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(共52张PPT)
第一部分　教材复习篇
第八单元　统计与概率
第31讲　统计
近五年深
圳市中考
考查情况 年份 题型 分值 难易
程度 考点 备注
2021 解答 12 容易 中位数、扇
形统计图 通过表格、扇形统计图综合解决实际问题
2022 选择、
填空、 解答 12 容易 众数、样本
估计总体、
统计图 利用样本估计总体，分析解决生活中的实际问题，利用条形图、扇形图分析，帮助解决实际问题
近五年深
圳市中考
考查情况 年份 题型 分值 难易
程度 考点 备注
2023 选择、
解答 8 容易 中位数、统
计图 利用条形统计图与扇形统计图综合分析，帮助解决实际问题
2024 解答 8 中等 平均数、中
位数、众
数、方差的
概念 考查了平均数、中位数、众数的概念，利用方差判定稳定性
近五年深圳市中考考查情况 年份 题型 分值 难易
程度 考点 备注
2025 解答 8 中等 统计 考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，求中位数、众数、平均数等知识点，正确理解统计图是解题的关键
命题 规律 　　统计知识点考查难度不大，题型多样化，选择题、填空题、
解答题都有出现，以基础题为主，分值常在9分左右，是中考必考
知识，常以生活中实际问题情境出现，掌握好中位数、众数、平
均数及各统计图特点就容易得分.
知识要点
1. 数据的收集
（1）收集方式：
①普查：考察 对象的调查.
②抽样调查：只抽取 对象进行调查，然后根据调查数据推断全体
对象的情况.
全体　
一部分　
（2）相关概念：
①总体：所要考察的 对象.
②个体：组成总体的 考察对象.
③样本：被抽取的那些 组成一个样本.
④样本容量：样本中 的数目.
全体　
每一个　
个体　
个体　
2. 数据的整理
（1）概念：
①频数：在统计数据中落在不同小组中 的个数.
②频率：某个组的频数与 的比值，叫做这个组的频率.
数据　
样本容量　
（2）方法：一般采用 法统计数据出现的频数，然后画频数直方图.
划记　
3. 数据的描述
（1）条形图：能清楚地表示出每个项目的具体 ，易于比较数据之
间的差别.
（2）折线图：能清楚地反映数据的 ，折线图也可以表示出每
个项目的具体数目.
（3）扇形图：易于显示各部分在 中所占的百分比，显示各组数据
相对于总体的大小.
（4）频数直方图：能清楚地显示数据的分布情况，并且显示各组之间频数
的差别.
数目　
变化趋势　
总体　
4. 数据的代表
（1）平均数：
①算术平均数：如果有n个数x1，x2，…，xn，那么 ＝
.
②加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是ω1，ω2，ω3，…，
ωn，则 叫做这n个数的加权平均数.
（x1＋x2＋…
＋xn）　
　
（2）中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列后，若
有奇数个数，则取 的一个数为中位数；若有偶数个数，则取中间两
个数的 为中位数.
（3）众数：一组数据中出现 的数据，称为该组数据的众数.
中间　
平均数　
次数最多　
5. 数据的波动
方差：n个数据x1，x2，…，xn的平均数为 ，则这组数据的方差为s2＝
.
[（x1－ ）2＋（x2－ ）2＋…＋（xn－ ）2]　
对点练习
1. （2025·南山区校级三模）下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是
（　C　）
A. 对洛阳市区空气质量的调查
B. 对某批次汽车的抗撞击能力的调查
C. 对“神舟十八号”飞船零部件质量的调查
D. 对全市市民观看电影《哪吒之魔童闹海》情况的调查
C
2. （1）在“DeepSeek”的所有字母中，字母“e”出现的频数为 .
（2）八年级2班有50名学生参加学校篮球社团、羽毛球社团和扎染社团，其
中参加篮球社团与参加羽毛球社团的频数之和为35，则八年级2班学生参加
扎染社团的频率是 .
