝EH.
图2
求OF＋DE的最小值即为求EH＋DE的最小值.
∵DE＋EH≥DH，D（1，4），
∴当DE＋EH＝DH时，DE＋EH最小，此时最小值为4
＋1＝5.
求OF＋DE的最小值即为求EH＋DE的最小值.
∵DE＋EH≥DH，D（1，4），
∴当DE＋EH＝DH时，DE＋EH最小，此时最小值为4＋1＝5.
1. （2025·肇庆一模）已知二次函数y＝x2＋2x－1，当y随x的增大而减
小时，x的取值范围是（　D　）
A. x≥1 B. x≤1 C. x≥－1 D. x≤－1
D
2. （2025·惠州模拟）如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝kx
＋h相交于（－2，m），（2，n）两点，则当不等式ax2＋bx－h＞kx
－c成立时，x的取值范围是 .
第2题图　　　　
－2＜x＜2
3. （2025·肇庆二模）如图，☉O被抛物线y＝ x2所截的弦长AB＝4，
则☉O的半径为 .
第3题图　　　　
2
4. （2025·广州模拟）如图，点A是抛物线y＝a（x－3）2＋k与y轴的
交点，AB∥x轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点.若
△ABC为等边三角形，则a的值为 .
第4题图

5. （2025·广东）已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过点（c，0），但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是
.（写出一个即可）
（答案不唯一）y＝－x2
＋x＋2
6. （教材母题改编）一个滑雪者从山坡滑下，为了得出滑行距离s（单位：
m）与滑行时间t（单位：s）之间的关系式，测得一些数据（如下表）.
滑行时间t/s 0 1 2 3 4
滑行距离s/m 0 4.5 14 28.5 48
【实验猜想】
（1）为观察s与t之间的关系，请在方格图坐标系中描出表中数据对应的
5个点，并用平滑曲线连接它们；
解：（1）如图，曲线即为所求.
解：（1）如图，曲线即为所求.
（2）试猜想这图象应该是我们已经学过的函数图象 （填“直
线”“抛物线”或“双曲线”）的一部分，因此，s应该是t的
函数；
抛物线
二次
【推理验证】
（3）试求s关于t的函数表达式；
解：（3）设s关于t的函数表达式为s＝at2＋bt，把（2，14），（4，
解：（3）设s关于t的函数表达式为s＝at2＋bt，把（2，14），（4， 48）
代入，得 解得
∴s关于t的函数表达式为s＝ t2＋2t.
6. （教材母题改编）一个滑雪者从山坡滑下，为了得出滑行距离s（单位：
m）与滑行时间t（单位：s）之间的关系式，测得一些数据（如下表）.
滑行时间t/s 0 1 2 3 4
滑行距离s/m 0 4.5 14 28.5 48
6. （教材母题改编）一个滑雪者从山坡滑下，为了得出滑行距离s（单位：
m）与滑行时间t（单位：s）之间的关系式，测得一些数据（如下表）.
滑行时间t/s 0 1 2 3 4
滑行距离s/m 0 4.5 14 28.5 48
【数据分析】
（4）若滑行者在山坡上的出发点和终点的距离是270m，他需要多长时
间才能到达终点？
解：（4）当s＝270时， t2＋2t＝270，
方程整理，得5t2＋4t－540＝0，
解：（4）当s＝270时， t2＋2t＝270，
方程整理，得5t2＋4t－540＝0，
解得t1＝10，t2＝－10.8（不符合题意，舍去）.
答：他需要10s才能到达终点.
解得t1＝10，t2＝－10.8（不符合题意，舍去）.
答：他需要10s才能到达终点.(共22张PPT)
第一轮　基础复习　
第一部分　数与代数
第三章　函数
第9讲　函数及其图象
知识点1　 平面直角坐标系与点的坐标特征
点在象限
内 点在坐标轴
上 点在平行于坐标轴的直
线上 点在各象限角平分
线上
第一象限：x＞
0，y＞0； 第二象限：x＜
0，y＞0； 第三象限：x＜
0，y＜0； 第四象限：x＞
0，y＜0 点在x轴上
时，该点
的 　坐
标等于0；点
在y轴上时，
该点的 　
坐标等于0 平行于x轴的直线上，
所有点的 　坐
标都相等；平行于y轴
的直线上，所有点
的 　坐标都相
等 第一、三象限
角平分线上的
点：xA＝yA；
第二、四象限
角平分线上的
点：xB＝－yB
纵
横
纵
横
1. （1）（2025·广安）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（a，
b），且a，b满足（a－2）2＋｜b＋3｜＝0，则点A在第 象限.
（2）（2025·成都）在平面直角坐标系xOy中，点P（－2，a2＋1）所在
的象限是第 象限.
（3）（2025·东莞模拟）若点A（－9，2m－4）在x轴上，则m＝ .
