资源简介

(共20张PPT)
第一轮　基础复习　
第二部分　空间与图形
第四章　三角形
第20讲　解直角三角形的应用
知识点1　 仰角与俯角
（1）在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的是仰角，如仰
角α.
（2）在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线下方的是俯角，如俯
角β.
1. （2025·湖北）如图，甲、乙两栋楼相距30m，从甲楼A处看乙楼顶部
B的仰角为35°，A到地面的距离为18m，则乙楼的高约为 .
（参考数据：tan35°≈0.7）
39 m
知识点2　 方位角
一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向线旋转
到目标方向线的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）
××度.
（1）点A在点O北偏东60°方向上；
（2）点B在点O北偏西60°方向上；
（3）点C在点O南偏西20°方向上；
（4）点D在点O南偏东60°方向上.
2. （2025·上海二模）一次游学活动中，小杰从营地A出发，沿北偏东
60°方向走了500 m到达B处，然后再沿北偏西30°方向走了500 m到
达目的地C处（如图所示），那么A，C两地的距离是（　D　）
A. 1 000 m B. 1 500 m
C. 500 m D. 1 000 m
D
知识点3　 坡角、坡度（坡比）
（1）坡角的正切值，即坡面的垂直高度（AC）与水平宽度（BC）的比
叫做坡度（坡比），记作i.如图的坡度（坡比）为i＝tan α＝ .
（2）坡面与水平线的夹角α叫做坡角.坡度越大，坡角就越大，坡面
就越陡.
3. （2025·通辽二模）河堤横断面如图所示，堤高BC＝7m，迎水坡AB
的坡比为1∶ ，则AC的长为（　D　）
A. 14 m B. 21m C. 14m D. 7 m
D
重点1　仰角、俯角和方位角的应用
[例 1]（2025·长沙）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点
M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上.为了进一步提升景区品
质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D. 经测得景点C位
于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点
B位于景点D的南偏西45°方向上.已知AB＝800m.
（1）求∠ACB的度数；
解：（1）如图，∠CBE＝60°，∠CAF＝30°，
∠BDM＝45°，BM⊥DM，BE∥AF∥DM.
∴∠BCM＝∠CBE＝60°，∠ACM＝∠CAF＝
30°.
∴∠ACB＝∠BCM－∠ACM＝60°－30°＝
30°.
解：（1）如图，∠CBE＝60°，∠CAF＝30°，
∠BDM＝45°，BM⊥DM，BE∥AF∥DM.
∴∠BCM＝∠CBE＝60°，∠ACM＝∠CAF＝30°.
∴∠ACB＝∠BCM－∠ACM＝60°－30°＝30°.
[例 1]（2025·长沙）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点
M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上.为了进一步提升景区品
质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D. 经测得景点C位
于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点
B位于景点D的南偏西45°方向上.已知AB＝800m.
（2）求景点C与景点D之间的距离.（结果保留根号）
解：（2）∵∠CBE＝60°，
∴∠CBM＝90°－∠CBE＝90°－60°＝30°.
由（1），得∠ACB＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°.
又∵AB＝800m，
∴AC＝AB＝800m.
解：（2）∵∠CBE＝60°，
∴∠CBM＝90°－∠CBE＝90°－60°＝30°.
由（1），得∠ACB＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°.
又∵AB＝800m，
∴AC＝AB＝800m.
在Rt△ACM中， sin ∠ACM＝ ， cos ∠ACM＝ ，
∴AM＝AC· sin ∠ACM＝800× sin 30°＝800× ＝400（m），
CM＝AC· cos ∠ACM＝800× cos 30°＝800× ＝400 （m）.
∴BM＝BA＋AM＝800＋400＝1200（m）.
∵∠BDM＝45°，BM⊥DM，
∴DM＝BM＝1200m.
∴DC＝DM－CM＝（1200－400 ）m.
∴景点C与景点D之间的距离为（1200－400 ）m.
[变式 1]（2025·天津）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近
世纪钟建筑AB的高度.某学习小组设计了一个方案：如图，点A，E，
C依次在同一条水平直线上，CD⊥AC，EF⊥AC，且CD＝EF＝
1.7m.在D处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为22°，在F处测得世纪钟建
筑顶部B的仰角为31°，CE＝32m.根据该学习小组测得的数据，计算
世纪钟建筑AB的高度（结果取整数，参考数据：tan22°≈0.4，
tan31°≈0.6）
解：如图，延长DF与AB相交于点G.
根据题意，得四边形GAEF和四边形FECD是矩
形，∠GDB＝22°，∠GFB＝31°，∠DGB＝
90°，
∴AG＝EF＝CD＝1.7m，DF＝CE＝32m.
在Rt△FGB中，tan∠GFB＝ ，
∴GF＝ .
在Rt△DGB中，tan∠GDB＝ ，
∴GD＝ .
解：如图，延长DF与AB相交于点G.
根据题意，得四边形GAEF和四边形FECD是矩
形，∠GDB＝22°，∠GFB＝31°，∠DGB＝90°，
∴AG＝EF＝CD＝1.7m，DF＝CE＝32m.
在Rt△FGB中，tan∠GFB＝ ，
∴GF＝ .
在Rt△DGB中，tan∠GDB＝ ，
∴GD＝ .
答：世纪钟建筑AB的高度约为40m.
∵GF＋DF＝GD，
∴ ＋32＝ .
∴GB＝ ≈
＝38.4（m）.
∴AB＝AG＋GB≈1.7＋38.4≈40（m）.
答：世纪钟建筑AB的高度约为40m.
重点2　解直角三角形其他的应用
[例 2]（2025·广州模拟）某商铺老板为了防止商品久晒受损，在门前安
装了一个遮阳棚.如图所示，遮阳棚AB长为1.56m，与墙面AD的夹角
∠BAD＝67.4°，靠墙端A离地高AD为2.4m，遮阳棚前段下摆的自然
垂直长度BC＝0.2m.
（1）如图1，求遮阳棚上的B点到墙面AD的距离；
解：（1）如图，过点B作BK⊥AD于点K.
∵AB＝1.56m， sin ∠BAD＝ sin 67.4°≈ ，
∴ ＝ ≈ ，
∴BK≈1.44 m.
答：遮阳棚上的B点到墙面AD的距离约为1.44m.
解：（1）如图，过点B作BK⊥AD于点K.
∵AB＝1.56m， sin ∠BAD＝ sin 67.4°≈ ，
∴ ＝ ≈ ，
∴BK≈1.44 m.
答：遮阳棚上的B点到墙面AD的距离约为1.44m.
[例 2]（2025·广州模拟）某商铺老板为了防止商品久晒受损，在门前安
装了一个遮阳棚.如图所示，遮阳棚AB长为1.56m，与墙面AD的夹角
∠BAD＝67.4°，靠墙端A离地高AD为2.4m，遮阳棚前段下摆的自然
垂直长度BC＝0.2m.
（2）如图2，当太阳光线EF与地面DG的夹角为53°时，求阴影DF
的长.
（参考数据： sin 67.4°≈ ， cos 67.4°≈ ，tan67.4°≈ ， sin
53°≈ ， cos 53°≈ ，tan53°＝ ）
解：（2）如图，过点C作CH⊥DG于点H.
AK＝ ＝ ＝0.6（m），
∴DK＝AD－AK＝2.4－0.6＝1.8m.
∴BH＝DK＝1.8m.
∵BC＝0.2m，
∴CH＝1.8－0.2＝1.6（m）.
∵∠CFH＝53°，
∴tan∠CFH＝ ＝ .
∴ ＝ ，解得FH＝1.2 m.
解：（2）如图，过点C作CH⊥DG于点H.
AK＝ ＝ ＝0.6（m），
∴DK＝AD－AK＝2.4－0.6＝1.8m.
∴BH＝DK＝1.8m.
∵BC＝0.2m，
∴CH＝1.8－0.2＝1.6（m）.
∵∠CFH＝53°，
∴tan∠CFH＝ ＝ .
∴ ＝ ，解得FH＝1.2 m.
∵DH＝BK≈1.44m.
∴DF＝DH－FH≈1.44－1.2＝0.24（m）.