4　
0.3　
3. 如图显示了某地5月1日至7日每天的最高气温和最低气温（折线统计图）.
这7天中，日温差最大的一天是（　A　）
A. 5月5日 B. 5月7日
C. 5月3日 D. 5月1日
A
4. （1）（2025·深圳模拟）小明同学随机调查七（2）班6名同学每天食堂午
饭消费金额，制作如下统计表：
则这组消费金额（　C　）
A. 平均数为5 B. 中位数为5
C. 众数为6 D. 方差为6
类别 同学1 同学2 同学3 同学4 同学5 同学6
金额（元） 5 6 5 6 6 8
C
（2）（2025·南山区校级模拟）某班级课堂从“理解”“归纳”“运用”“综合”“参
与”等五方面按2∶2∶1∶2∶3对学生学习过程进行课堂评价.某同学在课堂上五个方面得分如图所示，则该学生的课堂评价成绩为 .
8　
5. 已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是4，方差为3，另一组数据2x1
－3，2x2－3，2x3－3，2x4－3，2x5－3的平均数与方差的和为 .
17　
考点一　普查与抽样调查，总体、个体、样本与样本容量
【例1】（2024秋·福田区期末）为了解某区七年级7 800名男生1000米长跑的
国家体质测试情况，从中随机抽查了50名男生的1 000米长跑成绩进行统计分
析，下列四个判断正确的是（　D　）
A. 每名男生是个体
B. 7 800名男生是总体
C. 抽取的50名男生是样本
D. 抽取的50名男生的1 000米长跑成绩是样本
D
【例2】下列说法正确的是（　C　）
A. 为调查长江现有鱼的种类，采用普查的方式
B. 为了解某校1 200名学生的课外阅读情况，随机调查了100名女生课外阅读
情况
C. 为反映某区初中学生人数占全市初中学生人数的百分比，适合用扇形统计
图
D. 为了解某校九年级学生睡眠时长，抽取该年级50名学生调查，样本是这50
名学生
C
考点二　平均数、中位数和众数
【例3】（2025·宝安区校级模拟）一名射击运动员统计了45次射击成绩，并
绘制了如图所示的折线统计图.关于这组数据，下列说法不正确的是
（　A　）
A. 极差是13 B. 众数是8
C. 中位数是8 D. 平均数是8
A
考点三　方差
【例4】（2025·坪山区二模）甲、乙、丙、丁四家配餐公司提供的卤鸡腿的
质量平均数与方差如表所示，若要选择鸡腿质量更大且出品更加稳定的配餐
公司，则应选择的公司是（　B　）
甲 乙 丙 丁
平均质量（克） 120 120 110 110
方差 18.2 4.9 20.1 12.7
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
B
考点四　常见统计图的应用
【例5】（2025·深圳模拟）某教育平台推出A，B两款人工智能学习辅导软
件，相关人员开展了A，B两款人工智能学习辅导软件使用满意度评分测
验，并从中各抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表
示，分为以下四个等级：不满意（60＜x≤70），比较满意（70＜x≤80），
满意（80＜x≤90），非常满意（90＜x≤100）），下面给出了部分信息：
抽取的对A款人工智能学习辅导软件的所有评分数据：64，70，75，76，
78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100.
抽取的对B款人工智能学习辅导软件的评分数据中“满意”的数据：86，86，
87，88，88，88，89，90.
A，B两款人工智能学习辅导软件的评分统计表
软件 平均数 中位数 众数 方差
A 86 85.5 a 96.6
B 86 86.5 88 69.8
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，m＝ .
85　
20　
解析：在A款的评分数据中，85出现的次数最多，
∴众数a＝85；
抽取的对B款人工智能学习辅导软件的评分数据中“满意”的人数为8人，
占比为 ×100％＝40％，
由题意得m％＝1－10％－30％－40％＝20％，即m＝20，
故答案为85，20.