四
二
2
（4）已知点A（3，－2），若点A与点B的连线平行于y轴，则点B的
坐标可以是（　C　）
A. （－3，2） B. （－3，－2）
（5）在平面直角坐标系中，已知点P（a－3，2）在象限的角平分线
上，则a＝ .
C
1或5
C. （3，1） D. （0，－2）
知识点2　 点到坐标轴的距离，两点间的距离
点到坐标轴及原点的距离 两点间的距离
点P到y轴的距离是｜x｜， 即线段PM的长度； 点P到x轴的距离是｜y｜， 即线段PN的长度； 点P到原点的距离是，即线段PO的长度
PH∥y轴，
QH∥x轴，
则PH＝yP－yH，
QH＝xQ－xH，
PQ＝
2. （1）在平面直角坐标系中，点（－3，5）到x轴的距离为 ，到y
轴的距离为 .
（2）（2026·原创）已知点A（1，4），B（5，1），则点A与点B的距
离为 ；
已知点P（3，－1），Q（－1，2），则点P与点Q的距离为 .
5
3
5
5
知识点3　 点的平移与对称
点的平移 点的对称
口诀：关谁谁不变，关
原点都变
3. （1）（2025·湖南）在平面直角坐标系中，将点P（－3，2）向右平
移3个单位长度到P1处，则点P1的坐标为（　B　）
A. （－6，2） B. （0，2）
C. （－3，5） D. （－3，－1）
（2）（2025·山东）在平面直角坐标系中，将点P（3，4）向下平移2个
单位长度，得到的对应点P'的坐标是 .
（3）点A（2，－3）关于y轴对称的点的坐标为 ，点
B（－1，5）关于原点对称的点的坐标为 .
B
（3，2）
（－2，－3）
（1，－5）
知识点4　 函数的概念及取值范围
（1）概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且
对于x的每一个确定的值，y都有 的值与其对应，那么我
们称y是x的函数.其中x是自变量，y是因变量.
（2）函数的表示方法：列表法、关系式法、图象法.
唯一确定
（3）自变量的取值范围：
类型 分式型 偶次根
型 分式＋偶次
根型 零（负）
指数型 在实际背景下
时
自变
量需满足 分母≠0 被开方
数≥0 分母≠0且被
开方数≥0 底数≠0 实际问题
有意义
示例 y＝
（x≠3） y＝ （x≥－
3） y＝ （x＞－3） y＝（x＋
3）－1（x≠－3） 人数是整数，
边长大于零等
4. （1）（2025·东莞模拟）下列选项中，y不是x的函数的是（　A　）
A B C D
（2）（2025·广州模拟）在函数y＝ 中，自变量x的取值范围
是 .
（3）（2025·广州）要使代数式 有意义，则x的取值范围是
.
A
x≥
x≥－1
且x≠3
重点1　平面直角坐标系中点的坐标特征
[例 1]（2025·广州模拟）如图，在围棋棋盘上建立的平面直角坐标系
中，已知黑棋①的坐标是（2，－1），白棋③的坐标是（－1，－2），
则黑棋②的坐标是（　B　）
B
A. （－2，1） B. （－2，2）
C. （－3，－2） D. （0，－2）
例1题图　　　　　　
[变式1]（2025·惠州模拟）如图，若点E的坐标为（m，n），则（m－
2，n＋2）对应的点可能是（　A　）
A. A点 B. B点 C. C点 D. D点
变式1题图
A
重点2　函数图象与应用
[例 2]（2025·深圳模拟）如图1，四边形ABCD是长方形，动点E从点B
出发，沿B→C→D→A匀速运动，到达点A停止运动，速度为3cm/s，
设点E的运动时间为t（单位：s），△ABE的面积为S（单位：cm2），
其中S与t的关系如图2所示，那么下列说法正确的是（　B　）
B
A. AB＝3 B. S的最大值为27
C. 当t＝1时，S＝3 D. 当S＝9时，t＝
例2题图　　　
[变式2]（1）（2025·广东）在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒
定功率运行，其电池剩余的能量y（单位：W·h）与骑行里程x（单位：
km）之间的关系如图.当电池剩余能量小于100 W·h时，摩托车将自动报
警.根据图象，下列结论正确的是（　C　）
A. 电池能量最多可充400 W·h
B. 摩托车每行驶10km消耗能量300 W·h
C. 一次性充满电后，摩托车最多行驶25km
D. 摩托车充满电后，行驶18km将自动报警
C
变式2题（1）图　　　
（2）（2025·广东模拟）如图1，点P为菱形ABCD对角线AC上一动
点，点E为边CD上一定点，连接PB，PE，BE. 如图2所示是点P从点
A匀速运动到点C时，△PBE的面积y随AP的长度x变化的关系图象
（当点P在BE上时，令y＝0），则菱形ABCD的边长为（　A　）
A. 5 B. 6 C. 2 D. 2
A
变式2题（2）图
1. 北京时间2024年5月20日11时6分，“郑州航空港号”卫星搭乘长征二
号丁运载火箭在太原卫星发射中心发射升空，从这天起，星空中有了一
颗以“郑州航空港”来命名的星星.下列表述，能确定太原位置的是
（　B　）
A. 山西省中部 B. 东经110°30'，北纬37°27'
C. 太行山西侧，舟山南侧 D. 华北地区晋中盆地北部
B
2. （2025·江门模拟）在函数y＝ 中，自变量x的取值范围是
（　A　）
A. x＞4 B. x≥4 C. x≠4 D. x＜4
A
3. （2025·广州模拟）如图，把一个含电阻R的用电器接在闭合电路中.
