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(共54张PPT)
第三部分　素养提升篇
四　项目式学习
深圳数学中考项目式学习题型命制主要有以下特点：
　　一、注重情境化与生活融合，题目结合深圳地域特色（如科技、智能设
备等）与生活场景（如无人机、科技班会投票），让数学“接地气”“有温
度”，强调数学的应用本质.
　　二、强调多科目联动与知识融合，题目不仅考查数学解题能力，还注重
多学科知识交叉综合（如几何题融合多知识点、函数题联立不同函数），要
求学生构建完整知识体系.
　　三、突出实践与创新能力考查，题目要求学生围绕实际问题进行探究
（如收集数据、分析问题、提出解决方案），考查数学素养、实践能力和团
队合作精神；同时引入动态几何等创新题型（如通过几何画板软件操作分析
图形变化规律），检验信息技术应用能力.
一、函数类项目式学习
1. （2025·南山区校级一模）根据如表所示素材，探索完成任务.
深圳华强北电子配件采购方案 素材一 为备战双十一购物节，深圳华强北某电子商户分两次购进A，B
两种充电器，两次同型号进价相同： 采购批次 A数量（件） B数量（件） 采购总费用
（元）
第一次 30 40 3 800
第二次 40 30 3200
素材二 售价A：30元/件，B：100元/件. 素材三 计划共购进1 000件充电器，且A数量不少于B数量的4倍.
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问题解决 任务一 求A，B充电器每件进价.
解：任务一：设A，B充电器每件进价分别为a元、b元，
由题意可得， 解得
答：A，B充电器每件进价分别为20元，80元.
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任务二 求获利最大的进货方案及最大利润.
解：任务二：设购进A充电器x件，则购进B充电器（1 000－x）件，利润
为w元，w＝（30－20）x＋（100－80）（1 000－x）＝－10x＋20 000，
∴w随x的增大而减小.
∵A数量不少于B数量的4倍，
∴x≥4（1 000－x），解得x≥800，
∴当x＝800时，w取得最大值，
此时w＝12 000，1 000－x＝200.
答：获利最大的进货方案是购买A充电器800件，B充电器200件，最大利润
是12 000元.
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2. （2025·宝安区校级三模）随着城市短距离出行需求的变化，共享滑板车成
为一种新兴的出行方式.某共享出行公司在A，B两个区域投放共享滑板车，
相关信息如下：
信息1 A区域初始投放了100辆共享滑板车，B区域初始投放了20辆.将一
辆滑板车从A区域调配到B区域，包含车辆运输与系统重置在
内，成本为100元；公司基于运营数据和区域需求预测，规定每次
只能从A区域向B区域调配滑板车，且调配数量不能超过20辆.
信息2 B区域共享滑板车的日租借率会随着从A区域调配来的滑板车数
量变化.当从A区域调配x辆滑板车到B区域时，B区域共享滑板
车的日租借率为（50％＋5％x），但受限于B区域的停车空间和
市场容量，日租借率最高不超过80％.
信息3 每辆共享滑板车成功租借一次，公司可获得10元收入.
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问题1 在信息1的条件下，若从A区域调配x辆滑板车到B区域，用含x
的式子表示调配这些滑板车的总成本y（元），并写出x的取值范
围.
解：问题1：调配这些滑板车的总成本为y＝100x（0≤x≤20）.
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问题2 在满足信息2的条件下，求B区域共享滑板车的公司日租借收入
W关于x的函数关系式，并求出公司日租借收入W的最大值.
解：问题2：∵日租借率最高不超过80％，
∴50％＋5％x≤80％，解得x≤6，
W＝10（20＋x）（50％＋5％ x）＝0.5x2＋15x＋100，
抛物线的对称轴为直线x＝－ ＝－15，
∴当0≤x≤6时，W随x的增大而增大，
∴公司日租借收入W的最大值为0.5×62＋15×6＋100＝208.
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问题3 公司为激励运维团队在滑板车调配工作中的积极性，制定了两种
奖励方案：
方案一，每调配一辆滑板车，奖励负责调配的运维人员40元；
方案二，一次性给予运维团队800元奖励.
请计算并分析在不同调配数量下，选择哪种方案对运维团队更有
利？
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解：问题3：当40x＝800时，x＝20；
当40x＞800时，x＞20；当40x＜800时，x＜20.
∴当调配数量不足20辆时，选择方案二运维团队更有利；当调配数量为20辆
时，选择方案一或方案二都相同；当调配数量超过20辆时，选择方案一运维
团队更有利.
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二、几何类项目式学习
3. （2025·福田区校级三模）根据下列信息，完成后面的任务.
主题 测量书架内侧长度
信息1 如图1，一个书架上放着8个完全一样的长方体档案盒，其中左边7
个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边一个档案盒自然向左斜放，档
案盒的顶点F刚好靠在书架右侧，顶点C靠在档案盒上.（图2是
平面示意图）
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主题 测量书架内侧长度
信息2 长方体档案盒的长AB＝30 cm，厚度DF＝5 cm.
信息3 借助量角器测得∠CDE＝53°.
（参考数据： sin 53°≈0.80， cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33）
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问题解决 任务1 求斜放档案盒底部到竖放档案盒距离DE的长；
解：任务1：由题意得∠CED＝90°，AB＝CD＝30 cm，
在Rt△CDE中，∠CDE＝53°，
∴DE＝CD· cos 53°≈30×0.6＝18（cm），
∴斜放档案盒底部到竖放档案盒距离DE的长约为18 cm.
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任务2 求书架内侧BG的长.
解：任务2：∵∠DGF＝90°，
∴∠DFG＋∠FDG＝90°.
∵∠CDF＝90°，
∴∠CDE＋∠FDG＝180°－∠CDF＝90°，
∴∠CDE＝∠DFG＝53°.
在Rt△DFG中，DF＝5 cm，
∴DG＝DF· sin 53°≈5×0.8＝4（cm），
∴BG＝7DF＋DE＋DG≈35＋18＋4＝57（cm），
即书架内侧BG的长约为57 cm.
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4. 2024年，中国国产游戏3A大作《黑神话：悟空》一经上线，即火爆全球，
反映了中国文化对全世界的吸引力.作为重要取景地的济南四门塔（图1）是
中国现存唯一的隋代石塔，也是中国现存最早、保存最完整的单层亭阁式佛
塔，某兴趣小组利用所学知识开展以“测量四门塔的高度”为主题的活动，并
写出如下报告：
课题 测量四门塔的高度
测量工
具 测角仪、无人机等
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测量示
意图
测量过
程 如图2，测量小组使无人机在点A处以10 m/s的速度竖直上升8 s
后，飞行至点B处，在点B处测得塔顶D的俯角为20°，然后沿
水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角
均为45°.
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说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一
水平线上，DE⊥AE. 结果精确到1 m.（参考数据： sin
20°≈0.34， cos 20°≈0.94，tan 20°≈0.36）
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（1）求无人机从点B到点C处的飞行距离；
解：由题意可知AB＝10×8＝80（m），
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴BC＝AB＝80 m.
答：无人机从点B到点C处的飞行距离为80 m.
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（2）求四门塔DE的高度.
解：如图，延长ED交BC的延长线于点F，则四边形ABFE为矩形，
∴EF＝AB＝80 m.设DE＝x m，则DF＝（80－x）m，
在Rt△DFC中，∠DCF＝45°，则FC＝DF＝（80－x）m，
∴BF＝CF＋BC＝（160－x）m，在Rt△BFD中，∠FBD＝20°，
∵tan∠FBD＝ ，
∴DF＝BF·tan∠FBD，即80－x≈（160－x）×0.36，
∴80－x≈57.6－0.36x，x－0.36x≈80－57.6，x≈35.
答：四门塔DE的高度约为35 m.
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5. （2025·福田区校级一模）中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是
中国文化的重要组成部分.九（1）班同学在进行历史和数学跨学科项目式学
习时，通过收集到的素材进行了方案探究和任务性学习：
设计方案求碗里水面的宽度 素材一 图1是一个竖直放置在水平桌
面MN上的瓷碗，图2是其截
面图，瓷碗高度GF＝9 cm，
碗口宽CD＝12 cm，
CD∥MN，碗体DEC呈抛物
线状（碗体厚度不计），当碗
中盛满水时的最大深度GE＝8
cm.
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素材二 如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾
斜，倒出碗中的部分水，当水
面CH与碗口的夹角为45°时
停止倾斜.
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问题解决 问题1 如右图，以碗底AB的中点F
为原点O，以MN为x轴，
AB的中垂线FG为y轴，建立
平面直角坐标系，求碗体
DEC的抛物线表达式；
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解：问题1：由题意得D（－6，9），C（6，9），
∴EF＝GF－GE＝9－8＝1（cm），
∴E（0，1）.设抛物线的表达式为y＝ax2＋1，
将点C的坐标代入，得36a＋1＝9，解得a＝ ，
∴抛物线表达式为y＝ x2＋1.
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问题2 根据图2位置，当把碗中的水喝掉一部分后，发现水面的最大深度
TE为6 cm，求此时水面宽度PQ的长；
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解：问题2：∵水面的最大深度TE为6 cm，EF＝1 cm，
∴这时水面的纵坐标为6＋1＝7，当y＝7时， x2＋1＝7，
解得x1＝3 ，x2＝－3 ，则水面宽度PQ的长为6 cm.