∴阴影DF的长约为0.24m.
∵DH＝BK≈1.44m.
∴DF＝DH－FH≈1.44－1.2＝0.24（m）.
∴阴影DF的长约为0.24m.
1. （2025·东莞模拟）如果斜坡的坡度i＝1∶ ，那么斜坡的坡角等于
（　B　）
A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°
B
2. （2025·台湾）如图是某种螺丝钉上螺纹的示意图，图中的虚线皆为水
平线或铅垂线，图上标示出角度，也标示出水平线间或铅垂线间的距离.
根据图中的标示，此种螺丝钉的螺纹深度是螺纹间距的（　D　）
A. B. C. D.
D
3. （教材母题改编）（2025·湛江三模）项目式学习.
项目背景 中庙又名忠庙、太姥庙，位于安徽巢湖市的中庙镇，如图1
所示.某学校数学兴趣小组在详细研究了中庙的结构设计
后，想用所学知识测量这座庙的高度，其示意图如图2所
示.为了更好地测量中庙的高度，小组需完成两个任务.
图示及说明 如图2所示，在垂直地面的这座庙PO侧方有一平台广场，
小明在平台广场A处测得庙顶端P的仰角为53°，AP＝
88m，走上侧边阶梯BC，阶梯BC的坡度i＝1∶2，阶梯BC
的坡面长度为30m.
任务1 （1）求阶梯BC的垂直高度，即点C到直线AB的距离；
（结果保留整数）
解：（1）如图，分别延长AB和PO交于点N，过点C作
CM⊥AN，交AN于点M.
∴∠ONM＝∠NMC＝∠NOC＝90°.
∴四边形ONMC是矩形.
∴CM＝ON，OC＝MN.
阶梯BC的坡度i＝1∶2，即 ＝ ，
∴设CM＝x，则BM＝2x.
∵CM2＋BM2＝BC2，即x2＋（2x）2＝302，
∴x＝6 ≈13.
解：（1）如图，分别延长AB和PO交于点N，过点C作CM⊥AN，交
AN于点M.
∴∠ONM＝∠NMC＝∠NOC＝90°.
∴四边形ONMC是矩形.
∴CM＝ON，OC＝MN.
阶梯BC的坡度i＝1∶2，即 ＝ ，
∴设CM＝x，则BM＝2x.
∵CM2＋BM2＝BC2，即x2＋（2x）2＝302，
∴x＝6 ≈13.
答：阶梯BC的垂直高度，即点C到直线AB的距离约为13m.
答：阶梯BC的垂直高度，即点C到直线AB的距离约为13m.
任务2 （2）求这座庙PO的高度.（结果保留整数）
参考数据 sin 53°≈0.8， cos 53°≈0.6，tan53°≈ ， ≈2.2.
解：（2） sin A＝ ，
∴PN＝AP· sin A＝88× sin 53°≈70.4（m）.
∵ON＝CM≈13m，
∴PO＝PN－ON≈70.4－13≈57（m）.
答：这座庙PO的高度约为57m.
解：（2） sin A＝ ，
∴PN＝AP· sin A＝88× sin 53°≈70.4（m）.
∵ON＝CM≈13m，
∴PO＝PN－ON≈70.4－13≈57（m）.
答：这座庙PO的高度约为57m.(共25张PPT)
第一轮　基础复习　
第二部分　空间与图形
第四章　三角形
第17讲　特殊三角形
知识点1　 等腰三角形和等边三角形
等腰三角形 等边三角形
判
定 （1）有两条边相等的三角形是等腰
三角形； （2）有两个角相等的三角形是等腰
三角形. （1）三条边都相等的三角形
是等边三角形；
（2）三个角都相等的三角形
是等边三角形；
（3）有一个角是60°的
三角形是等边三角形.
等
腰
等腰三角形 等边三角形
性
质 （1）两腰相等，两底角相等（等边
对等角）； （2） 、
、 相互重合
（简称“三线合一”）； （3）等腰三角形是轴对称图形，有
一条对称轴. （1）三边相等；
（2）三个内角都相等且每一
个内角都等于60°；
（3） “三线合一”，且内
心、外心重合；
（4）等边三角形是轴对称图
形，有三条对称轴.
底边上的中线
顶角角
平分线
底边上的高
1. （1）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝70°，则∠B的度数
为 .
（2）（2025·扬州）在如图的房屋人字梁架中，AB＝AC，点D在BC
上，下列条件不能说明AD⊥BC的是（　B　）
A. ∠ADB＝∠ADC B. ∠B＝∠C
C. BD＝CD D. AD平分∠BAC
第1题（2）图　　　　
55°
B
（3）（2025·陆丰一模）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的
等边△ABC上，若∠1＝24°，则∠2的度数为（　B　）
A. 24° B. 36° C. 48° D. 56°
第1题（3）图
B
（4）满足下列条件的三角形一定是等边三角形的是 .（填
序号）
①AB＝5，BC＝5，AC＝5；②∠A＝60°，∠B＝60°；③AB＝AC
＝5，∠C＝60°；④AB＝BC＝5.
①②③
知识点2　 直角三角形
判
定 （1）有一个角是直角的三角形是直角三角形；
（2）两个内角互余的三角形是直角三角形；
（3）一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形；
（4）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a，b，c，
且满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形.
性
质 （1）直角三角形的两个锐角互余；
（2）斜边上的中线等于斜边的一半；
（3） 30°角所对的直角边等于斜边的一半；
（4）如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，
那么a2＋b2＝c2（勾股定理）.
勾
股
数 满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数，如①3，4，5；②6，
8，10；③5，12，13.
2. （1）（2025·福建）某房梁如图所示，立柱AD⊥BC，E，F分别是
斜梁AB，AC的中点.若AB＝AC＝8m，则DE的长为 m.
第2题（1）图　　　　　　
（2）（2025·深圳模拟）在直角三角形中，两直角边长为3和4，则斜边
上的高为（　A　）
A. 2.4 B. 5 C. 6 D. 7.2
4
A
（3）（2025·惠州模拟）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为
a，b，c，下列所给数据中，不能判断△ABC是直角三角形的是
（　D　）
A. ∠A＋∠B＝90° B. a∶b∶c＝5∶12∶13
C. a2＋b2＝c2 D. ∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
D
（4）（2025·安徽）如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，边
AC的中点为D，边BC上的点E满足ED⊥AC. 若DE＝ ，则AC的
长是（　B　）
A. 4 B. 6 C. 2 D. 3
第2题（4）图
B
知识点3　 等腰直角三角形
（1）定义：两锐角相等或两锐角都等于45°的直角三角形.
（2）性质：①两直角边相等；②两锐角相等，且都等于45°；③“三线
合一”；④等腰直角三角形是轴对称图形，有一条对称轴.
3. （1）（2025·广西）如图，点A，D在BC同侧，AB＝BC＝CA＝
2，BD＝CD＝ ，则AD＝ 　 －1　.
第3题（1）图　　　　　
－1
（2）（2025·茂名一模）如图，将一张矩形纸片沿虚线对折两次，当剪
刀与纸片的夹角∠ABC＝45°时，已知AB＝4cm，则剪下来的图形的周
长为（　C　）
第3题（2）图
A. 4 cm B. 16cm
C. 16 cm D. 32cm
C
重点1　等腰等边三角形的性质与判定
[例 1]（2025·襄阳模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是三角形
ABC的高，用尺规作图的方法作出射线CP交AB于点E，交BD于点O.
（1）判断用尺规作出的CP是 ；
过点C的AB的垂线
（2）求证：BE＝CD.
（2）证明：∵CE，BD是△ABC的高，
∴∠BEC＝∠CDB＝90°.
∵AB＝AC，
∴∠EBC＝∠DCB.
∵BC＝CB，
∴△EBC≌△DCB（AAS）.
∴BE＝CD.
（2）证明：∵CE，BD是△ABC的高，
∴∠BEC＝∠CDB＝90°.
∵AB＝AC，
∴∠EBC＝∠DCB.
∵BC＝CB，
∴△EBC≌△DCB（AAS）.
∴BE＝CD.
