资源简介 (共37张PPT)第一部分 教材复习篇第六单元 圆第25讲 圆的认识近五年深圳市中考考查情况 年份 题型 分值 难易程度 考点 备注2021 未考查 2022 选择 3 中等 圆周角定理与等腰三角形性质综合 圆周角定理、等腰三角形性质综合2023 解答 8 中等 圆的切线 格点作图、圆的切线、全等三角形等综合知识近五年深圳市中考考查情况 年份 题型 分值 难易程度 考点 备注2024 未考查 2025 填空 3 中等 圆的有关概念及性质 本题主要在圆的背景下，考查矩形的性质，旋转的性质以及相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键命题 规律 圆的认识知识点难度不定，单独考时难度小，容易得分，若与其他知识综合体现，则难度大些，是历年常考知识，熟练掌握圆的相关性质是解题关键.知识要点1. 圆的定义及圆的轴对称性（1）定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转 ，另一个端点A所形成的图形.（2）轴对称性：圆是 ，任何一条 都是它的对称轴.一周 轴对称图形 直径所在直线 2. 垂径定理及推论（1）垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分弦所对的 .（2）推论：平分弦（不是直径）的直径 ，并且平分弦所对的 .平分弦 两条弧 垂直于弦 两条弧 3. 圆心角、弧、弦之间的关系（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ，所对的弦 .（2）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角 ，所对的弦也 .（3）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角 ，所对的弧也 .相等 相等 相等 相等 相等 相等 4. 圆周角定理及推论（1）定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于这条弧所对的圆心角的 .（2）推论：①半圆（或直径）所对的圆周角是 ，90°的圆周角所对的弦是 .②在同圆或等圆中，如果两个圆周角 ，它们所对的弧一定 .相等 一半 直角 直径 相等 相等 5. 圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角 .互补 对点练习1. （1）（2025·龙华区校级开学）已知☉O的半径为6，则☉O中弦AB的长度不可能是（ D ）A. 6 B. 8 C. 12 D. 13（2）如图，对称轴的条数为（ B ）A. 2 B. 4 C. 5 D. 无数DB2. （2025·深圳模拟）已知矩形ABCD的顶点B，C在半径为5的半圆O上，顶点A，D在直径EF上.若ED＝2，则矩形ABCD的面积等于（ C ）A. 22 B. 23 C. 24 D. 25C3. （1）（2025·龙岗区校级开学）如图，AB是☉O的直径， ＝ ，∠COB＝40°，则∠AOD的度数是（ A ）A. 70° B. 60° C. 55° D. 50°A（2）下列命题是真命题的是（ C ）A. 相等的弦所对的弧相等B. 圆心角相等，其所对的弦相等C. 在同圆或等圆中，圆心角不等，所对的弦不相等D. 弦相等，它所对的圆心角相等C4. 筒车（图1）是我国古代一种水利灌溉工具，利用水流的动力进行灌溉，工作原理基于圆周运动和重力作用.如图2，筒车☉O与水面分别交于点A，B，筒车上均匀分布着若干个盛水筒，D是其中之一，DC是☉O的直径，连接DA，DB，点M在AB的延长线上，若∠ADC＝16°，则∠DBM的度数为 .106° 解析：如图，连接OA.∵∠ADC＝16°，∴∠AOC＝2∠ADC＝32°，∴∠AOD＝180°－∠AOC＝148°，∴∠ABD＝ ∠AOD＝74°，∴∠DBM＝180°－∠ABD＝106°.故答案为106°.5. （2025春·光明区月考）如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，若∠BCD＝135°，则∠BOD的度数是（ D ）A. 45° B. 80° C. 85° D. 90°D考点一 圆心角、圆周角之间的关系【例1】（2025·龙华区校级开学）如图，已知AB是☉O的直径，D，C是劣弧 的三等分点，连接OC，OD，OE，当∠BOC＝35°时，∠BOE的度数为（ D ）A. 35° B. 75° C. 80° D. 105°例1题图D考点二 垂径定理【例2】如图是某座桥的设计图，设计数据如图所示，桥拱是圆弧形，则桥拱的半径为（ A ）A. 13 m B. 15 m C. 20 m D. 26 m例2题图A【例3】（2025·深圳校级模拟）如图，这是用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器，其底部是圆球形.球的半径为10 cm，瓶内液体的最大深度CD＝4 cm，则截面圆中弦AB的长为 cm.例3题图16 考点三 圆内接四边形【例4】（2025·深圳校级一模）如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠E＝40°，∠ADC＝85°，那么∠A的度数为 .