用电器的功率P、两端电压U及用电器的电阻R的关系为U2＝PR，当U
＝220V、用电器的功率P＝800 W时，用电器的电阻R的值为 Ω.
60.5
4. （2025·江门模拟）《宋史·司马光传》中记载：群儿戏于庭，一儿登
瓮，足跌没水中.众皆弃去，光持石击瓮破之，水迸，儿得活.下图比较
符合故事情节的是（　D　）
A B C D
D
5. （教材母题改编）（2025·黑龙江）一条公路上依次有A，B，C三
地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C
地；一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸
货时间忽略不计）.两车同时出发，轿车比货车晚 h到达终点，两车均
按各自速度匀速行驶.如图所示是轿车和货车距各自出发地的距离y（单
位：km）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回
答下列问题：
（1）图中a的值是 ，b的值是 ；
（2）在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单
位：km）与行驶时间x（单位：h）之间的函数解析式；
300
2
解：（2）∵3－ ＝ （h），∴N .
∵ ÷2＝ （h），∴M .
∴货车的速度为120÷ ＝90（km/h）.
∴y＝120－90 ＝－90x＋240.
解：（2）∵3－ ＝ （h），∴N .
∵ ÷2＝ （h），∴M .
∴货车的速度为120÷ ＝90（km/h）.
∴y＝120－90 ＝－90x＋240.
∴在货车从B地返回C地的过程中，货车距出发地的距离y（单位： km）
与行驶时间x（单位：h）之间的函数解析式为y＝－90x＋240.
5. （教材母题改编）（2025·黑龙江）一条公路上依次有A，B，C三
地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C
地；一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸
货时间忽略不计）.两车同时出发，轿车比货车晚 h到达终点，两车均
按各自速度匀速行驶.如图所示是轿车和货车距各自出发地的距离y（单
位：km）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回
答下列问题：
（3）直接写出轿车出发多长时间与货车相距40km.
解：（3）轿车出发 h或 h或 h时，与货车相距40km.
解：（3）轿车出发 h或 h或 h时，与货车相距40km.(共29张PPT)
第一轮　基础复习　
第一部分　数与代数
第三章　函数
第11讲　反比例函数及其应用
知识点1　 反比例函数的概念
一般地，形如y＝ （k为常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数.其中x
是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.
1. （1）（2025·绥化一模）在下列函数中，y是x的反比例函数的是
（　C　）
A. y＝2x B. y＝ C. y＝ D. y＝
（2）（2025·衡山模拟）若y＝（m－1）xm是反比例函数，则m的值
为 .
C
－1
知识点2　 反比例函数的图象与性质
（1）反比例函数y＝ 的图象是双曲线，它关于坐标原点成中心对称，
两个分支在第一、三象限或第二、四象限.
（2）反比例函数的图象与性质.
函数 k 图象 所在象限 增减性 对称性
y＝ （k为常数， k≠0） k＞
0
第 、 象限 在每一象限内，y的值随
x值的增大而　 关于原
点对称
k
＜
0
第 、 象限 在每一象限内，y的值随
x值的增大而　 一
三
减小
二
四
增大
2. （1）（2025·湖南）对于反比例函数y＝ ，下列结论正确的是
（　D　）
A. 点（2，2）在该函数的图象上
B. 该函数的图象分别位于第二、四象限
C. 当x＜0时，y随x的增大而增大
D. 当x＞0时，y随x的增大而减小
D
（2）（2025·河北）在反比例函数y＝ 中，若2＜y＜4，则（　B　）
A. ＜x＜1 B. 1＜x＜2
C. 2＜x＜4 D. 4＜x＜8
（3）（2025·甘肃）已知点A（2，y1），B（6，y2）在反比例函数y＝
（k≠0）的图象上，如果y1＞y2，那么k＝ .（请
写出一个符合条件的k值）
B
（答案不唯一）6
知识点3　 求反比例函数的表达式及应用
求反比例函数表达式的方法.
（1）方法1：待定系数法，设y＝ ，代入一个点的坐标求出k的值，写
出表达式；
（2）方法2：根据实际问题列出关系式.
3. （1）（2025·福建）若反比例函数y＝ 的图象过点（－2，1），则常
数k＝ .