[变式1]（2025·福建）如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点，
CE⊥BC，垂足为C，EF是由CD沿CE方向平移得到的.已知EF过点
A，BE交CD于点G.
（1）求∠DCE的大小；
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°.
∵D是AB的中点，
∴∠DCB＝∠DCA＝ ∠ACB＝ ×60°＝30°.
∵CE⊥BC，
∴∠BCE＝90°.
∴∠DCE＝∠BCE－∠DCB＝60°.
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°.
∵D是AB的中点，
∴∠DCB＝∠DCA＝ ∠ACB＝ ×60°＝30°.
∵CE⊥BC，
∴∠BCE＝90°.
∴∠DCE＝∠BCE－∠DCB＝60°.
[变式1]（2025·福建）如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点，
CE⊥BC，垂足为C，EF是由CD沿CE方向平移得到的.已知EF过点
A，BE交CD于点G.
（2）求证：△CEG是等边三角形.
（2）证明：由平移可知：CD∥EF，
∴∠EAC＝∠DCA＝30°.
又∵∠ECA＝∠BCE－∠ACB＝30°，
∴∠EAC＝∠ECA.
∴AE＝CE，∠AEC＝120°.
又∵AB＝CB，∴BE垂直平分AC.
∴∠GEC＝ ∠AEC＝ ×120°＝60°.
由（1）知，∠GCE＝60°，
∴∠EGC＝60°.
（2）证明：由平移可知：CD∥EF，
∴∠EAC＝∠DCA＝30°.
又∵∠ECA＝∠BCE－∠ACB＝30°，
∴∠EAC＝∠ECA.
∴AE＝CE，∠AEC＝120°.
又∵AB＝CB，∴BE垂直平分AC.
∴∠GEC＝ ∠AEC＝ ×120°＝60°.
由（1）知，∠GCE＝60°，
∴∠EGC＝60°.
∴∠GEC＝∠GCE＝∠EGC.
∴△CEG是等边三角形.
∴∠GEC＝∠GCE＝∠EGC.
∴△CEG是等边三角形.
重点2　直角三角形、等腰直角三角形的性质与判定
[例 2]（2025·唐山二模）三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三
角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F
＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10.
（1）求BC的长；
解：（1）在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝
60°，AC＝10，
∴∠ABC＝30°.
∴AB＝2AC＝20.
∴BC＝ ＝ ＝10 .
解：（1）在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，
∴∠ABC＝30°.
∴AB＝2AC＝20.
∴BC＝ ＝ ＝10 .
（2）求CD的长.
解：（2）如图，过点B作BM⊥FD于点M，
∵AB∥CF，
∴∠BCM＝∠ABC＝30°.
∴BM＝ BC＝5 ，CM＝ ＝15.
由题意，得∠EDF＝45°.
∴MD＝BM＝5 .
∴CD＝CM－MD＝15－5 .
解：（2）如图，过点B作BM⊥FD于点M，
∵AB∥CF，
∴∠BCM＝∠ABC＝30°.
∴BM＝ BC＝5 ，CM＝ ＝15.
由题意，得∠EDF＝45°.
∴MD＝BM＝5 .
∴CD＝CM－MD＝15－5 .
[例 2]（2025·唐山二模）三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三
角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F
＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10.
[变式2]（教材母题改编）两张等腰直角三角形纸片AOB和COD按图1所
示的位置放置，直角顶点重合在点O处，保持纸片AOB不动，将纸片
COD绕点O逆时针旋转α（0°＜α＜90°），如图2所示.
（1）利用图2，求证：AC⊥BD；
（1）证明：如图，延长BD交OA于点G，交AC于点
E.
由题意知，∠AOB＝∠COD＝90°，OA＝OB，OC
＝OD，
∴∠AOC＝∠BOD.
∴△AOC≌△BOD（SAS）.
∴∠CAO＝∠DBO.
∵∠AOB＝90°，∠OGB＝∠AGE，
∴∠AEG＝∠AOB＝90°.
∴AC⊥BD.
（1）证明：如图，延长BD交OA于点G，交AC于点E.
由题意知，∠AOB＝∠COD＝90°，OA＝OB，OC＝OD，
∴∠AOC＝∠BOD.
∴△AOC≌△BOD（SAS）.
∴∠CAO＝∠DBO.
∵∠AOB＝90°，∠OGB＝∠AGE，
∴∠AEG＝∠AOB＝90°.
∴AC⊥BD.
[变式2]（教材母题改编）两张等腰直角三角形纸片AOB和COD按图1所
示的位置放置，直角顶点重合在点O处，保持纸片AOB不动，将纸片
COD绕点O逆时针旋转α（0°＜α＜90°），如图2所示.
（2）如图3，当BD与CD在同一直线上时，AB＝25，AC＝7，求CD
的长.
解：（2）∵∠OCD＝∠ODC＝45°，
∴∠ODB＝135°.
同（1）可证△AOC≌△BOD，
∴∠ACO＝∠BDO＝135°，BD＝AC＝7.
∴∠ACB＝∠ACO－∠OCD＝90°.
∴BC＝ ＝ ＝24.
∴CD＝BC－BD＝24－7＝17.
解：（2）∵∠OCD＝∠ODC＝45°，
∴∠ODB＝135°.
同（1）可证△AOC≌△BOD，
∴∠ACO＝∠BDO＝135°，BD＝AC＝7.
∴∠ACB＝∠ACO－∠OCD＝90°.
∴BC＝ ＝ ＝24.
∴CD＝BC－BD＝24－7＝17.
1. （2025·湛江二模）如图，七巧板被誉为“东方魔板”，它由五块等腰
直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成.已知图1是边
长为8的大正方形，图2是小红同学将七巧板摆拼而成的“奔跑者”图
案，则图2中阴影部分的面积为 .
第1题图　　　　
24
2. （2025·深圳模拟）如图，可折叠工具箱共有三层，工具箱打开前，连
接装置与水平方向的夹角为30°，连接装置转动90°后箱子完全打开，
每一根连接装置长15cm（可看作一条线段），当三层工具箱完全打开
后，整体高度比打开前增加（　2.C）
A. 15 cm B. 30 cm
C. （15 －15） cm D. （ － ） cm
第2题图
C
3. （教材母题改编）（2025·清远模拟）综合与实践.
【主题】自制环保笔筒
【素材】如图1，一个直径为8cm，高14cm的纸筒卷，一张长30cm，宽
20cm的包装纸，一张边长为10cm的小正方形纸板，一根装饰绳子，一把
剪刀，一瓶固体胶.
【实践操作】
步骤1：在包装纸上用剪刀裁剪出一张刚好能与纸筒卷外表面紧密贴
合的纸；
步骤2：用固体胶把包装纸紧密地贴在纸筒卷外表面；
步骤3：用固体胶把装饰用的绳子粘在纸筒外面；
步骤4：用固体胶把小正方形纸板粘在纸筒卷的底部，得到一个形如图2
所示的环保笔筒.
【实践探索】
（1）求出步骤1中裁剪出的包装纸的面积；（结果保留π）
解：（1）裁剪出的包装纸的面积为圆柱的侧面积：
S＝8π×14＝112π（cm2）.
答：裁剪出的包装纸的面积为112πcm2.
解：（1）裁剪出的包装纸的面积为圆柱的侧面积：
S＝8π×14＝112π（cm2）.
答：裁剪出的包装纸的面积为112πcm2.
解：（2）如图，点D，点E为圆柱高的中点，连接
AD，BE，
AC为圆柱的底面周长8πcm，
CD为圆柱高的 ，即14× ＝7（cm），
由勾股定理，得AD＝ ＝ ＝
（cm），BE＝AD＝ cm.
∴所需绳子的最短长度为2 cm.
解：（2）如图，点D，点E为圆柱高的中点，连接AD，BE，
AC为圆柱的底面周长8πcm，
CD为圆柱高的 ，即14× ＝7（cm），
由勾股定理，得AD＝ ＝ ＝
（cm），BE＝AD＝ cm.
∴所需绳子的最短长度为2 cm.
（2）如图3，如果想要绳子缠绕笔筒2圈，正好从A点绕到正上方的B
点，求所需绳子的最短长度.（结果保留π和根号）(共23张PPT)
第一轮　基础复习　
第二部分　空间与图形
第四章　三角形
第14讲　线、角、相交线与平行线
知识点1　直线、射线、线段
（1）直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线.