（2）根据以上数据，你认为哪款人工智能学习辅导软件更受用户欢迎？请
说明理由（写出一条理由即可）.
解：我认为B款人工智能学习辅导软件更受用户欢迎，
理由如下：因为B款人工智能学习辅导软件使用满意度评分的中位数为
86.5，高于A款人工智能学习辅导软件使用满意度评分的中位数85.5，所以B
款人工智能学习辅导软件更受用户欢迎.（答案不唯一）
软件 平均数 中位数 众数 方差
A 86 85.5 a 96.6
B 86 86.5 88 69.8
（3）本次调查中，若有800名用户对A款人工智能学习辅导软件进行了评
分，有1 000名用户对B款人工智能学习辅导软件进行了评分，估计其中对
A，B两款人工智能学习辅导软件非常满意的用户总人数.
解：（3）由题意知，20份数据对A款的非常满意的数据为6份，
800× ＋1 000×20％＝440（人）.
答：估计其中对A，B两款人工智能学习辅导软件非常满意的用户总人数为
440人.
1. 6名仪仗兵的平均身高为185 cm，其中最高的192 cm，最矮的178 cm.若去
掉最高的和最矮的，剩下4人的平均身高为（　B　）
A. 184 cm B. 185 cm C. 186 cm D. 187 cm
B
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2. （2025·深圳校级二模）适量的运动有助于身体健康.经常运动的人在静息
状态下心率的范围是60～80次/分，某班班主任随机测量了15名学生的心率，
统计结果如下表所示：
心率/（次/分） 60 68 70 73 80
人数/名 2 5 5 1 2
这15名学生的心率的中位数是（　C　）
A. 65次/分 B. 67.5次/分
C. 70次/分 D. 72.5次/分
C
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3. （2025·宝安区校级二模）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的20
名运动员的成绩如下表所示：
成绩/米 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80
人数 4 3 5 6 1 1
则这些运动员成绩的众数为（　C　）
A. 1.55米 B. 1.65 米 C. 1.70米 D. 1.80米
C
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4. （2025春·南山区月考）如图是小宇同学每天作息时间扇形统计图，得到下
列信息，错误的是（　C　）
A. 小宇睡眠时间占全天时间的35％
B. 小宇每天体育活动时间为2.4小时
C. 各项统计中，小宇课业学习时间最多
D. 小宇每天睡眠时间为8.4小时
C
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5. （2024秋·坪山区期末）在坪山区某校文学节演讲比赛中，甲的演讲内容、
演讲能力、演讲效果成绩如表所示：
项目 演讲内容 演讲能力 演讲效果
成绩/分 80 90 80
若按照演讲内容占60％，演讲能力占20％，演讲效果占20％，计算选手的综
合成绩，则该选手的综合成绩为 分.
82　
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6. （2025·深圳模拟）某校连续四个月开展了学科知识模拟测试，并将测试成
绩整理，绘制成如图所示的统计图（四次参加模拟考试的学生人数不变），
下列结论中不正确的是（　D　）
A. 共有500名学生参加模拟测试
B. 第2个月增长的“优秀”人数最多
C. 从第1个月到第4个月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长
D. 第4个月测试成绩“优秀”的学生人数达到65人
D
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7. （2025·福田区校级模拟）某校九年级（1）班准备从甲、乙两名男生中选
派一人参加学校组织的一分钟跳绳比赛.在相同的条件下，分别对两名男生进
行了8次一分钟跳绳测试，现将测试结果绘制成如下统计图表，请根据统计
图表中的信息解答下列问题：
学生 平均数 中位数 众数 方差
甲 175 a b 93.75
乙 175 175 170，175，180 c
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（1）a的值为 ，b的值为 ，c的值为 ；
177.5　
185　
37.5　
学生 平均数 中位数 众数 方差
甲 175 a b 93.75
乙 175 175 170，175，180 c
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解析：（1）甲的成绩从小到大排列为160，165，165，175，180，185，
185，185，
∴甲的中位数a＝ ＝177.5.