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问题3 如图3，当碗停止倾斜时，求此时碗里水面的宽度CH.
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解：问题3：以AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，倾斜后如图，记y轴交HC于点S，交AB于点P，由题知，CD∥AB，OP＝9 cm，
∴CD⊥y轴.
又∵∠OCS＝45°，
∴∠OSC＝45°＝∠OCS，
∴OS＝OC＝6 cm，
∴PS＝3 cm，
∴S（0，3）.
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设直线CH的表达式为y＝kx＋b，则 解得
∴y＝x＋3.联立 解得 或 （不合题意，
舍去），
∴H（－ ， ），
∴CH＝ ＝ （cm）.
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6. （2025·宝安区校级三模）项目式学习：《无人机灯光秀图案的设计》.
项目
背景 为庆祝建校百年，某中学的无人机社团计划在校庆夜空上演无人机
灯光秀.同学们以抛物线为基础，编排两组无人机组成“双翼彩虹”图
案的表演.左侧无人机群的灯光轨迹近似看成一条抛物线；右侧轨迹
与左侧关于舞台中轴线对称，展现彩虹双翼的平衡之美.如图所示.
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任务1 建立
模型 如图，以地面为x轴，舞台中轴线为y轴，舞台中央点为原点，建
立直角坐标系，左侧抛物线过顶点（－3，6），起始点为（－1，
2），终点与起始点关于直线x＝－3对称，直接写出左侧抛物线的
表达式 ；
若右侧抛物线与左侧抛物线关于y轴对称，直接写出右侧抛物线的
表达式 .
y＝－x2－6x－3
y＝－x2＋6x－3
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解析：∵左侧抛物线过顶点（－3，6），
∴设抛物线的表达式为y＝a（x＋3）2＋6.
∵起始点为（－1，2），终点与起始点关于直线x＝－3对称，
∴终点坐标为（－5，2），2＝a（－1＋3）2＋6，解得a＝－1，
∴左侧抛物线表达式为y＝－（x＋3）2＋6＝－x2－6x－3.
∵左侧抛物线过顶点（－3，6），
∴右侧抛物线过顶点（3，6）.
不妨设抛物线的表达式为y＝a（x－3）2＋6，
∵左侧抛物线起始点为（－1，2），
∴右侧抛物线起始点为（1，2），
∴2＝a（1－3）2＋6，解得a＝－1，
∴右侧抛物线表达式为y＝－（x－3）2＋6＝－x2＋6x－3.
故答案为y＝－x2－6x－3，y＝－x2＋6x－3.
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任务2 利用
模型 为确保视觉效果，两侧无人机需要同时飞行移动至距离舞台地面中
心5 m的高度处并交汇于点A处，如图所示，求两组无人机队伍交
汇时，距离舞台地面中心7 m高度时无人机队列两侧的水平宽度.
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任务2　解：机需要同时飞行移动至距离舞台地面中
心5 m的高度处并交汇于点A（0，5）处，故M（－
1，2）平移到A（0，5），N（1，2）平移到A
（0，5），故左侧抛物线向右平移1个单位长度，再
向上平移3个单位长度，得到符合题意的新位置抛物
线，即y＝－（x＋3－1）2＋6＋3＝－x2－4x＋5，
故右侧抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移3个
单位长度，得到符合题意的新位置抛物线，即y＝－
（x－3＋1）2＋6＋3＝－x2＋4x＋5，
图1
图1
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当y＝7时，－x2－4x＋5＝7，解得x＝ ＝－2± ；当y＝7时，－
x2＋4x＋5＝7，解得x＝ ＝2± .故水平宽度为2＋ －（－2－
）＝4＋2 .
答：水平宽度为（4＋2 ）m.
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任务3 分析
计算 在任务2的条件下，为达到更优的视觉效果，同学们提议，给交汇
处的无人机装上射灯，并从交汇点A飞到舞台中央O点的正上方B
处发射两束光线，射出的光线与地面形成45°夹角，如图所示.
①若要使光线不被无人机队列所遮挡，求无人机上升距离AB的最
小值；
②若无人机计划飞到12 m才发射光线，则此时单侧光线与无人机队
列之间的最短距离为 .
m　
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任务3　①解：设B（0，m），根据题意，射出的光线与地面形成45°夹
角，得到D（－m，0），设直线BD的表达式为y＝kx＋b，故
解得 故直线BD的表达式为y＝x＋m，要使光线
不被无人机队列所遮挡，确定直线与抛物线只有一个交点时，为最小值，
故 故x2＋5x＋m－5＝0，
∴25－4（m－5）＝0，解得m＝ ，故无人机上升距离AB的最小值为
－5＝ （m）.
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②解析：如图2，根据题意，得无人机计划飞到
12 m才发射光线，此时单侧光线的表达式为y
＝－x＋12，此时R（12，0），由y＝－x＋
，得x＝ ，故直线与x轴的交点L的坐标
为（ ，0），故LR＝12－ ＝ （m），
根据题意，射出的光线与地面形成45°夹角，故与无人机队列之间的最短距
离为LK＝ sin 45°＝ （m）.
图2
图2
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参考答案
1. 解：任务一：设A，B充电器每件进价分别为a元、b元，
由题意可得， 解得
答：A，B充电器每件进价分别为20元，80元.
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任务二：设购进A充电器x件，则购进B充电器（1 000－x）件，利润为w
元，w＝（30－20）x＋（100－80）（1 000－x）＝－10x＋20 000，
∴w随x的增大而减小.
∵A数量不少于B数量的4倍，
∴x≥4（1 000－x），解得x≥800，
∴当x＝800时，w取得最大值，
此时w＝12 000，1 000－x＝200.
答：获利最大的进货方案是购买A充电器800件，B充电器200件，最大利润
是12 000元.
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2. 解：问题1：调配这些滑板车的总成本为y＝100x（0≤x≤20）.
问题2：∵日租借率最高不超过80％，
∴50％＋5％x≤80％，解得x≤6，
W＝10（20＋x）（50％＋5％ x）＝0.5x2＋15x＋100，
抛物线的对称轴为直线x＝－ ＝－15，
∴当0≤x≤6时，W随x的增大而增大，
∴公司日租借收入W的最大值为
0.5×62＋15×6＋100＝208.
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问题3：当40x＝800时，x＝20；
当40x＞800时，x＞20；当40x＜800时，x＜20.
∴当调配数量不足20辆时，选择方案二运维团队更有利；当调配数量为20辆
时，选择方案一或方案二都相同；当调配数量超过20辆时，选择方案一运维
团队更有利.
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3. 解：任务1：由题意得∠CED＝90°，AB＝CD＝30 cm，
在Rt△CDE中，∠CDE＝53°，
∴DE＝CD· cos 53°≈30×0.6＝18（cm），
∴斜放档案盒底部到竖放档案盒距离DE的长约为18 cm.
任务2：∵∠DGF＝90°，
∴∠DFG＋∠FDG＝90°.
∵∠CDF＝90°，
∴∠CDE＋∠FDG＝180°－∠CDF＝90°，
∴∠CDE＝∠DFG＝53°.在Rt△DFG中，DF＝5 cm，
∴DG＝DF· sin 53°≈5×0.8＝4（cm），
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∴BG＝7DF＋DE＋DG≈35＋18＋4＝57（cm），
即书架内侧BG的长约为57 cm.
4. 解：（1）由题意可知AB＝10×8＝80（m），
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴BC＝AB＝80 m.
答：无人机从点B到点C处的飞行距离为80 m.
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（2）如图，延长ED交BC的延长线于点F，则四边形ABFE为矩形，
∴EF＝AB＝80 m.设DE＝x m，则DF＝（80－x）m，
在Rt△DFC中，∠DCF＝45°，则FC＝DF＝（80－x）m，
∴BF＝CF＋BC＝（160－x）m，在Rt△BFD中，∠FBD＝20°，
∵tan∠FBD＝ ，
∴DF＝BF·tan∠FBD，即80－x≈（160－x）×0.36，
∴80－x≈57.6－0.36x，x－0.36x≈80－57.6，x≈35.
答：四门塔DE的高度约为35 m.
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5. 解：问题1：由题意得D（－6，9），C（6，9），
∴EF＝GF－GE＝9－8＝1（cm），
∴E（0，1）.设抛物线的表达式为y＝ax2＋1，将点C的坐标代入，得
36a＋1＝9，解得a＝ ，
∴抛物线表达式为y＝ x2＋1.
问题2：∵水面的最大深度TE为6 cm，EF＝1 cm，
∴这时水面的纵坐标为6＋1＝7，当y＝7时， x2＋1＝7，
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解得x1＝3 ，x2＝－3 ，则水面宽度PQ的长为6 cm.
问题3：以AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，倾斜后如图，记y轴交HC于点S，交AB于点P，由题知，CD∥AB，OP＝9 cm，
∴CD⊥y轴.
又∵∠OCS＝45°，
∴∠OSC＝45°＝∠OCS，
∴OS＝OC＝6 cm，
∴PS＝3 cm，
∴S（0，3）.设直线CH的表达式为y＝kx＋b，
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则 解得
∴y＝x＋3.
联立 解得 或 （不合题意，舍去），
∴H（－ ， ），
∴CH＝ ＝ （cm）.