（ 点确定一条直线）
（2）线段的基本事实：两点的所有连线中， 最短.（两点之
间，线段最短）
（3）两点距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离.
两
线段
（4）线段的中点：点P把线段AB分成相等的两条线段AP与PB，则点
P叫做线段AB的中点，即AP＝PB＝ AB.
1. （1）（教材母题改编）经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔
直的墨线，而且只能弹出一条这样的墨线，能解释这一实际应用的数学
知识是（　A　）
A. 两点确定一条直线 B. 垂线段最短
C. 过一点只有一条直线 D. 两点之间，线段最短
（2）如图，点A，B，C在直线l上，则图中共有 条线段，
条射线.
A
3
6
（3）如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AD的中点，若AB＝4
cm，则点C与点D之间的距离为 .
1 cm
知识点2　角的有关概念
（1）角的分类：锐角（0°＜α＜90°），直角（α＝90°），钝角
（90°＜α＜180°），平角（α＝180°），周角（α＝360°）.
（2）度、分、秒之间的换算：1°＝60'，1'＝60″.
（3）①余角：如果两个角的和等于 ，那么这两个角互余.同角
（等角）的余角 .
②补角：如果两个角的和等于 ，那么这两个角互补.同角（等
角）的补角 .
90°
相等
180°
相等
2. （1）0.2°＝ '，150'＝ °，35.4°＝ ° '.
（2）（2025·广东一模）若一个角的余角是42°，则这个角的度数
是 .
（3）（2025·江门模拟）已知∠A＝37°16'，则∠A的补角的度数
为 .
（4）（2025·惠州模拟）若一个角的余角比它的补角的 少40°，则这个
角的度数为（　A　）
A. 30° B. 36° C. 42° D. 48°
12
2.5
35
24
48°
142°44'
A
知识点3　 相交线
（1）两直线相交，对顶角 ，邻补角 .
（2）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
（3）垂线段最短.
（4）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度.
相等
互补
3. （1）（2025·广西）在跳远比赛中，某同学从点C处起跳后，在沙池
留下的脚印如图所示.测量线段AB的长度作为他此次跳远成绩（最近着
地点到起跳线的最短距离），依据的数学原理是（　A　）
A. 垂线段最短 B. 两点确定一条直线
C. 两点之间，线段最短 D. 两直线平行，内错角相等
第3题（1）图　　　　　　
A
（2）（2025·东莞模拟）如图，直线a，b相交，∠1＝40°，则∠2－
∠3＝ .
第3题（2）图　　　　　　
100°
（3）（2025·东莞模拟）如图，∠AOC＝90°，点B，O，D在同一直
线上.若∠1＝26°，则∠2的度数为 .
第3题（3）图
116°
知识点4　 平行线
（1）在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.
（2）基本事实：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
（3）平行线的性质与判定：
①两直线平行 同位角 ；
②两直线平行 内错角 ；
③两直线平行 同旁内角 .
相等
相等
互补
（4）平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上的点到另一条直线
的 的长度；平行线间的距离处处相等.
垂线段
4. （1）（2025·东莞模拟）如图，在音符中，AB∥CD，若∠BAC＝
95°，则∠ACD的度数为（　A　）
A. 85° B. 88° C. 92° D. 95°
第4题（1）图　　　　　　
A
（2）（2025·东莞三模）一杆古秤在称物时的状态如图所示，此时
AB∥CD，∠1＝73°，则∠2的度数为（　C　）
A. 73° B. 93° C. 107° D. 117°
第4题（2）图　　　　　　
C
（3）（2025·广州二模）如图，能判定EC∥AB的条件是（　A　）
A. ∠B＝∠ECD B. ∠A＝∠ECD
C. ∠B＝∠ACE D. ∠A＝∠ACB
第4题（3）图
A
知识点5　角平分线与线段的垂直平分线
（1）角平分线：①性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；②判
定：角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上.
（2）线段的垂直平分线：①性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点
的距离相等；②判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂
直平分线上.
5. （1）（2025·广州模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是
△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，CD＝3，AB＝10，则△ABD的
面积是 .
第5题（1）图　　　　　　　
15
（2）（2025·达州）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝5，线段
AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，则△BDC的周长为
（　C　）
A. 21 B. 14 C. 13 D. 9
第5题（2）图
C
重点1　利用平行线的性质求角的度数
[例 1]（2025·深圳模拟）如图所示是某射箭运动员射箭瞬间的示意图.已
知AB∥CD，AF∥DE，∠1＝90°，∠2＝110°，∠C＝135°，则
∠CBE的度数是 .
例1题图　　　　　　　　　　
65°
[变式1]（2025·烟台）如图所示是一款儿童小推车的示意图，若
AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝70°，则∠3的度数为（　A　）
A. 40° B. 35° C. 30° D. 20°
变式1题图
A
重点2　平行线的性质与判定综合应用
[例 2]如图，在△ABC中，DE∥BC，∠EDF＝∠C.
（1）求证：∠BDF＝∠A；
（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠C＝∠AED.
∵∠EDF＝∠C，
∴∠AED＝∠EDF，
∴DF∥AC.
∴∠BDF＝∠A.
（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠C＝∠AED.
∵∠EDF＝∠C，
∴∠AED＝∠EDF，
∴DF∥AC.
∴∠BDF＝∠A.
（2）若∠A＝45°，DF平分∠BDE，请直接写出△ABC 的形状.
解：（2）△ABC是等腰直角三角形.
[变式2]如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2.
（1）求证：DG∥BA；
（1）证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴∠EFB＝∠ADB＝90°.
∴EF∥AD.
∴∠1＝∠BAD.
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠BAD.
∴DG∥BA.
（1）证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴∠EFB＝∠ADB＝90°.
∴EF∥AD.
∴∠1＝∠BAD.
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠BAD.
∴DG∥BA.
（2）若∠B＝45°，AE＝6 ，则EF与AD之间的距离为 .
6
1. （2025·广州模拟）如图，将一块含有45°角的三角板的两个顶点放在
直尺的一组对边上.如果∠2＝65°，那么∠1的度数为（　B　）
A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
第1题图　　　　
B
2. （2025·江门三模）光线由空气射入清澈的水面时会在水面发生镜面反
射，在射入水中后会发生折射现象.如图，入射光线AP在射入水面P点
的反射光线为PQ，折射光线为PB，若反射光线与折射光线的夹角为
80°，入射光线与折射光线的夹角为160°，则入射光线与水平面的夹角
为（　C　）
A. 40° B. 20° C. 30° D. 35°
第2题图　　　　
C
3. （2025·汕头模拟）如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交
于点D，连接BD，CD，若∠A＝50°，则∠BDC＝（　A　）
A. 100° B. 110° C. 90° D. 50°
第3题图
A
4. （教材母题改编）（2025·汕头模拟）利用如图所示的方法（图下方的
①，②，③，④表示折的顺序），可以折出“过已知直线外一点和已知
直线平行”的直线.关于其中的原理，下列说法错误的是（　A　）
A. 对顶角相等
B. 同位角相等，两直线平行
C. 内错角相等，两直线平行
D. 同旁内角互补，两直线平行
A(共24张PPT)
第一轮　基础复习　
第二部分　空间与图形
第四章　三角形
第15讲　三角形与多边形
知识点1　 三角形的基本性质
1. （1）下列图形中具有稳定性的是（　A　）
A. 三角形 B. 平行四边形
C. 长方形 D. 正方形
（2）（2025·连云港）下列长度（单位：cm）的3根小木棒能搭成三角形
的是（　B　）
A. 1，2，3 B. 2，3，4
C. 3，5，8 D. 4，5，10
（3）（2025·南充）如图，把含有60°的直角三角板斜边放在直线l上，
则∠α的度数是（　D　）
A. 120° B. 130° C. 140° D. 150°
A
B
D
知识点2　 三角形中的重要线段
图形 性质
中线
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD＝ ，
S△ABD＝S△ACD＝S△ABC
角平分线
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC，
AD上任一点到AB和AC的距离相等
BC

图形 性质
高
∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝
中位线
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥ 且DE＝
90°
BC
BC
2. （1）（2025·肇庆模拟）如图，在△ABC中，边BC上的高为线段
（　A　）
A. AF B. CE C. DB D. AB
第2题（1）图　　　　　　
A
（2）（2025·广东）如图，点D，E，F分别是△ABC各边上的中点，
∠A＝70°，则∠EDF＝（　C　）
A. 20° B. 40° C. 70° D. 110°
第2题（2）图　　　　　　
C
（3）（2025·广东模拟）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的
中点.若△BDE的面积是1，则△ACD的面积是（　B　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第2题（3）图
B
知识点3　三角形的垂心、重心、内心、外心
垂心 重心
三角形三条 的交点
三角形三条 的
交点
内心 外心
三角形三条
的交点，内心到三角形三边距离相等
三角形三边
的交点，外心到各
顶点的距离相等
高
中线
角平分线
垂直平分
线
3. （1）【易错】下列说法正确的是（　D　）
A. 三角形的高、中线、角平分线都是射线
B. 三角形三条高所在直线的交点都在三角形内部
C. 三角形三边的垂直平分线交于一点，这点到三边的距离相等
D. 三角形三条中线的交点称为三角形的重心
D
（2）（教材母题改编）如图，点O是△ABC的内心，∠A＝70°，则
∠BOC的度数为 .