例4题图45° 1. （2025·深圳二模）如图，AB是☉O的弦，∠BAC＝30°，BC＝2，则☉O的直径等于（ C ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 6第1题图C12345672. （2025·宝安区校级开学）如图，在☉O中，弦AB，CD相交于点P，∠A＝35°，∠APD＝80°，那么∠B的度数为（ D ）A. 55° B. 60° C. 65° D. 45°第2题图D12345673. （2025·深圳模拟）如图，以点O为中心的量角器与直角三角板ABC按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边AB重合，如果点D在量角器上对应的刻度为110°，连接CD，那么∠BCD＝ .第3题图55° 12345674. （2025·深圳校级三模）如图某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，并在门洞外侧沿圆弧形边缘装一条灯带.如图，已知矩形的宽为2 m，高为2 m，圆弧所在的圆外接于矩形，则需要的灯带的长度至少是 m.（结果保留π）第4题图 12345675. （2025·龙华区二模）船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁.如图，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点，∠ACB就是“危险角”.船P与两个灯塔的夹角为α，若∠ACB＝55°，则船P位于安全区域时，α的大小可能为 °.（写出一个即可）40（答案不唯一） 12345676. 如图，AB，CD是☉O的两条弦，AC与BD相交于点E，AB＝CD.（1）求证：AC＝BD；证明：∵AB＝CD，∴ ＝ ，∴ ＋ ＝ ＋ ，即 ＝ ，∴AC＝BD.1234567（2）连接BC，作直线EO，求证：EO⊥BC.证明：如图，连接OB、OC、BC，作直线EO，∵AB＝CD，∴ ＝ ，∴∠ACB＝∠DBC，∴EB＝EC.又∵OB＝OC，∴E，O都在BC的垂直平分线上，∴EO⊥BC.12345677. （2025·龙华区校级开学）如图，以 ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作☉A，分别交BC，AD于E，F两点，交BA的延长线于点G.（1）求证： ＝ ；1234567（1）证明：如图，连接AE，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FAE＝∠AEB，∠GAF＝∠B.∵AB＝AE，∴∠AEB＝∠B，∴∠FAE＝∠GAF，∴ ＝ .1234567（2）若 的度数为140°，求∠C的度数.解：∵以 ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作☉A，分别交BC，AD于E，F两点，交BA的延长线于点G，∴GB为☉A的直径，∴ 的度数为180°.∵ 的度数为140°，∴ 的度数为180°－140°＝40°，∴∠BAE＝40°.1234567∵AB＝AE，∴∠AEB＝∠B＝ ＝70°.∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴∠C＝180°－∠B＝110°.1234567参考答案【知识要点】1. （1）一周 （2）轴对称图形 直径所在的直线 2. （1）平分弦 两条弧 （2）垂直于弦 两条弧 3. （1）相等 相等 （2）相等 相等 （3）相等 相等 4. （1）相等 一半 （2）①直角 直径 ②相等 相等 5. 互补【对点练习】1. （1）D （2）B 2.C 3. （1）A （2）C 12345674.106° 解析：如图，连接OA.∵∠ADC＝16°，∴∠AOC＝2∠ADC＝32°，∴∠AOD＝180°－∠AOC＝148°，∴∠ABD＝ ∠AOD＝74°，∴∠DBM＝180°－∠ABD＝106°.故答案为106°.12345675. D【典例精讲】【例1】D 【例2】A 【例3】16【例4】45°【当堂检测】1. C 2.D3.55°4. 5.40（答案不唯一）12345676. 证明：（1）∵AB＝CD，∴ ＝ ，∴ ＋ ＝ ＋ ，即 ＝ ，∴AC＝BD.1234567（2）如图，连接OB、OC、BC，作直线EO，∵AB＝CD，∴ ＝ ，∴∠ACB＝∠DBC，∴EB＝EC.又∵OB＝OC，∴E，O都在BC的垂直平分线上，∴EO⊥BC.12345677. （1）证明：如图，连接AE，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FAE＝∠AEB，∠GAF＝∠B.∵AB＝AE，∴∠AEB＝∠B，∴∠FAE＝∠GAF，∴ ＝ .1234567（2）解：∵以 ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作☉A，分别交BC，AD于E，F两点，交BA的延长线于点G，∴GB为☉A的直径，∴ 的度数为180°.∵ 的度数为140°，∴ 的度数为180°－140°＝40°，∴∠BAE＝40°.∵AB＝AE，∴∠AEB＝∠B＝ ＝70°.∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴∠C＝180°－∠B＝110°.1234567(共49张PPT)第一部分 教材复习篇第六单元 圆第27讲 圆的有关计算与证明近五年深圳市中考考查情况 年份 题型 分值 难易程度 考点 备注2021 解答 9 中等 圆的相关知识与三角形证明的综合 考查圆的相关知识与三角形证明、计算的综合性质2022 解答 3 中等 求圆的弧长 考查圆的弧长与三角形等综合性质定理近五年深圳市中考考查情况 年份 题型 分值 难易程度 考点 备注2023 填空 3 中等 直径所对圆周角 考查圆周角的性质，熟练掌握直径所对的圆周角为直角2024 填空 3 中等 扇形面积的计算公式 考查解直角三角形、扇形的面积计算公式2025 未考查 命题 规律 圆的有关计算与证明知识点难度不定，单独考查，难度小，容易得分，都以基础题为主，分值3～6分左右，若与其他知识综合体现，则难度大些，属常考知识，细心审题，利用好相关性质即可容易突破.知识要点1. 正多边形与圆圆内接正多边形：顶点都在圆上的正多边形叫做 .这个圆叫做正多边形的 .正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的 .正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的 .正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的 .圆内接正多边形 外接圆 中心 半径 中心角 正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的 .边心距 2. 弧长的计算公式半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为 .3. 扇形面积的计算公式半径为R的圆中，圆心角为n°，弧长为l的扇形面积为 .l＝ S＝ ＝ lR 对点练习1. 如图，正六边形ABCDEF内接于☉O，若☉O的周长是6π，则正六边形的边长是（ B ）A. B. 3 C. 6 D. 2B2. （2025·福田区校级三模）制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料.中心线可看作半径为3 dm，圆心角为120°所对的圆弧，试计算如图所示的管道的展直长度，即 的长为（ B ）A. π dm B. 2π dmC. 3π dm D. 6π dmB3. 如图，正六边形ABCDEF的边长为4，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得弧EC，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为 .8π 考点一 正多边形与圆【例1】（2025·龙岗区模拟）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为 . 考点二 弧长与扇形的面积计算【例2】（2025·龙华区三模）某校在社会实践活动中，小明同学用一个直径为30 cm的定滑轮带动重物上升.如图，滑轮上一点A绕点O逆时针旋转108°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ B ）A. 6π cm B. 9π cm C. 12π cm D. 15π cmB【例3】如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，若BC＝4，则阴影面积为 . 考点三 有关圆的阴影部分的面积计算【例4】（2025春·深圳校级月考）如图，☉O是正六边形ABCDEF的内切圆，AB＝6，则阴影部分面积为 .（结果保留π）.9π 【例5】（2025·罗湖区校级模拟）如图，△ABC内接于☉O，AB为直径，CD平分∠ACB交☉O于点D.（1）过点D作DE∥AB，求证：DE为☉O的切线；（1）证明：如图，连接OD，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∴ ＝ ，∴∠AOD＝∠BOD＝ ∠AOB＝ ×180°＝90°.又∵DE∥AB，∴∠ODE＝∠BOD＝90°，∴DE⊥OD.又∵OD是半径，∴DE为☉O的切线.（2）若AC＝6，BC＝8，求阴影部分的面积.解：由题意可得AB＝ ＝ ＝10，∴OD＝OA＝ AB＝5.∵∠AOD＝90°，∴S阴影＝S扇形AOD－S△AOD＝ － ×5×5＝ π－ .1. （2025春·龙华区期末）藻井作为中国传统建筑中独特的穹顶装饰构件，其造型融合宇宙观，仅用于最高等级建筑，并巧妙结合五行思想.如图是外轮廓为正八边形的“蟠龙藻井”图案，这个正八边形的每个内角的度数为（ D ）A. 45° B. 120° C. 130° D. 135°第1题图D123456789102. （2025春·龙华区校级月考）如图，四边形ABCD的顶点B，C，D都在☉A上，AD∥BC，∠BAD＝140°，AC＝3，则 的长为（ A ）A. B. C. D.第2题图A123456789103. （2025·广州二模）如图，AB是☉O的内接正n边形的一边，点C在☉O上，∠ACB＝18°，则n的值是（ C ）A. 8 B. 9 C. 10 D. 11C123456789104. “湾区之光”摩天轮位于深圳市华侨城欢乐港湾内，是深圳的地标性建筑之一，如图①，A，B表示摩天轮上的两个轿厢，图②是其示意图，点O是圆心，半径为57 m，A，B是圆上的两点，∠AOB＝120°，则 的长为 m.