∵185出现了3次，出现的次数最多，
∴众数b是185.
乙的方差c＝ ×[2×（175－175）2＋2×（180－175）2＋2×（170－175）2
＋（185－175）2＋（165－175）2]＝37.5.
故答案为177.5，185，37.5.
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（2）根据以上的数据分析，运用统计知识，任选两个角度评价甲、乙两名
男生一分钟跳绳成绩谁更优秀、谁更稳定.
解：（2）①从平均数和方差相结合看，乙的成绩更稳定；
②从平均数和中位数相结合看，甲的成绩更优秀.
学生 平均数 中位数 众数 方差
甲 175 a b 93.75
乙 175 175 170，175，180 c
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8. （2025·福田区校级三模）我国机器人产业正处于高速发展的关键时
期.2025年春晚名为《秧BOT》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演
让观众体验到秧歌的独特韵味.某科研团队研发了三款智能机器人，分别命名
为A，B，C. 为测试这三款机器人在图象识别能力和运动能力方面的综合表
现，团队对它们进行了全面测试.在图象识别能力测试中，A，B，C三款机
器人的得分（满分为100分）分别为87分、85分、90分.运动能力测试由10位
专业测试员打分，每位测试员最高打10分，各位测试员打分之和为运动能力
测试成绩.现需对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析.
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【数据收集与整理】
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A，B，C三款机器人运动能力测试情况统计表
机器人 测试员打分的中位
数 测试员打分的众
数 运动能力测试成
绩 方差
A m 9和10 85 1.85
B 8.5 8 87 s2
C 8 n 83 2.01
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机器人 测试员打分的中位
数 测试员打分的众
数 运动能力测试成
绩 方差
A m 9和10 85 1.85
B 8.5 8 87 s2
C 8 n 83 2.01
任务1：m＝ ，n＝ ；
9　
8　
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解析：由折线统计图可知，A款机器人测试员打分从低到高排列为：6，7，
7，8，9，9，9，10，10，10，
∴A款机器人测试员打分的中位数m＝ ＝9.
由扇形统计图可知，C款机器人运动能力得分出现次数最多的是8分，
∴n＝8.故答案为9；8.
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【数据分析与运用】
任务2：按图象识别能力测试成绩占40％，运动能力测试成绩占60％计算综合
成绩，请你判断A，B，C三款机器人中综合成绩最高的是哪一款.
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解：任务2：∵A款机器人的综合成绩为87×40％＋85×60％＝85.8（分），
B款机器人的综合成绩为85×40％＋87×60％＝86.2（分），
C款机器人的综合成绩为90×40％＋83×60％＝85.8（分），
∵86.2＞85.8，
∴综合成绩最高的是B款机器人.
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任务3：如果要选择A，B，C三款机器人中的一款上台表演，你会选择哪一
款？请给出你的理由.
解：任务3：选择B款机器人，理由如下：由折线统计图可判断B款机器人的
得分波动比A款机器人的得分波动小，
∴ ＜1.85，由表知 ＜ ，
∴ ＜ ＜ ，
∴测试员对B款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高，
∴选择B款机器人.
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参考答案
【知识要点】
1. （1）①全体　②一部分　（2）①全体　②每一个　③个体
④个体　2.（1）①数据　②样本容量　（2）划记　3.（1）数目
（2）变化趋势　（3）总体　4.（1）① （x1＋x2＋…＋xn）
② 　（2）中间　平均数　（3）次数最多　5.
[（x1－ ）2＋（x2－ ）2＋…＋（xn－ ）2]
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1. C　2.（1）4　（2）0.3　3.A　4.（1）C　（2）8　5.17
【典例精讲】
【例1】D　【例2】C　【例3】A　【例4】B
【例5】（1）解：85　20　解析：在A款的评分数据中，85出现的次数
最多，
∴众数a＝85；
抽取的对B款人工智能学习辅导软件的评分数据中“满意”的人数为8人，
占比为 ×100％＝40％，
由题意得m％＝1－10％－30％－40％＝20％，即m＝20，
【对点练习】
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故答案为85，20.