6. 任务1　y＝－x2－6x－3　y＝－x2＋6x－3
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解析：∵左侧抛物线过顶点（－3，6），
∴设抛物线的表达式为y＝a（x＋3）2＋6.
∵起始点为（－1，2），终点与起始点关于直线x＝－3对称，
∴终点坐标为（－5，2），2＝a（－1＋3）2＋6，解得a＝－1，
∴左侧抛物线表达式为y＝－（x＋3）2＋6＝－x2－6x－3.
∵左侧抛物线过顶点（－3，6），
∴右侧抛物线过顶点（3，6）.
不妨设抛物线的表达式为y＝a（x－3）2＋6，
∵左侧抛物线起始点为（－1，2），
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∴右侧抛物线起始点为（1，2），
∴2＝a（1－3）2＋6，解得a＝－1，
∴右侧抛物线表达式为y＝－（x－3）2＋6＝－x2＋6x－3.
故答案为y＝－x2－6x－3，y＝－x2＋6x－3.
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任务2　解：如图1，左侧抛物线表达式为y＝－（x
＋3）2＋6，点M（－1，2）关于y轴的对称点为N
（1，2），左侧终点坐标为Q（－5，2）关于y轴的
对称点为T（5，2），
根据题意，两侧无人机需要同时飞行移动至距离舞台
地面中心5 m的高度处并交汇于点A（0，5）处，故
M（－1，2）平移到A（0，5），N（1，2）平移到
A（0，5），
图1
图1
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故左侧抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到符合题意的新位置抛物线，即y＝－（x＋3－1）2＋6＋3＝－x2－4x＋5，
故右侧抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到符合题意的新位置抛物线，即y＝－（x－3＋1）2＋6＋3＝－x2＋4x＋5，
当y＝7时，－x2－4x＋5＝7，解得x＝ ＝－2± ；
当y＝7时，－x2＋4x＋5＝7，解得x＝ ＝2± .
故水平宽度为2＋ －（－2－ ）＝4＋2 .
答：水平宽度为（4＋2 ）m.
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任务3　①解：设B（0，m），根据题意，射出的光线与地面形成45°夹
角，得到D（－m，0），设直线BD的表达式为y＝kx＋b，
故 解得
故直线BD的表达式为y＝x＋m，要使光线不被无人机队列所遮挡，
确定直线与抛物线只有一个交点时，为最小值，
故 故x2＋5x＋m－5＝0，
∴25－4（m－5）＝0，解得m＝ ，
故无人机上升距离AB的最小值为 －5＝ （m）.
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② m　解析：如图2，根据题意，得无人机计划飞到12 m才发射光线，此
时单侧光线的表达式为y＝－x＋12，
此时R（12，0），由y＝－x＋ ，得x＝ ，
故直线与x轴的交点L的坐标为（ ，0），
故LR＝12－ ＝ （m），
根据题意，射出的光线与地面形成45°夹角，
故与无人机队列之间的最短距离为LK＝ sin 45°＝ （m）.
图2
图2
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6(共20张PPT)
第三部分　素养提升篇
一　数学与传统文化
一、代数与传统文化
1. （2025·南山区校级三模）“墙角数枝梅，凌寒独自开，遥知不是雪，为有
暗香来”，某品种的梅花花粉直径为0.000 022米，则数据0.000 022用科学记数
法表示为 .
2.2×10－5　
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2. （2025·深圳模拟）《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们
把它改为横排，如图1，图2.图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数
x，y的系数与相应的常数项.把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组
形式表述出来，就是 在图2所示的算筹图中有一个图形被墨
水覆盖了，若图2所表示的方程组中x的值为3，则被墨水所覆盖的图形为
（　A　）
A. B. C. D.
A
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3. （2025·南山区一模）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三
天不练门外汉，四天不练瞪眼看.”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及
时复习，那么学习过的东西就会被遗忘.假设每天“遗忘”的百分比是一样的，
根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为x，则x满足方程
（　D　）
A. （1＋0.5x）2＝0.5 B. （1－0.5x）2＝0.5
C. （1＋x）2＝0.5 D. （1－x）2＝0.5
D
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4. （2025·宝安区模拟）在明朝吴敬《九章算法比类大全》中有这样一道“酒
分醇醨”的问题：务中听得语吟吟，言道醇醨酒二瓶.醇酒一升醉三客，醨酒
三升醉一人.共通饮了一斗九，三十三客醉醺醺.欲问高明能算士，几多醨酒
几多醇？诗的大意是：在酒肆面前听到有人轻轻地吟诵诗歌，说有好酒和薄
酒装在瓶中.好酒一升醉三位客人，薄酒三升醉一位客人，三十三客人一共饮
酒一斗九（一斗等于十升），问好酒、薄酒各有多少升？设好酒有x升，薄
酒有y升，则可列方程组为（　D　）
D
A. B.
C. D.
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5. （2025·深圳模拟）古代建筑中，榫（sǔn）卯（mǎo）结构至关重要，它
通过凸出的榫和凹进的卯精密配合连接，使得建筑物连接牢固且难以松动.工
匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多
0.5 kg.已知用30 kg木材制作榫的数量与用25 kg木材制作卯的数量相同.设制
作1个榫需要的木材为x kg，符合题意的方程是（　A　）
A. ＝ B. ＝ ＋0.5
C. ＋0.5＝ D. ＝
A
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6. （2025·福田区校级三模）我国古代数学著作《九章算术》中有一道关于
“驿站送信”的题目，其大意为：把一封信送到800里外的地方，若用慢马送，
则晚1天送达；若用快马送则早3天送达，已知快马的速度是慢马速度的2
倍，问规定的时间为多少天？快马的速度为多少？下列说法错误的是
（　C　）
A. 设规定的时间为x天，所列方程为 ×2＝
B. 规定的时间为7天
C. 设慢马的速度为y里/天，所列方程为 － ＝2
D. 快马速度是200里/天
C
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二、几何与传统文化
7. （2025·宝安区模拟）我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要
影响.下列图形“中国七巧板”“刘徽的割圆术”“中国的青朱出入图”“赵爽弦图”
中，是中心对称图形的是（　D　）
D
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8. 诸葛亮的《诫子书》中有“非学无以广才”，如图是正方体的一种表面展开
图，则原正方体中与“非”字所在的面相对的面上的汉字是（　D　）
A. 学 B. 以 C. 广 D. 才
第8题图
D
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9. （2025·宝安区校级三模）近年来传统服饰马面裙受到大众的喜爱，如图所
示的马面裙可以近似的看作扇环，其中 长度为 π m，裙长AD为1 m，圆
心角∠COD＝60°，则 的长度为 .
第9题图
m　
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10. （2025·罗湖区校级模拟）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之
一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋
在壁中，不知大小.以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语
言表达为：如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，EB＝1寸，CD＝
10寸，则半径OC长为 寸.
第10题图
13　
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三、统计概率与科技
11. （2025·深圳模拟）中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学
启蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献.某中学拟从这
4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算
学启蒙》与《四元玉鉴》的概率是（　D　）
A. B. C. D.
D
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12. （2025·坪山区二模）坪山大剧院位于坪山文化聚落，是一个戏剧文化的
综合空间、一个先锋戏剧的原创基地、一个品质引领的文化地标.为了加深对
于戏剧文化的了解，小坪同学和小山同学准备组织一次到坪山大剧院的观剧
活动.他们对同班同学发放了调查问卷，统计同学们最喜欢的戏剧种类，其调
查结果如下：
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（1）班级总人数为 人，α＝ °；
解析：班级总人数为12÷24％＝50（人），
喜欢音乐剧的人数所对应的圆心角的度数为α＝360°× ＝144°，
故答案为50，144.
50　
144　
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（2）补全条形统计图；
解：喜欢话剧的人数为
50－12－20－8＝10（人），
补全条形统计图如图.
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（3）若小坪和小山所在的年级有800人，估计该年级喜欢舞剧的人数是
多少？
解：800× ＝128（人），
∴估计该年级喜欢舞剧的人数是128人.
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（4）坪山大剧院周五、周六和周日将推出同一场音乐剧，假设小坪和小山
分别打算去看这场音乐剧，且每一天去看音乐剧的可能性相同，那么在事先
没有约好的情况下，小坪和小山选择同一日期看音乐剧的概率是多少？（请
用画树状图或列表等方法说明理由）
解：将周五、周六和周日分别记为A，B，C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小坪和小山选择同一日期的结果有3种，
∴小坪和小山选择同一日期看音乐剧的概率为 ＝ .
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参考答案
1. 2.2×10－5　2.A　3.D　4.D　5.A　6.C　7.D　8.D　9. m　10.13　11.D
12. 解：（1）50　144　解析：班级总人数为12÷24％＝50（人），
喜欢音乐剧的人数所对应的圆心角的度数为α＝360°× ＝144°，
故答案为50，144.
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（2）喜欢话剧的人数为50－12－20－8＝10（人），
补全条形统计图如下：
（3）800× ＝128（人），
∴估计该年级喜欢舞剧的人数是128人.
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（4）将周五、周六和周日分别记为A，B，C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小坪和小山选择同一日期的结果有3种，
∴小坪和小山选择同一日期看音乐剧的概率为 ＝ .