（结果保留π）38π 123456789105. （2025·福田区校级三模）如图，在△ABC中，以BC为直径的半圆分别与AB，AC交于点D，E. 若BC＝12，∠A＝60°，则 的长为 .2π 123456789106. （2025·宝安区模拟）传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2，马面裙可以近似地看作扇形的一部分，其中的长度为 m，OB＝2 m，圆心角∠AOD＝∠BOC＝60°，则该马面裙的面积为 m2. 123456789107. （2025·深圳校级开学）如图，正六边形内接于☉O中，已知外接圆的半径为2，则阴影部分的面积为 .第7题图4π－6 123456789108. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2 ，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交边BC于点E，则图中阴影部分的面积是 .（结果保留π）4 －π 123456789109. 如图，☉O是△ABC的外接圆，AB为☉O的直径，点D是△ABC的内心，连接AD并延长交☉O于点E，过点E作EF∥BC，交AB的延长线于点F.（1）求证：EF是☉O的切线；12345678910（1）证明：如图，连接OE，BE，∵EF∥BC，∴∠CBE＝∠BEF.∵点D是△ABC的内心，∴∠BAE＝∠CAE.∵∠CBE＝∠CAE，∴∠BEF＝∠BAE.∵AB是☉O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠BAE＋∠ABE＝90°.12345678910∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∴∠BEF＋∠OEB＝90°，即OE⊥FE，∴EF是☉O的切线.12345678910（2）若☉O的半径为4，∠EAC＝30°，求阴影部分的面积（结果用含π的式子表示）.解：∵∠EAC＝30°，∴∠BAE＝30°.∴∠BOE＝2∠BAE＝60°，∴△OBE是等边三角形，∴OE＝OB＝4，∴EF＝ OE＝4 ，12345678910∴S△OEF＝ ×4 ×4＝8 .又∵S扇形OBE＝ ＝ π，∴阴影部分的面积为8 － π.1234567891010. 在学习扇形的面积公式时，已知圆心角n° 和扇形所在圆的半径R，可以推得公式：S扇形＝ ①，并通过比较扇形面积公式与弧长公式l＝②，得出扇形面积的另一种计算方法S扇形＝ lR③.请解决下列问题.问题Ⅰ：求弧长为4π，圆心角为120°的扇形面积.问题Ⅱ：某小区设计的花坛形状如图1中的阴影部分，已知 和 所在圆的圆心都是点O，弧AB的长为l1，弧CD的长为l2，AC＝BD＝d，求花坛的面积.12345678910（1）请你解答问题Ⅰ；解：l＝ ＝4π，圆心角为120°，即 πR＝4π，∴R＝6，∴S扇形＝ ×4π×6＝12π.12345678910（2）在解决问题Ⅱ的过程中，有位同学发现扇形面积公式③类似于三角形面积公式，类比梯形面积公式，他猜想花坛的面积S＝ （l1＋l2）d.他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由.（参考公式：a2－b2＝（a－b）（a＋b））12345678910解：（2）他的猜想正确.理由如下：设大扇形半径为R，小扇形半径为r，圆心角度数为n°，则由l＝ 得R＝ l1，r＝ l2，∴花坛的面积S＝ l1R－ l2r＝ l1× l1－ l2× l2＝ （ － ） ＝（l1＋l2）（l1－l2） ＝ · （ R－ r）（l1＋l2） ＝ （l1＋l2）（R－r） ＝ （l1＋l2）d.12345678910（3）乙同学发现平时所用的一次性纸杯（如图2）的侧面展开的大致图形如图3所示，经测量（如图2）杯口直径AB＝8 cm，杯底直径CD＝6 cm，杯壁母线长AC＝BD＝6 cm，若忽略纸杯的连接部分和纸杯的厚度，请求出其在图3中侧面展开的图形BDFE的面积.12345678910解：（3）∵AB＝8 cm，CD＝6 cm，∴l1＝ ＝π×AB＝8π cm，l2＝ ＝π×CD＝6π cm，d＝AC＝BD＝6 cm，由（2）可得，侧面展开的图形BDFE的面积为S扇形OBE－S扇形ODF＝ （l1＋l2）d＝ （8π＋6π）×6＝42π（cm2）.12345678910（4）丙同学认为，要想准确画出纸杯的侧面展开图，需要确定图3中 和所在的半径OE，OF的长以及圆心角∠BOE的度数，那么根据（3）中的尺寸， 所在圆的半径OF＝ ；它所对的圆心角∠BOE的度数为 .18 cm60°12345678910解析：∵ ＝ ＝6π， ＝ ＝8π，∴r＝ ，R＝ ，由AC＝BD＝6 cm，即 － ＝6，解得n＝60，∴r＝ ＝18（cm），即OF＝18 cm.故答案为18 cm，60°.12345678910参考答案【知识要点】1. 圆内接正多边形 外接圆 中心 半径 中心角 边心距2. l＝ 3.S＝ ＝ lR【对点练习】1. B 2.B 3.8π【典例精讲】【例1】 【例2】B 【例3】 【例4】9π12345678910【例5】（1）证明：如图，连接OD，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∴ ＝ ，∴∠AOD＝∠BOD＝ ∠AOB＝ ×180°＝90°.