（2）我认为B款人工智能学习辅导软件更受用户欢迎，
理由如下：因为B款人工智能学习辅导软件使用满意度评分的中位数为
86.5，高于A款人工智能学习辅导软件使用满意度评分的中位数85.5，所以B
款人工智能学习辅导软件更受用户欢迎.（答案不唯一）
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（3）由题意知，20份数据对A款的非常满意的数据为6份，
800× ＋1 000×20％＝440（人）.
答：估计其中对A，B两款人工智能学习辅导软件非常满意的用户总人数为
440人.
【当堂检测】
1. B　2.C　3.C　4.C　5.82　6.D　
7. 解：（1）177.5　185　37.5　解析：（1）甲的成绩从小到大排列为160，
165，165，175，180，185，185，185，
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∴甲的中位数a＝ ＝177.5.
∵185出现了3次，出现的次数最多，
∴众数b是185.
乙的方差c＝ ×[2×（175－175）2＋2×（180－175）2＋2×（170－175）2
＋（185－175）2＋（165－175）2]＝37.5.
故答案为177.5，185，37.5.
（2）①从平均数和方差相结合看，乙的成绩更稳定；
②从平均数和中位数相结合看，甲的成绩更优秀.
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8. 解：任务1：9　8　解析：由折线统计图可知，A款机器人测试员打分从低
到高排列为：6，7，7，8，9，9，9，10，10，10，
∴A款机器人测试员打分的中位数m＝ ＝9.
由扇形统计图可知，C款机器人运动能力得分出现次数最多的是8分，
∴n＝8.故答案为9；8.
任务2：∵A款机器人的综合成绩为87×40％＋85×60％＝85.8（分），
B款机器人的综合成绩为85×40％＋87×60％＝86.2（分），
C款机器人的综合成绩为90×40％＋83×60％＝85.8（分），
∵86.2＞85.8，
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∴综合成绩最高的是B款机器人.
任务3：选择B款机器人，理由如下：
由折线统计图可判断B款机器人的得分波动比A款机器人的得分波动小，
∴ ＜1.85，由表知 ＜ ，
∴ ＜ ＜ ，
∴测试员对B款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高，
∴选择B款机器人.
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8(共45张PPT)
第一部分　教材复习篇
第八单元　统计与概率
第32讲　概率初步
近五年深
圳市中考
考查情况 年份 题型 分
值 难易
程度 考点 备注
2021 未考查 2022 解答 2 容易 概率
求值 利用条形统计图、扇形统计图分析数据，结合实际问题求解概率
2023 填空 3 容易 概率
求值 考查生活实例中随机事件的概率
近五年深
圳市中考
考查情况 年份 题型 分
值 难易
程度 考点 备注
2024 选
择 3 容易 概率
公式 考查了平均数、中位数、众数的概念，利用方差判定稳定性
2025 选
择 3 容易 概率
公式 考查了概率公式
命题 规律 　　概率初步知识点考查题型中选择题、填空题、解答题都有
出现，以基础题为主，分值常在5分左右，是中考必考知识之
一，常以生活中实际问题情境出现，掌握好概率的特点就容易
得分.
知识要点
1. 确定性事件与随机事件
（1）必然事件：在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中
发生的事件.
（2）不可能事件：在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中
发生的事件.
一定会　
一定不
会　
（3）随机事件：在一定条件下， 的事件.
（4）事件的分类：
确定性事件
必然事件
不可能事件
随机事件
事件
可能发生也可能不发生　
2. 事件的概率及求法
（1）随机事件的概率：对于一个随机事件A，我们把刻画其发生
的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P（　A　）.
（2）概率的求法：如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的
可能性都 ，事件A包含其中m种结果，那么事件A发生的概率P
（A）＝ .