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12(共51张PPT)
第三部分　素养提升篇
五　综合与实践
深圳数学中考综合与实践类题型命制主要有以下特点：
　　一是注重情境化与生活融合，题目常结合深圳科技（如无人机、智能设
备）、生活场景（如科技班会投票、演唱会安检）等，强调数学的实用性，
要求学生在真实情境中调动知识解决问题，如统计实践类题目需经历“数据
收集－整理－分析－决策”全流程，提升数据分析与应用能力；
　　二是强调多科目联动与知识融合，试题不仅考查数学解题能力，还注重
跨学科知识综合应用，如几何题结合展开与折叠考查位似与一元二次方程，
培养空间想象与数形结合能力，函数题结合实际情境提升代数应用要求；
　　三是突出创新与实践能力考查，近年出现新定义题型（如“双等四边
形”），考查阅读理解与知识迁移能力，同时通过开放性问题（如城市隧道
设计）引导学生进行数学建模，体现“素养导向”命题趋势.
一、函数类
【例1】综合与探究
【研究任务】如图1，在平面直角坐标系中，点A（2，2），B是x轴上一动
点，作线段AB的垂直平分线l1，过点B作x轴的垂线l2，记l1和l2的交点为
P，设点P的坐标为（x，y），则y与x具有怎样的关系呢？
一
二
【操作·猜想】
（1）数学小组类比学习函数的一般方法，通过测量、列表、描点、连线，
确定函数的大致图象.
①数据收集：
x … －1 0 1 2 3 4 …
y … 3.25 2 1.25 1 1.25 2 …
②绘制图象：根据所得到的数据，在图2的平面直角坐标系画出y与x的函数
图象；
一
二
（1）②解：如图所示.
一
二
③观察猜想：观察所画的图象，猜想它是我们学过的 函数，y与x
的关系式是 ；
二次　
y＝ x2－x＋2　
一
二
解析：观察所画的图象，猜想它是我们学过的二次函数，
∵当x＝1与x＝3时的函数值相等，
∴对称轴为直线x＝ ＝2，
由表格可知，当x＝2时，函数值为1，
∴顶点坐标为（2，1）.
设y与x的关系式是y＝a（x－2）2＋1，
又当x＝0时，y＝2，则2＝a（0－2）2＋1，解得a＝ .
∴y＝ （x－2）2＋1＝ x2－x＋2.故答案为二次，y＝ x2－x＋2.
一
二
【验证·证明】
（2）观察图1，完成下列任务：
①验证：若点B在x轴的正半轴且OB＝6，求PB的长，并验证此时点P是否
在你所猜想的函数图象上；
一
二
（2）①解：如图，连接AP，作AH⊥PB，垂足为H，
∵l1垂直平分AB，
∴AP＝PB＝y，PH＝y－2.
∵OB＝6，则AH＝6－2＝4，
在Rt△APH中，PH2＋AH2＝AP2，
∴（y－2）2＋42＝y2，解得y＝5，
∴PB＝5，即P（6，5）.
将x＝6代入y＝ x2－x＋2，得y＝ ×62－6＋2＝5，
∴点P在所猜想的函数图象上.
一
二
②证明：请证明你的猜想.
证明：∵P（x，y），
∴AH＝x－2，PH＝y－2，AP＝PB＝y，
在Rt△APH中，PH2＋AH2＝AP2，
∴（y－2）2＋（x－2）2＝y2，y2－4y＋4＋x2－4x＋4＝y2，
x2－4x＋8＝4y，
∴y＝ x2－x＋2.
一
二
【联系·拓广】
（3）结合上述探究，若x满足0＜t≤x≤t＋4时，该函数的最大值与最小值的
差为 ，请求出t的值.
一
二
解：（3）当t＞2时，当x＝t时，ymin＝ t2－t＋2；
当x＝t＋4时，ymax＝ （t＋4）2－（t＋4）＋2＝ t2＋t＋2，
∴ymax－ymin＝ t2＋t＋2－（ t2－t＋2）＝ ，解得t＝ （舍去）；
当0＜t≤2时，由y＝ （x－2）2＋1，当x＝2时，ymin＝1；
当x＝t＋4时，ymax＝ （t＋4）2－（t＋4）＋2＝ t2＋t＋2，
∴ymax－ymin＝ t2＋t＋2－1＝ ，解得t1＝1，t2＝－5（舍去）.综上所述，t
＝1.
一
二
【例2】（2025·南山区校级三模）【问题背景】综合实践小组准备用长方形
木板和弹性系数k＝1.25 N/cm的轻质弹簧制作一个简易弹簧测力计.
【查阅资料】如图1，弹簧未受力时的长度称为原长，记为L0.如图2，弹簧受
到拉力F后的长度记为L，则弹簧伸长的长度x＝L－L0.已知弹簧发生弹性
形变时，拉力F的大小跟弹簧伸长的长度x成正比，即F＝kx，k为弹簧的
弹性系数.
【实验操作】综合实践小组利用该弹簧和两个完全一样的钩码设计了如
下实验：
一
二
如图3，当弹簧末端悬挂一个钩码时，弹簧的长度L1＝3 cm.如图4，当弹簧末
端悬挂两个钩码时，弹簧的长度L2＝5 cm.
任务1：
（1）①图3中弹簧伸长的长度x＝ cm；（用含L0的式子表
示）
②图4中弹簧伸长的长度x＝ cm；（用含L0的式子表示）
（3－L0）
（5－L0）
一
二
（2）求弹簧的原长L0.
解：∵拉力F的大小跟弹簧伸长的长度x成正比，即F＝1.25x，
∴F1＝1.25（3－L0），
F2＝1.25（5－L0），又F2＝2F1，
∴1.25（5－L0）＝2×1.25（3－L0），
∴L0＝1.
一
二
【确定量程】已知在弹性形变范围内，该弹簧伸长的长度x的最大值是12cm.
任务2：
（3）求该弹簧测力计的量程（测量范围）.
解：∵弹簧伸长的长度x的最大值是12 cm，
∴x≤12，
∴1.25x≤15，即F≤15 N，
∴该弹簧测力计的量程为0＜F≤15 N.
一
二
【设计刻度】综合实践小组拟通过以下方式设计刻度，通过刻度直接读
取拉力.
任务3：
（4）补全刻度设计方案：
①将0刻度放在距离木板上端L0 cm处，每隔0.1 cm标记一次刻度，这样弹簧
的长度每增加一个刻度，就代表拉力增加了 N；
解析：∵15÷12×0.1＝0.125，
∴弹簧的长度每增加一个刻度，就代表拉力增加0.125 N，故答案为0.125.
0.125　
一
二
②在图5中，从0刻度线开始，每隔1 N在刻度板上找到对应的刻度线（画出0
－10 N即可），并直接写出相邻刻度线间的距离.
一
二
②画出0－10 N对应的刻度线如图所示：
在弹性限度范围内，拉力增大1 N，弹簧伸长0.8 cm，
∴相邻刻度线间的距离是0.8 cm.
一
二
二、几何类
【例3】综合与探究
我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”.
（1）概念理解
请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子： .
矩形（合理即可）
一
二
（2）问题探究
如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AD，BC的中垂线恰
好交于AB边上一点P，连接AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说
明理由.
一
二
解：（2）结论：AC＝BD.
理由：连接PD，PC，如图1所示.
∵PE是AD的垂直平分线，PF是BC的垂直平分线，
∴PA＝PD，PC＝PB，
∴∠PAD＝∠PDA，∠PBC＝∠PCB，
∴∠DPB＝2∠PAD，∠APC＝2∠PBC. 又∠PAD＝∠PBC，
∴∠APC＝∠DPB，
∴△APC≌△DPB（SAS），
∴AC＝BD.
一
二
（3）应用拓展
如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C＝∠D＝90°，BC＝BD＝3，AB
＝5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到
Rt△AB'D'（如图3），当凸四边形AD'BC为等邻角四边形时，求出它的面积.
一
二
解：（3）分两种情况考虑：
（ⅰ）当∠AD'B＝∠D'BC时，延长AD'，CB交于点E，如图2（ⅰ）所示，
∴∠ED'B＝∠EBD'，
∴EB＝ED'.设EB＝ED'＝x，由勾股定理得42＋（3＋x）2＝（4＋x）2，
解得x＝4.5.过点D'作D'F⊥CE于点F，
∴D'F∥AC，
∴△ED'F∽△EAC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，解得D'F＝ ，
一
二
∴ ＝ AC·EC＝ ×4×（3＋4.5）＝15， ＝ BE·D'F＝ ×4.5× ＝ ，则 ＝ － ＝15－ ＝ .
（ⅱ）当∠D'BC＝∠ACB＝90°时，过点D'作D'E⊥AC于点E，如图2（ⅱ）所示，
∴四边形ECBD'是矩形，
∴ED'＝BC＝3.在Rt△AED'中，
根据勾股定理得AE＝ ＝ ，
∴ ＝ AE·ED'＝ × ×3＝ ，
一
二
＝CE·CB＝（4－ ）×3＝12－3 ，
则 ＝ ＋ ＝ ＋12－3 ＝12－ .
综上所述，当凸四边形AD'BC为等邻角四边形时，它的面积为 或12－ .
一
二
【例4】（2025·南山区校级期末）综合与实践.
