资源简介

(共62张PPT)
第一部分　教材复习篇
第五单元　四边形
第23讲　平行四边形
近五年深
圳市中考
考查情况 年份 题型 分
值 难易
程度 考点 备注
2021 未考查 2022 选择 3 中等 平行四边形，特殊平行四边形判定方法及圆周角定理 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法及圆周角定理
2023 选择 3 容易 平行四边形和菱形的性质 熟练运用平行四边形和菱形的性质、平移的性质解题
近五年深
圳市中考
考查情况 年份 题型 分
值 难易
程度 考点 备注
2024 解答 12 难 垂中四边形的定义及性质 考查了垂中平行四边形的定义，平
行四边形的性质与判定，相似三角
形的判定与性质，勾股定理，尺规
作图，等腰三角形的判定与性质等
2025 未考查 命题 规律 　　平行四边形知识点考查的题型比较多样化，选择题、填空题、
解答题都有出现，一般中等难度，若与其他知识综合体现，则难度
大些，是历年常考知识，掌握平行四边形的性质是解题的关键.
知识要点
1. 平行四边形的概念及性质
（1）概念：两组对边分别 的四边形.
（2）性质
边：对边 ；角：对角 ；对角线：对角线
.
平行　
平行且相等　
相等　
互相平
分　
2. 平行四边形的判定
（1）边：
①两组对边分别 的四边形；
②两组对边分别 的四边形；
③一组对边 的四边形.
平行　
相等　
平行且相等　
（2）角：两组对角分别 的四边形.
（3）对角线：对角线 的四边形.
相等　
互相平分　
3. 两条平行线之间的距离
（1）如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离
都 .
（2）两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的 ，叫做
两条平行线之间的距离.
相等　
距离　
4. 三角形的中位线
（1）定义：连接三角形两边 的线段叫做三角形的中位线.
（2）性质：三角形的中位线 于三角形的第三边，且等于第三边
的 .
中点　
平行　
一半　
对点练习
1. （2024·福田区校级二模）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于
点O，则下列结论一定正确的是（　B　）
A. AC＝BD B. OA＝OC
C. AC⊥BD D. ∠ADC＝∠BCD
B
2. 如图， ABCD中，BC＝2，点E在DA的延长线上，BE＝3，若BA平分
∠EBC，则DE＝ .
5　
3. 如图，直线l1∥l2，它们之间的距离是（　B　）
A. 线段PA的长度
B. 线段PB的长度
C. 线段PC的长度
D. 线段PD的长度
B
4. （2025·广东）如图，点D，E，F分别是△ABC各边上的中点，∠A＝
70°，则∠EDF＝（　C　）
A. 20° B. 40° C. 70° D. 110°
C
考点一　平行四边形的性质
【例1】 如图，平行四边形ABCD的对角线交点在原点.若A（－1，2），则
点C的坐标是（　C　）
A. （2，－1） B. （－2，1）
C. （1，－2） D. （－1，－2）
C
考点二　平行四边形的判定
【例2】（教材九上北师大版P9随堂练习第2题改编）如图，在Rt△ABC中，
∠ACB＝90°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E. 又点F在DE的
延长线上，且AF＝CE.
（1）求证：点E是AB的中点；
证明：∵DE是BC的垂直平分线，
∴DE⊥BC. 又∵AC⊥BC，
∴DE∥AC.
又∵D为BC中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴点E为AB的中点.
（2）求证：四边形ACEF是平行四边形.
证明：∵E为AB边的中点，
∴CE＝AE＝BE.
∵AF＝CE，
∴CE＝AE＝AF，
∴∠ECA＝∠EAC，∠AEF ＝∠F.
∵DE∥AC，
∴∠EAC＝∠AEF，∠FEC＋∠ECA＝ 180°，
∴∠ECA＝∠F，
∴∠FEC＋∠F ＝180°，
∴AF∥CE.
又AF＝CE，
∴四边形ACEF是平行四边形.
考点三　三角形的中位线
【例3】（2025·深圳校级月考）如图，在 ABCD中，点P是BC边上的动
点，连接AP，DP，E是AD的中点，F是PD的中点，点P从B点向C点运
动的过程中，EF的长度（　D　）
D
A. 保持不变
B. 逐渐增大
C. 先增大再减小
D. 先减小再增大
1. （2025·深圳校级期中）四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　B　）
A. AB∥CD，AD∥BC B. AB∥CD，AD＝BC
C. AO＝CO，BO＝DO D. AB＝CD，AD＝BC
第1题图
B
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2. （2025·福田区校级开学）如图，在 ABCD中，点E，F分别在BC，AD
上.下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（　B　）
A. AF＝CE B. AE＝CF
C. AE∥CF D. ∠BAE＝∠DCF
第2题图
B
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3. （2025·南山区模拟）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
DE∥AC，CE∥BD，若AC＝3，BD＝5，则四边形OCED的周长为
（　C　）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 16
第3题图
C
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解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC＝ AC＝ ，OD＝ BD＝ .
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∴四边形OCED的周长＝2（OC＋OD）＝2×（ ＋ ）＝8.故选C.
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4. （2025·龙岗区模拟）如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF＝
2BF. 连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M. 若BC＝6，则线段CM的
长为（　C　）
A. B. 7 C. D. 8
第4题图
C
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解析：如图，∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝ BC＝ ×6＝3，
∴△DEF∽△BMF，
∴ ＝ ＝ ＝2，
∴BM＝ ，
∴CM＝BC＋BM＝ .故选C.
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5. （2025·深圳校级三模）如图，已知 ABCD，AB＝2，BC＝5，∠ABC
的平分线BG交AD于点G，交CD的延长线于点H. 若BH＝8，则BG的长为
（　C　）
A. 5 B. 7 C. D.
第5题图
C
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解析：∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝2，BC＝5，
∴AB∥CD，AB＝CD＝2，
∴∠H＝∠ABH.
∵BH平分∠ABC，
∴∠ABH＝∠CBH，
∴∠H＝∠CBH，
∴HC＝BC＝5，
∴DH＝HC－CD＝5－2＝3.
∵AB∥CD，
∴△ABG∽△DHG，
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∴ ＝ ＝ .设BG＝2a，GH＝3a，
∴BH＝BG＋GH＝5a＝8，
∴a＝ ，
∴BG＝2a＝ .故选C.
