资源简介

(共23张PPT)
第一部分　教材复习篇
第二单元　方程（组）与不等式（组）
第9讲　方程与不等式的综合应用
近五年深
圳市中考
考查情况 年份 题型 分值 难易
程度 考点 备注
2021 未考查 2022 未考查 近五年深
圳市中考
考查情况 年份 题型 分值 难易
程度 考点 备注
2023 解答 8 中等 一元一次方程与不等式的应用 一元一次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键在于读懂题目
2024 解答 8 中等 一元一次方程与不等式的应用 一元一次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键在于读懂题目
近五年深圳市中考考查情况 年份 题型 分值 难易
程度 考点 备注
2025 解答 8 中等 一元一次方
程与不等式
的应用 一元一次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键在于读懂题目
命题 规律 　　方程与不等式的综合应用知识点考查的题型常以解答题及
综合题出现，难度一般不大，以基础题为主，分值8分左右，认
真审题、理解题意、掌握列方程或列不等式的基本方法，以不
变应万变.
考点一　解一元一次方程及等式的性质
【例1】已知x＝2是关于x的方程3x＋2a＝0的一个解，则a的值是
（　B　）
A. －6 B. －3 C. －4 D. －5
B
【例2】解不等式组 时，不等式①和不等式②的解集
在数轴上表示正确的是（　C　）
C
考点二　一元二次方程的解
【例3】已知关于x的一元二次方程（a－1）x2－2x＋a2－1＝0有一个根为
x＝0，则a＝ .
－1　
考点三　二元一次方程组的应用、数学常识
【例4】《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有
黄金九枚，白银十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各
重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金质量相同），乙袋中装有
白银11枚（每枚白银质量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋
比乙袋轻了13两（袋子质量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设
每枚黄金重x两，每枚白银重y两.根据题意得（　C　）
C
A.
B.
C.
D.
考点四　根的判别式
【例5】已知a，b，c为常数，点P（a，c）在第四象限，则关于x的方程
ax2＋bx＋c＝0的根的情况是（　A　）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断
A
1. 不等式2x＋1＞3的解集在数轴上表示正确的是（　B　）
B
1
2
3
4
5
6
7
2. 用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板；用1块B型钢板可制成5
块C型钢板和2块D型钢板.现在需要58块C型钢板、40块D型钢板，问恰好
用A型钢板、B型钢板各多少块？如果设用A型钢板x块，用B型钢板y块，
则可列方程组为（　C　）
A. B.
C. D.
C
1
2
3
4
5
6
7
3. 为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多
生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造
后每天生产的产品件数为（　B　）
A. 200 B. 300 C. 400 D. 500
B
1
2
3
4
5
6
7
4. 设x1，x2是方程x2＋2x－3＝0的两个实数根，则 ＋ 的值为 .
解析：∵x1，x2是方程x2＋2x－3＝0的两个实数根，
∴x1＋x2＝－2，x1·x2＝－3，
∴ ＋ ＝（x1＋x2）2－2x1x2＝（－2）2－2×（－3）＝10.
故答案为10.
10　
1
2
3
4
5
6
7
5. （2025·深圳模拟）解一元一次不等式组 并把它的解
集在数轴上表示出来.
解：
解不等式①，得x≥－1，
解不等式②，得x＜4，
它的解集在数轴上表示如图.
1
2
3
4
5
6
7
6. （2025·深圳模拟）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相
应任务.
＞ －1.
解：2（2x－1）＞3（3x－2）－6……第一步
4x－2＞9x－6－6……第二步
4x－9x＞－6－6＋2……第三步
－5x＞－10……第四步
x＞2……第五步
1
2
3
4
5
6
7
任务一：①以上解题过程中，第二步是依据 （运算律）进行
变形的；
乘法分配律　
②从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是
；
任务二：请直接写出该不等式的正确解集.
该不等式的正确解集是x＜2.
五　
不等式两边都除以－
5，不等号的方向没有改变　
1
2
3
4
5
6
7
7. 为助力乡村振兴，支持惠农富农，某商场销售该省西部山区出产的甲、乙
两种苹果.已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果
和5箱乙种苹果的售价之和为800元.
（1）求甲、乙两种苹果每箱的售价.
解：设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为x元、y元，
由题意，得 解得
答：甲、乙两种苹果每箱的售价分别为100元、80元.
1
2
3
4
5
6
7
（2）某公司计划从该商场购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数
不超过甲种苹果的箱数.求该公司最少需花费多少元.
解：设购买甲种苹果a箱，则购买乙种苹果（12－a）箱，
则12－a≤a，解得a≥6，设该公司需花费w元，
则w＝100a＋80（12－a）＝20a＋960，
∵20＞0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a＝6时，w有最小值，为20×6＋960＝1 080，
即该公司最少需花费1 080元.
1
2
3
4
5
6
7
参考答案
【典例精讲】
【例1】B　【例2】C　【例3】－1　【例4】C
【例5】A　解析：∵点P（a，c）在第四象限，
∴a＞0，c＜0，
∴ac＜0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac＞0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根.故选A.
1
2
3
4
5
6
7
1. B　2.C　3.B
4.10　解析：∵x1，x2是方程x2＋2x－3＝0的两个实数根，
∴x1＋x2＝－2，x1·x2＝－3，
∴ ＋ ＝（x1＋x2）2－2x1x2＝（－2）2－2×（－3）＝10.
故答案为10.
【当堂检测】
1
2
3
4
5
6
7
5. 解：
解不等式①，得x≥－1，
解不等式②，得x＜4，
它的解集在数轴上表示如图.
6. 任务一：①乘法分配律
②五　不等式两边都除以－5，不等号的方向没有改变
任务二：该不等式的正确解集是x＜2.
1
2
3
4
5
6
7
7. 解：（1）设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为x元、y元，
由题意，得 解得
答：甲、乙两种苹果每箱的售价分别为100元、80元.
1
2
3
4
5
6
7
（2）设购买甲种苹果a箱，则购买乙种苹果（12－a）箱，则12－a≤a，
解得a≥6，
设该公司需花费w元，则w＝100a＋80（12－a）＝20a＋960，
∵20＞0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a＝6时，w有最小值，为20×6＋960＝1 080，
即该公司最少需花费1 080元.
1
2
3
4
5
6
7(共48张PPT)
第一部分　教材复习篇
第二单元　方程（组）与不等式（组）
第8讲　一元一次不等式（组）及其应用
近五年深圳市中考考查情况 年份 题型 分
值 难
易
程
度 考点 备注
2021 未考查 2022 选择 3 容
易 不等式的基本性
质、解一元一次
不等式 会解一元一次不等式组，掌
握不等式的基本性质，考查
学生的计算能力
近五年深圳市中考考查情况 年份 题型 分
值 难易
程度 考点 备注
2023 解答 8 中等 不等式的基本性
质、解一元一次
不等式 会解一元一次不等式组，列不等式解决实际问题
2024 解答 5 中等 一元一次不等式
的应用 会解一元一次不等式组，列不等式解决实际问题
近五年深圳市中考考查情况 年份 题型 分值 难易
程度 考点 备注
2025 解答 7 容易 不等式的基本性质、解一元一次不等式 会解一元一次不等式组，掌握不等式的基本性质，考查学生的计算能力
命题 规律 　　一元一次不等式（组）知识点考查的题型不定，选择题、
填空题、解答题都有可能出现，难度一般不大，以基础题为
主，分值3～8分，是常考题型之一，抓牢一元一次不等式
（组）的解法是关键.