定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个
四边形为“友爱四边形”，这条对角线叫“友爱线”.
（1）如图1，在4×4的正方形网格中，有一个网格Rt△ABC和两个网格四边
形ABCD与四边形ABCE，其中是被AC分割成的“友爱四边形”的是
；
四边
形ABCE
一
二
解析：∵AB＝2，BC＝1，AD＝4，
由勾股定理得AC＝ ＝ ，CD＝ ＝ ，
AE＝ ＝2 ，CE＝ ＝5，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴△ABC∽△EAC，
∴四边形ABCE是“友爱四边形”.
∵△ABC与△ACD不相似，
∴四边形ABCD不是“友爱四边形”，故答案为四边形ABCE.
一
二
（2）如图2，四边形ABCD是“友爱四边形”，对角线AC是“友爱线”，同时
也是∠BCD的平分线，若△ABC中，AB＝2，BC＝3，AC＝4，求友爱四
边形ABCD的周长；
一
二
解：（2）∵AC平分∠BCD，
∴∠ACB＝∠ACD，当∠B＝∠DAC时，△ABC∽△DAC，
∴ ＝ ＝ .
∵AB＝2，BC＝3，AC＝4，
∴ ＝ ＝ ，
∴AD＝ ，CD＝ ，
一
二
∴友爱四边形ABCD的周长为 ＋ ＋3＋2＝13.当∠B＝∠D时，
△ABC∽△ADC，
∴ ＝ ＝ ＝1.
∵AB＝2，BC＝3，AC＝4，
∴ ＝ ＝1，
∴AD＝2，CD＝3，
∴友爱四边形ABCD的周长为2＋3＋3＋2＝10.
综上，友爱四边形ABCD的周长为13或10.
一
二
（3）如图3，在△ABC中，AB≠BC，∠ABC＝60°，△ABC的面积为
3 ，点D是∠ABC的平分线上一点，连接AD，CD. 若四边形ABCD是被
BD分割成的“友爱四边形”，求BD的长.
一
二
解：（3）如图，过点A作AM⊥BC于点M，则∠AMB＝90°.
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAM＝30°，
∴BM＝ AB. 在Rt△ABM中，
AM＝ ＝ ＝ AB.
∵S△ABC＝3 ，
∴ BC× AB＝3 ，
一
二
∴BC·AB＝12.
∵四边形ABCD是被BD分割成的“友爱四边形”，
∴△ABD∽△DBC，
∴ ＝ ，
∴BD2＝AB·BC＝12，
∴BD＝ ＝2 .
一
二
参考答案
【例1】 （1）②解：如图所示.
一
二
③二次　y＝ x2－x＋2　解析：观察所画的图象，猜想它是我们学过的二
次函数，
∵当x＝1与x＝3时的函数值相等，
∴对称轴为直线x＝ ＝2，
由表格可知，当x＝2时，函数值为1，
∴顶点坐标为（2，1）.
设y与x的关系式是y＝a（x－2）2＋1，
又当x＝0时，y＝2，则2＝a（0－2）2＋1，解得a＝ .
∴y＝ （x－2）2＋1＝ x2－x＋2.
故答案为二次，y＝ x2－x＋2.
一
二
（2）①解：如图，连接AP，作AH⊥PB，垂足为H，
∵l1垂直平分AB，
∴AP＝PB＝y，PH＝y－2.
∵OB＝6，则AH＝6－2＝4，
在Rt△APH中，PH2＋AH2＝AP2，
∴（y－2）2＋42＝y2，解得y＝5，
∴PB＝5，即P（6，5）.
将x＝6代入y＝ x2－x＋2，得y＝ ×62－6＋2＝5，
∴点P在所猜想的函数图象上.
一
二
②证明：∵P（x，y），
∴AH＝x－2，PH＝y－2，AP＝PB＝y，
在Rt△APH中，PH2＋AH2＝AP2，
∴（y－2）2＋（x－2）2＝y2，y2－4y＋4＋x2－4x＋4＝y2，x2－4x＋8＝
4y，
∴y＝ x2－x＋2.
一
二
（3）当t＞2时，当x＝t时，ymin＝ t2－t＋2；
当x＝t＋4时，ymax＝ （t＋4）2－（t＋4）＋2＝ t2＋t＋2，
∴ymax－ymin＝ t2＋t＋2－（ t2－t＋2）＝ ，解得t＝ （舍去）；
当0＜t≤2时，由y＝ （x－2）2＋1，当x＝2时，ymin＝1；
当x＝t＋4时，ymax＝ （t＋4）2－（t＋4）＋2＝ t2＋t＋2，
∴ymax－ymin＝ t2＋t＋2－1＝ ，解得t1＝1，t2＝－5（舍去）.
综上所述，t＝1.
一
二
【例2】解：（1）①（3－L0）　②（5－L0）
（2）∵拉力F的大小跟弹簧伸长的长度x成正比，即F＝1.25x，
∴F1＝1.25（3－L0），F2＝1.25（5－L0），又F2＝2F1，
∴1.25（5－L0）＝2×1.25（3－L0），
∴L0＝1.
（3）∵弹簧伸长的长度x的最大值是12 cm，
∴x≤12，
∴1.25x≤15，即F≤15 N，
∴该弹簧测力计的量程为0＜F≤15 N.
一
二
（4）①0.125　解析：∵15÷12×0.1＝0.125，
∴弹簧的长度每增加一个刻度，就代表拉力增加0.125 N，
故答案为0.125.
②画出0－10 N对
应的刻度线如图
所示：
在弹性限度范围内，拉力增大1 N，弹簧伸长0.8 cm，
∴相邻刻度线间的距离是0.8 cm.
【例3】解：（1）矩形（合理即可）
一
二
（2）结论：AC＝BD.
理由：连接PD，PC，如图1所示.
∵PE是AD的垂直平分线，PF是BC的垂直平分线，
∴PA＝PD，PC＝PB，
∴∠PAD＝∠PDA，∠PBC＝∠PCB，
∴∠DPB＝2∠PAD，∠APC＝2∠PBC.
又∠PAD＝∠PBC，
∴∠APC＝∠DPB，
∴△APC≌△DPB（SAS），
∴AC＝BD.
图1
图1
一
二
（3）分两种情况考虑：
（ⅰ）当∠AD'B＝∠D'BC时，延长AD'，CB交于点E，
如图2（ⅰ）所示，
图2（ⅰ）
∴∠ED'B＝∠EBD'，
∴EB＝ED'.
设EB＝ED'＝x，由勾股定理得42＋（3＋x）2＝（4＋x）2，
一
二
解得x＝4.5.过点D'作D'F⊥CE于点F，
∴D'F∥AC，
∴△ED'F∽△EAC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，解得D'F＝ ，
∴ ＝ AC·EC＝ ×4×（3＋4.5）＝15，
＝ BE·D'F＝ ×4.5× ＝ ，
则 ＝ － ＝15－ ＝ .
一
二
（ⅱ）当∠D'BC＝∠ACB＝90°时，过点D'作D'E⊥AC于点E，
如图2（ⅱ）所示，
∴四边形ECBD'是矩形，
∴ED'＝BC＝3.在Rt△AED'中，根据勾股定理得AE＝ ＝ ，
∴ ＝ AE·ED'＝ × ×3＝ ，
＝CE·CB＝（4－ ）×3＝12－3 ，
则 ＝ ＋ ＝ ＋12－3 ＝12－ .
图2（ⅱ）
一
二
综上所述，当凸四边形AD'BC为等邻角四边形时，它的面积
为 或12－ .
一
二
【例4】解：（1）四边形ABCE　解析：∵AB＝2，BC＝1，AD＝4，
由勾股定理得AC＝ ＝ ，CD＝ ＝ ，
AE＝ ＝2 ，CE＝ ＝5，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴△ABC∽△EAC，
∴四边形ABCE是“友爱四边形”.
∵△ABC与△ACD不相似，
∴四边形ABCD不是“友爱四边形”，
故答案为四边形ABCE.
一
二
（2）∵AC平分∠BCD，
∴∠ACB＝∠ACD，
当∠B＝∠DAC时，△ABC∽△DAC，
∴ ＝ ＝ .
∵AB＝2，BC＝3，AC＝4，
∴ ＝ ＝ ，
∴AD＝ ，CD＝ ，
∴友爱四边形ABCD的周长为 ＋ ＋3＋2＝13.
一
二
当∠B＝∠D时，△ABC∽△ADC，
∴ ＝ ＝ ＝1.
∵AB＝2，BC＝3，AC＝4，
∴ ＝ ＝1，
∴AD＝2，CD＝3，
∴友爱四边形ABCD的周长为2＋3＋3＋2＝10.
综上，友爱四边形ABCD的周长为13或10.
一
二
（3）如图，过点A作AM⊥BC于点M，则∠AMB＝90°.
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAM＝30°，
∴BM＝ AB.
在Rt△ABM中，AM＝ ＝ ＝ AB.
∵S△ABC＝3 ，
∴ BC× AB＝3 ，
∴BC·AB＝12.
一
二
∵四边形ABCD是被BD分割成的“友爱四边形”，
∴△ABD∽△DBC，
∴ ＝ ，
∴BD2＝AB·BC＝12，
∴BD＝ ＝2 .