（3）事件A发生的概率的取值范围是 .
特别地，①当A为必然事件时，P（A）＝ .
②当A为不可能事件时，P（A）＝ .
③当A为随机事件时， .
可能性大
小　
A
相等　
　
0≤P（A）≤1　
1　
0　
0＜P（A）＜1　
（4）求概率的方法：用频率估计概率、列举法、列表法、画树状图法.
3. 用频率估计概率
在大量重复试验中，如果事件A发生的频率 稳定在某个常数p附近，那么
事件A发生的概率为P（A）＝ ，其中 p满足 .
p　
0≤p≤1　
对点练习
1. （2025春·南山区期中）汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精
华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力.下列成语描述的事件属于随
机事件的是（　C　）
A. 旭日东升 B. 画饼充饥
C. 守株待兔 D. 竹篮打水
C
2. （2025·福田区校级模拟）如图，有4张分别印有Q版《哪吒之魔童闹海》
图案的卡片：A哪吒、B敖丙、C太乙真人、D无量仙翁.现将这4张卡片（卡
片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出
1张卡片，记录后不放回，再从中任意取出1张卡片，两次取出的2张卡片中
图案为“A哪吒”、“B敖丙”的概率为（　A　）
A. B. C. D.
A
3. （2025·福田区一模）如图，自由转动转盘上的指针（转盘被分成六等份）
停在红色区域中的概率是（　B　）
A. B. C. D. 1
B
4. （2025·罗湖区校级模拟）新郑大枣以其皮薄、肉厚、核小、味甜、香气浓
郁而著称，被誉为枣中之王.现跟踪调查了新郑大枣树苗的移植的成活率，将
调查数据绘制成统计图，则可估计新郑大枣树苗移植成活的概率约是
（　B　）
A. 0.95 B. 0.90 C. 0.85 D. 0.80
B
考点一　确定事件与随机事件
【例1】下列事件属于随机事件的是（　C　）
A. 在仅装有白球和黑球的袋中摸球，摸出红球
B. 煮熟的鸭子飞走了
C. 篮球员在罚球线上投篮一次，未投中
D. 傍晚太阳从西方落下
C
考点二　概率的求法
【例2】（2025·罗湖区模拟）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘
ABCD内，若飞镖落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率
为（　C　）
A. B. C. D.
C
解析：设AB＝2a，则圆的直径为2a，
则小正方形的边长为 a，
则飞镖落在阴影区域的概率为 ＝ .故选C.
【例3】（2025春·福田区期中）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相
同的红、黄、蓝三种颜色的球，其中红球3个，黄球5个，蓝球若干个.若从中
任意摸出一个黄球的概率是 .
（1）求盒子中蓝球的个数；
解：由题意知，盒子中球的总个数为5÷ ＝15（个），
∴盒子中篮球的个数为15－（3＋5）＝7（个）.
（2）从中任意摸出一个球，摸出 球的概率最小；
解析：由题意知，盒子中红球个数为3，黄球个数为5，篮球个数为7，红球
的个数最少，
所以从中任意摸出一个球，摸出红球的概率最小，故答案为红.
红　
（3）能否通过只改变盒子中蓝球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概
率为 ？若能，请写出如何调整蓝球数量.
解：∵任意摸出一个球是红球的概率为 ，
∴此时盒子中球的总个数为3÷ ＝12（个），
∴15－12＝3（个），即需要减少蓝球3个.
考点三　用频率估计概率
【例4】（2025春·深圳校级月考）当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我
们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动.如图，在边
长为5 cm的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内
随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.4左右，
据此可以估计黑色部分的总面积为 cm2.
10　
考点四　概率的应用
【例5】（2025·深圳模拟） “基础学科拔尖学生培养试验计划”旨在培养中国
自己的杰出人才.已知A，B，C，D，E五所大学设有数学学科拔尖学生培养
基地，每名中学生只能选择其中一所大学参加夏令营活动.某市为了解中学生
的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，整理后绘制了不完整的条形统计
图和扇形统计图.