知识要点
1. 不等式的性质
（1）性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方
向 .
即如果a＞b，那么a±c b±c.
（2）性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向 .
即如果a＞b，c＞0，那么ac bc .
不变　
＞　
不变　
＞　
（3）性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向 .
即如果a＞b，c＜0，那么ac bc .
改变　
＜　
2. 一元一次不等式
（1）一元一次不等式的定义：含有 个未知数，未知数的次数
是 ，且不等式的两边都是 ，这样的不等式叫做一元一次
不等式.
（2）解一元一次不等式的一般步骤：
① ； ② ；
③ ； ④ ；
1　
1　
整式　
去分母　
去括号　
移项　
合并同类项　
⑤未知数的系数化为1.
注意：①未知数的系数化为1时，如果不等式两边乘或除以负数，不等号的
方向要改变；
②用数轴表示不等式的解集时要注意：大于向右画，小于向左画；要注意空
心圆圈与实心圆点的区别.
3. 一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的定义：把关于同一个未知数的几个
联立起来，就组成一个一元一次不等式组.
（2）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的
，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集.当任何数x都不能使不等
式同时成立，我们就说这个不等式组 .
（3）解一元一次不等式组的步骤：
①分别求出不等式组中 的解集；
②找出它们的 ，就得到不等式组的解集.
一元一次不
等式　
公共部
分　
无解　
各个不等式　
解集的公共部分　
（4）一元一次不等式组的解集的四种类型（设a＜b）：
不等式组 数轴表示 解集 一般规律（口诀）
同大取大
同小取小
大小小大取中间
大大小小则无解
x＞b　
x＜a　
a＜x＜b　
无解　
4. 一元一次不等式的应用
（1）步骤：审 （找出不等关系）；设 ；列 ；
解 ；检验并写出 .
（2）注意关键词：应紧紧抓住题目中“最大”“最小”“至多”“至少”“不大
于”“不小于”“不超过”“大于”“小于”等关键词，把不等关系用不等式表
示出来.
题　
未知数　
不等式　
不等式　
答案　
对点练习
1. 已知a＞b，下列不等式中正确的是（　B　）
A. a＋3＜b＋3 B. ＞
C. －a＞－b D. 4a＜4b
B
2. 不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（　A　）
A
3. （2025·广西中考）把不等式组 的解集表示在数轴上，正
确的是（　A　）
A
4. 不等式x＋1≥2的解集在数轴上表示为（　A　）
A
A B
C D
5. 解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答.
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅲ）如图
x≤1　
x≥－3　
（Ⅳ）原不等式组的解集为 .
解析：解不等式①，得x≤1.
解不等式②，得x≥－3.
将不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示，
所以原不等式组的解集为－3≤x≤1.
故答案为x≤1，x≥－3，－3≤x≤1.
－3≤x≤1　
6. 为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器
共50个.其中水基灭火器的单价为540元/个，干粉灭火器的单价为380元/个.若
学校购买这两种灭火器的总价不超过21 000元，则最多可购买这种型号的水
基灭火器多少个？
解：设可购买这种型号的水基灭火器x个，
则购买干粉灭火器（50－x）个，根据题意，
得540x＋380（50－x）≤21 000，解得x≤12.5，
∵x为整数，
∴x的最大值为12.
答：最多可购买这种型号的水基灭火器12个.
考点一　不等式的性质
【例1】如果x＞y，那么下列正确的是（　C　）
A. x＋5≤y＋5 B. x－5＜y－5
C. 5x＞5y D. －5x＞－5y
C
考点二　解一元一次不等式
【例2】解不等式 －1≤ ，并把它的解集表示在数轴上.
解： －1≤ ，
2（x＋1）－6≤3（2－x），
2x＋2－6≤6－3x，
2x＋3x≤6＋6－2，5x≤10，x≤2，
其解集在数轴上表示如图.
考点三　解一元一次不等式组
【例3】解不等式组
解：解不等式3（x－1）＜4＋2x，得x＜7，
解不等式 ＜2x，得x＞－1，
所以不等式组的解集为－1＜x＜7.
考点四　一元一次不等式的应用
【例4】（2025·深圳模拟）“钱大妈”以“不卖隔夜菜”闻名遐迩，深受市民喜
爱.钱大妈惠民店销售的西红柿有两个品种供顾客选择，一种是“红粉”西红
柿，另一种是“有机”西红柿.请根据以下素材完成相应的任务.
西红柿销售方案 素材1 “有机”西红柿的进价是“红粉”西红柿进价的1.5
倍.
素材2 同样用300元购“红粉”西红柿比“有机”西红柿多
20 kg. 素材3 惠民店平均每天可销售“有机”西红柿30 kg，其
中白天（7：00－19：00）可销售20 kg，剩下10
kg打折销售，其折扣分5个时段进行，如右图. 素材4 在19：00至21：00的每个折扣时段内，销售量
大致相当，即平均每个时段都销售2千克.
问题解决 任务1 两种西红柿每千克进价各是多少元？
解：（任务1）设“红粉”西红柿每千克的进价是x元，则“有机”西红柿每千克
的进价是1.5x元，
根据题意得 － ＝20，解得x＝5，
经检验，x＝5是所列方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝1.5×5＝7.5（元）.
答：“有机”西红柿每千克进价是7.5元，“红粉”西红柿每千克进价是5元.
任务2 若期望销售有机西红柿利润不低于20％，则其标价（白天的售价）
最低是多少元？（不考虑其他因素产生的费用和损耗）
解：（任务2）设“有机”西红柿的标价（白天的售价）是y元，根据题意得
20y＋2×0.9y＋2×0.8y＋2×0.7y＋2×0.6y＋2×0.5y－
7.5×30≥7.5×30×20％，解得y≥10，
∴y的最小值为10.
答：“有机”西红柿的标价（白天的售价）最低是10元.
任务3 若按任务2中的最低价销售（假设每个折扣时段可销售有机西红柿
都是2 kg），则每天进货多少时利润最大？
解：（任务3）
∵10×0.8＝8（元），10×0.7＝7（元），8＞7.5＞7，
∴20：00之前全部售出，获得的利润最大，
∴20＋2＋2＝24（千克）.
答：每天购进24千克“有机”西红柿时利润最大.
1. 若a＞b－1，则下列结论一定正确的是（　D　）
A. a＋1＜b B. a－1＜b
C. a＞b D. a＋1＞b
2. 若m＞n，则下列不等式中正确的是（　D　）
A. m－2＜n－2 B. － m＞－ n
C. n－m＞0 D. 1－2m＜1－2n
3. 不等式3x≥x－4的解集是（　A　）
A. x≥－2 B. x≤－2 C. x＞－2 D. x＜－2
D
D
A
1
2
3
4
5
6
7
8
4. 不等式 ＞x－1的解集在下列数轴上表示正确的是（　D　）
D
1
2
3
4
5
6
7
8
5. 若点P（1－2a，a）在第二象限，那么a的取值范围是（　A　）
A. a＞ B. a＜ C. 0＜a＜ D. 0≤a＜
A
1
2
3
4
5
6
7
8
6. （2025·深圳模拟）若关于x的一元一次不等式组 无解，则a的值
可以是 .（写出一个答案即可）
解析：若关于x的一元一次不等式组 无解，则a≤1，
∴a的值可以是－1，故答案为－1（答案不唯一）.