一
二(共74张PPT)
第三部分　素养提升篇
三　新定义问题
【例1】（2025·深圳一模）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，
且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三
角形该边的“比中项妙点”.
如图1，△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，若AD2＝BD·CD，则称
点D是△ABC中BC边上的“比中项妙点”.
（1）①在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则点D
（填“是”或“不是”）△ABC中AB边上的“比中项妙点”；
是　
解析：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°.
∵∠A＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠DCB＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
∴△ADC∽△CDB，
∴ ＝ ，
∴CD2＝AD·DB，
∴点D是△ABC中AB边上的“比中项妙点”.故答案为是.
②如图2，△ABC的顶点是4×4网格图的格点，请仅用直尺画出AB边上的一
个“比中项妙点”点M（AB的中点除外）.
解：如图2，点M即为所求.
（2）如图3，平行四边形ABCD中，点E为BC边上一点，连接DE交对角线
AC于点F，点F恰好是△ACD中AC边上的“比中项妙点”.
①求证：点F也是△CDE中DE边上的“比中项妙点”；
证明：∵点F恰好是△ACD中AC边上的“比中项妙点”，
∴DF2＝AF·CF，
∴ ＝ .
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴CF2＝EF·DF，
∴点F也是△CDE中DE边上的“比中项妙点”.
②连接BF并延长交CD于点G，若点F是△BCG中BG边上的“比中项妙
点”，且 ＝ ，求 的值.
解：如图3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB∥CD，AB＝CD.
∵BE∶EC＝1∶2，
∴AD∶EC＝3∶2，
∴ ＝ ＝3∶2，
∴ ＝ ＝3∶2，
∴ ＝ .
∵点F是△BCG中BG边上的“比中项妙点”，
∴点F是△BCA中AC边上的“比中项妙点”（同①证明）.
∵DF2＝AF·CF，BF2＝AF·CF，
∴BF＝DF.
∵CF2＝BF·FG＝EF·DF，
∴ ＝ .
∵BF＝DF，
∴BE＝DG，
∴ ＝ ＝ .
练习1（2025·东莞市二模）【概念感知】定义：我们将一组邻边相等且其中
一边邻角（不是这组邻边的夹角）为直角的凸四边形称为单直邻等四边形.
（凸四边形是指所有内角均小于180°的四边形）
例如：如图1，在四边形ABCD中，如果BA＝BC，∠C＝90°，那么四边
形ABCD为单直邻等四边形.
【实践与操作】
（1）如图2，已知∠A＝90°，请利用尺规作图，在射线AM上画出点D，
并补全四边形ABCD，使四边形ABCD是单直邻等四边形.（保留作图痕迹，
不用写作法）；
解：如图1，连接AC，作AC的垂直平分线交射线AM于点D，连接CD，则四边形ABCD即为所求.
（2）如图3，△ABC为等边三角形，点E在∠ABC的平分线上，连接EA，
将EA绕点E顺时针旋转60°得到线段ED，连接CD，AD.
求证：四边形ABCD为单直邻等四边形；
（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠CAB＝∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝ ×60°＝30°.
∵EA绕点E顺时针旋转60°得到线段ED，
∴ED＝AE，∠AED＝60°，
∴△AED是等边三角形，
∴∠DAE＝60°，AD＝AE，
∴∠DAE＝∠CAB，
∴∠DAE－∠CAE＝∠CAB－∠CAE，
∴∠DAC＝∠BAE，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴∠ACD＝∠ABE＝30°，
∴∠BCD＝∠ACB＋ACD＝90°，
∴四边形ABCD为单直邻等四边形.
【拓展应用】
（3）如图4，四边形ABCD为单直邻等四边形，∠BCD＝90°，AB＝BC
＝ ，连接BD，若∠CBD＝30°，BD＝AD，作∠DAE＝30°，且
DE⊥AE，连接CE并延长交BD于点F，交AB于点M，求CM的长；
（3）解：如图2，连接DM，作DG⊥CM于点G，
∵∠BCD＝90°，∠CBD＝30°，
∴tan 30°＝ ，
∴CD＝BC·tan 30°＝ × ＝1，BD＝2CD＝2，
∠BDC＝60°，
∴AD＝BD＝2.
∵DE⊥AE，∠DAE＝30°，
∴DE＝ AD＝1，∠ADE＝60°，
∴∠CDE＝∠ADB.
∵ ＝ ＝1，
∴△CDE∽△BDA，
∴∠DCE＝∠ABD， ＝ ＝ ，
∴点D，M，B，C共圆， ＝ ，
∴∠DMB＝180°－∠BCD＝90°，
∠DMC＝∠DBC＝30°，CE＝ ，
∴BM＝AM＝ ，CG＝EG＝ ，
∴DM＝ ＝ ，
∴DG＝ DM＝ ，GM＝ DG＝ ，
∴CM＝CG＋MG＝ ＋ ＝ .
【解决问题】
（4）如图5，射线CF⊥CD于点C，∠ECF＝30°，CD＝4 ，点A在射
线CE上，DA＝ ，点B在射线CF上，且四边形ABCD为单直邻等四边
形，∠ABC的平分线交CD于点P，请直接写出BP的长 .
2或6
解析：如图3，作DG⊥CE于点G，设PB，CE
交于点Q，则∠DGC＝90°，
分两种情况：①当点A在DG的上方时，
∵∠DCF＝90°，∠ECF＝30°，
∴∠DCE＝60°.
∵∠DGC＝90°，
∴∠CDG＝30°，
∴CG＝ CD＝ ×4 ＝2 ，DG＝ CD＝6，
∴AG＝ ＝ ＝ ，
∴AC＝CG－AG＝2 － ＝ .
∵AB＝BC，
∴AQ＝CQ＝ AC＝ ，
∴BC＝1.在Rt△PCB中，∠BPC＝30°，
∴BP＝2BC＝2.
②如图4，当点A在DG的下方时，由①知，AG＝
，CG＝2 ，
∴AC＝3 ，
∴CQ＝ AC＝ ，
∴BC＝3，
∴BP＝2BC＝6.
综上所述，BP＝2或6.故答案为2或6.
【例2】（2025·宝安区模拟）定义：如果一个平行四边形的两条对角线的夹
角等于它的一个内角，我们称这个平行四边形为“对等平行四边形”，这组相
等的角称为一组“对等角”.如图1，平行四边形ABCD中，∠AOD＝∠DAB，
则平行四边形ABCD为“对等平行四边形”，∠AOD和∠DAB称为一组“对等
角”.
【初识定义】（1）下列四边形中，是“对等平行四边形”的有 .
A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形
C　
解析：正方形的对角线互相垂直，则夹角为90°，等于内角.故选C.
【理解提升】
（2）①小明发现，“对等平行四边形”的边与对角线之间有奇妙的关系，
试探究图1中“对等平行四边形”的对角线AC与AB之间的数量关系，并加
以证明.
（2）解：①AC＝ AB，证明如下：法1：
∵∠AOD＝∠DAB，∠ADO＝∠BDA，
∴△DAO∽△DBA，
∴ ＝ ＝ .
∵在平行四边形ABCD中，BD＝2DO，AC＝2AO，
∴AD2＝DO·BD＝2DO2，
∴AD＝ DO，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴AC＝ AB.
法2：在平行四边形ABCD中，∠DAB＋∠ABC＝180°，AC＝2AO，
又∵∠AOD＋∠AOB＝180°，∠AOD＝∠DAB，
∴∠AOB＝∠ABC.
又∵∠CAB＝∠BAO，
∴△AOB∽△ABC，
∴ ＝ ，
∴AB2＝AC·AO＝2AO2，
∴AB＝ AO＝ AC，即AC＝ AB.
②图1中，若∠ADB＝90°，AB＝6，求AD的长.
解：由①可知，AO＝ AB＝ ×6＝3 ，AD＝ DO，设DO＝a，
则AD＝ a，在Rt△ADO中，AO＝ ＝ a＝
3 ，
∴a＝ ，则AD＝ a＝2 .
【拓展应用】
（3）如图2，线段AB的长为3，射线EF⊥AB于点E，且AE＝1，点D为射
线EF上一动点，点C为平面内一点，若以A，B，C，D为顶点的平行四边
形是以AB为边的“对等平行四边形”.
①请作出所有符合条件的图形（不限作图工具）并用小弧线（“ ”）标记出
“对等角”；
解：第一种：如图1，∠AOD＝∠BAD.
第二种：如图2，∠AOB＝∠BAD；
第三种：如图3，∠AOB＝∠ABD.
　 　
②在你画的“对等平行四边形”中，连接CE，将△BCE沿着CE翻折得到
△B'CE，若直线B'E与所画的“对等平行四边形”的另一边交于点P，直接写
出DP的长.
解：②情况1：如图4，在平行四边形ABCD中，∠AOD＝∠DAB，
∴AC＝ AB＝3 .
∵AB∥CD，
∴△AEH∽△CDH，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴AH＝ AC＝ ，DE＝4HE.
在Rt△AEH中，HE＝ ＝ ，
∴DE＝4HE＝ ，由折叠可得∠BEC＝∠PEC，
∵AB∥CD，
∴∠BEC＝∠PCE，
∴∠PEC＝∠PCE，
∴EP＝CP. 在Rt△DEP中，设DP＝a，
则EP＝CP＝3－a，
∴（ ）2＋a2＝（3－a）2，
∴DP＝a＝ .