（1）请将条形统计图补充完整；
解：总人数为14÷28％＝50（人），其中选择B的学生有50－10－14－2－8＝16（人），
补全的条形统计图如图所示.
（2）在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为 ；若该市
有1 000名中学生参加本次活动，则选择A大学的大约有 人；
解析：在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为360°× ＝14.4°.
该市有1 000名中学生参加本次活动，则选择A大学的大约有1 000× ＝200
（人）.
故答案为14.4°，200.
14.4°　
200　
（3）甲、乙两位同学计划从A，B，C三所大学中任选一所学校参加夏令营
活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率.
解：画树状图如图所示.
由树状图可知：一共有9种等可能的结果，其中两人恰好选取同一所大学的
可能结果有3种，
∴两人恰好选取同一所大学的概率为 ＝ .
（4）请你对中学生如何提高数学能力提出一条可行的建议.
解：加强生活实践运用.（答案不唯一）
1. （2025春·福田区校级期中）下列事件中，属于必然事件的是（　D　）
A. 明天的最高气温将达35 ℃
B. 任意购买一张动车票，座位刚好挨着窗口
C. 掷两次质地均匀的硬币，其中有一次正面朝上
D. 对顶角相等
D
1
2
3
4
5
6
2. （2025·南山区校级二模）做任意抛掷一只纸杯的重复试验，获得如下
表数据：
抛掷总次数 100 200 300 400
杯口朝上频数 20 42 66 88
杯口朝上频率 0.2 0.21 0.22 0.22
则估计任意抛掷一只纸杯杯口朝上的概率约为 （结果精确到0.01）.
0.22　
1
2
3
4
5
6
3. （2025春·深圳校级期中）随机转动如图的游戏转盘，当转盘停止转动后，
指针落在“D”所示区域内的概率是（　C　）
A. B. C. D.
第3题图
C
1
2
3
4
5
6
4. （2025·福田区模拟）数学选修课开展“讲数学家故事”的活动.如图是印有
四位中国数学家图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其他均相同.将四张
卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡
片上数学家的故事.小涵随机抽取了1张卡片，则小涵抽到的卡片上恰好是数
学家华罗庚图案的概率为（　B　）
A. B. C. D.
B
1
2
3
4
5
6
5. （2025·福田区校级开学）甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文
字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，小明在了解了甲骨文
后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表
示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余
均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好.
1
2
3
4
5
6
（1）小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为 .
解析：共有文、明、自、由四张卡片，
∴抽取卡片上的文字是“文”的概率为 ，故答案为 .
　
1
2
3
4
5
6
（2）小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，
请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率.
解：画树状图如图，由树状图知，共有12种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果有2种，则两人抽取的卡片恰好组
成“文明”一词的概率为 ＝ .
1
2
3
4
5
6
6. （2025·深圳一模）某中学计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活
动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A，B，C，
D，E五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个，根据调查结果，绘制了如
下两幅不完整的统计图.
1
2
3
4
5
6
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中一共抽取了 名学生；
解析：在这次调查中一共抽取了20÷20％＝100（名）学生.故答案为100.
100　
1
2
3
4
5
6
（2）请把图1中缺失的数据、图形补充完整；图2中研学活动地点C所在扇形
的圆心角的度数是 ；
解：补全图形如图
144°　
1
2
3
4
5
6
解析：选择A地点的人数为100－20－40－25－5＝10（人）.
补全题图1如图.
题图2中研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数是360°× ＝144°.
故答案为144°.
1
2
3
4
5
6
（3）在选择E地的5人中，有2人来自九年级一班，3人来自九年级二班，现
在要从这5人中任意选2人做研学规划分享，求选的两人恰好来自同一个班的
概率.