第3题（2）图　　　　
125°
（3）（2026·原创）如图，BE，CD分别是△ABC的中线，两线交于点
O，CD＝6，则OD＝ .
第3题（3）图
2
知识点4　 多边形的内角和与外角和
（1）多边
形的性质
（2）正多
边形的性质
4. （1）（2025·佛山模拟）若一个多边形的内角和为1800°，则这个多
边形的边数为（　D　）
A. 5 B. 7 C. 10 D. 12
（2）（2025·湛江一模）一个多边形的每一个外角都等于60°，则该多
边形的边数为（　C　）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
（3）（2025·汕尾模拟）正多边形的一个内角是135°，则它的边数
是 .
D
C
8
重点1　三角形的内角和外角
[例 1]（2025·茂名一模）如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，∠C
＝∠F＝90°，∠B＝45°，∠D＝30°，点A在DE上.若DF∥AB，
则∠CAD的度数为（　D　）
A. 60° B. 45° C. 30° D. 15°
例1题图　　　　
D
[变式1]（2025·汕尾一模）将一副三角板按照如图所示方式摆放，点B，
C，D共线，∠CDF＝18°，则∠AFE的度数为（　C　）
A. 89° B. 83° C. 93° D. 103°
变式1题图
C
重点2　多边形的内角与外角
[例 2]（2025·吉林）如图，正五边形ABCDE的边AB，DC的延长线交于
点F，则∠F的大小为 度.
例2题图　　　　　
36
A. 140° B. 150° C. 160° D. 170°
变式2题图
[变式2]（2025·自贡）如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则α＋β＝
（　B　）
B
1. （2025·广东模拟）一个三角形的两边长分别为2和3，则第三边的长可
以是（　B　）
A. 1 B. 2 C. 6 D. 9
2. （2025·江西）如图，创意图案中间空白部分为正多边形，该正多边形
的内角和为 度.
第2题图　　　　　
B
720
3. （2025·凉山州）已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则从这
个多边形的一个顶点处可以引 条对角线.
4. （2025·甘肃）如图，一个多边形纸片的内角和为1620°，按如图所示
的剪法剪去一个内角后，所得新多边形的边数为 .
第4题图
7
12
5. （教材母题改编）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝60°，
AE，AD分别是角平分线和高.求∠DAE的度数.
解：在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－40°－60°＝80°.
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠EAC＝ ∠BAC＝ ×80°＝40°.
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°.
∴在△ADC中，∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝180°－90°－60°＝
30°.
∴∠DAE＝∠EAC－∠DAC＝40°－30°＝10°.
解：在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－40°－60°＝80°.
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠EAC＝ ∠BAC＝ ×80°＝40°.
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°.
∴在△ADC中，∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝180°－90°－60°＝
30°.
∴∠DAE＝∠EAC－∠DAC＝40°－30°＝10°.
6. （教材母题改编）【问题背景】在生活中，我们经常可以看到由
各种形状的地砖铺成的漂亮地面.在这些地面上，相邻的地砖平整地
贴合在一起，整个地面没有一点空隙.从数学角度来看，当一个顶点
周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既
不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面
镶嵌问题.图1是由正方形镶嵌而成的图案，图2是由正三角形、正方
形和正六边形镶嵌的图案.
【探究发现】（1）填写表中空格：
正多边形的边数 3 4 5 6 … n
正多边形每个内角的度数 60° …
（2）如果只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边
形有 ；（填序号）
①正三角形；②正五边形；③正六边形；
④正七边形；⑤正八边形；
90°
108°
120°

①③
【拓展应用】
（3）如果同时用两种正多边形镶嵌，镶嵌的平面图案的一个顶点周围有
x个正三角形和y个正六边形，求x和y的值.
解：（3）根据题意，得x，y是满足60x＋120y＝360的正整数解，
二元一次方程60x＋120y＝360的正整数解为 或
∴x和y的值为 或
解：（3）根据题意，得x，y是满足60x＋120y＝360的正整数解，
二元一次方程60x＋120y＝360的正整数解为 或
∴x和y的值为 或(共19张PPT)
第一轮　基础复习　
第二部分　空间与图形
第四章　三角形
第16讲　全等三角形
知识点1　 全等三角形的概念及性质
（1）概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
（2）性质：
①全等三角形的对应角相等，对应边相等；
②全等三角形的周长相等，面积相等；
③全等三角形的对应角平分线、对应边上的中线、对应边上的高相等；
（3）平移、对折、旋转前后的图形全等.
1. （1）（2025·深圳模拟）如图，△ABC≌△ADE，∠B＝80°，∠C
＝30°，∠DAC＝30°，则∠EAC的度数为（　A　）
A. 40° B. 35° C. 30° D. 25°
第1题（1）图　　　　　
A
（2）（2025·汕头模拟）如图，若点A，D，B，E在同一条直线上，
△ABC≌△DEF，BE＝3，AE＝8，则BD的长是 .
第1题（2）图
2
知识点2　 全等三角形的判定
判定方
法 文字语言 图形 几何语言
边边边 （SSS） 三边对应相等的两个三角形全等
∵AB＝DE，BC＝
EF，AC＝DF，
∴△ABC≌△DEF
边角边 （SAS） 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等
∵AB＝DE，∠B＝
∠E，BC＝EF，
∴△ABC≌△DEF
判定方法 文字语言 图形 几何语言
角边角 （ASA） 两角及其夹边对应
相等的两个三角形
全等
∵∠A＝∠D，AB＝
DE，∠B＝∠E，
∴△ABC≌△DEF
角角边 （AAS） 两角及其中一组等
角的对边对应相等
的两个三角形全等
∵∠C＝∠F，∠A＝
∠D，AB＝DE，
∴△ABC≌△DEF
斜边、直角 边（HL） 斜边和一条直角边
对应相等的两个直
角三角形全等
∵AB＝DE，AC＝DF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF
2. （1）（2025·山西）如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中
点连在一起，记中点为O，即AO＝CO，BO＝DO. 测得C，D两点之
间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间
的距离.图中△AOB与△COD全等的依据是（　B　）
A. SSS B. SAS C. ASA D. HL
第2题（1）图　　　　　　　　
B
（2）（2025·佛山模拟）如图，AB平分∠CAD. 请添加一个条件
，使得△ABC≌△ABD. （要求：不添加辅助
线，只需填一个答案即可）
第2题（2）图
（答
案不唯一）AC＝AD
（3）（2025·福建）如图，点E，F分别在AB，AD的延长线上，
∠CBE＝∠CDF，∠ACB＝∠ACD. 求证：AB＝AD.
（3）证明：∵∠CBE＝∠CDF，
∴180°－∠CBE＝180°－∠CDF.
∴∠ABC＝∠ADC.
在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC（AAS）.
∴AB＝AD.