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6. （2025春·深圳校级期中）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点
O，OE∥AB交AD于点E，若OA＝1，△AOE的周长等于5，则 ABCD
的周长等于（　A　）
A. 16 B. 12 C. 10 D. 8
第6题图
A
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解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD.
∵OE∥AB，
∴OE是△ABD的中位线，
∴AB＝2OE，AD＝2AE.
∵△AOE的周长等于5，
∴OA＋AE＋OE＝5，
∴AE＋OE＝5－OA＝5－1＝4，
∴AB＋AD＝2AE＋2OE＝8，
∴ ABCD的周长＝2（AB＋AD）＝2×8＝16.故选A.
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7. （2025·深圳一模）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AC，点E是AC
上的点且CE＝2AE，延长BC至点F使BE＝EF，连接FE并延长交AB于
点H、交CD于点G，AB＝9，则CG的长为（　A　）
A. 2 B. 3 C. D.
A
第7题图
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解析：如图，作AM⊥BC于点M，EN⊥BC于点N，
∵AB＝AC，AB＝9，
∴AC＝9.
∵CE＝2AE，CE＋AE＝AC，
∴AE＝ AC＝ ×9＝3，CE＝2AE＝2×3＝6.
∵AB＝AC，AM⊥BC，
∴BM＝CM＝ BC，
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同理，∵BE＝EF，EN⊥BC，
∴BN＝FN＝ BF.
∵∠ENC＝∠AMC＝90°，∠ECN＝∠ACM，
∴△ECN∽△ACM，
∴ ＝ ＝ ＝ ，设CN＝2x，CM＝3x，
∴MN＝CM－CN＝x，BM＝CM＝3x，
∴FN＝BN＝BM＋MN＝3x＋x＝4x，
∴BF＝BN＋FN＝8x，CF＝BF－BM－CM＝8x－3x－3x＝2x，
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∴ ＝ ＝ .
∵平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠HBF＝∠GCF.
又∵∠HFB＝∠GFC，
∴△HBF∽△GCF，
∴ ＝ ＝ ，
∴BH＝4CG.
∵AH∥CG，
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∴∠HAE＝∠GCE，∠AHE＝∠CGE，
∴△HAE∽△GCE，
∴ ＝ ＝2，
∴AH＝ CG.
∵AH＋BH＝AB，
∴ CG＋4CG＝9，
∴CG＝2，故选A.
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8. （2025·新疆）如图，在 ABCD中，∠BCD的平分线交AB于点E，若
AD＝2，则BE＝ .
第8题图
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9. （2025·福田区校级期中）如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，点E
在AC上，AD＝AE＝BE，∠BAC＝17°，则∠ADC的度数为 .
第9题图
129°　
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解析：在平行四边形ABCD中，AD＝BC，
∵AD＝AE＝BE，
∴AE＝BE＝BC，
∴∠EAB＝∠EBA＝17°，
∴∠CEB＝∠EAB＋∠EBA＝34°，
∴∠BCE＝∠BEC＝34°，
∴∠CBE＝180°－∠BCE－∠BEC＝180°－34°－34°＝112°，
∴∠ABC＝∠CBE＋∠ABE＝112°＋17°＝129°，
∴∠ADC＝∠ABC＝129°，故答案为129°.
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10. （2025·福田区模拟）如图，将直角三角形ABC沿射线BC方向平移6
cm，得到三角形A'B'C'，已知∠ACB＝90°，BC＝3 cm，AC＝4 cm，则
阴影部分的面积为 cm2.
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11. （2025·龙华区校级月考）如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，将菱形
折叠，使得点D落在边AB的中点M处，折痕为EF，则 的值
为 .
　
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解析：如图，连接FE并延长，交BA的延长线于点H，连接DH，过点D作BA的垂线，交BA的延长线于点G，设AB＝2a，
∵∠B＝45°，四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝2a，DG＝GA＝ a，AB∥DC，
∴∠MHF＝∠DFH，
由折叠的性质可知，∠DFH＝∠MFH，MF＝DF，
∴∠MHF＝∠MFH，
∴MH＝MF，
∴HM＝DF.
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又∵HM∥DF，
∴四边形HDFM是平行四边形.
又∵MF＝DF，
∴平行四边形HDFM是菱形，
∴DH＝DF.
∵M是AB中点，
∴AM＝a，
∴GH＝GA＋AM－MH＝ a＋a－DF，
在Rt△GDH中，DH2＝DG2＋GH2，
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即DF2＝ ＋ ，整理得a＝ DF，
∵HM∥DF，
∴∠HAE＝∠EDF，∠AHE＝∠EFD，
∴△AEH∽△DEF，
∴ ＝ ，即 ＝ ，即 ＝ ，
即2a·DF＝2DE·DF－a·DE，
将a＝ DF代入可得 ·DF2＝2DE·DF－ ·DF·DE，
∴ ·DF＝ ·DE，
∴ ＝ ＝ .故答案为 .
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12. （2025·宝安区模拟）如图，点E，F是 ABCD对角线AC上两点，连接
BE，DF，ED，BF，且BE∥DF.
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF.
∵BE∥DF，
∴∠BEF＝∠DFE，
∴∠AEB＝∠CFD.
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在△ABE与△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF，
∴四边形BEDF是平行四边形.
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（2）若AC＝6 ，BC＝8，∠ACB＝30°，求AB的长.
解：如图，过A作AH⊥BC，交CB的延长线于点H，则∠AHC＝90°.
∵∠ACB＝30°，AC＝6 ，
∴AH＝ AC＝3 ，
∴CH＝ ＝9.
∵BC＝8，
∴BH＝1，
∴AB＝ ＝ ＝2 .
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参考答案
【知识要点】
1. （1）平行　（2）平行且相等　相等　互相平分　2.（1）①平行　②相等　
③平行且相等　（2）相等　（3）互相平分
3. （1）相等
（2）距离
4.（1）中点
（2）平行
一半
【对点练习】
1. B　2.5　3.B　4.C
【典例精讲】
【例1】C
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【例2】证明：（1）∵DE是BC的垂直平分线，
∴DE⊥BC. 又∵AC⊥BC，
∴DE∥AC.
又∵D为BC中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴点E为AB的中点.
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（2）∵E为AB边的中点，
∴CE＝AE＝BE.
∵AF＝CE，
∴CE＝AE＝AF，
∴∠ECA＝∠EAC，∠AEF ＝∠F.