－1　
1
2
3
4
5
6
7
8
7. （2025·深圳模拟）解不等式组 并写出它的所有整
数解.
解：解不等式①，得x＜2，解不等式②，得x≥－1.
∴不等式组的解集为－1≤x＜2，
∴不等式组的所有整数解为－1，0，1.
1
2
3
4
5
6
7
8
8. 阅读下列材料，完成后面任务.
背景 亚运会期间，小明所在的班级开展知识竞赛，需要去商店购买A，
B两种款式的亚运盲盒作为奖品. 素材1 某商店在无促销活动时，若买15
个A款亚运盲盒、10个B款亚运
盲盒，共需230元；若买25个A款
亚运盲盒、25个B款亚运盲盒，
共需450元.
1
2
3
4
5
6
7
8
素材2 该商店龙年迎新春促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会
员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明
在此之前不是该商店的会员）；线上某宝店促销活动：购买商店内
任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮.
1
2
3
4
5
6
7
8
问题解决 任务1 某商店在无促销活动时，求A款亚运盲盒和B款亚运盲盒的销售单
价各是多少元？
解：（任务1）设该商店在无促销活动时，A款亚运盲盒的销售单价是x元，
B款亚运盲盒的销售单价是y元，
根据题意得 解得
答：该商店在无促销活动时，A款亚运盲盒的销售单价是10元，B款亚运盲盒
的销售单价是8元.
1
2
3
4
5
6
7
8
任务2 小明计划在促销期间购买A，B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个
（0＜m＜40）.
若在线下商店购买，共需要 元；
若在线上某宝店购买，共需要 元.（均用含m的
代数式表示）
（1.6m＋291）
（1.8m＋288）
1
2
3
4
5
6
7
8
解析：根据题意，得在线下商店购买，共需要35＋10×0.8m＋8×0.8（40－
m）＝（1.6m＋291）（元）；
在线上某宝店购买，共需要10×0.9m＋8×0.9（40－m）＝（1.8m＋288）
（元）.
故答案为（1.6m＋291），（1.8m＋288）.
1
2
3
4
5
6
7
8
任务3 请你帮小明算一算，在任务2的条件下，购买A款盲盒的数量在什
么范围内时，线下购买方式更合算？
解：（任务3）根据题意得1.6m＋291＜1.8m＋288，解得m＞15，
又∵0＜m＜40，
∴15＜m＜40.
答：当购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式更合算.
1
2
3
4
5
6
7
8
参考答案
【知识要点】
1. （1）不变　＞　（2）不变　＞　＞　（3）改变　＜　＜
2. （1）1　1　整式　（2）①去分母　②去括号　③移项　④合并同类项
3. （1）一元一次不等式　（2）公共部分　无解　（3）①各个不等式　②解
集的公共部分　（4）x＞b　x＜a　a＜x＜b　无解　4.（1）题　未知数　
不等式　不等式　答案
【对点练习】
1. B　2.A　3.A　4.A
5. （Ⅰ）x≤1　（Ⅱ）x≥－3　（Ⅲ）如图　（Ⅳ）－3≤x≤1
1
2
3
4
5
6
7
8
解析：解不等式①，得x≤1.
解不等式②，得x≥－3.
将不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示，
所以原不等式组的解集为－3≤x≤1.
故答案为x≤1，x≥－3，－3≤x≤1.
1
2
3
4
5
6
7
8
6. 解：设可购买这种型号的水基灭火器x个，则购买干粉灭火器（50－x）
个，根据题意，得540x＋380（50－x）≤21 000，解得x≤12.5，
∵x为整数，
∴x的最大值为12.
答：最多可购买这种型号的水基灭火器12个.
【典例精讲】
【例1】C
【例2】解： －1≤ ，
2（x＋1）－6≤3（2－x），
1
2
3
4
5
6
7
8
2x＋2－6≤6－3x，
2x＋3x≤6＋6－2，
5x≤10，
x≤2，
其解集在数轴上表示如图.
【例3】解：解不等式3（x－1）＜4＋2x，得x＜7，
解不等式 ＜2x，得x＞－1，
所以不等式组的解集为－1＜x＜7.
1
2
3
4
5
6
7
8
【例4】解：（任务1）设“红粉”西红柿每千克的进价是x元，则“有机”西红
柿每千克的进价是1.5x元，
根据题意得 － ＝20，解得x＝5，
经检验，x＝5是所列方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝1.5×5＝7.5（元）.
1
2
3
4
5
6
7
8
答：“有机”西红柿每千克进价是7.5元，“红粉”西红柿每千克进价是5元.
（任务2）设“有机”西红柿的标价（白天的售价）是y元，
根据题意得20y＋2×0.9y＋2×0.8y＋2×0.7y＋2×0.6y＋2×0.5y－
7.5×30≥7.5×30×20％，解得y≥10，
∴y的最小值为10.
答：“有机”西红柿的标价（白天的售价）最低是10元.
（任务3）∵10×0.8＝8（元），10×0.7＝7（元），8＞7.5＞7，
∴20：00之前全部售出，获得的利润最大，
∴20＋2＋2＝24（千克）.
1
2
3
4
5
6
7
8
答：每天购进24千克“有机”西红柿时利润最大.
【当堂检测】
1. D　2.D　3.A　4.D　5.A　
6. －1　解析：若关于x的一元一次不等式组 无解，则a≤1，
∴a的值可以是－1，故答案为－1（答案不唯一）.
7. 解：解不等式①，得x＜2，解不等式②，得x≥－1.
∴不等式组的解集为－1≤x＜2，
∴不等式组的所有整数解为－1，0，1.
1
2
3
4
5
6
7
8
8. 解：（任务1）设该商店在无促销活动时，A款亚运盲盒的销售单价是x
元，B款亚运盲盒的销售单价是y元，
根据题意得 解得
1
2
3
4
5
6
7
8
答：该商店在无促销活动时，A款亚运盲盒的销售单价是10元，B款亚运盲盒
的销售单价是8元.
（任务2）（1.6m＋291）　（1.8m＋288）　解析：根据题意，得在线下商
店购买，共需要35＋10×0.8m＋8×0.8（40－m）＝（1.6m＋291）
（元）；
在线上某宝店购买，共需要10×0.9m＋8×0.9（40－m）＝（1.8m＋288）
（元）.
故答案为（1.6m＋291），（1.8m＋288）.
（任务3）根据题意得1.6m＋291＜1.8m＋288，解得m＞15，又∵0＜m＜
40，
∴15＜m＜40.
答：当购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式更合算.
1
2
3
4
5
6
7
8(共33张PPT)
第一部分　教材复习篇
第二单元　方程（组）与不等式（组）
第6讲　分式方程及其应用
近五年
深圳市中考考查情况 年份 题
型 分值 难易
程度 考点 备注
2021 未考查 202
2 解
答 4 中等 分式方程的实际应用 能针对具体情境列出方程解决实际问题，属于历年考试热点，一般会结合其他知识考查学生数学实际运用的能力
近五年
深圳市中考考查情况 年份 题
型 分值 难易
程度 考点 备注
2023 选
择 3 中等 分式方
程的实
际应用 能列出方程解决实际问题，属于历年考试热点，理解题意，准确找到等量关系是解题的关键
2024 未考查 近五年
深圳市中考考查情况 年份 题
型 分值 难易
程度 考点 备注
2025 选
择 3 中等 分式方程的实
际应用 能列出方程解决实际问题，属于历年考试热点，理解题意，准确找到等量关系是解题的关键
命题 规律 　　分式方程知识点考查的题型比较多样化，选择题、填空题、
计算题或解答题都有可能出现，难度一般不大，以基础题为主，
分值3～4分，是每年常考题型，掌握列方程解决实际问题的关键
在于理解题意、准确找到等量关系.