情况2：如图5，在平行四边形ABCD中，∠AOB＝∠DAB，
∴BD＝ AB＝3 ，
∴DE＝ ＝ ，
∴AD＝ ，同理，由折叠＋平行四边形可得∠PEC＝∠BEC＝∠DCE，
∴CQ＝QE.
在Rt△DEQ中，设DQ＝a，则CQ＝QE＝3＋a，
∴（ ）2＋a2＝（3＋a）2，解得a＝ .
∵AB∥CD，
∴△DQP∽△AEP，
∴ ＝ ＝ ，
∴DP＝ AD＝ .
情况3：如图6，在平行四边形ABDC中，
∵∠DOB＞∠DAE＞∠DBE，故只可能是∠AOB＝∠ABD，
∴AD＝ AB＝3 ，
∴DE＝ ＝ ，则BD＝ ，同理由折叠＋平行四边形可得∠B'EC＝∠BEC，则∠CEA＝∠CEQ＝∠ECQ，
∴CQ＝QE. 在Rt△DEQ中，设DQ＝a，则CQ＝QE＝3＋a，
∴（ ）2＋a2＝（3＋a）2，解得a＝ .
∵AB∥CD，
∴△DQP∽△BEP，
∴ ＝ ＝ ，
∴DP＝ BD＝ .综上，DP的长为 或 或 .
练习2【感知】定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对
补四边形.
如图1，四边形ABCD内接于☉O，连接AO交BD于点E，点E是BD的中
点，求证：四边形ABCD是邻等对补四边形；
【感知】证明：∵四边形ABCD内接于☉O，
∴∠ABC＋∠ADC＝∠BAD＋∠C＝180°.
∵AO⊥BD，
∴ ＝ ，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是邻等对补四边形.
【探究】如图2，四边形ABCD是邻等对补四边形，DA＝DC，∠A＋∠C
＝180°，求证：BD平分∠ABC.
下面是部分证明过程.
证明：如图，延长BC至点E，使CE＝AB，连接DE，
∵∠A＋∠BCD＝180°，∠DCE＋∠BCD＝180°，
∴∠A＝∠DCE.
∵AB＝CE，AD＝CD，
∴△ABD≌△CED（SAS），
证明过程缺失
∴BD平分∠ABC.
请补全缺失的证明过程.
【探究】证明：如图1，延长BC至点E，使CE
＝AB，连接DE，
∵∠A＋∠BCD＝180°，∠DCE＋∠BCD＝180°，
∴∠A＝∠DCE.
∵AB＝CE，AD＝CD，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴∠ABD＝∠E，BD＝DE，
∴∠DBE＝∠E，
∴∠ABD＝∠DBE，
∴BD平分∠ABC.
【应用】如图3，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点M在BC
边上，点N在AB边上，连接MN，当四边形ACMN是邻等对补四边形时，
直接写出MN的长.
【应用】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝ ＝ ＝5.
①当AC＝AN时，如图2，
∴AC＝AN＝3，
∴BN＝AB－AN＝2，
由邻等对补四边形的定义可得∠C＋∠ANM＝180°，
∵∠C＝90°，
∴∠ANM＝90°，
∴∠BNM＝90°.
∵∠B＝∠B，
∴△ABC∽△MBN，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴MN＝ .
②当AN＝MN时，如图3，
∵△ABC∽△MBN，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴MN＝ .
③当AC＝CM时，如图4，
∴BM＝BC－CM＝1.
∵△ABC∽△MBN，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴MN＝ .综上所述，MN的长为 或 或 .
参考答案
【例1】（1）①是　解析：如图1，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°.
∵∠A＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠DCB＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
∴△ADC∽△CDB，
∴ ＝ ，
∴CD2＝AD·DB，
∴点D是△ABC中AB边上的“比中项妙点”.
故答案为是.
图1
图1
②解：如图2，点M即为所求.
（2）①证明：∵点F恰好是△ACD中AC边上的“比中项妙点”，
∴DF2＝AF·CF，
∴ ＝ .
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
图2
图2
∴ ＝ ，
∴CF2＝EF·DF，
∴点F也是△CDE中DE边上的“比中项妙点”.
②解：如图3，
图3
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB∥CD，AB＝CD.
∵BE∶EC＝1∶2，
∴AD∶EC＝3∶2，
∴ ＝ ＝3∶2，
∴ ＝ ＝3∶2，
∴ ＝ .
∵点F是△BCG中BG边上的“比中项妙点”，
∴点F是△BCA中AC边上的“比中项妙点”（同①证明）.
∵DF2＝AF·CF，BF2＝AF·CF，
∴BF＝DF.
∵CF2＝BF·FG＝EF·DF，
∴ ＝ .
∵BF＝DF，
∴BE＝DG，
∴ ＝ ＝ .
【练习1】（1）解：如图1，连接AC，作AC的垂
直平分线交射线AM于点D，连接CD，则四边形
ABCD即为所求.
图1
图1
（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠CAB＝∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝ ×60°＝30°.
∵EA绕点E顺时针旋转60°得到线段ED，
∴ED＝AE，∠AED＝60°，
∴△AED是等边三角形，
∴∠DAE＝60°，AD＝AE，
∴∠DAE＝∠CAB，
∴∠DAE－∠CAE＝∠CAB－∠CAE，
∴∠DAC＝∠BAE，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴∠ACD＝∠ABE＝30°，
∴∠BCD＝∠ACB＋ACD＝90°，
∴四边形ABCD为单直邻等四边形.
（3）解：如图2，连接DM，作DG⊥CM于点G，
∵∠BCD＝90°，∠CBD＝30°，
∴tan 30°＝ ，
∴CD＝BC·tan 30°＝ × ＝1，
BD＝2CD＝2，∠BDC＝60°，
∴AD＝BD＝2.
∵DE⊥AE，∠DAE＝30°，
∴DE＝ AD＝1，∠ADE＝60°，
图2
图2
∴∠CDE＝∠ADB.
∵ ＝ ＝1，
∴△CDE∽△BDA，
∴∠DCE＝∠ABD， ＝ ＝ ，
∴点D，M，B，C共圆， ＝ ，
∴∠DMB＝180°－∠BCD＝90°，∠DMC＝∠DBC
＝30°，CE＝ ，
∴BM＝AM＝ ，CG＝EG＝ ，
∴DM＝ ＝ ，
∴DG＝ DM＝ ，GM＝ DG＝ ，
∴CM＝CG＋MG＝ ＋ ＝ .
（4）2或6　解析：如图3，作DG⊥CE于点
G，设PB，CE交于点Q，则∠DGC＝90°，
图3
图3
分两种情况：①当点A在DG的上方时，
∵∠DCF＝90°，∠ECF＝30°，
∴∠DCE＝60°.
∵∠DGC＝90°，
∴∠CDG＝30°，
∴CG＝ CD＝ ×4 ＝2 ，DG＝ CD＝6，
∴AG＝ ＝ ＝ ，
∴AC＝CG－AG＝2 － ＝ .
∵AB＝BC，
∴AQ＝CQ＝ AC＝ ，
∴BC＝1.
在Rt△PCB中，∠BPC＝30°，
∴BP＝2BC＝2.
②如图4，当点A在DG的下方时，
由①知，AG＝ ，CG＝2 ，
∴AC＝3 ，
∴CQ＝ AC＝ ，
∴BC＝3，
∴BP＝2BC＝6.
综上所述，BP＝2或6.故答案为2或6.
【例2】（1）C　解析：正方形的对角线互相垂直，则夹角为90°，等于内
角.故选C.
图4
图4
（2）解：①AC＝ AB，证明如下：
法1：∵∠AOD＝∠DAB，∠ADO＝∠BDA，
∴△DAO∽△DBA，
∴ ＝ ＝ .
∵在平行四边形ABCD中，BD＝2DO，AC＝2AO，
∴AD2＝DO·BD＝2DO2，
∴AD＝ DO，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴AC＝ AB.
法2：在平行四边形ABCD中，
∠DAB＋∠ABC＝180°，AC＝2AO，
又∵∠AOD＋∠AOB＝180°，∠AOD＝∠DAB，
∴∠AOB＝∠ABC.
又∵∠CAB＝∠BAO，
∴△AOB∽△ABC，
∴ ＝ ，
∴AB2＝AC·AO＝2AO2，
∴AB＝ AO＝ AC，即AC＝ AB.
②由①可知，AO＝ AB＝ ×6＝3 ，AD＝ DO，
设DO＝a，则AD＝ a，
在Rt△ADO中，AO＝ ＝ a＝3 ，
∴a＝ ，则AD＝ a＝2 .
（3）①第一种：如图1，∠AOD＝∠BAD.
图1
图1
第二种：如图2，∠AOB＝∠BAD；
第三种：如图3，∠AOB＝∠ABD.
图2
图2
图3
②情况1：如图4，
在平行四边形ABCD中，∠AOD＝∠DAB，
∴AC＝ AB＝3 .
∵AB∥CD，
∴△AEH∽△CDH，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴AH＝ AC＝ ，DE＝4HE.
在Rt△AEH中，HE＝ ＝ ，
图4
图4
∴DE＝4HE＝ ，由折叠可得∠BEC＝∠PEC，
∵AB∥CD，
∴∠BEC＝∠PCE，
∴∠PEC＝∠PCE，
∴EP＝CP.