∵DE∥AC，
∴∠EAC＝∠AEF，∠FEC＋∠ECA＝ 180°，
∴∠ECA＝∠F，
∴∠FEC＋∠F ＝180°，
∴AF∥CE. 又AF＝CE，
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∴四边形ACEF是平行四边形.
【例3】D　
【当堂检测】
1. B　2.B　
3. C　 解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC＝ AC＝ ，OD＝ BD＝ .
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∴四边形OCED的周长＝2（OC＋OD）＝2×（ ＋ ）＝8.
故选C.
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4. C　 解析：如图，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝ BC＝ ×6＝3，
∴△DEF∽△BMF，
∴ ＝ ＝ ＝2，
∴BM＝ ，
∴CM＝BC＋BM＝ .故选C.
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5. C　 解析：∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝2，BC＝5，
∴AB∥CD，AB＝CD＝2，
∴∠H＝∠ABH.
∵BH平分∠ABC，
∴∠ABH＝∠CBH，
∴∠H＝∠CBH，
∴HC＝BC＝5，
∴DH＝HC－CD＝5－2＝3.
∵AB∥CD，
∴△ABG∽△DHG，
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∴ ＝ ＝ .设BG＝2a，GH＝3a，
∴BH＝BG＋GH＝5a＝8，
∴a＝ ，
∴BG＝2a＝ .故选C.
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6. A　解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD.
∵OE∥AB，
∴OE是△ABD的中位线，
∴AB＝2OE，AD＝2AE.
∵△AOE的周长等于5，
∴OA＋AE＋OE＝5，
∴AE＋OE＝5－OA＝5－1＝4，
∴AB＋AD＝2AE＋2OE＝8，
∴ ABCD的周长＝2（AB＋AD）＝2×8＝16.故选A.
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7. A　 解析：如图，作AM⊥BC于点M，EN⊥BC于点N，
∵AB＝AC，AB＝9，
∴AC＝9.
∵CE＝2AE，CE＋AE＝AC，
∴AE＝ AC＝ ×9＝3，CE＝2AE＝2×3＝6.
∵AB＝AC，AM⊥BC，
∴BM＝CM＝ BC，
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同理，∵BE＝EF，EN⊥BC，
∴BN＝FN＝ BF.
∵∠ENC＝∠AMC＝90°，∠ECN＝∠ACM，
∴△ECN∽△ACM，
∴ ＝ ＝ ＝ ，设CN＝2x，CM＝3x，
∴MN＝CM－CN＝x，BM＝CM＝3x，
∴FN＝BN＝BM＋MN＝3x＋x＝4x，
∴BF＝BN＋FN＝8x，CF＝BF－BM－CM＝8x－3x－3x＝2x，
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∴ ＝ ＝ .
∵平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠HBF＝∠GCF.
又∵∠HFB＝∠GFC，
∴△HBF∽△GCF，
∴ ＝ ＝ ，
∴BH＝4CG.
∵AH∥CG，
∴∠HAE＝∠GCE，∠AHE＝∠CGE，
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∴△HAE∽△GCE，
∴ ＝ ＝2，
∴AH＝ CG.
∵AH＋BH＝AB，
∴ CG＋4CG＝9，
∴CG＝2，故选A.
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9.129°　解析：在平行四边形ABCD中，AD＝BC，
∵AD＝AE＝BE，
∴AE＝BE＝BC，
∴∠EAB＝∠EBA＝17°，
∴∠CEB＝∠EAB＋∠EBA＝34°，
∴∠BCE＝∠BEC＝34°，
∴∠CBE＝180°－∠BCE－∠BEC＝180°－34°－34°＝112°，
∴∠ABC＝∠CBE＋∠ABE＝112°＋17°＝129°，
∴∠ADC＝∠ABC＝129°，故答案为129°.
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11. 　解析：如图，连接FE并延长，交BA的延长线于点H，连接DH，过点D作BA的垂线，交BA的延长线于点G，设AB＝2a，
∵∠B＝45°，四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝2a，DG＝GA＝ a，AB∥DC，
∴∠MHF＝∠DFH，
由折叠的性质可知，∠DFH＝∠MFH，MF＝DF，
∴∠MHF＝∠MFH，
∴MH＝MF，
∴HM＝DF.
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又∵HM∥DF，
∴四边形HDFM是平行四边形.
又∵MF＝DF，
∴平行四边形HDFM是菱形，
∴DH＝DF.
∵M是AB中点，
∴AM＝a，
∴GH＝GA＋AM－MH＝ a＋a－DF，
在Rt△GDH中，DH2＝DG2＋GH2，
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即DF2＝ ＋ ，整理得a＝ DF，
∵HM∥DF，
∴∠HAE＝∠EDF，∠AHE＝∠EFD，
∴△AEH∽△DEF，
∴ ＝ ，即 ＝ ，即 ＝ ，
即2a·DF＝2DE·DF－a·DE，
将a＝ DF代入可得 ·DF2＝2DE·DF－ ·DF·DE，
∴ ·DF＝ ·DE，
∴ ＝ ＝ .故答案为 .
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12. （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF.
∵BE∥DF，
∴∠BEF＝∠DFE，
∴∠AEB＝∠CFD. 在△ABE与△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF，
∴四边形BEDF是平行四边形.
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（2）解：如图，过A作AH⊥BC，交CB的延长线于点H，
则∠AHC＝90°.
∵∠ACB＝30°，AC＝6 ，
∴AH＝ AC＝3 ，
∴CH＝ ＝9.
∵BC＝8，
∴BH＝1，
∴AB＝ ＝ ＝2 .
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第一部分　教材复习篇
第五单元　四边形
第24讲　矩形、菱形、正方形
近五年深
圳市中考
考查情况 年份 题型 分
值 难易
程度 考点 备注
2021 选择、解答 12 中等
偏难 正方形性质的综合 正方形性质及其与函数的综合
2022 选择、 解答 12 中等
偏难 矩形、菱形、正方形的判定及圆周角定理 矩形、菱形、正方形的判定及圆周角定理、三角形性质的综合
近五年深
圳市中考
考查情况 年份 题型 分值 难易
程度 考点 备注
2023 解答 10 中等
偏难 矩形性质的综合 矩形的性质与相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，解直角三角形
2024 填空 3 中等 菱形的性质 考查了菱形的性质、反比例函数与几何的综合及锐角三角函数
近五年深
圳市中考
考查情况 年份 题型 分值 难易
程度 考点 备注
2025 选择、 解答 13 中
等 正方形的性质、菱形的判定 正方形的性质、菱形的判
定
命题 规律 　　矩形、菱形、正方形知识点考查的题型比较多样化，选择
题、填空题、解答题都有出现，稍有难度，若与其他知识综合体
现，则难度更大些，是历年常考知识，掌握特殊平行四边形的性
质是解题的关键.