又∵DE∥AB，12345678910∴∠ODE＝∠BOD＝90°，∴DE⊥OD.又∵OD是半径，∴DE为☉O的切线.（2）解：由题意可得AB＝ ＝ ＝10，∴OD＝OA＝ AB＝5.∵∠AOD＝90°，∴S阴影＝S扇形AOD－S△AOD＝ － ×5×5＝ π－ .12345678910【当堂检测】1. D 2.A 3.C 4.38π5.2π6.7.4π－68.4 －π123456789109. （1）证明：如图，连接OE，BE，∵EF∥BC，∴∠CBE＝∠BEF.∵点D是△ABC的内心，∴∠BAE＝∠CAE.∵∠CBE＝∠CAE，∴∠BEF＝∠BAE.∵AB是☉O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠BAE＋∠ABE＝90°.12345678910∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∴∠BEF＋∠OEB＝90°，即OE⊥FE，∴EF是☉O的切线.12345678910（2）解：∵∠EAC＝30°，∴∠BAE＝30°.∴∠BOE＝2∠BAE＝60°，∴△OBE是等边三角形，∴OE＝OB＝4，∴EF＝ OE＝4 ，∴S△OEF＝ ×4 ×4＝8 .又∵S扇形OBE＝ ＝ π，∴阴影部分的面积为8 － π.1234567891010. 解：（1）l＝ ＝4π，圆心角为120°，即 πR＝4π，∴R＝6，∴S扇形＝ ×4π×6＝12π.12345678910（2）他的猜想正确.理由如下：设大扇形半径为R，小扇形半径为r，圆心角度数为n°，则由l＝ 得R＝ l1，r＝ l2，∴花坛的面积S＝ l1R－ l2r＝ l1× l1－ l2× l2＝ （ － ）＝ （l1＋l2）（l1－l2） ＝ · （ R－ r）（l1＋l2）＝ （l1＋l2）（R－r） ＝ （l1＋l2）d.12345678910（3）∵AB＝8 cm，CD＝6 cm，∴l1＝ ＝π×AB＝8π cm，l2＝ ＝π×CD＝6π cm，d＝AC＝BD＝6 cm，由（2）可得，侧面展开的图形BDFE的面积为S扇形OBE－S扇形ODF＝ （l1＋l2）d＝ （8π＋6π）×6＝42π（cm2）.12345678910（4）18 cm 60° 解析：∵ ＝ ＝6π， ＝ ＝8π，∴r＝ ，R＝ ，由AC＝BD＝6 cm，即 － ＝6，解得n＝60，∴r＝ ＝18（cm），即OF＝18 cm.故答案为18 cm，60°.12345678910(共66张PPT)第一部分 教材复习篇第六单元 圆第26讲 与圆有关的位置关系近五年深圳市中考考查情况 年份 题型 分值 难易程度 考点 备注2021 未考查 2022 填空 3 中等 反比例函数与坐标的综合 根据反比例函数的图象特征与坐标特点解题近五年深圳市中考考查情况 年份 题型 分值 难易程度 考点 备注2022 选择 3 中等 圆的切线定理、圆周角定理与等腰三角形的性质 圆的切线定理、圆周角定理、等腰三角形的性质等2023 解答 8 中等 圆的切线 考查了格点作图、圆的切线、全等三角形等2024 解答 9 中等 切线的性质、勾股定理、中垂线的判定 切线的性质、圆周角定理、中垂线的判定和性质、矩形的判定和性质近五年深圳市中考考查情况 年份 题型 分值 难易程度 考点 备注2025 解答 3 中等 与圆有关的位置关系 考查了切线的性质与菱形的性质综合运用命题 规律 与圆有关的位置关系知识点难度不定，单独考时难度小，容易得分，都以基础题为主，分值3～8分，若与其他知识综合体现，则难度大些，是历年常考知识.知识要点1. 点与圆的位置关系（1）设圆O的半径为r，点P到圆心的距离为OP＝d，则：点P在圆外 ；点P在圆上 ；点P在圆内 .（2）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定 圆.（3）三角形的外心：三角形外接圆的圆心，三角形三边的 的交点.d＞r d＝r d＜r 一个 垂直平分线 2. 直线与圆的位置关系（1）三种位置关系： 、 、 .（2）切线的定义、性质与判定：①定义：和圆有 公共点的直线.②性质：圆的切线 于过切点的直径.③判定：经过半径的外端，并且 于这条半径的直线是圆的切线.相交 相切 相离 唯一 垂直 垂直 （3）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长 ，这一点和圆心的连线 两条切线的夹角.相等 平分 3. 三角形的内切圆（1）定义：与三角形各边都 的圆.（2）三角形的内心：三角形内切圆的圆心，是三角形三条 的交点.相切 角平分线 对点练习1. （2025春·广州月考）如图，AB是☉O的弦，OC⊥AB于点C，∠OAB＝30°，AB＝2 ，点P为☉O所在平面内一点，且OP＝3，则点P与☉O的位置关系是（ B ）A. 点P在☉O内 B. 点P在☉O外C. 点P在☉O上 D. 无法确定B2. （2025·深圳校级开学）已知平面内有☉O和点A，B，若☉O半径为2cm，线段OA＝3 cm，OB＝2 cm，则直线AB与☉O的位置关系为（ D ）A. 相离 B. 相交C. 相切 D. 相交或相切D3. （2025·深圳校级模拟）如图，已知点O是△ABC 的外心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA. 