知识要点
1. 分式方程的定义
定义： 中含有未知数的方程.
2. 分式方程的解法
（1）基本思想：将分式方程转化为 方程.
（2）方法：去分母，即方程两边同乘 .
（3）解分式方程时，求出的未知数的值，可能会使分式方程无意义，因
此，解分式方程必须检验.
分母　
整式　
最简公分母　
3. 列分式方程解应用题
基本步骤：
1. 审题；
2. 设未知数；
3. 列方程；
4. 解方程；
5. 检验并作答.
对点练习
1. 某市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023
年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”.
现需要购买A，B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6
750元购买的A种绿植比用3 000元购买的B种绿植少50株.设B种绿植单价是
x元，则可列方程是（　C　）
C
A. －50＝
B. －50＝
C. ＋50＝
D. ＋50＝
2. 解分式方程： ＝ .
解：去分母，得x2－x＝x2－2x－3，
解得x＝－3，
检验：当x＝－3时，（x－1）（x－3）≠0，
故原方程的解为x＝－3.
3. 某公司为节能环保，安装了一批A型节能灯，一年用电16 000千瓦·时，后
购进一批相同数量的B型节能灯，一年用电9 600千瓦·时.一盏A型节能灯每
年的用电量比一盏B型节能灯每年用电量的2倍少32千瓦·时.求一盏A型节能
灯每年的用电量.
解：设一盏B型节能灯每年的用电量为x千瓦·时，则一盏A型节能灯每年的
用电量为（2x－32）千瓦·时，
根据题意，得 ＝ ，解得x＝96，
经检验，x＝96是所列方程的解，且符合题意，
∴2x－32＝2×96－32＝160（千瓦·时）.
答：一盏A型节能灯每年的用电量为160千瓦·时.
考点一　分式方程的解法
【例1】（2024·德阳）分式方程 ＝ 的解是（　D　）
A. x＝3 B. x＝2 C. x＝ D. x＝
D
【例2】（2024·陕西）解方程： ＋ ＝1.
解：方程两边都乘（x＋1）（x－1），
得2＋x（x＋1）＝（x＋1）（x－1），解得x＝－3，
检验：当x＝－3时，（x＋1）（x－1）≠0，
所以分式方程的解是x＝－3.
考点二　分式方程的应用
【例3】某工程队承接了老旧小区改造工程中1 000平方米的外墙粉刷任务，
选派甲、乙两人分别用A，B两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半.据测算需
要A，B两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15 000元，已知A种外
墙漆每千克的价格比B种外墙漆每千克的价格多2元.
（1）求A，B两种外墙漆每千克的价格各是多少元；
解：设A种外墙漆每千克的价格是x元，B种外墙漆每千克的价格是y元，
根据题意，得 解得
答：A种外墙漆每千克的价格是26元，B种外墙漆每千克的价格是24元.
（2）已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的 ，乙完成粉刷
任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时.问甲每小时粉刷外墙的面
积是多少平方米？
解：设甲每小时粉刷外墙的面积是m平方米，则乙每小时粉刷外墙的
面积是 m平方米，
根据题意，得 － ＝5，解得m＝25，经检验，m＝25是所列方程的
解，且符合题意.
答：甲每小时粉刷外墙的面积是25平方米.
1. （2025·深圳二模）深圳作为“无人机之都”，率先构建低空经济全产业链生
态.某外卖订单按照传统方式配送，其行程为5 km，若采用无人机配送，其行
程只需3 km，且配送时间比传统方式快15 min.已知无人机配送速度是传统方
式配送速度的1.5倍，设传统方式配送速度为x km/min，则可列方程为
（　B　）
A. － ＝15 B. － ＝15
C. － ＝15 D. － ＝15
B
1
2
3
4
5
6
7
2. 分式方程 ＝ 的解是 .
3. 分式方程 ＝1－ 的解为正数，则m的取值范围是（　B　）
A. m＞－3 B. m＞－3且m≠－2
C. m＜3 D. m＜3且m≠－2
x＝3　
B
4. 若关于x的方程 － ＝1无解，则k的值为 .
－1或2　
1
2
3
4
5
6
7
5. （教材八下北师大版P131第4题改编）解方程：
（1） ＝ ；
解：去分母，得2x＝3x－9，
解得x＝9，
经检验，x＝9是分式方程的解，
故原方程的解为x＝9.
1
2
3
4
5
6
7
（2） ＋3＝ ；
解：去分母，得1＋3（x－2）＝x－1，
去括号，得1＋3x－6＝x－1，
移项，合并同类项，得2x＝4，解得x＝2，
经检验，x＝2是分式方程的增根，
故原方程无解.
1
2
3
4
5
6
7
（3） ＝ － ；
解：去分母，得2（2－x）＝（3－x）＋2，
去括号，得4－2x＝3－x＋2，
移项，合并同类项，得－x＝1，解得x＝－1，
经检验，x＝－1是分式方程的解，
故原方程的解为x＝－1.
1
2
3
4
5
6
7
（4） －2＝ .
解：去分母，得x－2－2（x－4）＝x，
去括号，得x－2－2x＋8＝x，
合并同类项，得2x＝6，解得x＝3.
经检验，x＝3是分式方程的解，故原方程的解为x＝3.
1
2
3
4
5
6
7
6. （2025·深圳模拟）在解分式方程 ＝ －2时，小李的解法如下：
第一步： ·（x－2）＝－ ·（x－2）－2，
第二步：1－x＝－1－2，
第三步：－x＝－1－2－1，
第四步：x＝4.
第五步：检验，当x＝4时，x－2≠0.
第六步：∴原分式方程的解为x＝4.
1
2
3
4
5
6
7
小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程
是否正确.若不正确，请写出你的解答过程.
解：小李的解法中，第一步是去分母；
去分母的依据是：等式的基本性质；
小李的解答过程不正确；正确的解答过程：
＝ －2，去分母，
得 ·（x－2）＝－ ·（x－2）－2（x－2），
整理，得1－x＝－1－2x＋4，
移项并合并同类项，得x＝2.
检验：当x＝2时，x－2＝0.
∴原分式方程无解.
1
2
3
4
5
6
7
7. 为迎接“五一”小长假购物高潮，某品牌专卖店准备购进甲、乙两种衬衫，
其中甲、乙两种衬衫的进价和售价如下表：
衬衫 甲 乙
进价（元/件） m m－10
售价（元/件） 260 180
若用3 000元购进甲种衬衫的数量与用2 700元购进乙种衬衫的数量相同.
1
2
3
4
5
6
7
（1）求甲、乙两种衬衫每件的进价；
解：根据题意得 ＝ ，解得m＝100，
经检验，m＝100是原方程的解，乙的进价为m－10＝100－10＝90（元）.
答：甲种衬衫每件进价100元，乙种衬衫每件进价90元.