知识要点
1. 矩形的判定
（1）有一个角是 的平行四边形（定义）；
（2）对角线 的平行四边形；
（3）有三个角是 的四边形.
直角　
相等　
直角　
2. 矩形的性质
除具有平行四边形的性质外，还有：
（1）矩形的四个角都是 ；
（2）矩形的对角线 ；
（3）既是 图形，又是轴对称图形.
直角　
相等　
中心对称　
3. 菱形的判定
（1）有一组邻边 的平行四边形（定义）；
（2）对角线互相 的平行四边形；
（3）四条边都 的四边形.
相等　
垂直　
相等　
4. 菱形的性质
除具有平行四边形的性质外，还有：
（1）菱形的四条边都 ；
（2）菱形的两条对角线互相 ，并且每一条对角线平分
；
（3）菱形的面积等于两条对角线乘积的 ；
（4）既是 对称图形，又是轴对称图形.
相等　
垂直平分　
一组
对角　
一半　
中心　
5. 正方形的判定
（1）有一组邻边 并且有一个角是 的平行四边形（定
义）；
（2）一组邻边 的矩形；
（3）一个角是 的菱形；
（4）对角线相等且垂直的平行四边形.
相等　
直角　
相等　
直角　
6. 正方形的性质
（1）正方形的四个角都是 ；
（2）正方形的四条边都 ；
（3）正方形的两条对角线 且互相 ，每一条对角线平
分一组对角；
（4）既是 对称图形，又是轴对称图形.
直角　
相等　
相等　
垂直平分　
中心　
对点练习
1. （2025·深圳模拟）如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使
CE＝DC，连接AE，交BC于点F. 添加一个条件，使四边形ABEC是矩形.
下列四个条件：
①∠DAC＝∠EAC； ②AD＝AE；
③AB＝AD； ④∠AFC＝2∠ABC.
你认为可选择的是 .（填上所有满足条件的序号）
①②④　
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD.
∵CE＝CD，
∴CE＝AB，
∴四边形ABEC是平行四边形.
∵AD∥BC，
∴∠ACF＝∠DAC，
∵∠DAC＝∠EAC，
∴∠ACF＝∠EAC，
∴AF＝FC.
∵四边形ABEC是平行四边形，
∴AF＝ AE，CF＝ BC，
∴AE＝BC，
∴四边形ABEC是矩形，故①符合题意；
∵AD＝AE，AD＝BC，
∴AE＝BC，
∵四边形ABEC是平行四边形，
∴四边形ABEC是矩形.故②符合题意；
∵∠AFC＝2∠ABC，∠AFC＝∠ABC＋∠BAF，
∴∠ABC＝∠BAF，
∴AF＝BF.
∵四边形ABEC是平行四边形，
∴AF＝ AE，BF＝ BC，
∴AE＝BC，
∴四边形ABEC是矩形，故④符合题意；
由AB＝AD不能推出四边形ABEC是矩形，
∴使四边形ABEC是矩形可以选择的是①②④.
故答案为①②④.
2. （2025·罗湖区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交
于点O，AB＝5，CO＝6，则BC的长为 .
　
3. （2025·罗湖区模拟）如图，添加下列条件仍然不能使 ABCD成为菱形的
是（　D　）
A. AB＝BC
B. ∠ABD＝∠CBD
C. AC⊥BD
D. AB⊥BC
D
4. （2025·深圳校级月考）如图，在菱形ABCD中，AC＝2 ，BD＝
2 ，DH⊥AB于点H，则DH的长为（　D　）
A. 3 B. 2 C. 2 D. 2
D
5. （2025·宝安区期末）如图，已知 ABCD，从下列四个条件中选两个作为
补充条件，使 ABCD成为正方形.①∠ABC＝90°；②AC⊥BD；③AB
＝BC；④AC＝BD. 则下列四种选法中错误的是（　C　）
A. ①② B. ①③
C. ②③ D. ③④
C
6. 如图，E是正方形ABCD外一点，连接AE，BE，DE. 若BE⊥DE，AE
＝1，BE＝ ，则DE的长是（　D　）
A. B. C. 1＋ D. 2
D
解析：如图，过点A作AP⊥AE交DE于点P，设AB，DE交于点F，
在正方形ABCD中，∠BAD＝90°，AD＝AB，
∴∠BAD＝∠EAP＝90°，
∴∠BAE＝∠DAP.
∵BE⊥DE，
∴∠BAD＝∠BED＝90°.
∵∠AFD＝∠BFE，
∴∠ABE＝∠ADP. 在△ABE和△ADP中，
∵∠ABE＝∠ADP，AD＝AB，∠BAE＝∠DAP，
∴△ABE≌△ADP（ASA），
∴AP＝AE＝1，DP＝BE＝ ，
∴△APE是等腰直角三角形，
∴PE＝ AE＝ ，
∴DE＝PE＋DP＝2 .故选D.
考点一　矩形的判定与性质
【例1】（2025·深圳校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝
6，BC＝8，P为AB上任意一点，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，则EF的
最小值是 .
4.8　
解析：如图，连接CP，
∵∠ACB＝90°，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，
∴∠ACB＝∠PFC＝∠PEC＝90°，
∴四边形CEPF是矩形，
∴EF＝CP. 要使EF最小，只要CP最小即可，当CP⊥AB时，CP最小，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
由勾股定理得AB＝10，
由三角形面积公式得 ×8×6＝ ×10×CP，
∴CP＝4.8，即EF＝4.8，故答案为4.8.
【例2】（2024·深圳市适应性考试）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC上
一点，过点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F.
（1）在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件： ，使
得OE＝OF，并说明理由；
解析：∵AD∥BC，
∴∠FAO＝∠ECO.
∵EF⊥AC，
∴∠AOF＝∠COE＝90°.
又∵AO＝CO，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴OE＝OF.
AO＝CO
（2）若OE＝OF，AB＝6，BC＝8，求EF的长.