（2）【跨学科】（2025·湖北）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池
时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的
图象如图所示.当电阻R大于9Ω时，电流I可能是（　A　）
A. 3 A B. 4 A C. 5 A D. 6 A
－2
A
（3）【跨学科】（2025·广东三模）已知声波在某均匀介质中传播，波
速v恒为340m/s.由物理学知识可知，当波速一定时，波长λ（单位：m）
与频率f（单位：Hz）成反比例函数关系，即λ＝ .当频率f＝20Hz时，
波长λ＝17m，则当频率为34Hz时，波长是 m.
10
知识点4　 反比例函数y＝ （k≠0）中k的几何意义
　S矩形OAPB＝｜k｜ S△OAP＝ ｜k｜ S△APP'＝2｜k｜
（点P'为点P关于原点的对称点）
4. （1）（2025·咸阳模拟）如图，菱形OABC的顶点O是原点，顶点B
在y轴上，反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过顶点A，则菱形
OABC的面积为 .
第4题（1）图　　　　
20
（2）（2025·内江模拟）如图，过y轴正半轴上一点P作x轴的平行线，
分别与反比例函数y＝ （k＜0）和y＝ 的图象相交于点A和点B，C
是x轴上一点.若△ABC的面积为4，则k的值为 .
第4题（2）图　　　　
－2
（3）（2025·深圳模拟）如图，点A在x轴的正半轴上，点C在反比例函
数y＝ （x＜0）的图象上，AC交y轴于点B. 若B是AC的中点，
△AOC的面积为5，则k的值为 .
第4题（3）图
－10
重点1　反比例函数的图象与性质
[例 1]（教材母题改编）已知k1＜0＜k2，则函数y＝k1x－1和y＝ 的图
象大致是（　A　）
A
[变式1]（2025·天津）若点A（－3，y1），B（1，y2），C（3，y3）都
在反比例函数y＝－ 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ 　[　）
A. y1＜y2＜y3 B. y3＜y2＜y1
C. y1＜y3＜y2 D. y2＜y3＜y1
D
重点2　反比例函数与一次函数综合
[例 2]（2025·内江）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝ 的
图象与一次函数y＝k2x＋b的图象相交于A（a，6），B（－6，1）两点.
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
解：（1）∵反比例函数y＝ 的图象过点B（－6，
1），
∴k1＝－6×1＝－6.
故反比例函数的表达式为y＝－ .
把A（a，6）代入反比例函数y＝－ ，得6＝－ ，解
得a＝－1.
∴点A的坐标为（－1，6）.
解：（1）∵反比例函数y＝ 的图象过点B（－6，1），
∴k1＝－6×1＝－6.
故反比例函数的表达式为y＝－ .
把A（a，6）代入反比例函数y＝－ ，得6＝－ ，解得a＝－1.
∴点A的坐标为（－1，6）.
∵一次函数y＝k2x＋b的图象经过A（－1，6），B（－6，1）两点，
∴ 解得
故一次函数的表达式为y＝x＋7.
∵一次函数y＝k2x＋b的图象经过A（－1，6），B（－6，1）两点，
∴ 解得
故一次函数的表达式为y＝x＋7.
（2）当x＜0时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式k2x＋b－
≥0的解集；
解：（2）不等式k2x＋b－ ≥0的解集为－6≤x≤－
1.
解：（2）不等式k2x＋b－ ≥0的解集为－6≤x≤－1.
[例 2]（2025·内江）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝
的图象与一次函数y＝k2x＋b的图象相交于A（a，6），B（－6，1）
两点.
[例 2]（2025·内江）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝
的图象与一次函数y＝k2x＋b的图象相交于A（a，6），B（－6，1）
两点.
（3）过直线AB上的点C作CD∥x轴，交反比例函数的图象于点D. 若
点C的横坐标为－4，求△BOD的面积.
解：（3）∵点C的横坐标为－4，代入y＝x＋7，解
得y＝－4＋7＝3.
∴C（－4，3）.
把y＝3代入y＝－ ，得3＝－ ，解得x＝－2.
∴D（－2，3）.
如图，过点B，D分别作x轴的垂线，垂足分别为
F，E，
∵B（－6，1），D（－2，3），
∴DE＝3，BF＝1，EF＝－2－（－6）＝4.
解：（3）∵点C的横坐标为－4，代入y＝x＋7，解得y＝－4＋7＝3.
∴C（－4，3）.
把y＝3代入y＝－ ，得3＝－ ，解得x＝－2.
∴D（－2，3）.
如图，过点B，D分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E，
∵B（－6，1），D（－2，3），
∴DE＝3，BF＝1，EF＝－2－（－6）＝4.
∵S△BOD＋S△BFO＝S梯形BFED＋S△DEO，S△BFO＝
S△DEO＝3，
∴S△BOD＝S梯形BFED＝ （DE＋BF）·EF＝ ×（3
＋1）×4＝8.