若∠OBC＝20°，则∠CAI＝ °.35 解析：如图，连接OC，则OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB＝20°.∵∠OBC＋∠OCB＋∠BOC＝180°，∴∠BOC＝140°，∴∠BAC＝ ∠BOC＝70°.∵点I是△ABC的内心，∴AI平分∠BAC，∴∠CAI＝ ∠BAC＝35°，故答案为35.考点一 点、直线和圆的位置关系【例1】（2025春·宝安区校级月考）如图，在☉O中，弦MN的长为2 ，点A在☉O上，MN⊥OA，∠ANM＝30°.若☉O所在的平面内有一点P，且OP＝2，则点P与☉O的位置关系是（ A ）A. 点P在☉O上 B. 点P在☉O内C. 点P在☉O外 D. 无法确定A【例2】在平面直角坐标系xOy中，☉O的半径为2.5，直线l的表达式为y＝x＋3，那么直线l与☉O的位置关系是（ C ）A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定C解析：如图，直线y＝ x＋3分别与x，y轴交于点A，B，过O作OH⊥AB于H，当x＝0时，y＝3，∴OA＝3，当y＝0时， x＋3＝0，∴x＝－4，∴OB＝4，∴AB＝ ＝5.∵△AOB的面积＝ AB·OH＝ OB·OA，∴5×OH＝3×4，∴OH＝2.4，∴O到直线l的距离d＝2.4.∵☉O的半径r＝2.5，∴d＜r，∴直线l与☉O的位置关系是相交.故选C.考点二 切线的性质【例3】如图，△ABC内接于☉O，AB是☉O的直径，过点C作☉O的切线交AB的延长线于点F，过点A作AD⊥CF，交直线CF于点D，交☉O于点E.（1）求证：AC平分∠BAD；（1）证明：如图，连接OC，∵FC与☉O相切于点C，∴FC⊥OC，即∠FCO＝90°.∵AD⊥CF，∴∠ADF＝90°，∴∠FCO＝∠ADF，∴OC∥AD，∴∠OCA＝∠CAD.∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠OAC＝∠CAD，∴AC平分∠BAD.（2）若CD＝2，AD＝4，求线段AF的长.解：∵CD＝2，AD＝4，∴AC＝2 .∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝∠D＝90°.∵∠BAC＝∠CAD，∴△ABC∽△ACD，∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴AB＝5，∴OA＝OC＝2.5.∵∠FCO＝∠D，∠F＝∠F，∴△FCO∽△FDA，∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴AF＝ .考点三 切线的判定【例4】（2025·宝安区模拟）如图，在四边形ABCD中，∠D＝90°，连接对角线AC，☉O是△ABC的外接圆，BC是☉O的直径，点E是AB的中点，连接OE，∠AOE＝∠CAD.（1）求证：CD为☉O的切线；（1）证明：∵点E是AB的中点，∴OE⊥AB.∵BC是☉O的直径，∴∠BEO＝∠BAC＝90°，∴OE∥AC.∵OA＝OC，∴∠AOE＝∠OAC＝∠ACB.∵∠AOE＝∠CAD，∴∠ACB＝∠CAD，∴OC∥AD.∵∠D＝90°，∴∠OCD＝180°－∠D＝90°.∵OC是☉O的半径，且CD⊥OC，∴CD为☉O的切线.（2）若☉O的直径为10，OE＝3，求CD的长.解：∵∠BAC＝∠D＝90°，∠ACB＝∠CAD，∴ ＝ sin ∠CAD＝ sin ∠ACB＝ .∵BE＝AE，BO＝CO，OE＝3，∴CA＝2OE＝6.∵☉O的直径BC＝10，∴AB＝ ＝ ＝8，∴CD＝ ＝ ＝ ，即CD的长为 .考点四 切线长定理【例5】（2025·深圳一模）如图，☉O是四边形ABCD的内切圆，连接OA，OB，OC，OD. 若∠AOB＝108°，则∠COD的度数是 .72° 解析：如图所示，连接圆心与各切点，在Rt△DEO和Rt△DFO中，∴Rt△DEO≌Rt△DFO（HL），∴∠1＝∠2，同理，可得Rt△AFO≌Rt△AMO，Rt△BMO≌Rt△BNO，Rt△CEO≌Rt△CNO，∴∠3＝∠4，∠5＝∠7，∠6＝∠8，∴∠5＋∠6＝∠7＋∠8＝108°，∴2∠2＋2∠3＝360°－2×108°，∴∠2＋∠3＝∠DOC＝72°.故答案为72°.1. （2025·龙华区校级开学）已知☉O的半径是2，点P在☉O内，则OP 2.（填“＞”或“＜”）2. 如图，在△ABC中，D是AC上一点，以AD为直径的半圆O恰好切CB于点B，连接BD，若∠CBD＝21°，则∠C的度数为（ D ）＜ DA. 42° B. 45° C. 46° D. 48°第2题图1234567893. 如图，BC是☉O的切线，点B是切点，延长CO交☉O于点A，连接AB，OD＝2，∠C＝30°，则AB的长为（ C ）A. 2 B. 3 C. 2 D. 3第3题图C1234567894. 已知☉O的半径是关于x的方程 － ＝1的增根，圆心O到直线l的距离d＝2，则直线l与☉O的位置关系是（ A ）A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 平行A1234567895. 如图，AB，AC，BD是☉O的切线，切点分别是P，C，D. 若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（ B ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6第5题图B1234567896. 