（3）证明：∵∠CBE＝∠CDF，
∴180°－∠CBE＝180°－∠CDF.
∴∠ABC＝∠ADC.
在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC（AAS）.
∴AB＝AD.
重点　全等三角形的性质与判定综合
[例题]（2025·内江）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，AC＝
DF，∠A＝∠D，AB∥DE.
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠E.
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（AAS）.
（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠E.
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（AAS）.
（2）若BF＝4，FC＝3，求BE的长.
[例题]（2025·内江）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，AC＝
DF，∠A＝∠D，AB∥DE.
解：（2）由（1），可知△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF.
∴BF＋CF＝EC＋CF.
∴BF＝EC.
∵BF＝4，FC＝3，∴EC＝4.
∴BE＝BF＋FC＋EC＝4＋3＋4＝11.
解：（2）由（1），可知△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF.
∴BF＋CF＝EC＋CF.
∴BF＝EC.
∵BF＝4，FC＝3，∴EC＝4.
∴BE＝BF＋FC＋EC＝4＋3＋4＝11.
[变式]（2025·河北）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点
E，AC＝AD，∠ACB＝∠ADB，点F在ED上，∠BAF＝∠EAD.
（1）求证：△ABC≌△AFD；
证明：（1）∵∠BAF＝∠EAD，
∴∠BAF－∠CAF＝∠EAD－∠CAF.
∴∠BAC＝∠FAD.
在△ABC和△AFD中，
∴△ABC≌△AFD（ASA）.
证明：（1）∵∠BAF＝∠EAD，
∴∠BAF－∠CAF＝∠EAD－∠CAF.
∴∠BAC＝∠FAD.
在△ABC和△AFD中，
∴△ABC≌△AFD（ASA）.
[变式]（2025·河北）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点
E，AC＝AD，∠ACB＝∠ADB，点F在ED上，∠BAF＝∠EAD.
（2）若BE＝FE，求证：AC⊥BD.
证明：（2）由（1），得△ABC≌△AFD，
∴AB＝AF.
∵BE＝FE，
∴AC⊥BF，即AC⊥BD.
证明：（2）由（1），得△ABC≌△AFD，
∴AB＝AF.
∵BE＝FE，
∴AC⊥BF，即AC⊥BD.
1. （2025·深圳模拟）用直尺和圆规作一个三角形全等于已知三角形的示
意图如图所示，则说明△OCD≌△O'C'D'的依据是 .
SSS
2. （2025·苏州模拟）如图，CB⊥AD，垂足为B，且AB＝BC，点E
在CD上，AE与BC相交于点F，且AF＝CD.
（1）求证：AB－BD＝CF；
（1）证明：∵CB⊥AD，
∴∠ABF＝∠CBD＝90°.
在Rt△ABF和Rt△CBD中，
∴Rt△ABF≌Rt△CBD（HL）.
∴BF＝BD.
∴AB－BD＝BC－BF＝CF.
（1）证明：∵CB⊥AD，
∴∠ABF＝∠CBD＝90°.
在Rt△ABF和Rt△CBD中，
∴Rt△ABF≌Rt△CBD（HL）.
∴BF＝BD.
∴AB－BD＝BC－BF＝CF.
2. （2025·苏州模拟）如图，CB⊥AD，垂足为B，且AB＝BC，点E
在CD上，AE与BC相交于点F，且AF＝CD.
（2）AE与CD有什么位置关系？说明理由.
解：（2）AE⊥CD. 理由如下：
由（1），得Rt△ABF≌Rt△CBD，
∴∠AFB＝∠D.
∵∠AFB＝∠CFE，
∴∠D＝∠CFE.
∵∠C＋∠D＝90°，
∴∠CFE＋∠C＝90°.
∴∠FEC＝90°，即AE⊥CD.
解：（2）AE⊥CD. 理由如下：
由（1），得Rt△ABF≌Rt△CBD，
∴∠AFB＝∠D.
∵∠AFB＝∠CFE，
∴∠D＝∠CFE.
∵∠C＋∠D＝90°，
∴∠CFE＋∠C＝90°.
∴∠FEC＝90°，即AE⊥CD.
3. （教材母题改编）（2025·高州二模）综合与实践.
【项目主题】池塘不可达距离的测量方案设计.
【项目背景】在数学项目式学习活动中，需测量池塘两侧A，B两点间
的距离（AB无法直接测量）.如图1，现提供皮尺（量程30m）、测角仪
等工具，要求设计几何测量方案.
【实践操作】方案一（帽檐观测法）：
①如图2，在B点附近选取观测点C，使A，B，C三点共线；
②调整帽子帽檐（D），使视线通过帽檐上沿恰好对准A点；（忽略眼
睛与帽檐距离）
③保持头部姿势不变，原地旋转180°，此时视线通过帽檐上沿落在
点E处；
④用皮尺测得CE＝a m，BC＝b m.
【问题解决】
（1）根据方案一，求A，B两点间的距离AB；
解：（1）在△ADC与△EDC中，
∴△ADC≌△EDC（ASA）.
∴CE＝AC＝a m.
∵BC＝b m，
∴AB＝AC－BC＝（a－b）m.
解：（1）在△ADC与△EDC中，
∴△ADC≌△EDC（ASA）.
∴CE＝AC＝a m.
∵BC＝b m，
∴AB＝AC－BC＝（a－b）m.
（2）设计一个与方案一不同的测量方案，在图3中绘制几何图形，标
明需测量的数据（如角度∠1，∠2，线段长度d等），并推导AB的表
达式.
解：（2）如图，在池塘外取一点M，连接AM，BM，
延长AM到D，使MD＝AM，延长BM到E，使ME＝
BM，连接DE并测量出它的长度d m，DE的长度就是
A，B间的距离.
解：（2）如图，在池塘外取一点M，连接AM，BM，延长AM到D，
使MD＝AM，延长BM到E，使ME＝ BM，连接DE并测量出它的长度
d m，DE的长度就是A，B间的距离.
证明：∵MD＝MA，ME＝MB，∠EMD＝∠BMA，
∴△DME≌△AMB.
∴AB＝DE＝d m.
证明：∵MD＝MA，ME＝MB，∠EMD＝∠BMA，
∴△DME≌△AMB.
∴AB＝DE＝d m.(共20张PPT)
第一轮　基础复习　
第二部分　空间与图形
第四章　三角形
第19讲　锐角三角函数
知识点1　 锐角三角函数的概念
（1）在△ABC中，∠C＝90°，∠A的正弦 sin A＝ ＝ ，
∠A的余弦 cos A＝ ＝ ，∠A的正切tan A＝ ＝ .
（2）锐角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的锐角三角函数.
1. （1）（2025·佛山模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC
＝6，则 sin A＝（　A　）
A. B. C. D.
（2）（2025·广东三模改编）如图，△ABC的顶点A，B，C均在边长为
1的正方形网格格点上，则 cos A的值为 .
A

知识点2　 特殊角的三角函数值
　　　　α 三角函数　　　 30° 45° 60°
sin α
cos α
tan α 1







1

2. （1）计算： sin 45°＝ 　 　， cos 2 30°＝ 　 　，（2025·广东）
20－2 sin 30°＝ .
（2）（2025·中山二模）若 cos A＝ ，则锐角∠A＝ .
（3）（2025·东莞模拟）如图是一个直角三角尺，其中∠B＝30°，∠C
＝90°，则 sin A＝ .


0
60°

（4）（2026·原创）若∠α为锐角， sin （α＋15°）＝ ，则∠α的度数
为 .
45°
知识点3　 解直角三角形
（1）三边关系：a2＋b2＝c2（勾股定理）.
（2）两锐角关系：∠A＋∠B＝90°.
（3）边角关系： sin A＝ cos B＝ ， cos A＝ sin B＝ ，tan A＝ ，tan
B＝ .
（4）解直角三角形的定义：
直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直
角三角形中的已知元素，求其余元素的过程，叫做解直角三角形，知道
其中的两个元素（至少有一条边），就可以求其余三个未知元素.