1
2
3
4
5
6
7
（2）要使购进的甲、乙两种衬衫共300件的总利润不少于34 000元，且不超
过34 700元，问：该专卖店有几种进货方案？
解：设购进甲种衬衫x件，则购进乙种衬衫（300－x）件，
根据题意得
解得100≤x≤110，
∵x为整数，即x＝100，101，102，103，104，105，106，107，108，
109，110，
∴该专卖店共有11种进货方案.答：共有11种进货方案.
1
2
3
4
5
6
7
参考答案
【知识要点】
1. 分母　2.（1）整式　（2）最简公分母
【对点练习】
1. C2.解：去分母，得x2－x＝x2－2x－3，解得x＝－3，
检验：当x＝－3时，（x－1）（x－3）≠0，
故原方程的解为x＝－3.
1
2
3
4
5
6
7
3. 解：设一盏B型节能灯每年的用电量为x千瓦·时，则一盏A型节能灯每年
的用电量为（2x－32）千瓦·时，
根据题意，得 ＝ ，解得x＝96，
经检验，x＝96是所列方程的解，且符合题意，
∴2x－32＝2×96－32＝160（千瓦·时）.
答：一盏A型节能灯每年的用电量为160千瓦·时.
【典例精讲】
【例1】D
【例2】解：方程两边都乘（x＋1）（x－1），
1
2
3
4
5
6
7
得2＋x（x＋1）＝（x＋1）（x－1），解得x＝－3，
检验：当x＝－3时，（x＋1）（x－1）≠0，
所以分式方程的解是x＝－3.
【例3】解：（1）设A种外墙漆每千克的价格是x元，B种外墙漆每千克的
价格是y元，
根据题意，得 解得
答：A种外墙漆每千克的价格是26元，B种外墙漆每千克的价格是24元.
1
2
3
4
5
6
7
（2）设甲每小时粉刷外墙的面积是m平方米，则乙每小时粉刷外墙的面积
是 m平方米，
根据题意，得 － ＝5，解得m＝25，
经检验，m＝25是所列方程的解，且符合题意.
答：甲每小时粉刷外墙的面积是25平方米.
【当堂检测】
1. B　2.x＝3　3.B　4.－1或2
5. 解：（1）去分母，得2x＝3x－9，解得x＝9，
1
2
3
4
5
6
7
经检验，x＝9是分式方程的解，
故原方程的解为x＝9.
（2）去分母，得1＋3（x－2）＝x－1，
去括号，得1＋3x－6＝x－1，
移项，合并同类项，得2x＝4，解得x＝2，
经检验，x＝2是分式方程的增根，故原方程无解.
1
2
3
4
5
6
7
（3）去分母，得2（2－x）＝（3－x）＋2，
去括号，得4－2x＝3－x＋2，
移项，合并同类项，得－x＝1，解得x＝－1，
经检验，x＝－1是分式方程的解，
故原方程的解为x＝－1.
（4）去分母，得x－2－2（x－4）＝x，
去括号，得x－2－2x＋8＝x，
合并同类项，得2x＝6，解得x＝3.
经检验，x＝3是分式方程的解，故原方程的解为x＝3.
1
2
3
4
5
6
7
6. 解：小李的解法中，第一步是去分母；
去分母的依据是：等式的基本性质；
小李的解答过程不正确；正确的解答过程：
＝ －2，去分母，得 ·（x－2）＝－ ·（x－2）－2（x－2），
整理，得1－x＝－1－2x＋4，
移项并合并同类项，得x＝2.
检验：当x＝2时，x－2＝0.
∴原分式方程无解.
1
2
3
4
5
6
7
7. 解：（1）根据题意得 ＝ ，解得m＝100，
经检验，m＝100是原方程的解，
乙的进价为m－10＝100－10＝90（元）.
答：甲种衬衫每件进价100元，乙种衬衫每件进价90元.
1
2
3
4
5
6
7
（2）设购进甲种衬衫x件，则购进乙种衬衫（300－x）件，
根据题意得
解得100≤x≤110，
∵x为整数，即x＝100，101，102，103，104，105，106，107，108，
109，110，
∴该专卖店共有11种进货方案.
答：共有11种进货方案.
1
2
3
4
5
6
7(共40张PPT)
第一部分　教材复习篇
第二单元　方程（组）与不等式（组）
第7讲　一元二次方程及其应用
近五年深
圳市中考
考查情况 年份 题型 分
值 难易
程度 考点 备注
2021 填空 3 容易 根与系数的
关系（韦达
定理） 了解一元二次方程的根与系数
的关系，并能利用根与系数的
关系解决相应问题
2022 填空 3 容易 根的判别式 了解一元二次方程根的判别式
与根的关系，并解决相应问题
近五年深
圳市中考
考查情况 年份 题型 分
值 难易
程度 考点 备注
2023 未考查 2024 填
空 3 容
易 一元二次方
程的意义 了解一元二次方程的根与系数
的关系，并能利用根与系数的
关系解决相应问题
近五年深
圳市中考
考查情况 年份 题型 分值 难易
程度 考点 备注
2025 未考查 命题 规律 　　一元二次方程知识点考查的题型比较多样化，选择题、填
空题、解答题都有可能出现，难度一般不大，以基础题为主，
分值3～4分，是历年常考题型，要扎实掌握解一元二次方程的
方法，会用根的判别式判别方程是否有实根，把握根与系数的
关系.
知识要点
1. 一元二次方程的概念
（1）定义：只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 的整式
方程.
（2）一般形式： .
1　
2　
ax2＋bx＋c＝0（a≠0）　
2. 一元二次方程的解法
解法 形式 方程的根
直接开 平方法 x2＝p（p≥0） x＝
（mx＋n）2＝p （p≥0，m≠0） x＝
配方法 （x－m）2＝n（n≥0） x＝
公式法 ax2＋bx＋c＝0 （a≠0，b2－4ac≥0） x＝
±　
m±　
　
　
解法 形式 方程的根
因式 分解法 （x－x1）（x－x2）＝0 x＝
3. 根的判别式与一元二次方程根的情况
（1）Δ＝b2－4ac＞0 方程 的实数根.
（2）Δ＝b2－4ac＝0 方程 的实数根.
（3）Δ＝b2－4ac＜0 方程 实数根.
x1或x2　
有两个不相等　
有两个相等　
没有　
4. 根与系数的关系
如果方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个实数根是x1，x2，那么x1＋x2
＝ 　－ 　，x1·x2＝ 　 　.
－ 　
　
5. 一元二次方程的应用
常考类型及公式：
（1）面积问题：S矩形＝长×宽，S△＝ ×底×高；
（2）增长率问题：原量×（1＋x）2＝新量；
（3）互赠、握手问题：
x人互赠：x（x－1），x人两两握手： x（x－1）；
（4）营销问题：总利润＝一件利润×销售量.
对点练习
1. 下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（　D　）
A. x＋ ＝2 B. x2＋y2＝7
C. ax2＋bx＋c＝0 D. x2＝0
2. 用配方法解方程x2－6x－1＝0时，配方结果正确的是（　B　）
A. （x－3）2＝9 B. （x－3）2＝10
C. （x＋3）2＝8 D. （x－3）2＝8
D
B
3. 关于x的方程x2＋mx－2＝0根的情况是（　A　）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根
D. 没有实数根
4. 方程x2＋2x－m＝0的一个根为2，则另一个根为（　D　）
A. 3 B. 4 C. －3 D. －4
A
D
5. 眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高
效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的
780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为x，则可列方程为（　B　）
A. 670×（1＋2x）＝780
B. 670×（1＋x）2＝780
C. 670×（1＋x2）＝780
D. 670×（1＋x）＝780
B
考点一　一元二次方程的根
【例1】若x＝1是关于x的一元二次方程x2＋ax＋2b＝0的解，则3a＋6b＝
（　C　）
A. －1 B. －2 C. －3 D. －6
C
考点二　一元二次方程的解法
【例2】解方程：
（1）x2＋3x－1＝0；
解：由题意得a＝1，b＝3，c＝－1.