∵S△BOD＋S△BFO＝S梯形BFED＋S△DEO，S△BFO＝S△DEO＝3
∴S△BOD＝S梯形BFED＝ （DE＋BF）·EF＝ ×（3＋1）×4＝8.
[变式2]（2025·遂宁）如图，一次函数y＝mx＋n（m，n为常数，m≠0）的图象与反比例函数y＝ （k≠0）的图象交于A（－2，－2），B（a，1）两点.
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
解：（1）∵A（－2，－2）在反比例函数y＝
（k≠0）的图象上，
∴k＝（－2）×（－2）＝4.
∴反比例函数的表达式为y＝ .
∵B（a，1）在反比例函数y＝ 的图象上，
∴a＝4.∴B（4，1）.把A（－2，－2），B（4，1）代入y＝mx＋n
（m≠0），
解：（1）∵A（－2，－2）在反比例函数y＝ （k≠0）的图象上，
∴k＝（－2）×（－2）＝4.
∴反比例函数的表达式为y＝ .
∵B（a，1）在反比例函数y＝ 的图象上，
∴a＝4.∴B（4，1）.
把A（－2，－2），B（4，1）代入y＝mx＋n（m≠0），
得 解得
∴一次函数的表达式为y＝ x－1.
得 解得
∴一次函数的表达式为y＝ x－1.
（2）结合图形，请直接写出不等式 －x＜0的解集；
解：（2）不等式 －x＜0的解集为－2＜x＜0或x＞2.
解：（2）不等式 －x＜0的解集为－2＜x＜0或x＞2.
[变式2]（2025·遂宁）如图，一次函数y＝mx＋n（m，n为常数，m≠0）的图象与反比例函数y＝ （k≠0）的图象交于A（－2，－2），B（a，1）两点.
（3）点P（0，b）是y轴上的一点，若△ABP是以AB为直角边的直角
三角形，求b的值.
解：（3）由题易得AB2＝（4＋2）2＋（1＋2）2＝45，
AP2＝（0＋2）2＋（b＋2）2＝4＋（b＋2）2，
BP2＝（0－4）2＋（b－1）2＝16＋（b－1）2.
当∠BAP＝90°时，AB2＋AP2＝BP2，
即45＋4＋（b＋2）2＝16＋（b－1）2，解得b＝－6.
当∠ABP＝90°时，AB2＋BP2＝AP2，
即45＋16＋（b－1）2＝4＋（b＋2）2，解得b＝9.
∴b＝－6或9.
解：（3）由题易得AB2＝（4＋2）2＋（1＋2）2＝45，
AP2＝（0＋2）2＋（b＋2）2＝4＋（b＋2）2，
BP2＝（0－4）2＋（b－1）2＝16＋（b－1）2.
当∠BAP＝90°时，AB2＋AP2＝BP2，
即45＋4＋（b＋2）2＝16＋（b－1）2，解得b＝－6.
当∠ABP＝90°时，AB2＋BP2＝AP2，
即45＋16＋（b－1）2＝4＋（b＋2）2，解得b＝9.
∴b＝－6或9.
[变式2]（2025·遂宁）如图，一次函数y＝mx＋n（m，n为常数，m≠0）的图象与反比例函数y＝ （k≠0）的图象交于A（－2，－2），B（a，1）两点.
1. （2025·北京模拟）在平面直角坐标系xOy中，若点（1，m）和
（n，－1）在函数y＝ （k≠0）的图象上，则m＋n的值为 .
2. （2025·陕西）如图，过原点的直线与反比例函数y＝ （k＞0）的图
象交于A（m，n），B（m－6，n－6）两点，则k的值为 .
0
9
第2题图　　　　　
3. （2025·广东模拟）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝ （x＞0）
与y＝x＋3的图象交于点P（a，b），则代数式a2＋b2的值为 .
第3题图　　　　　
13
4. （2025·广州模拟）双曲线y＝ （x＞0）如图所示，边长为2的正方
形ABCD顶点A的横坐标为2，AD∥x轴.将正方形ABCD向正下方平
移，两个顶点可同时落在双曲线上，则k＝ .
第4题图
8
5. （教材母题改编）综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的质量？
【素材1】如图所示是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘固定在
点A处，右侧托盘的点P可以在横梁BC段滑动.已知OA＝OC＝12cm，
BC＝28cm，一个100g的砝码.
【素材2】由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操
作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘滑动点P至点B，空瓶中加入适量
的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点P移动到PC长
12cm时，天平平衡.
【链接】根据杠杆原理，平衡时：左盘砝码质量×OA＝右盘物体质量
×OP. （不计托盘与横梁质量）
【任务1】（1）设右侧托盘放置y g物体，OP长x cm，求y关于x的函数
表达式，并求出y的取值范围；
解：（1）∵左盘砝码质量×OA＝右盘物体质量×OP，右侧托盘放置y
g物体，OP长x cm，砝码的质量是100g，OA＝12cm，
∴100×12＝xy.