3. （1）（2025·中山模拟）在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝8， sin A
＝ ，则BC的长为（　A　）
A. 6 B. 7.5 C. 8 D. 12.5
（2）（2025·江门模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5， sin B＝ ，
则BC的长是（　B　）
A
B
A. 3 B. 6 C. 8 D. 9
（3）（2025·肇庆模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知tanA＝ ，
BC＝a，则AB的长为（　C　）
A. a B. 2a C. a D. a
C
重点1　换角求锐角三角函数值
[例 1]（2025·湛江三模）如图，边长为1的小正方形网格中，☉O的圆心
在格点上，则∠AED的余弦值是（　D　）
D
A. B. 1 C. D.
例1题图　　　　　　
[变式1]（2025·梅州三模）5个全等的方块如图放置在Rt△ABC中，则
tanC的值是 .
1
变式1题图
重点2　利用锐角三角函数求边长
[例 2]（2025·广州模拟）如图1，是护眼灯的实物图，图2是它的侧面示
意图，其中CD长为4 cm，BC长为12cm，∠B＝60°，∠C＝45°.
（1）点D到BC的距离为 ；
4cm
（2）求点D到AB的距离.
解：（2）如图，过点D作DG⊥AB，垂足为G，过点D作DF⊥BC，垂
足为F，过点F作FM⊥AB，垂足为M，过点D作DN⊥FM，垂足为N.
∵∠CFD＝90°，∠C＝45°，
∴CF＝DF＝4cm.
∵BC＝12cm，
∴BF＝BC－CF＝12－4＝8（cm）.
解：（2）如图，过点D作DG⊥AB，垂足为G，过点D
作DF⊥BC，垂足为F，过点F作FM⊥AB，垂足为
M，过点D作DN⊥FM，垂足为N.
∵∠CFD＝90°，∠C＝45°，
∴CF＝DF＝4cm.
∵BC＝12cm，
∴BF＝BC－CF＝12－4＝8（cm）.
在Rt△FMB中，FM＝BF sin 60°＝8× ＝4（cm）.
∵∠FMB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠BFM＝90°－∠ABC＝30°.
∴∠DFM＝∠DFB－∠BFM＝90°－30°＝60°.
在Rt△FDN中，FN＝FD cos 60°＝4× ＝2（cm）.
∴MN＝FM－FN＝（4 －2）cm.
∵∠DGB＝∠FMG＝∠DNM＝90°，
∴四边形DNMG是矩形.
∴DG＝MN＝（4 －2）cm.
∴点D到AB的距离为（4 －2）cm.
∵∠DGB＝∠FMG＝∠DNM＝90°，
∴四边形DNMG是矩形.
∴DG＝MN＝（4 －2）cm.
∴点D到AB的距离为（4 －2）cm.
1. （2025·东营）如图为一节楼梯的示意图，BC⊥AC，∠BAC＝α，
AC＝5m.现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1m，则地毯的长度需要
（　B　）
A. m B. （5tanα＋5）m
C. m D. m
第1题图　　　　　
B
2. （2025·广州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，
已知 cos ∠CAD＝ ，AB＝26，则点B到AD的距离为 .
第2题图　　　　　
10
3. （2025·湛江二模）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A，B，
C，D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的
正弦值为（　D　）
A. B. C. D.
第3题图
D
4. （2025·广安）计算：｜ －3｜＋2 sin 30°－（π－2 025）0＋ .
解：原式＝3－ ＋2× －1＋3＝3－ ＋1－1＋3＝6－ .
解：原式＝3－ ＋2× －1＋3＝3－ ＋1－1＋3＝6－ .
5. （教材母题改编）（2025·汕头模拟）小明从科普读物中了解到，光从
真空射入介质发生折射时，入射角α的正弦值与折射角β的正弦值的比值
叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”.它表示光在介质中传
播时，介质对光作用的一种特征.
（1）若光从真空射入某介质，入射角为α，折射角为β，且 cos α＝ ，β
＝30°，求该介质的折射率；
解：（1）∵ cos α＝ ，
∴构造如图，设b＝ x，则c＝4x.
由勾股定理，得a＝ ＝3x，
∴ sin α＝ ＝ ＝ .
又∵β＝30°，
∴ sin β＝ sin 30°＝ .
∴折射率为 ＝ ＝ .
解：（1）∵ cos α＝ ，
∴构造如图，设b＝ x，则c＝4x.
由勾股定理，得a＝ ＝3x，
∴ sin α＝ ＝ ＝ .
又∵β＝30°，
∴ sin β＝ sin 30°＝ .
∴折射率为 ＝ ＝ .
5. （教材母题改编）（2025·汕头模拟）小明从科普读物中了解到，光从
真空射入介质发生折射时，入射角α的正弦值与折射角β的正弦值的比值
叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”.它表示光在介质中传
播时，介质对光作用的一种特征.
（2）现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图1所示，点A，
B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形A1D1D2A2的对
角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出，如图2，已知α＝
60°，CD＝10cm，求截面ABCD的面积.
解：（2）由题意，可得α＝60°，折射率为
，
∴ ＝ ＝ .
∴ sin β＝ .
∵四边形ABCD是矩形，点O是AD中点，
∴AD＝2OD，∠D＝90°.
又∵∠OCD＝β，
∴ sin ∠OCD＝ sin β＝ .
解：（2）由题意，可得α＝60°，折射率为 ，
∴ ＝ ＝ .
∴ sin β＝ .
∵四边形ABCD是矩形，点O是AD中点，
∴AD＝2OD，∠D＝90°.
又∵∠OCD＝β，
∴ sin ∠OCD＝ sin β＝ .
在Rt△ODC中，设OD＝ x，OC＝3x，
由勾股定理，得CD＝ ＝ x，
∴tanβ＝ ＝ .
∴OD＝10× ＝5 .
∴AD＝2OD＝10 .
∴截面ABCD的面积为AD×CD＝10 ×10＝100 （cm2）.
在Rt△ODC中，设OD＝ x，OC＝3x，
由勾股定理，得CD＝ ＝ x，
∴tanβ＝ ＝ .
∴OD＝10× ＝5 .
∴AD＝2OD＝10 .
∴截面ABCD的面积为AD×CD＝10 ×10＝100 （cm2）.(共28张PPT)
第一轮　基础复习　
第二部分　空间与图形
第四章　三角形
第18讲　图形的相似
知识点1　 成比例线段与黄金分割
（1）定义：在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的比等于另
外两条线段的比，如 ＝ （或a∶b＝c∶d），那么这四条线段叫做成比
例线段，简称比例线段.
（2）比例性质：① ＝ ad＝bc；② ＝ ＝ .
（3）黄金分割：如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞
BC），如果 ＝ ，那么就说线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段
AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，且 ＝ ≈0.618.一
条线段有两个黄金分割点，简记为 ＝ ＝ .　
1. （1）（2026·原创）下列四组线段中，不构成成比例线段的一组是
（　D　）
A. 1，2，3，6 B. 2，3，4，6
C. 1， ， ， D. 1，2，3，4
（2）（2025·深圳二模）已知 ＝ ，那么 ＝ 　 　.
D

（3）（2025·清远模拟）黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的
正方形习字格书写的汉字清远的“远”端庄稳重、舒展美观.已知一条分
割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且AB∥NP，“远”
字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，即 ＝ .若NP＝
2cm，则BC的长为 cm（结果保留根号）.
（ －1）
知识点2　 平行线分线段成比例定理
（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
（2）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的
对应线段成比例.
2. （1）（2025·清远模拟）如图是某景区大门部分建筑，已知
AD∥BE∥CF，AC＝16m，当DF∶DE＝4∶3时，AB的长是（　C　）
A. 10m B. 11m C. 12m D. 13m
第2题（1）图　　　　　
C
（2）（2025·深圳模拟）如图，DE∥BC，BD∶CE＝4∶3，AD＝12，则
AE的长为（　D　）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 9
第2题（2）图
D
知识点3　 相似的概念与性质
（1）相似的概念：形状相同（大小不一定相同）的图形称为相似图形.
（2）相似三角形的性质：①对应角相等，对应边的比等于相似比；②周
长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方；③对应高之比、对应
中线之比、对应角平分线之比都等于相似比.