在Rt△DEP中，设DP＝a，则EP＝CP＝3－a，
∴（ ）2＋a2＝（3－a）2，
∴DP＝a＝ .
情况2：如图5，
在平行四边形ABCD中，∠AOB＝∠DAB，
∴BD＝ AB＝3 ，
∴DE＝ ＝ ，
∴AD＝ ，
同理，由折叠＋平行四边形可得∠PEC＝∠BEC＝
∠DCE，
∴CQ＝QE.
在Rt△DEQ中，设DQ＝a，则CQ＝QE＝3＋a，
∴（ ）2＋a2＝（3＋a）2，解得a＝ .
图5
图5
∵AB∥CD，
∴△DQP∽△AEP，
∴ ＝ ＝ ，
∴DP＝ AD＝ .
情况3：如图6，
在平行四边形ABDC中，
∵∠DOB＞∠DAE＞∠DBE，故只可能是∠AOB＝∠ABD，
∴AD＝ AB＝3 ，
∴DE＝ ＝ ，则BD＝ ，
同理由折叠＋平行四边形可得∠B'EC＝∠BEC，
则∠CEA＝∠CEQ＝∠ECQ，
∴CQ＝QE. 在Rt△DEQ中，设DQ＝a，则CQ＝QE＝3＋a，
∴（ ）2＋a2＝（3＋a）2，解得a＝ .
图6
图6
∵AB∥CD，
∴△DQP∽△BEP，
∴ ＝ ＝ ，
∴DP＝ BD＝ .
综上，DP的长为 或 或 .
【练习2】【感知】证明：∵四边形ABCD内接于☉O，
∴∠ABC＋∠ADC＝∠BAD＋∠C＝180°.
∵AO⊥BD，
∴ ＝ ，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是邻等对补四边形.
【探究】证明：如图1，延长BC至点E，使CE＝AB，连接DE，
∵∠A＋∠BCD＝180°，∠DCE＋∠BCD＝180°，
∴∠A＝∠DCE.
∵AB＝CE，AD＝CD，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴∠ABD＝∠E，BD＝DE，
∴∠DBE＝∠E，
∴∠ABD＝∠DBE，
∴BD平分∠ABC.
【应用】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝ ＝ ＝5.
图1
图1
①当AC＝AN时，如图2，
∴AC＝AN＝3，
∴BN＝AB－AN＝2，
由邻等对补四边形的定义可得∠C＋∠ANM＝180°，
∵∠C＝90°，
∴∠ANM＝90°，
∴∠BNM＝90°.
∵∠B＝∠B，
图2
图2
∴△ABC∽△MBN，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴MN＝ .
②当AN＝MN时，如图3，
∵△ABC∽△MBN，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴MN＝ .
图3
图3
③当AC＝CM时，如图4，
∴BM＝BC－CM＝1.
∵△ABC∽△MBN，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴MN＝ .综上所述，MN的长为 或 或 .
图4
图4(共18张PPT)
第三部分　素养提升篇
二　跨学科融合
一、与物理学科综合
1. （2025·福田区模拟）如图是一个物理实验的截面示意图，其中AB与CD
表示互相平行的墙面，绳子EN的一端与木杆NG的一端相连，另一端点E固
定在墙面AB上.若∠AEN＝119°，∠ENG＝150°，则∠CGN的度数为
（　C　）
A. 35° B. 32° C. 31° D. 30°
C
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9
2. （2025·深圳二模）某科创实验小组根据小孔成像的科学原理设置了如图1
所示的小孔成像实验.当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不
变时，绘制了火焰的像高y（单位：cm）与物距（小孔到蜡烛的距离）x
（单位：cm）的函数图象（如图2所示），为便于观察，在实验中要求火焰
的像高不得低于4 cm，则小孔到蜡烛的距离至多是 cm.
6　
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3
4
5
6
7
8
9
3. 公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现“杠杆原理”为：阻力×阻力臂＝
动力×动力臂.小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1 200
N和0.5 m，则动力F关于自变量动力臂l（l＞0）的函数表达式为
.
F＝
　
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4. （2025·罗湖区模拟）【操作实验】小珂在物理综合实践课上，用一固定电
压为24 V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流y/A的大小，从而控制小
灯泡L的亮度，实验电路图如图1所示，已知小灯泡的电阻为3 Ω（不计温度
对灯泡电阻影响），滑动变阻器的电阻为x/Ω（0≤x≤9）（串联电路中总电阻
＝灯泡电阻＋滑动变阻器的电阻），通过多次试验，得到以下数据（如
表）：
电阻x/Ω … a 2 3 5 7 9
电流y/A … 6 4.8 4 3 b 2
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3
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5
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9
（1）根据实验结果，填空：a＝ ，b＝ ，根据实验数据直接写
出y与x的函数关系式： （0≤x≤9）；
1　
2.4
y＝
电阻x/Ω … a 2 3 5 7 9
电流y/A … 6 4.8 4 3 b 2
1
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3
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9
解析：根据实验数据，得y与x的函数关系式为y＝ ，
将x＝a，y＝6代入y＝ ，得6＝ ，解得a＝1；
将x＝7，y＝b代入y＝ ，得b＝ ＝2.4.故答案为1，2.4，y＝ .
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9
（2）【初步探究】请在以下平面直角坐标系中，画出函数y的图象，并写出
函数y的一条性质：
；
描点并连线如图所示.y随x的增大而减小（答案不唯
一，正确即可）
解析：在图中画出一次函数y'＝－ x＋8（x≥0）的图象.
1
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9
（3）【深入探究】已知一次函数y'＝－ x＋8（x≥0），结合（2）中函数图
象分析，请直接写出当y≤y'时x的取值范围： .
解析：由图象可知，当0≤x≤3时，y≤y'.故答案为0≤x≤3.
0≤x≤3
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9
5. 如图，一束光线从点A（－4，10）出发，经过y轴上的点B（0，2）反射
后经过点C（m，n），求2m－n的值.
1
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9
解：∵点A（－4，10）关于y轴的对称点为A'（4，10），
∴反射光线所在直线过点B（0，2）和A'（4，10）.
设直线A'B的表达式为y＝kx＋2，
将点A'（4，10）代入得10＝4k＋2，
∴k＝2，
∴直线A'B的表达式为y＝2x＋2.
∵反射后经过点C（m，n），
∴2m＋2＝n，
∴2m－n＝－2.
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二、与化学学科综合
6. 在标准大气压下，物质的凝固点是指该物质从液态转变为固态时的温度，
以下是一些物质的凝固点：
物质名称 水 乙醇 甘油 氯仿
凝固点（℃） 0 －114.1 17.8 －63.5
其中凝固点最低的物质为（　B　）
A. 水 B. 乙醇 C. 甘油 D. 氯仿
B
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7. （2025·福田区校级三模）如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求
为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处.已知试管AB＝
24 cm，BE＝ AB，试管倾斜角α为10°.实验时，为了保持装置稳定，导气
管紧贴水槽壁MN，延长BM交CN的延长线于点F（点C，D，N，F在一
条直线上），经测得DE＝27.36 cm，∠ABM＝145°，则铁架台和点F的水
平距离DF的长度为（结果精确到0.1 cm，参考数据： sin 10°≈0.17， cos
10°≈0.98，tan 10°≈0.18）（　B　）
A. 33.0 cm B. 33.8 cm C. 26.0 cm D. 26.8 cm
B
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三、与其他学科综合
8. （2025·福田区校级三模）研究表明，运动时将心率p（次）控制在最佳燃
脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用，最佳燃脂心率最
高值为（220－年龄）×0.8，最低值为（220－年龄）×0.6，所以15岁的人最
佳燃脂心率的范围可用不等式表示为（　B　）
A. 120≤p≤160 B. 123≤p≤164
C. 126≤p≤168 D. 132≤p≤176
B
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9. （2025·龙华区三模）一杆古秤在称物时的状态如图，此时AB∥CD，∠1
＝75°，则∠2的度数为（　C　）
A. 75° B. 95° C. 105° D. 115°
C
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参考答案
1. C　2.6　3.F＝
4. 解：（1）1　2.4　y＝ 　解析：根据实验数据，得y与x的函数关系式
为y＝ ，
将x＝a，y＝6代入y＝ ，得6＝ ，解得a＝1；
将x＝7，y＝b代入y＝ ，得b＝ ＝2.4.
故答案为1，2.4，y＝ .
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（2）描点并连线如图所示：
y随x的增大而减小（答案不唯一，正确即可）.
（3）0≤x≤3　解析：在图中画出一次函数y'＝－ x＋8（x≥0）的图象.
由图象可知，当0≤x≤3时，y≤y'.
故答案为0≤x≤3.
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5. 解：∵点A（－4，10）关于y轴的对称点为A'（4，10），
∴反射光线所在直线过点B（0，2）和A'（4，10）.
设直线A'B的表达式为y＝kx＋2，将点A'（4，10）代入得10＝4k＋2，
∴k＝2，
∴直线A'B的表达式为y＝2x＋2.
∵反射后经过点C（m，n），
∴2m＋2＝n，
∴2m－n＝－2.
6. B　7.B　8.B　9.C
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