∴y＝ .
∵OC＝12cm，BC＝28cm，
∴OB＝40cm.
∵点P可以在横梁BC段滑动，
∴12≤OP≤40.
即12≤x≤40.
∴30≤y≤100.
∴y关于x的函数表达式为y＝ （30≤y≤100）.
解：（1）∵左盘砝码质量×OA＝右盘物体质量×OP，右侧托盘放置y
g物体，OP长x cm，砝码的质量是100g，OA＝12cm，
∴100×12＝xy.
∴y＝ .
∵OC＝12cm，BC＝28cm，
∴OB＝40cm.
∵点P可以在横梁BC段滑动，
∴12≤OP≤40.
即12≤x≤40.
∴30≤y≤100.
∴y关于x的函数表达式为y＝ （30≤y≤100）.
【任务2】（2）求这个空矿泉水瓶的质量.
解：（2）设这个空矿泉水瓶的质量为ag，两次加水的质量均为bg，
根据题意，得 解得
答：这个空矿泉水瓶的质量为10g.
解：（2）设这个空矿泉水瓶的质量为ag，两次加水的质量均为bg，
根据题意，得 解得
答：这个空矿泉水瓶的质量为10g.(共17张PPT)
第一轮　基础复习　
第一部分　数与代数
第三章　函数
第13讲　二次函数的综合运用
中考热点1　二次函数的最值的实际应用
1. （2025·深圳模拟）“科技点亮未来，创新成就梦想”，在坪山区某九
年一贯制学校2025年的科技节活动中，水火箭这一汇聚了物理智慧与巧
妙构思的科技作品，闪耀着耀眼的光芒.水火箭从地面竖直向上弹出，其
初始速度为20 m/s.水火箭在空中的高度h（单位：m）与时间t（单位：
s）之间的函数关系式为h＝20t－5t2.当水火箭达到最高点时，其运动时
间为（　B　）
A. 1s B. 2s C. 3s D. 4s
B
2. （2025·广州模拟）已知点P（m，n）在二次函数y＝x2＋4的图象
上，则m－n的最大值为 .
－
3. （2025·深圳模拟）如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙（墙的最
大可用长度a为15m），设花圃的宽AB为xm，面积为S m2.
（1）求S与x的函数关系式及x值的取值范围；
解：（1）根据题意，得S＝x（24－3x），
即所求的函数关系式为S＝－3x2＋24x，
又∵0＜24－3x≤15，
∴3≤x＜8.
∴S＝－3x2＋24x（3≤x＜8）.
解：（1）根据题意，得S＝x（24－3x），
即所求的函数关系式为S＝－3x2＋24x，
又∵0＜24－3x≤15，
∴3≤x＜8.
∴S＝－3x2＋24x（3≤x＜8）.
3. （2025·深圳模拟）如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙（墙的最
大可用长度a为15m），设花圃的宽AB为xm，面积为S m2.
（2）要围成面积为36m2的花圃，AB的长为多少米？
解：（2）由（1），得－3x2＋24x＝36.
整理，得x2－8x＋12＝0，
解得x1＝2，x2＝6.
∵3≤x＜8，∴x＝6.
∴AB的长为6m.
解：（2）由（1），得－3x2＋24x＝36.
整理，得x2－8x＋12＝0，
解得x1＝2，x2＝6.
∵3≤x＜8，∴x＝6.
∴AB的长为6m.
（3）当AB的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？
解：（3）S＝－3x2＋24x＝－3（x－4）2＋48，
∵3≤x＜8，对称轴为直线x＝4，开口向下，
∴当x＝4，即当AB的长为4m时，围成的花圃面积最大.
解：（3）S＝－3x2＋24x＝－3（x－4）2＋48，
∵3≤x＜8，对称轴为直线x＝4，开口向下，
∴当x＝4，即当AB的长为4m时，围成的花圃面积最大.
4. （2025·达州）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文
旅公司推出多款文创产品.已知某款巴小虎吉祥物每件的成本价是30元，
当每件售价为40元时，每天可以售出60件.经调查发现，售价每降价1
元，每天可以多售出10件.
（1）设该款巴小虎吉祥物每件降价x元，则每天售出的数量是
件；
（60＋
10x）
（2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物每件应该降价多少元，文旅公司
每天的利润是630元；
解：（2）根据题意，得（40－30－x）（60＋10x）＝630，整理，得x2
－4x＋3＝0，
解得x1＝1，x2＝3.
由于要让利于游客，则x＝3.
∴该款巴小虎吉祥物每件降价3元时，文旅公司每天的利润是630元.
解：（2）根据题意，得（40－30－x）（60＋10x）＝630，整理，得x2
－4x＋3＝0，
解得x1＝1，x2＝3.
由于要让利于游客，则x＝3.
∴该款巴小虎吉祥物每件降价3元时，文旅公司每天的利润是630元.