3. （1）若两个相似三角形的对应边的比为2∶3，则对应高的比
为 ，周长比为 ，面积比为 .
（2）（2025·惠州模拟）如图，在 ABCD中，点E为边AD上一点，连
接BE交对角线AC于点G. 若 ＝ ，AD＝9，则DE的长为（　C　）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 5
第3题（2）图　　　　　　　
2∶3
2∶3
4∶9
C
（3）（2025·东营）如图，在△ABC中，AB＝6，CA＝4，点D为AC中
点，点E在AB上，当AE为 时，△ABC与以点A，D，E为顶
点的三角形相似.
第3题（3）图
3或
知识点4　相似三角形的判定
（1）判定1：两角分别相等的两个三角形相似；
（2）判定2：三边成比例的两个三角形相似；
（3）判定3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
（4）判定4：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角
形与原三角形相似.
4. （1）（2025·河北）如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长
BA，BC，分别交直线DE于点M，N. 若添加下列一个条件后，仍无法
判定△MAE∽△DCN，则这个条件是（　D　）
A. ∠B＋∠4＝180° B. CD∥AB
C. ∠1＝∠4 D. ∠2＝∠3
D
（2）（2025·广州模拟）如图，在△ABC中，D在AB边上，连接CD，
AC＝4，AD＝2，BD＝6，求证：△ACD∽△ABC.
（2）证明：∵D在AB边上，AC＝4，AD＝2，BD＝6，
∴AB＝AD＋BD＝2＋6＝8.
∵ ＝ ＝ .
且∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC.
（2）证明：∵D在AB边上，AC＝4，AD＝2，BD＝6，
∴AB＝AD＋BD＝2＋6＝8.
∵ ＝ ＝ .
且∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC.
知识点5　 位似的概念与性质
（1）位似的概念：两个多边形不仅 ，而且对应点的连线相交
于 ，对应边互相平行或在同一直线上，这样的相似叫做位
似，这个交点叫做位似中心.
（2）位似的性质：①位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比
等于 ；
②坐标：一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出
一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形
上的点（x，y）对应的位似图形上的点的坐标为
或 .
相似
同一点
相似比
（kx，ky）
（－kx，－ky）
5. （1）（2025·广东）如图，把△AOB放大后得到△COD，则△AOB与
△COD的相似比是 .
（2）在平面直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0）.以原点O
为位似中心，相似比为 ，把线段AB缩短，则点A的对应点A'的坐标
为 .
1∶3
（2，1）或（－2，－1）
（3）（2025·广州模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶
点坐标分别为A（－2，1），B（－1，4），C（－3，2）.
①画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
②以原点O为位似中心，位似比为2∶1，在y轴的左侧，画出△ABC放大
后的图形△A2B2C2，并直接写出C2点的坐标.
解：（3）①如图，△A1B1C1即为所求；
解：（3）②如图，△A2B2C2为所作，C2点的坐标为（－6，4）.
重点1　相似三角形的实际应用
[例 1]（2025·深圳模拟）如图是“小孔成像”的原理示意图，蜡烛到挡
板距离与挡板到屏幕距离之比是1∶2，若烛焰AC的高是4cm，则实像DB
的高是 .
例1题图　　　　　　
8 cm
[变式1]（2025·深圳模拟）一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的
示意图，图3是在打开状态时的示意图（此时AB∥CD），相关数据如
图（单位：cm）.从图2闭合状态到图3打开状态，点B，D之间的距离减
少了（　B　）
变式1题图
A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm
B
重点2　相似三角形的性质与判定
[例 2]（2025·珠海一模）如图，已知四边形ABCD是菱形，点E是对角
线AC上一点，连接BE并延长交AD于点F，交CD的延长线于点G，连
接DE.
（1）求证：EB2＝EF·EG；
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，AB∥CD.
又∵AE＝AE，
∴△ABE≌△ADE.
∴ED＝EB，∠ABE＝∠ADE.
∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠EGD.
∴∠EGD＝∠ADE.
∵∠FED＝∠DEG，
∴△EDF∽△EGD.
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，AB∥CD.
又∵AE＝AE，
∴△ABE≌△ADE.
∴ED＝EB，∠ABE＝∠ADE.
∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠EGD.
∴∠EGD＝∠ADE.
∵∠FED＝∠DEG，
∴△EDF∽△EGD.
∴ ＝ .
∴ED2＝EF·EG.
∴EB2＝EF·EG.
∴ ＝ .
∴ED2＝EF·EG.
∴EB2＝EF·EG.
（2）若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，AE∶EC＝1∶3，求BG
的长.
[例 2]（2025·珠海一模）如图，已知四边形ABCD是菱形，点E是对角
线AC上一点，连接BE并延长交AD于点F，交CD的延长线于点G，连
接DE.
解：（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AD∥BC.
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形.
∴AC＝AB＝4.
如图，连接BD交AC于O，
则AC⊥BD，OA＝OC＝ AC＝2.
∴OB＝ ＝2 .
∵AE∶EC＝1∶3，
∴AE＝ AC＝1.
∴OE＝OA－AE＝1.
∴BE＝ ＝ .
∵AD∥BC，
∴∠EAF＝∠ECB，∠EFA＝∠EBC.
∴△EAF∽△ECB.
∴ ＝ ＝ .
∴EF＝ BE＝ .
由（1），得EB2＝EF·EG，
∴OE＝OA－AE＝1.
∴BE＝ ＝ .
∵AD∥BC，
∴∠EAF＝∠ECB，∠EFA＝∠EBC.
∴△EAF∽△ECB.
∴ ＝ ＝ .
∴EF＝ BE＝ .
由（1），得EB2＝EF·EG，
∴EG＝ ＝3 .
∴BG＝BE＋EG＝4 .
∴EG＝ ＝3 .
∴BG＝BE＋EG＝4 .
1. （2025·潮州四模）图1是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看
作一个三角形，液面宽度为6cm，其他数据如图所示，喝掉一部分后的
数据如图2所示，此时液面宽度为 cm.
第1题图　　　　　　
3
2. （2025·广州模拟）如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，OB
＝2OA，点A在反比例函数y＝ 的图象上.若点B在反比例函数y＝ 的
图象上，则k的值为（　D　）
A. 4 B. －4 C. 8 D. －8
第2题图
D
3. （教材母题改编）根据以下材料，完成探究任务.
利用相似三角形测高
发现、
提出 问题 期末，数学老师组织同学们来到湿地公园开展“利用相似三角
形测高”的综合实践活动.如图，在公园某处，他们发现一个
简易工具房前有一堵围墙AB，同学们提出问题如下：围墙AB
的高度是多少米？
分析问
题 结合课本上“利用相似三角形测高”的知识，同学们进行如下
操作：
①当阳光恰从围墙最高点A经窗户点C处射进地面F点时，测
得OF＝5m；
②当阳光恰从围墙最高点经窗户点D处射进地面点E时，测得
OE＝0.8m.此外，测得窗高CD＝1.5m，窗户距地面的高度
OD＝1m.
解：（1）如图，连接CD.
∵AB⊥BF，DO⊥BF，∠BEA＝∠OED，
∴△ABE∽△DOE.
∴ ＝ ，即 ＝ .
∴AB＝ OB＋1.
同理，可得△ABF∽△COF.
∴ ＝ ，即 ＝ .
∴AB＝ OB＋ .
解：（1）如图，连接CD.
∵AB⊥BF，DO⊥BF，∠BEA＝∠OED，
∴△ABE∽△DOE.
∴ ＝ ，即 ＝ .
∴AB＝ OB＋1.
同理，可得△ABF∽△COF.
∴ ＝ ，即 ＝ .
∴AB＝ OB＋ .
解决问题 （1）求OB的长；
解 OB＋1＝ OB＋ ，得OB＝2 m.
解 OB＋1＝ OB＋ ，得OB＝2 m.
解决问题 （2）请利用上述数据，求出围墙AB的高度.
解：（2）由（1），知OB＝2m，AB＝ OB＋ ，
∴AB＝ m.
∴围墙AB的高度为 m.
解：（2）由（1），知OB＝2m，AB＝ OB＋ ，
∴AB＝ m.
∴围墙AB的高度为 m.

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