解：∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝ ＝10.
∵EF⊥AC，
∴∠AOF＝∠COE＝90°.
∵AD∥BC，
∴∠FAO＝∠ECO.
又∵FO＝EO，
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴AO＝CO＝5.在Rt△COE中，tan∠OCE＝ ＝ ，
在Rt△ACB中，tan∠ACB＝ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴OE＝ ，
∴EF＝ .
考点二　菱形的判定与性质
【例3】（2025·龙华区校级月考）如图，在∠MON的两边上分别截取OA、
OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于
点C；连接AC、BC、AB、OC. 若AB＝3 cm，四边形AOBC的面积为12
cm2，则OC的长为（　B　）
A. 5 cm B. 8 cm C. 10 cm D. 4 cm
B
【例4】（2025·深圳校级期中）如图，在 ABCD中，FA⊥AB交CD于点
E，交BC的延长线于点F，且CF＝BC，连接AC，DF.
（1）求证：四边形ACFD是菱形；
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC.
∵点F在BC的延长线上，且CF＝BC，
∴AD∥CF，AD＝CF，
∴四边形ACFD是平行四边形.
∵CD∥AB，FA⊥AB交CD于点E，
∴∠CEF＝∠BAF＝90°，
∴FA⊥CD，
∴四边形ACFD是菱形.
（2）若AB＝5，DF＝ ，求四边形ACFD的面积.
解：∵四边形ACFD是菱形，CD＝AB＝5，
∴DE＝CE＝ CD＝ ，AE＝FE.
∵∠DEF＝90°，DF＝ ，
∴FE＝ ＝ ＝6，
∴FA＝2FE＝12，
∴S四边形ACFD＝ FA·CD＝ ×12×5＝30，即四边形ACFD的面积为30.
考点三　正方形的判定与性质
【例5】（2025·南山区模拟）我们都知道，四边形具有不稳定性.老师制作了
一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表小亮在取道具时不小心使教具发
生了形变（如图），若正方形道具边长为10 cm，∠D'＝30°，则四边形的
面积减少了（　A　）
A
A. 50 cm2 B. 50 cm2
C. 100 cm2 D. 100 cm2
解析：∵四边形ABCD是正方形，AB＝10 cm，
∴正方形ABCD的面积＝100 cm2，AB＝BC＝CD＝AD＝10 cm，由题意知A'B＝BC＝CD'＝A'D'＝10 cm，
∴四边形A'BCD'是菱形，
∴∠A'BC＝∠D'＝30°.
如图，过点A'作A'H⊥BC于点H，则∠A'HB＝90°，
∴A'H＝ A'B＝5 cm，
∴菱形A'BCD'的面积＝BC·A'H＝10×5＝50（cm2）.
∵正方形ABCD的面积－菱形A'BCD'的面积＝50 cm2，
∴四边形的面积减少了50 cm2.故选A.
【例6】（2025·福田区期中）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交
BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O.
（1）求证：四边形ABEF是正方形；
证明：在矩形ABCD中，∠BAF＝∠ABE＝90°.
∵EF⊥AD，
∴四边形ABEF是矩形.
∵AE平分∠BAD，
∴EF＝EB，
∴四边形ABEF是正方形.
（2）若AD＝AE，求证：AB＝AG；
证明：∵AE平分∠BAD，
∴∠DAG＝∠BAE.
在△AGD和△ABE中，
∴△AGD≌△ABE（AAS），
∴AB＝AG.
（3）在（2）的条件下，已知AB＝1，求OF的长.
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAF＝∠ABE＝90°.
∵EF⊥AD，
∴四边形ABEF是矩形.
∵AE平分∠BAD，
∴EF＝EB，∠BAE＝∠DAG＝45°，
∴四边形ABEF是正方形，
∴AB＝AF＝1.
∵△AGD≌△ABE，
∴DG＝AB＝AF＝AG＝1，
∴AD＝ ，
∠DAG＝∠ADG＝45°，
∴DF＝ －1.
∵EF⊥AD，
∴∠FDO＝∠FOD＝45°，
∴OF＝DF＝ －1.
1. （2025·深圳校级期中）下列说法正确的是（　C　）
A. 菱形的四个内角都是直角
B. 矩形的对角线互相垂直
C. 正方形的每一条对角线平分一组对角
D. 平行四边形是轴对称图形
C
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2. （2025·深圳模拟）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
OA＝OC，AD∥BC，则下列说法错误的是（　D　）
A. 若AC＝BD，则四边形ABCD是矩形
B. 若BD平分∠ABC，则四边形ABCD是菱形
C. 若AB⊥BC且AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形
D. 若AB＝BC且AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形
D
第2题图
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3. （2025·深圳模拟）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成
的，根据实际需要可以调节A，E间的距离.若A，E间的距离调节到90
cm，菱形的边长AB＝30 cm，则∠DCB的度数是（　C　）
A. 80° B. 100° C. 120° D. 140°
第3题图
C
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解析：如图，连接AC，
∵A，E间的距离为90 cm，
∴3AC＝90，解得AC＝30，
∴AC的长是30 cm.
∵四边形ABCD是菱形，AB＝30 cm，
∴BC＝AB＝30 cm，CD∥AB，
∴AC＝BC＝AB.
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠DCB＝180°－∠B＝180°－60°＝120°，故选C.
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4. （2025·福田区校级期中）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD
交于点O，DE⊥AB于点E，F是线段AD的中点，连接OF. 若OA＝4，
OF＝ ，则DE的长为（　D　）
A. B. C. D.
D
第4题图
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解析：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OD＝OB，
∴∠AOD＝90°.
∵F是线段AD的中点，OF＝ ，
∴OF＝ AD＝ ，
∴AB＝AD＝5.
∵OA＝4，
∴AC＝2OA＝8，OD＝ ＝ ＝3，
∴BD＝2OD＝6.
∵ ＝5DE＝ ×8×6，
∴DE＝ .故选D.
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5. （2025·龙岗区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交
于点O，∠ABD＝60°，AE⊥BD，垂足为点E，F是OC的中点，连接
EF，若AB＝4，则EF的长是（　D　）
A. 3 B. 4 C. 4 D. 2
第5题图
D
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解析：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O，
∴∠ABC＝90°，OA＝OC＝ AC，OB＝OD＝ BD，且AC＝BD，
∴OA＝OB.