4. （2025·达州）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文
旅公司推出多款文创产品.已知某款巴小虎吉祥物每件的成本价是30元，
当每件售价为40元时，每天可以售出60件.经调查发现，售价每降价1
元，每天可以多售出10件.
（3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当每件售价为
多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
解：（3）设该款巴小虎吉祥物每件降价x元，
则W＝（40－30－x）（60＋10x）＝（10－x）（60＋10x）＝－10x2
＋40x＋600＝－10（x－2）2＋640，
∵－10＜0，
∴当x＝2时，W取得最大值，是640，此时每件售价为38元.
答：当每件售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元.
解：（3）设该款巴小虎吉祥物每件降价x元，
则W＝（40－30－x）（60＋10x）＝（10－x）（60＋10x）＝－10x2
＋40x＋600＝－10（x－2）2＋640，
∵－10＜0，
∴当x＝2时，W取得最大值，是640，此时每件售价为38元.
答：当每件售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元.
中考热点2　二次函数中的抛物线型问题
5. （2025·深圳模拟）阅读以下材料，完成课题研究任务.
【研究课题】设计公园喷水池.
【素材1】某公园计划修建一个如图1所示的喷水池，其示意图如图2，水
池中心O处立着个实心石柱OA，水池周围安装一圈喷头，使得水流在各
个方向上都沿形状相同的抛物线喷出，并在石柱顶点A处汇合，且在过
OA的任一平面上抛物线路径如图所示，为使水流形状更漂亮，要求水流
在距离石柱0.5m处能达到最大高度，且离池面的高度为2.25m.
【素材2】距离池面1.25m的位置，围绕石柱还修了一个半径为1.5m的圆
形小水池，此时小水池恰好不影响水流.
【任务解决】（1）请结合题意写出下列点的坐标：B ，
C ；
（2）求实心石柱OA的高度；
解：（2）设抛物线的解析式为y＝a（x－0.5）2＋2.25，
把C（1.5，1.25）代入，得1.25＝a（1.5－0.5）2＋2.25，
解得a＝－1.
∴抛物线的解析式为y＝－（x－0.5）2＋2.25.
当x＝0时，y＝－0.25＋2.25＝2，
∴实心石柱OA的高度为2m.
（0.5，2.25）
（1.5，1.25）
解：（2）设抛物线的解析式为y＝a（x－0.5）2＋2.25，
把C（1.5，1.25）代入，得1.25＝a（1.5－0.5）2＋2.25，
解得a＝－1.
∴抛物线的解析式为y＝－（x－0.5）2＋2.25.
当x＝0时，y＝－0.25＋2.25＝2，
∴实心石柱OA的高度为2m.
（3）为了节约水资源，水流在喷水池中循环使用，喷水池的半径至少为
多少米？
解：（3）令y＝0，即0＝－（x－0.5）2＋2.25，
解得x＝2（负值舍去）.
答：喷水池的半径至少为2m.
解：（3）令y＝0，即0＝－（x－0.5）2＋2.25，
解得x＝2（负值舍去）.
答：喷水池的半径至少为2m.
6. （2025·广东模拟）综合与实践.
【主题】排球运动的数学建模.
【素材】①如图1，一名排球运动员在比赛中起跳扣球，球在出手后的飞
行路线可以用函数y＝a（x＋2）2＋k（a＜0）刻画，其中y轴是球网
所在的位置，x轴是水平地面，排球飞行的水平距离x（单位：m）与其
飞行的高度y（单位：m）的变化规律如下表：
②如图2，排球场地标准：长18m，宽9 m，球网高度为2.24m.
【模型建立】（1）求素材①中函数的解析式及排球的落点A的坐标；
解：（1）由条件可知抛物线的对称轴为直线x＝－2，
∵x＝－2，y＝3，∴k＝3.
∴把x＝0，y＝2.92代入y＝a（x＋2）2＋3中，得a（0＋2）2＋3＝
2.92.
∴a＝－0.02.
∴①中函数的解析式为y＝－0.02（x＋2）2＋3.
令y＝0，得－0.02（x＋2）2＋3＝0，
∴x1＝5 －2，x2＝－5 －2（舍去）.
∴点A的坐标为（5 －2，0）.
解：（1）由条件可知抛物线的对称轴为直线x＝－2，
∵x＝－2，y＝3，∴k＝3.
∴把x＝0，y＝2.92代入y＝a（x＋2）2＋3中，得a（0＋2）2＋3＝2.92.
∴a＝－0.02.
∴①中函数的解析式为y＝－0.02（x＋2）2＋3.
令y＝0，得－0.02（x＋2）2＋3＝0，
∴x1＝5 －2，x2＝－5 －2（舍去）.
∴点A的坐标为（5 －2，0）.