∵Δ＝b2－4ac＝32－4×1×（－1）＝9＋4＝13，
∴x1＝ ＝ ，x2＝ ＝ .
（2）3（x－1）2＝x（x－1）.
解：移项并因式分解，得（x－1）[3（x－1）－x]＝0，
化简，得（x－1）（2x－3）＝0，
∴x－1＝0或2x－3＝0，
∴x＝1或x＝ .
考点三　一元二次方程根的判别式
【例3】已知一元二次方程x2＋2x＋m＝0有两个相等的实数根，则m的值
为 .
1　
考点四　一元二次方程根与系数的关系
【例4】若m，n是方程x2－x－1＝0的两个实数根，则m＋n＋2 024的值为
（　C　）
A. 2 023 B. 2 024 C. 2 025 D. 2 026
解析：∵m，n是方程x2－x－1＝0的两个实数根，
∴m＋n＝1，
∴m＋n＋2 024＝1＋2 024＝2 025.故选C.
C
考点五　一元二次方程的应用
【例5】（教材九上北师大版P55习题2.10第4题改编）某省加速布局以5G等
为代表的战略性新兴产业，据统计，目前该省5G基站的数量约1.5万座，计
划到2025年底，该省5G基站数量是目前的4倍，到2027年底，该省5G基站数
量将达到17.34万座.
（1）计划到2025年底，该省5G基站的数量是多少万座？
解：由题意得，到2025年底，该省5G基站的数量是1.5×4＝6（万座）.
答：到2025年底，该省5G基站的数量是6万座.
（2）按照计划，求2025年底到2027年底，该省5G基站数量的年平均增长率.
解：设年平均增长率为x，由题意可得6（1＋x）2＝17.34，
解得x1＝0.7＝70％，x2＝－2.7（不符合题意，舍去）.
答：2025年底到2027年底，该省5G基站数量的年平均增长率为70％.
1. 若关于x的一元二次方程（a＋2）x2＋x＋a2－4＝0的一个根是x＝0，则
a的值为（　A　）
A. 2 B. －2 C. 2或－2 D.
A
1
2
3
4
5
6
7
8
2. 关于x的一元二次方程（m－2）x2＋4x＋2＝0有两个实数根，则m的取
值范围是（　D　）
A. m≤4 B. m≥4
C. m≥－4且m≠2 D. m≤4且m≠2
解析：根据题意，得
解得m≤4且m≠2.故选D.
D
1
2
3
4
5
6
7
8
3. 目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展.某市2023年底有5G用户3万
户，计划到2025年底全市5G用户数累计达到10万户.设全市5G用户这几年的
平均增长率都为x，则可列方程为（　B　）
A. 3（1＋x）2＝10
B. 3＋3（1＋x）＋3（1＋x）2＝10
C. 3＋（1＋x）＋（1＋x）2＝10
D. 3＋x＋（1＋x）2＝10
B
1
2
3
4
5
6
7
8
4. 如图，在长为30 m，宽为20 m的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道
路，已知剩余田地的面积为468 m2，求道路的宽度.设道路的宽度为x
（m），则可列方程（　A　）
A. （30－2x）（20－x）＝468
B. （20－2x）（30－x）＝468
C. 30×20－2×30x－20x＝468
D. （30－x）（20－x）＝468
A
1
2
3
4
5
6
7
8
5. （2025·深圳模拟）如果x＝1是一元二次方程ax2＋bx－1＝0的一个解，则
2 024－（a＋b）＝ .
解析：把x＝1代入方程ax2＋bx－1＝0得a＋b－1＝0，所以a＋b＝1，所
以2 024－（a＋b）＝2 024－1＝2 023.
故答案为2 023.
2 023　
1
2
3
4
5
6
7
8
6. （2025·深圳模拟）m是方程2x2＋3x－1＝0的根，则式子4m2＋6m＋2
025的值为 .
解析：∵m是方程2x2＋3x－1＝0的根，
∴2m2＋3m－1＝0，
则2m2＋3m＝1，原式＝2（2m2＋3m）＋2 025＝2×1＋2 025
＝2＋2 025＝2 027，故答案为2 027.
2 027　
1
2
3
4
5
6
7
8
7. 在阅兵仪式中，三军女兵方队共378人，其中领队3人，方队中，每排的人
数比排数多10. 请你计算一下三军女兵方队共有多少排？每排有多少人？
解：设三军女兵方队共有x排，则每排有（x＋10）人，
根据三军女兵方队共 378人可得x（x＋10）＋3＝378，
解得x＝15（负值舍去），15＋10＝25（人）.
答：三军女兵方队共有15排，每排25人.
1
2
3
4
5
6
7
8
8. （2025·深圳模拟）根据以下素材，探索完成任务：
背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送.
素材1 某影院正月初一的票房收入为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元.
1
2
3
4
5
6
7
8
素材
2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办盲盒进行销售.盲盒
是一个长方体盒子，其底面面积是0.016 m2，如图，该长方体盒子可
用矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小
的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子制成.已知矩形硬纸板的长宽
分别为26 cm，22 cm.
1
2
3
4
5
6
7
8
素材3 已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，销售一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1 500元.
1
2
3
4
5
6
7
8
问题解决 任务1 求从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率；
解：（任务1）设从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率
为x，
由题意得6（1＋x）2＝8.64，
解得x1＝0.2＝20％，x2＝－2.2（不符合题意，舍去）.
答：从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率为20％.
1
2
3
4
5
6
7
8
任务2 根据素材2，求矩形硬纸板剪去的正方形的边长；
解：（任务2）设矩形硬纸板剪去的正方形的边长为y cm，0.016 m2＝160
cm2，
由题意得（ ×26－y）（22－2y）＝160，
整理得y2－24y＋63＝0，解得y1＝3，y2＝21（不合题意，舍去）.
答：矩形硬纸板剪去的正方形的边长为3 cm.
1
2
3
4
5
6
7
8
任务3 根据素材3，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能减少库存，求下调后每个手办的售价.
解：（任务3）设降价m元，则下调后每个手办的售价为（65－m）元，销
售量为（30＋3m）个，
由题意得（65－m－30）（30＋3m）＝1 500，
整理得m2－25m＋150＝0，解得m1＝15，m2＝10（不符合题意，舍去）.
∴65－m＝50.
答：下调后每个手办的售价为50元.
1
2
3
4
5
6
7
8
参考答案
【知识要点】
1. （1）1　2　（2）ax2＋bx＋c＝0（a≠0）　2.± 　
m±
x1或x2
3.（1）有两个不相等
（2）有两个相等
（3）没有
4.－
【对点练习】
1
2
3
4
5
6
7
8
1. D　2.B　3.A　4.D　5.B
【典例精讲】
【例1】C　
【例2】解：（1）由题意得a＝1，b＝3，c＝－1.