∵∠ABD＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OC＝ AC，
∴AC＝2AB＝8，
∴BC＝ ＝ ＝4 .
∵AE⊥BD于点E，
∴E为OB的中点，
∵F是OC的中点，
∴EF＝ BC＝2 ，故选D.
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6. （2025·龙华区校级二模）如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方
形，且点E，G分别在边AB，AD上，BC＝6，EF＝2，连接BF并延长，
交边AD于点H，连接CH，则CH的长为（　D　）
A. 6 B. 4 C. 4 D. 3
第6题图
D
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解析：∵四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，BC＝6，EF＝2，
∴AB＝AD＝CD＝6，∠A＝∠D＝90°，AE＝EF＝AG＝2，
EF∥AG，
∴BE＝4，
∴∠FEB＝∠A.
∵∠EBF＝∠ABH，
∴△BEF∽△BAH，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴AH＝3，
∴DH＝3.
在Rt△DCH中，由勾股定理得CH＝ ＝ ＝3 ，
故选D.
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7. （2025·广东）如图，在矩形ABCD中，E，F是BC边上的三等分点，连
接DE，AF相交于点G，连接CG. 若AB＝8，BC＝12，则tan∠GCF的值
是（　B　）
A. B. C. D.
第7题图
B
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解析：如图，过点G作GM⊥BC于点M，
在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，∠B＝90°，
∵点E，F是BC的三等分点，
∴BE＝EF＝CF＝ BC＝4，
∴BF＝BE＋EF＝8，
∴AB＝BF＝8，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴∠BFA＝45°，同理△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CED＝45°，
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∴△GEF是等腰直角三角形.
∵GM⊥EF，
∴GM＝EM＝FM＝ EF＝2，
∴CM＝CF＋MF＝4＋2＝6，
在Rt△GMC中，tan∠GCF＝ ＝ ＝ .故选B.
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8. （2025·深圳模拟）如图，四边形ABCD和CEFG均为正方形，连接AF交
CD于点M，点M恰好为CD中点，若AB＝6，则CE的长为 .
第8题图
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解析：∵四边形ABCD是正方形，AB＝6，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，AD∥BC.
∵点M恰好为CD中点，
∴DM＝CM＝3.
∵四边形CEFG是正方形，
∴设CE＝EF＝FG＝GC＝a，CE∥FG，
∴BC∥FG∥AD，MG＝MC－GC＝3－a，
∴△ADM∽△FGM，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，解得a＝2，
∴CE的长为2.故答案为2.
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9. （2025·福田区校级三模）如图，在菱形ABCD中，∠C＝120°，AD＝
2，E是AB上一点，将菱形ABCD沿DE翻折使点B的对应点B'刚好落在DA
的延长线上，则折痕DE的长为 .
第9题图
　
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解析：过点C'作C'G⊥AD于点G，过点A作AF⊥ED于点F，
∵菱形ABCD中，∠C＝120°，AD＝2，E是AB上一点，
将菱形ABCD沿DE翻折使点B的对应点B'刚好落在DA的延长线上，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝C'B'＝C'D＝2，∠C＝∠B'C'D＝∠BAD＝
120°，∠B＝∠C'B'E＝∠ADC＝60°，
∴∠C'B'D＝∠C'DB'＝30°，∠B'AB＝60°，
B'G＝GD＝ B'D，∠AB'E＝30°，
∴C'G＝ B'C'＝1，∠AEB'＝90°，
∴B'D＝2B'G＝2 ＝2 ，
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∴B'A＝B'D－AD＝2 －2.
∵∠AB'E＝30°，
∴AE＝ B'A＝ －1.
∵∠C'DE＝∠CDE，
∴30°＋∠ADE＝60°－∠ADE，
∴∠ADE＝15°，
∴∠AEF＝∠B'AE－∠ADE＝45°，
∴AE＝ ＝ EF＝ AF，
∴EF＝AF＝ ，
∴DF＝ ＝ ，
∴DE＝EF＋DF＝ ＋ ＝ .故答案为 .
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10. （2025·宝安区模拟）在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，在AB、AD上
分别有一点E、F，连接CE、BF交于点G，若2AE＝BE，∠EGF＝
60°，则 的值为 　 　.
第10题图
　
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解析：如图，连接BD交CE于点K，过点K作KH⊥BC于点H，设AE＝a，
∵2AE＝BE，
∴BE＝2a，
∴AB＝AE＋BE＝3a.
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120°，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝3a，∠ADB＝∠CDB＝
∠ADC＝60°，∠ABC＝∠ADC＝120°，AB∥CD，
∴△ABD和△CBD都是等边三角形，
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∴∠CBK＝∠A＝60°，BD＝AB＝3a.
∵AB∥CD，
∴△CDK∽△EBK，
∴ ＝ ＝ ＝ ＝ .设DK＝3x，BK＝2x，
∴BD＝BK＋DK＝5x＝3a，
∴x＝ ，
∴BK＝2x＝ .
∵KH⊥BC，
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∴在Rt△BKH中，∠BKH＝90°－∠CBK＝30°，
∴BH＝ BK＝ ，由勾股定理得KH＝
＝ ＝ ，
∴CH＝BC－BH＝3a－ ＝ ，
在Rt△CKH中，由勾股定理得CK＝ ＝
＝ ，
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由 ＝ ，得EK＝ CK＝ × ＝ ，
∴CE＝CK＋EK＝ ＋ ＝ a.
在△BCE中，∠BEC＋∠BCK＝180°－∠ABC＝60°，
∵∠EGF＝60°，且∠EGF是△GBE的外角，
∴∠EGF＝∠BEC＋∠ABF＝60°，
∴∠BCK＝∠ABF.
在△BCK和△ABF中，
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∴△BCK≌△ABF（ASA），
∴BF＝CK＝ ，
∴ ＝ ＝ .
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11. （2024·龙岗区校级期末）如图，已知△ABC中，D是BC边上一点，过
点D分别作DE∥AC交AB于点E，作DF∥AB交AC于点F，连接AD.
（1）下列条件：
①D是BC边的中点；
②AD是△ABC的角平分线；
③点E与点F关于直线AD对称.
请从中选择一个能证明四边形AEDF是菱形的条件，
并写出证明过程.
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解：（1）选择条件②：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD.
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AFDE是平行四边形，∠EAD＝∠FDA，
∴∠FDA＝∠FAD，
∴AF＝DF，
∴平行四边形AFDE是菱形.