【模拟计算】（2）若在素材①中对方运动员在球网另一侧截击，假设截
击后球的轨迹与原来轨迹关于过截击点平行于y轴的直线对称，求使排球
刚好能过网的截击点到球网的距离.（结果保留根号）
解得x1＝－2－ ，x2＝－2＋ .可见x1＜0，x2＞0，
∵截击后的轨迹与原来轨迹对称，
∴当截击后排球刚好能过网时，只需要在距网 x2处截击即可.
∴截击点到球网的距离为 m.
解：（2）由题意，可知球网高度为2.24m，
∵y＝－0.02（x＋2）2＋3，
∴当y＝2.24时，－0.02（x＋2）2＋3＝2.24，化简，得x2＋4x－34
＝0，
解得x1＝－2－ ，x2＝－2＋ .可见x1＜0，x2＞0，
∵截击后的轨迹与原来轨迹对称，
∴当截击后排球刚好能过网时，只需要在距网 x2处截击即可.
∴截击点到球网的距离为 m.
中考热点3　二次函数综合
7. （2025·珠海模拟）大自然中存在着许多数学的奥秘.比如，如图1所示
是一片美丽的心形叶片，它可以近似地看作是将一条抛物线的一部分沿
着一条直线折叠而形成的.
【探究1】确定心形叶片的形状.
（1）建立如图2所示的平面直角坐标系，心形叶片的对称轴以下的轮廓
线可以看作是二次函数y＝ax2＋4x＋c的图象的一部分，已知该函数图
象过点（0，－3），（－3，－6），请求出该抛物线的解析式；
解：（1）∵二次函数y＝ax2＋4x＋c的图象过点（0，－3），
∴c＝－3.
再代入（－3，－6），可得－6＝9a－12－3，解得a＝1.
故该二次函数的解析式为y＝x2＋4x－3.
7. （2025·珠海模拟）大自然中存在着许多数学的奥秘.比如，如图1所示
是一片美丽的心形叶片，它可以近似地看作是将一条抛物线的一部分沿
着一条直线折叠而形成的.该二次函数的解析式为y＝x2＋4x－3.
【探究2】研究心形叶片的长度.
（2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴直线y＝x＋1与叶片
的交点分别为点A，B，请求出叶片的长度AB；
解：（2）令y＝x＋1与y＝x2＋4x－3联立，即x＋1＝x2＋4x－3，
整理，得x2＋3x－4＝0，解得x1＝－4，x2＝1.
∴A（－4，－3），B（1，2）.
∴AB＝ ＝5 .
解：（2）令y＝x＋1与y＝x2＋4x－3联立，即x＋1＝x2＋4x－3，
整理，得x2＋3x－4＝0，解得x1＝－4，x2＝1.
∴A（－4，－3），B（1，2）.
∴AB＝ ＝5 .
7. （2025·珠海模拟）大自然中存在着许多数学的奥秘.比如，如图1所示
是一片美丽的心形叶片，它可以近似地看作是将一条抛物线的一部分沿
着一条直线折叠而形成的.
【探究3】探究心形叶片的宽度.
（3）如图4，在（1），（2）的条件下，点P为心形叶片对称轴上方的
抛物线上的一点，过点P作对称轴的垂线，垂足为D，且PD与x轴交于
点C，若PC＝CD，求叶片在此处的宽度.
解：（3）如图，作DE⊥x轴于点E，设点P关于直线y
＝x＋1的对称点为P'，P'在抛物线y＝x2＋4x－3上.
易知直线y＝x＋1与x轴交于点F（－1，0），△CDF
为等腰直角三角形.
设C（a，0），则CF＝－1－a，CE＝ ，DE＝
CE＝ .
∴D .
∵点C为PD的中点，
∴易得xP＝a－ ＝ .
解：（3）如图，作DE⊥x轴于点E，设点P关于直线y
＝x＋1的对称点为P'，P'在抛物线y＝x2＋4x－3上.
易知直线y＝x＋1与x轴交于点F（－1，0），△CDF为等腰直角三角形.
设C（a，0），则CF＝－1－a，CE＝ ，DE＝CE＝ .
∴D .
∵点C为PD的中点，
∴易得xP＝a－ ＝ .
∴点P的坐标为 .
∴点P的坐标为 .
∴易知点P关于点D的对称点P'的坐标为 ，且点P'在抛物
线y＝x2＋4x－3上.
把点P' 代入抛物线y＝x2＋4x－3中，
整理，得a2－8a－33＝0，解得a1＝－3，a2＝11（不合题意，舍去）.
∴P（－4，1）.
由对称性，可知叶片在此处的宽度为PP'＝2PD＝4PC＝4 .
∴易知点P关于点D的对称点P'的坐标为 ，且点P'在抛物
线y＝x2＋4x－3上.
把点P' 代入抛物线y＝x2＋4x－3中，
整理，得a2－8a－33＝0，解得a1＝－3，a2＝11（不合题意，舍去）.
∴P（－4，1）.
由对称性，可知叶片在此处的宽度为PP'＝2PD＝4PC＝4 .

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