∵Δ＝b2－4ac＝32－4×1×（－1）＝9＋4＝13，
∴x1＝ ＝ ，x2＝ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
（2）移项并因式分解，得（x－1）[3（x－1）－x]＝0，化简，得（x－
1）（2x－3）＝0，
∴x－1＝0或2x－3＝0，
∴x＝1或x＝ .
【例3】1
【例4】C　解析：∵m，n是方程x2－x－1＝0的两个实数根，
∴m＋n＝1，
∴m＋n＋2 024＝1＋2 024＝2 025.故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
【例5】解：（1）由题意得，到2025年底，该省5G基站的数量是1.5×4＝6
（万座）.
答：到2025年底，该省5G基站的数量是6万座.
（2）设年平均增长率为x，由题意可得6（1＋x）2＝17.34，解得x1＝0.7＝
70％，x2＝－2.7（不符合题意，舍去）.
答：2025年底到2027年底，该省5G基站数量的年平均增长率为70％.
【当堂检测】
1. A2.D　解析：根据题意，得
解得m≤4且m≠2.故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
3. B　4.A
5.2 023　解析：把x＝1代入方程ax2＋bx－1＝0得a＋b－1＝0，所以a＋b
＝1，所以2 024－（a＋b）＝2 024－1＝2 023.故答案为2 023.
6.2 027　解析：∵m是方程2x2＋3x－1＝0的根，
∴2m2＋3m－1＝0，
则2m2＋3m＝1，原式＝2（2m2＋3m）＋2 025
＝2×1＋2 025
＝2＋2 025
＝2 027，
故答案为2 027.
1
2
3
4
5
6
7
8
7. 解：设三军女兵方队共有x排，则每排有（x＋10）人，
根据三军女兵方队共 378人可得x（x＋10）＋3＝378，
解得x＝15（负值舍去），15＋10＝25（人）.
答：三军女兵方队共有15排，每排25人.
1
2
3
4
5
6
7
8
8. 解：（任务1）设从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率
为x，由题意得6（1＋x）2＝8.64，
解得x1＝0.2＝20％，x2＝－2.2（不符合题意，舍去）.
答：从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率为20％.
（任务2）设矩形硬纸板剪去的正方形的边长为y cm，0.016 m2＝160 cm2，
由题意得（ ×26－y）（22－2y）＝160，
整理得y2－24y＋63＝0，解得y1＝3，y2＝21（不合题意，舍去）.
1
2
3
4
5
6
7
8
答：矩形硬纸板剪去的正方形的边长为3 cm.
（任务3）设降价m元，则下调后每个手办的售价为（65－m）元，销售量
为（30＋3m）个，
由题意得（65－m－30）（30＋3m）＝1 500，
整理得m2－25m＋150＝0，解得m1＝15，m2＝10（不符合题意，舍去）.
∴65－m＝50.答：下调后每个手办的售价为50元.
1
2
3
4
5
6
7
8(共34张PPT)
第一部分　教材复习篇
第二单元　方程（组）与不等式（组）
第5讲　二元一次方程（组）及其应用
近五年
深圳市
中考考
查情况 年份 题型 分值 难易
程度 考点 备注
2021 选
择 3 容易 二元一次方
程组的应用 能针对具体情境列出方程组解决实际问题，掌握消元法解二元一次方程组
2022 选
择 3 容易 二元一次方
程组的应用 能针对具体情境列出方程组解决实际问题，掌握消元法解二元一次方程组
近五年
深圳市
中考考
查情况 年份 题型 分值 难易
程度 考点 备注
202
3 未考查 202
4 选
择 3 容
易 由实际问题
抽象出二元
一次方程组 能针对具体情境得出二元一次方
程组
近五年
深圳市
中考考
查情况 年份 题型 分值 难易
程度 考点 备注
2025 解答 8 容
易 二元一次方
程组的应用
与不等式的
实际应用 能针对具体情境列出方程组解决实际问题，理解题意并准确找到等量关系是解题的关键，会解二
元一次方程组
命题 规律 　　二元一次方程组知识点多以解答题为主，考查解二元一次方
程组的运算能力，属于基础题，难度不大，分值6分左右，是热门
常考题型，掌握代入消元或加减消元转化为一元一次方程是解题
的关键.
知识要点
1. 二元一次方程
（1）二元一次方程的定义：
含有 个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 的方程叫做二
元一次方程.
（2）二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做
这个 .
两　
1　
二元一次方程的一个解　
2. 二元一次方程组
（1）二元一次方程组的定义：
把具有相同未知数的两个 方程所组成的一组方程叫做二元一次
方程组.
（2）二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的 解，叫
做二元一次方程组的解.
二元一次　
公共　
3. 二元一次方程组的解法
（1）解二元一次方程组的思想： .
（2）二元一次方程组的解法：
① 消元法.
② 消元法.
消元　
代入　
加减　
对点练习
1. 下列方程中，是二元一次方程的是（　A　）
A. 3x＋y＝0 B. xy－y＝0
C. x－2y＝z D. ＋y＝0
2. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（　A　）
A. B.
C. D.
A
A
3. 已知 满足方程组 则m－n的值为（　A　）
A. 2 B. －2 C. 0 D. －1
A
4. 解方程组：
解：
①×3＋②，得10x＝5，解得x＝ ，把x＝ 代入①，
得2× －y＝5，解得y＝－4，所以方程组的解是
考点一　二元一次方程组的应用——最大（小）值问题
【例1】（教材八上北师大版P119习题5.5第2题改编）端午节前夕，某超市用
16 800元购进A，B两种规格的粽子共600件，其中A种规格的进价为每件24
元，B种规格的进价为每件36元.
（1）求购买的A，B两种规格的粽子各多少件；
解：设购买A种规格的粽子x件，B种规格的粽子y件，
根据题意，得 解得
答：购买A种规格的粽子400件，B种规格的粽子200件.
（2）已知1件A种规格的粽子和1件B种规格的粽子的利润和为20元，且A种
规格的粽子利润率不超过50％.设此次销售活动完成后的总利润为w（元），
1件A种规格的粽子的利润为a（元）（其中a＞0）.
①求w与a的关系式；
解：一件A种规格的粽子利润为a元，
则一件B种规格的粽子利润为（20－a）元，
根据题意，得w＝400a＋200（20－a），整理得w＝200a＋4 000.
②求w的最大值.
解：∵A种规格的粽子利润率不超过50％，
∴a≤24×50％，即a≤12.
∵在w＝200a＋4 000中，
w随a的增大而增大，
∴当a＝12时，w最大，w的最大值＝200×12＋4 000＝6 400（元）.
考点二　二元一次方程组的应用——方案设计问题
【例2】某花农培育甲种花木2株，乙种花木3株，共需成本1 700元；培育甲
种花木3株，乙种花木1株，共需成本1 500元.
（1）求甲、乙两种花木每株成本分别为多少元；
解：设甲、乙两种花木的成本价分别为x元和y元.
由题意得 解得
答：甲、乙两种花木每株成本分别为400元、300元.
（2）根据市场调研，1株甲种花木的售价为760元，1株乙种花木的售价为540元，该花农决定在成本不超过30 000元的前提下培育甲、乙两种花木，若培育乙种花木的株数比甲种花木的3倍还多10株，那么要使总利润不少于21 600元，花农有哪几种具体的培育方案？
解：设培育甲种花木a株，则培育乙种花木（3a＋10）株.
则有
解得17 ≤a≤20 .