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选择条件③：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AFDE是平行四边形.
∵点E与点F关于直线AD对称，
∴DE＝DF，
∴平行四边形AFDE是菱形.
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（2）若四边形AEDF是菱形，且AE＝4，CF＝2，求BE的长.
解：∵四边形AFDE是菱形，AE＝4，
∴AE＝AF＝DE＝4，
∴AC＝AF＋CF＝6.
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BCA，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴BE＝8.
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参考答案
【知识要点】
1. （1）直角　（2）相等　（3）直角
2. （1）直角　（2）相等　（3）中心对称
3. （1）相等　（2）垂直　（3）相等
4. （1）相等　（2）垂直平分　一组对角　（3）一半　（4）中心
5. （1）相等　直角　（2）相等　（3）直角
6. （1）直角　（2）相等　（3）相等　垂直平分　（4）中心
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1. ①②④　解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD.
∵CE＝CD，
∴CE＝AB，
∴四边形ABEC是平行四边形.
∵AD∥BC，
∴∠ACF＝∠DAC，
∵∠DAC＝∠EAC，
∴∠ACF＝∠EAC，
∴AF＝FC.
【对点练习】
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∵四边形ABEC是平行四边形，
∴AF＝ AE，CF＝ BC，
∴AE＝BC，
∴四边形ABEC是矩形，故①符合题意；
∵AD＝AE，AD＝BC，
∴AE＝BC，
∵四边形ABEC是平行四边形，
∴四边形ABEC是矩形.
故②符合题意；
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∵∠AFC＝2∠ABC，∠AFC＝∠ABC＋∠BAF，
∴∠ABC＝∠BAF，
∴AF＝BF.
∵四边形ABEC是平行四边形，
∴AF＝ AE，BF＝ BC，
∴AE＝BC，
∴四边形ABEC是矩形，故④符合题意；
由AB＝AD不能推出四边形ABEC是矩形，
∴使四边形ABEC是矩形可以选择的是①②④.
故答案为①②④.
2. 　3.D　4.D　5.C
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6. D　解析：如图，过点A作AP⊥AE交DE于点P，设AB，DE交于点F，在正方形ABCD中，∠BAD＝90°，AD＝AB，
∴∠BAD＝∠EAP＝90°，
∴∠BAE＝∠DAP.
∵BE⊥DE，
∴∠BAD＝∠BED＝90°.
∵∠AFD＝∠BFE，
∴∠ABE＝∠ADP. 在△ABE和△ADP中，
∵∠ABE＝∠ADP，AD＝AB，∠BAE＝∠DAP，
∴△ABE≌△ADP（ASA），
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∴AP＝AE＝1，DP＝BE＝ ，
∴△APE是等腰直角三角形，
∴PE＝ AE＝ ，
∴DE＝PE＋DP＝2 .故选D.
【典例精讲】
【例1】4.8　 解析：如图，连接CP，
∵∠ACB＝90°，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，
∴∠ACB＝∠PFC＝∠PEC＝90°，
∴四边形CEPF是矩形，
∴EF＝CP. 要使EF最小，只要CP最小即可，
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当CP⊥AB时，CP最小，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
由勾股定理得AB＝10，由三角形面积公式得 ×8×6＝ ×10×CP，
∴CP＝4.8，即EF＝4.8，故答案为4.8.
【例2】解：（1）AO＝CO，
理由如下：∵AD∥BC，
∴∠FAO＝∠ECO.
∵EF⊥AC，
∴∠AOF＝∠COE＝90°.
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又∵AO＝CO，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴OE＝OF.
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（2）∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝ ＝10.
∵EF⊥AC，
∴∠AOF＝∠COE＝90°.
∵AD∥BC，
∴∠FAO＝∠ECO.
又∵FO＝EO，
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴AO＝CO＝5.
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在Rt△COE中，tan∠OCE＝ ＝ ，
在Rt△ACB中，tan∠ACB＝ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴OE＝ ，
∴EF＝ .
【例3】B
【例4】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
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∴AD∥BC，AD＝BC.
∵点F在BC的延长线上，且CF＝BC，
∴AD∥CF，AD＝CF，
∴四边形ACFD是平行四边形.
∵CD∥AB，FA⊥AB交CD于点E，
∴∠CEF＝∠BAF＝90°，
∴FA⊥CD，
∴四边形ACFD是菱形.
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（2）解：∵四边形ACFD是菱形，CD＝AB＝5，
∴DE＝CE＝ CD＝ ，AE＝FE.
∵∠DEF＝90°，DF＝ ，
∴FE＝ ＝ ＝6，
∴FA＝2FE＝12，
∴S四边形ACFD＝ FA·CD＝ ×12×5＝30，
即四边形ACFD的面积为30.
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【例5】A　解析：∵四边形ABCD是正方形，AB＝10 cm，
∴正方形ABCD的面积＝100 cm2，AB＝BC＝CD＝AD＝10 cm，由题意知A'B＝BC＝CD'＝A'D'＝10 cm，
∴四边形A'BCD'是菱形，
∴∠A'BC＝∠D'＝30°.
如图，过点A'作A'H⊥BC于点H，则∠A'HB＝90°，
∴A'H＝ A'B＝5 cm，
∴菱形A'BCD'的面积＝BC·A'H＝10×5＝50（cm2）.
∵正方形ABCD的面积－菱形A'BCD'的面积＝50 cm2，
∴四边形的面积减少了50 cm2.故选A.
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【例6】（1）证明：在矩形ABCD中，∠BAF＝∠ABE＝90°.
∵EF⊥AD，
∴四边形ABEF是矩形.
∵AE平分∠BAD，
∴EF＝EB，
∴四边形ABEF是正方形.
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（2）证明：∵AE平分∠BAD，
∴∠DAG＝∠BAE. 在△AGD和△ABE中，
∴△AGD≌△ABE（AAS），
∴AB＝AG.
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（3）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAF＝∠ABE＝90°.
∵EF⊥AD，
∴四边形ABEF是矩形.
∵AE平分∠BAD，
∴EF＝EB，∠BAE＝∠DAG＝45°，
∴四边形ABEF是正方形，
∴AB＝AF＝1.
∵△AGD≌△ABE，
∴DG＝AB＝AF＝AG＝1，
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∴AD＝ ，∠DAG＝∠ADG＝45°，
∴DF＝ －1.