如图，I是△ABC的内心，∠A＝50°，则∠BIC＝ .第6题图115° 1234567897. （2025·深圳模拟）如图，在☉O中，△ABC是☉O的内接三角形，AC是☉O的直径，在☉O上取一点D，使AD＝BD，过点C的切线EF分别与AB，AD的延长线交于点E，F.（1）求证：AE＝EF；123456789（1）证明：∵AC是☉O的直径，EF与☉O相切于点C，∴EF⊥AC于点C，∴∠ACE＝∠ABC＝90°，∴∠E＝∠ACB＝90°－∠BAC.∵∠ACB＝∠ADB，∴∠E＝∠ADB，∴∠F＝180°－∠E－∠EAF＝180°－∠ADB－∠EAF＝∠DBA.∵AD＝BD，∴∠EAF＝∠DBA，∴∠F＝∠EAF，∴AE＝EF.123456789（2）若AE＝5， sin ∠ACB＝ ，求AF的长.解：∵∠ACE＝∠ACF＝90°，∠E＝∠ACB，∴ ＝ sin E＝ sin ∠ACB＝ .∵AE＝EF＝5，∴AC＝ AE＝ ×5＝4，∴CE＝ ＝ ＝3.∵CF＝EF－CE＝5－3＝2，∴AF＝ ＝ ＝2 ，即AF的长是2 .1234567898. 如图，AB是☉O的直径，C是☉O上一点，D是 的中点，过点D作AC的垂线，连接AD.（1）求证：DE是☉O的切线；证明：如图，连接OD，∵D是 的中点，∴∠BAD＝∠CAD.∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ODA，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AE.123456789∵DE⊥AC，∴DE⊥OD.∵OD是☉O的半径，∴DE是☉O的切线.123456789（2）若CE＝2，ED＝4，求☉O的半径.解：如图，连接BD，CD，∵DE⊥AE，∴∠AED＝90°.∵CE＝2，ED＝4，∴CD＝ ＝ ＝2 .∵D是 的中点，∴ ＝ ，∴BD＝CD＝2 .123456789∵AB是☉O的直径，∴∠ADB＝∠AED＝90°.∵∠DCE＝∠ABD，∴△DCE∽△ABD，∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴AB＝10，∴OA＝ AB＝5，∴☉O的半径为5.1234567899. （2025·深圳模拟）如图，AB是☉O的直径，点C在☉O上，分别连接CO，BC，☉O的切线AD与BC的延长线交于点D，E是AD的中点，连接CE.（1）求证：CE是☉O的切线；123456789（1）证明：如图，连接OE，∵E是AD的中点，O是AB的中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE∥BD，∴∠AOE＝∠B，∠COE＝∠OCB.∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB，∴∠AOE＝∠COE.∵OC＝OA，OE＝OE，123456789∴△OCE≌△OAE（SAS），∴∠OCE＝∠A.∵AD切圆于点A，∴直径AB⊥AD，∴∠A＝90°，∴∠OCE＝90°，∴半径OC⊥CE，∴CE是☉O的切线.123456789（2）若tan D＝ ，BC＝6，求四边形AOCE的面积.解：如图，连接AC，∵AB是圆的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠BAC＋∠B＝∠D＋∠B＝90°，∴∠D＝∠BAC，∴tan∠BAC＝tan D＝ ，∴ ＝ .123456789∵BC＝6，∴AC＝8，∴AB＝ ＝10，∴OA＝ AB＝5.∵OE∥BD，∴∠AEO＝∠D，∴tan∠AEO＝tan D＝ ，∴ ＝ ，123456789∴AE＝ ，∴△AOE的面积＝ AE·AO＝ ，由（1）知，△OCE的面积＝△AOE的面积，∴四边形AOCE的面积＝2× ＝ .123456789参考答案【知识要点】1. （1）d＞r d＝r d＜r （2）一个 （3）垂直平分线2. （1）相交 相切 相离 （2）①唯一 ②垂直 ③垂直（3）相等 平分 3.（1）相切 （2）角平分线【对点练习】1. B 2.D 1234567893.35 解析：如图，连接OC，则OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB＝20°.∵∠OBC＋∠OCB＋∠BOC＝180°，∴∠BOC＝140°，∴∠BAC＝ ∠BOC＝70°.∵点I是△ABC的内心，∴AI平分∠BAC，∴∠CAI＝ ∠BAC＝35°，故答案为35.123456789【例1】A 【例2】C 解析：如图，直线y＝ x＋3分别与x，y轴交于点A，B，过O作OH⊥AB于H，当x＝0时，y＝3，∴OA＝3，当y＝0时， x＋3＝0，∴x＝－4，∴OB＝4，∴AB＝ ＝5.∵△AOB的面积＝ AB·OH＝ OB·OA，【典例精讲】123456789∴5×OH＝3×4，∴OH＝2.4，∴O到直线l的距离d＝2.4.∵☉O的半径r＝2.5，∴d＜r，∴直线l与☉O的位置关系是相交.故选C.【例3】 （1）证明：如图，连接OC，∵FC与☉O相切于点C，∴FC⊥OC，即∠FCO＝90°.∵AD⊥CF，123456789∴∠ADF＝90°，∴∠FCO＝∠ADF，∴OC∥AD，∴∠OCA＝∠CAD.∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠OAC＝∠CAD，∴AC平分∠BAD.123456789（2）解：∵CD＝2，AD＝4，∴AC＝2 .∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝∠D＝90°.∵∠BAC＝∠CAD，∴△ABC∽△ACD，∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴AB＝5，123456789∴OA＝OC＝2.5.∵∠FCO＝∠D，∠F＝∠F，∴△FCO∽△FDA，∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴AF＝ .123456789【例4】（1）证明：∵点E是AB的中点，∴OE⊥AB.∵BC是☉O的直径，∴∠BEO＝∠BAC＝90°，∴OE∥AC.∵OA＝OC，∴∠AOE＝∠OAC＝∠ACB.∵∠AOE＝∠CAD，∴∠ACB＝∠CAD，∴OC∥AD.123456789∵∠D＝90°，∴∠OCD＝180°－∠D＝90°.∵OC是☉O的半径，且CD⊥OC，∴CD为☉O的切线.123456789（2）解：∵∠BAC＝∠D＝90°，∠ACB＝∠CAD，∴ ＝ sin ∠CAD＝ sin ∠ACB＝ .∵BE＝AE，BO＝CO，OE＝3，∴CA＝2OE＝6.∵☉O的直径BC＝10，∴AB＝ ＝ ＝8，∴CD＝ ＝ ＝ ，即CD的长为 .123456789【例5】72° 解析：如图所示，连接圆心与各切点，在Rt△DEO和Rt△DFO中，∴Rt△DEO≌Rt△DFO（HL），∴∠1＝∠2，同理，可得Rt△AFO≌Rt△AMO，Rt△BMO≌Rt△BNO，Rt△CEO≌Rt△CNO，∴∠3＝∠4，∠5＝∠7，∠6＝∠8，∴∠5＋∠6＝∠7＋∠8＝108°，∴2∠2＋2∠3＝360°－2×108°，∴∠2＋∠3＝∠DOC＝72°.故答案为72°.123456789【当堂检测】1. ＜ 2.D 3.C 4.A 5.B 6.115°7. （1）证明：∵AC是☉O的直径，EF与☉O相切于点C，∴EF⊥AC于点C，∴∠ACE＝∠ABC＝90°，∴∠E＝∠ACB＝90°－∠BAC.∵∠ACB＝∠ADB，∴∠E＝∠ADB，∴∠F＝180°－∠E－∠EAF＝180°－∠ADB－∠EAF＝∠DBA.123456789∵AD＝BD，∴∠EAF＝∠DBA，∴∠F＝∠EAF，∴AE＝EF.123456789（2）解：∵∠ACE＝∠ACF＝90°，∠E＝∠ACB，∴ ＝ sin E＝ sin ∠ACB＝ .∵AE＝EF＝5，∴AC＝ AE＝ ×5＝4，∴CE＝ ＝ ＝3.∵CF＝EF－CE＝5－3＝2，∴AF＝ ＝ ＝2 ，即AF的长是2 .1234567898. （1）证明：如图，连接OD，∵D是 的中点，∴∠BAD＝∠CAD.∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ODA，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AE.∵DE⊥AC，∴DE⊥OD.∵OD是☉O的半径，123456789∴DE是☉O的切线.（2）解：如图，连接BD，CD，∵DE⊥AE，∴∠AED＝90°.∵CE＝2，ED＝4，∴CD＝ ＝ ＝2 .∵D是 的中点，∴ ＝ ，∴BD＝CD＝2 .123456789∵AB是☉O的直径，∴∠ADB＝∠AED＝90°.∵∠DCE＝∠ABD，∴△DCE∽△ABD，∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴AB＝10，∴OA＝ AB＝5，∴☉O的半径为5.1234567899. （1）证明：如图，连接OE，∵E是AD的中点，O是AB的中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE∥BD，∴∠AOE＝∠B，∠COE＝∠OCB.∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB，∴∠AOE＝∠COE.∵OC＝OA，OE＝OE，∴△OCE≌△OAE（SAS），123456789∴∠OCE＝∠A.∵AD切圆于点A，∴直径AB⊥AD，∴∠A＝90°，∴∠OCE＝90°，∴半径OC⊥CE，∴CE是☉O的切线.123456789（2）解：如图，连接AC，∵AB是圆的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠BAC＋∠B＝∠D＋∠B＝90°，∴∠D＝∠BAC，∴tan∠BAC＝tan D＝ ，∴ ＝ .∵BC＝6，∴AC＝8，123456789∴AB＝ ＝10，∴OA＝ AB＝5.∵OE∥BD，∴∠AEO＝∠D，∴tan∠AEO＝tan D＝ ，∴ ＝ ，∴AE＝ ，123456789∴△AOE的面积＝ AE·AO＝ ，由（1）知，△OCE的面积＝△AOE的面积，∴四边形AOCE的面积＝2× ＝ .123456789 展开更多...... 收起↑ 资源列表 第25讲 圆的认识.pptx 第26讲 与圆有关的位置关系.pptx 第27讲 圆的有关计算与证明.pptx
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