由于a为整数，所以a可取18或19或20.所以有三种具体方案：
①培育甲种花木18株，培育乙种花木3a＋10＝64（株）；②培育甲种花木19
株，培育乙种花木3a＋10＝67（株）；③培育甲种花木20株，培育乙种花木
3a＋10＝70（株）.
1. 已知 是方程ax＋by＝3的解，则代数式2a＋4b－5的值为 .
2. 已知a，b满足方程组 则a＋b的值为 .
1　
4　
1
2
3
4
5
6
3. 2025年是抗战胜利80周年.抗战胜利时爷爷说：“抗战胜利这一年，我年龄
的数值正好是孙子年龄数值的9倍.”孙子发现，现在自己年龄的数值正好是爷
爷当年年龄数值的2倍少5岁.孙子今年的年龄是 （提示：2025年举行9.3阅
兵，纪念的是1945年抗战胜利）（　C　）
C
A. 83岁 B. 84岁 C. 85岁 D. 86岁
1
2
3
4
5
6
4. （2025·深圳模拟）（1）解二元一次方程组：
（2）小明在解第（1）问的二元一次方程组时，过程如下：
第1步，由x－y＝2，可设x＝1＋m，－y＝1－m，即y＝m－1；
第2步，将x＝1＋m，y＝m－1代入2x＋4y＝3中，得到
；
第3步，解得m＝ ；
第4步，即可求出方程组的解.
请你完成上面的填空.
2（1＋m）＋4
（m－1）＝3　
　
1
2
3
4
5
6
解析：小明在解第（1）问的二元一次方程组时，过程如下：
第1步，由x－y＝2，可设x＝1＋m，－y＝1－m，即y＝m－1；
第2步，将x＝1＋m，y＝m－1代入2x＋4y＝3中，得到2（1＋m）＋4
（m－1）＝3；
第3步，解得m＝ ；
第4步，即可求出方程组的解.
故答案为2（1＋m）＋4（m－1）＝3； .
1
2
3
4
5
6
5. 解方程组：
解：整理方程组得
①×2－②，得－7y＝－7，解得y＝1，
把y＝1代入①，得x－2＝3，解得x＝5，
∴方程组的解为
1
2
3
4
5
6
6. （2025·坪山模拟）坪山区某校积极响应《每周半天计划》相关文件精神，
计划组织全校师生开展户外研学，该校某数学兴趣小组就租车问题展开了调
查研究，取得了如下信息：
信息1 大型客车载客量为50人，中型客车载客量为30人，此前A校租用6辆大型客车，4辆中型客车花费4 400元；B校租用4辆大型客车，8辆中型客车花费4 800元.
信息2 该校六年级师生共460人，租车费用的预算为4 900元，拟租用10辆车.
1
2
3
4
5
6
任务1 一辆大型客车和一辆中型客车的租金分别为多少元？
解：（任务1）设一辆大型客车的租金为x元，一辆中型客车的租金为y元，
由题意得 解得
答：一辆大型客车的租金为500元，一辆中型客车的租金为350元.
1
2
3
4
5
6
任
务
2 若要控制租车费用在预算范围内，在保证10辆车一次性将六年级师生
全部送达目的地的前提下，请写出所有的租车方案，并求出花费最少
的方案比预算节省的费用.
解：（任务2）设租用m辆大型客车，则租用（10－m）辆中型客车，
由题意得 解得8≤m≤ .
∵m为正整数，
∴m＝8，9，
∴有两种租车方案：
①租用8辆大型客车，2辆中型客车；
1
2
3
4
5
6
②租用9辆大型客车，1辆中型客车；
租用8辆大型客车，2辆中型客车的费用：8×500＋2×350＝4 700（元），
租用9辆大型客车，1辆中型客车的费用：9×500＋1×350＝4 850（元），
∵4 700＜4 850，
∴花费最少的方案比预算节省的费用为4 900－4 700＝200（元）.
1
2
3
4
5
6
参考答案
【知识要点】
1. （1）两　1　（2）二元一次方程的一个解　2.（1）二元一次
（2）公共　3.（1）消元　（2）①代入　②加减
【对点练习】
1. A　2.A　3.A　
4. 解：
1
2
3
4
5
6
①×3＋②，得10x＝5，解得x＝ ，
把x＝ 代入①，得2× －y＝5，解得y＝－4，
所以方程组的解是
【典例精讲】
【例1】解：（1）设购买A种规格的粽子x件，B种规格的粽子y件，根据题
意，得 解得
1
2
3
4
5
6
答：购买A种规格的粽子400件，B种规格的粽子200件.
（2）①一件A种规格的粽子利润为a元，则一件B种规格的粽子利润为（20
－a）元，根据题意，得w＝400a＋200（20－a），整理得w＝200a＋4
000.
1
2
3
4
5
6
②∵A种规格的粽子利润率不超过50％，
∴a≤24×50％，即a≤12.
∵在w＝200a＋4 000中，w随a的增大而增大，
∴当a＝12时，w最大，w的最大值＝200×12＋4 000＝6 400（元）.
【例2】解：（1）设甲、乙两种花木的成本价分别为x元和y元.
由题意得 解得
答：甲、乙两种花木每株成本分别为400元、300元.
1
2
3
4
5
6
（2）设培育甲种花木a株，则培育乙种花木（3a＋10）株.
则有
解得17 ≤a≤20 .
由于a为整数，所以a可取18或19或20.
所以有三种具体方案：
①培育甲种花木18株，培育乙种花木3a＋10＝64（株）；
②培育甲种花木19株，培育乙种花木3a＋10＝67（株）；
1
2
3
4
5
6
③培育甲种花木20株，培育乙种花木3a＋10＝70（株）.
【当堂检测】
1.1　2.4　3.C
4. 解：（1） ①×2得2x－2y＝4③，
②－③得6y＝－1，y＝－ ，
将y＝－ 代入①得x＝ ，所以方程组的解是
1
2
3
4
5
6
（2）2（1＋m）＋4（m－1）＝3　 　解析：小明在解第（1）问的二元一
次方程组时，过程如下：
第1步，由x－y＝2，可设x＝1＋m，－y＝1－m，即y＝m－1；
第2步，将x＝1＋m，y＝m－1代入2x＋4y＝3中，得到2（1＋m）＋4
（m－1）＝3；
第3步，解得m＝ ；
第4步，即可求出方程组的解.
故答案为2（1＋m）＋4（m－1）＝3； .
1
2
3
4
5
6
5. 解：整理方程组得
①×2－②，得－7y＝－7，解得y＝1，
把y＝1代入①，得x－2＝3，解得x＝5，
∴方程组的解为
6. 解：（任务1）设一辆大型客车的租金为x元，一辆中型客车的租金为y
元，
1
2
3
4
5
6
由题意得 解得
答：一辆大型客车的租金为500元，一辆中型客车的租金为350元.
（任务2）设租用m辆大型客车，则租用（10－m）辆中型客车，
由题意得 解得8≤m≤ .
∵m为正整数，
∴m＝8，9，
∴有两种租车方案：
1
2
3
4
5
6
①租用8辆大型客车，2辆中型客车；
②租用9辆大型客车，1辆中型客车；
租用8辆大型客车，2辆中型客车的费用：8×500＋2×350＝4 700（元），
租用9辆大型客车，1辆中型客车的费用：9×500＋1×350＝4 850（元），
∵4 700＜4 850，
∴花费最少的方案比预算节省的费用为4 900－4 700＝200（元）.
1
2
3
4
5
6

展开更多......

收起↑