∵EF⊥AD，
∴∠FDO＝∠FOD＝45°，
∴OF＝DF＝ －1.
【当堂检测】
1. C　2.D　
3. C　解析：如图，连接AC，
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∵A，E间的距离为90 cm，
∴3AC＝90，
解得AC＝30，∴AC的长是30 cm.
∵四边形ABCD是菱形，AB＝30 cm，
∴BC＝AB＝30 cm，CD∥AB，
∴AC＝BC＝AB.
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠DCB＝180°－∠B＝180°－60°＝120°，故选C.
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4. D　解析：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OD＝OB，
∴∠AOD＝90°.
∵F是线段AD的中点，OF＝ ，
∴OF＝ AD＝ ，
∴AB＝AD＝5.
∵OA＝4，
∴AC＝2OA＝8，OD＝ ＝ ＝3，
∴BD＝2OD＝6.
∵ ＝5DE＝ ×8×6，
∴DE＝ .故选D.
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5. D　 解析：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O，
∴∠ABC＝90°，OA＝OC＝ AC，OB＝OD＝ BD，且AC＝BD，
∴OA＝OB.
∵∠ABD＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OC＝ AC，
∴AC＝2AB＝8，
∴BC＝ ＝ ＝4 .
∵AE⊥BD于点E，
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∴E为OB的中点，
∵F是OC的中点，
∴EF＝ BC＝2 ，故选D.
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6. D　 解析：∵四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，
BC＝6，EF＝2，
∴AB＝AD＝CD＝6，∠A＝∠D＝90°，AE＝EF＝AG＝2，
EF∥AG，
∴BE＝4，
∴∠FEB＝∠A.
∵∠EBF＝∠ABH，
∴△BEF∽△BAH，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
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∴AH＝3，
∴DH＝3.
在Rt△DCH中，由勾股定理得CH＝ ＝ ＝3 ，
故选D.
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7. B　解析：如图，过点G作GM⊥BC于点M，
在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，∠B＝90°，
∵点E，F是BC的三等分点，
∴BE＝EF＝CF＝ BC＝4，
∴BF＝BE＋EF＝8，
∴AB＝BF＝8，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴∠BFA＝45°，同理△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CED＝45°，
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∴△GEF是等腰直角三角形.
∵GM⊥EF，
∴GM＝EM＝FM＝ EF＝2，
∴CM＝CF＋MF＝4＋2＝6，
在Rt△GMC中，tan∠GCF＝ ＝ ＝ .故选B.
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8.2　解析：∵四边形ABCD是正方形，AB＝6，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，AD∥BC.
∵点M恰好为CD中点，
∴DM＝CM＝3.
∵四边形CEFG是正方形，
∴设CE＝EF＝FG＝GC＝a，CE∥FG，
∴BC∥FG∥AD，MG＝MC－GC＝3－a，
∴△ADM∽△FGM，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，解得a＝2，
∴CE的长为2.故答案为2.
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9. 　 解析：过点C'作C'G⊥AD于点G，过点A作AF⊥ED于点F，
∵菱形ABCD中，∠C＝120°，AD＝2，E是AB上一点，
将菱形ABCD沿DE翻折使点B的对应点B'刚好落在DA的延长线上，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝C'B'＝C'D＝2，∠C＝∠B'C'D＝∠BAD＝
120°，∠B＝∠C'B'E＝∠ADC＝60°，
∴∠C'B'D＝∠C'DB'＝30°，∠B'AB＝60°，B'G＝GD＝ B'D，∠AB'E
＝30°，
∴C'G＝ B'C'＝1，∠AEB'＝90°，
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∴B'D＝2B'G＝2 ＝2 ，
∴B'A＝B'D－AD＝2 －2.
∵∠AB'E＝30°，
∴AE＝ B'A＝ －1.
∵∠C'DE＝∠CDE，
∴30°＋∠ADE＝60°－∠ADE，
∴∠ADE＝15°，
∴∠AEF＝∠B'AE－∠ADE＝45°，
∴AE＝ ＝ EF＝ AF，
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∴EF＝AF＝ ，
∴DF＝ ＝ ，
∴DE＝EF＋DF＝ ＋ ＝ .故答案为 .
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10. 　解析：如图，连接BD交CE于点K，过点K
作KH⊥BC于点H，设AE＝a，
∵2AE＝BE，
∴BE＝2a，
∴AB＝AE＋BE＝3a.
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120°，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝3a，∠ADB＝∠CDB＝ ∠ADC＝60°，
∠ABC＝∠ADC＝120°，AB∥CD，
∴△ABD和△CBD都是等边三角形，
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∴∠CBK＝∠A＝60°，BD＝AB＝3a.
∵AB∥CD，
∴△CDK∽△EBK，
∴ ＝ ＝ ＝ ＝ .设DK＝3x，BK＝2x，
∴BD＝BK＋DK＝5x＝3a，
∴x＝ ，
∴BK＝2x＝ .
∵KH⊥BC，
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∴在Rt△BKH中，∠BKH＝90°－∠CBK＝30°，
∴BH＝ BK＝ ，由勾股定理得KH＝ ＝
＝ ，
∴CH＝BC－BH＝3a－ ＝ ，
在Rt△CKH中，由勾股定理得CK＝ ＝
＝ ，
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由 ＝ ，得EK＝ CK＝ × ＝ ，
∴CE＝CK＋EK＝ ＋ ＝ a.
在△BCE中，∠BEC＋∠BCK＝180°－∠ABC＝60°，
∵∠EGF＝60°，且∠EGF是△GBE的外角，
∴∠EGF＝∠BEC＋∠ABF＝60°，
∴∠BCK＝∠ABF. 在△BCK和△ABF中，
∴△BCK≌△ABF（ASA），
∴BF＝CK＝ ，
∴ ＝ ＝ .
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11. 解：（1）选择条件②：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD.
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AFDE是平行四边形，∠EAD＝∠FDA，
∴∠FDA＝∠FAD，
∴AF＝DF，
∴平行四边形AFDE是菱形.
选择条件③：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AFDE是平行四边形.
∵点E与点F关于直线AD对称，
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∴DE＝DF，
∴平行四边形AFDE是菱形.
（2）∵四边形AFDE是菱形，AE＝4，
∴AE＝AF＝DE＝4，
∴AC＝AF＋CF＝6.
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BCA，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴BE＝8.
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