解：将来自九年级一班的2人分别记为A，B，来自九年级二班的3人分
别记为C，D，E，列表如下：
A B C D E
A （A，B） （A，C） （A，D） （A，E）
B （B，A） （B，C） （B，D） （B，E）
C （C，A） （C，B） （C，D） （C，E）
D （D，A） （D，B） （D，C） （D，E）
E （E，A） （E，B） （E，C） （E，D）
1
2
3
4
5
6
共有20种等可能的结果，其中选的两人恰好来自同一个班的结果有：（A，
B），（B，A），（C，D），（C，E），（D，C），（D，E），（E，
C），（E，D），共8种，
∴选的两人恰好来自同一个班的概率为 ＝ .
1
2
3
4
5
6
参考答案
【知识要点】
1. （1）一定会　（2）一定不会　（3）可能发生也可能不发生
2. （1）可能性大小　（2）相等　 　（3）0≤P（A）≤1　①1　②0　③0
＜P（A）＜1　3.p　0≤p≤1
【对点练习】
1. C　2.A　3.B　4.B
【典例精讲】
【例1】C
1
2
3
4
5
6
【例2】C　解析：设AB＝2a，则圆的直径为2a，
则小正方形的边长为 a，
则飞镖落在阴影区域的概率为 ＝ .故选C.
【例3】解：（1）由题意知，盒子中球的总个数为5÷ ＝15（个），
∴盒子中篮球的个数为15－（3＋5）＝7（个）.
（2）红　解析：由题意知，盒子中红球个数为3，黄球个数为5，篮球个数
为7，红球的个数最少，所以从中任意摸出一个球，摸出红球的概率最小，
故答案为红.
1
2
3
4
5
6
（3）∵任意摸出一个球是红球的概率为 ，
∴此时盒子中球的总个数为3÷ ＝12（个），
∴15－12＝3（个），即需要减少蓝球3个.
【例4】10
【例5】解：（1）总人数为14÷28％＝50（人），其中选择B的学生有50－
10－14－2－8＝16（人），
补全的条形统计图如图所示.
1
2
3
4
5
6
（2）14.4°　200　解析：在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为
360°× ＝14.4°.
该市有1 000名中学生参加本次活动，则选择A大学的大约有1 000× ＝200
（人）.
故答案为14.4°，200.
1
2
3
4
5
6
（3）画树状图如下所示：
由树状图可知：一共有9种等可能的结果，其中两人恰好选取同一所大学的
可能结果有3种，
∴两人恰好选取同一所大学的概率为 ＝ .
（4）加强生活实践运用.（答案不唯一）
【当堂检测】
1. D　2.0.22　3.C　4.B
5. 解：（1） 　解析：共有文、明、自、由四张卡片，
1
2
3
4
5
6
∴抽取卡片上的文字是“文”的概率为 ，故答案为 .
（2）画树状图如图，
由树状图知，共有12种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词
的结果有2种，
则两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率为 ＝ .
1
2
3
4
5
6
6. 解：（1）100　解析：在这次调查中一共抽取了20÷20％＝100（名）学
生.故答案为100.
（2）补全图形如图　144°　解析：选择A地
点的人数为100－20－40－25－5＝10（人）.
补全题图1如图.
题图2中研学活动地点C所在扇形的圆心角的
度数是360°× ＝144°.
故答案为144°.
1
2
3
4
5
6
（3）将来自九年级一班的2人分别记为A，B，来自九年级二班的3人分别记
为C，D，E，列表如下：
A B C D E
A （A，B） （A，C） （A，D） （A，E）
B （B，A） （B，C） （B，D） （B，E）
C （C，A） （C，B） （C，D） （C，E）
D （D，A） （D，B） （D，C） （D，E）
E （E，A） （E，B） （E，C） （E，D）
1
2
3
4
5
6
共有20种等可能的结果，其中选的两人恰好来自同一个班的结果有：（A，
B），（B，A），（C，D），（C，E），（D，C），（D，E），（E，
C），（E，D），共8种，
∴选的两人恰好来自同一个班的概率为 ＝ .
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