资源简介

(共69张PPT)
第一部分　教材复习篇
第四单元　三角形
第18讲　全等三角形
近五年深
圳市中考
考查情况 年份 题型 分
值 难易
程度 考点 备注
2021 未考查 2022 填
空 3 中等 三角形全等、等
腰三角形的性质 考查全等三角形的判
定定理
2023 填
空 3 中等 三角形全等、直
角三角形的性质 三角形全等、直角三
角形性质的综合考题
近五年深
圳市中考
考查情况 年份 题型 分
值 难易
程度 考点 备注
2024 选择 3 容易 全等三角形的判
定 考查了全等三角形的
判定定理
2025 填空 3 中等 全等三角形的判
定、圆周角定理 考查了全等三角形的
判定定理
命题 规律 　　全等三角形知识点考查的题型以解答题为主，属中档题，
难度一般不大，分值3～5分，掌握特殊三角形判定定理并灵活
运用即可.
知识要点
1. 全等三角形的概念
能够 的两个三角形叫全等三角形.
2. 全等三角形的性质
全等三角形的对应边 ，对应角 .
完全重合　
相等　
相等　
3. 全等三角形的判定定理
判定 方法 文字语言 图形 几何语言
边边边 （SSS） 分别相等的两个三角形全等
∴△ABC≌△DEF
三边　
判定 方法 文字语言 图形 几何语言
边角边 （SAS） 两边及其 分别相等的两个三角形全等
∴△ABC≌△DEF
夹角　
判定方法 文字语言 图形 几何语言
角边角 （ASA） 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
∴△ABC≌△DEF
判定方法 文字语言 图形 几何语言
角角边 （AAS） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
∴△ABC≌△DEF
判定方法 文字语言 图形 几何语言
斜边、直 角边 （HL） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
∴Rt△ABC≌Rt△
DEF
注：一般情况下，角角角（AAA）和边边角（SSA）不能证明两个三角
形全等.
对点练习
1. （2025·龙岗校级模拟）下列条件中，能判定两个三角形全等的是
（　B　）
A. 有一个内角是50°的两个直角三角形
B. 有一个内角是50°的两个等腰三角形
C. 有一个内角为50°且腰长为6 cm的两个等腰三角形
D. 有一个内角为100°且腰长为6 cm的两个等腰三角形
B
2. （2025·福田区一模）如图，△ABC≌△ADE，∠B＝80°，∠C＝30°，
∠DAC＝30°，则∠EAC的度数为（　B　）
A. 40° B. 35° C. 30° D. 25°
B
3. （1）（2025·坪山区期末）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD
与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定
△ABE≌△ACD（　B　）
A. ∠B＝∠C B. BE＝CD
C. BD＝CE D. AD＝AE
B
（2）（2025·云南）如图，AB与CD相交于点O，AC＝BD，∠C＝∠D.
求证：△AOC≌△BOD.
解：在△AOC和△BOD中，
∴△AOC≌△BOD（AAS）.
考点一　全等三角形的性质
【例1】如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为
AA'，BB'的中点，只要量出A'B'的长度，就可以知道该零件内径AB的长度.
依据的数学基本事实是（　A　）
A
A. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C. 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
D. 两点之间线段最短
考点二　全等三角形的判定
【例2】如图，在正方形ABCD的边CD上有一点E，连接AE，把AE绕点E
逆时针旋转90°，得到FE，连接CF并延长与AB的延长线交于点G，则
的值为（　A　）
A. B. C. D.
A
解析：如图，过点F作FH⊥DC交DC的延长线于点H，
∴∠H＝90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝90°，AD＝DC.
∵AE绕点E逆时针旋转90°，得到FE，
∴AE＝FE，∠AEF＝90°.
∵∠DAE＋∠AED＝90°，∠HEF＋∠AED＝90°，
∴∠DAE＝∠HEF.
在△ADE和△EHF中，
∴△ADE≌△EHF（AAS），
∴AD＝EH，DE＝HF，
∴EH＝DC，
∴DE＝CH＝HF，
∴∠HCF＝45°，
∴∠G＝45°.设CH＝HF＝DE＝x，正方形边长为y，
则CE＝y－x，CF＝ x，CG＝ y，
∴FG＝CG－CF＝ y－ x，
∴ ＝ .故选A.
【例3】（2025·罗湖区期末）如图，点D在边AB上，ED＝AB，∠E＝
∠A，∠EDA＝∠DCB.
（1）证明：△ECD≌△ACB；
证明：在△AFD中，∠A＋∠AFD＋∠EDA＝180°，
在△EFC中，∠E＋∠EFC＋∠ECA＝180°，
∵∠A＝∠E，∠AFD＝∠EFC，
∴∠EDA＝∠ECA.
又∵∠EDA＝∠DCB，
∴∠ECA＝∠DCB，
∴∠ECA＋∠ACD＝∠DCB＋∠ACD，
∴∠ECD＝∠ACB.
在△ECD和△ACB中，
∴△ECD≌△ACB（AAS）.
（2）若AD＝CD，∠EDA＝40°，求∠A的度数.
解：∵∠EDA＝40°，
∴∠DCB＝∠EDA＝40°.
∵△ECD≌△ACB，
∴∠CDE＝∠B，CD＝CB，
∴∠CDB＝∠B.
在△CDB中，∠CDB＋∠B＋∠DCB＝180°，
∴2∠B＋40°＝180°，
∴∠B＝70°，
∴∠CDE＝∠B＝70°，
∴∠ADC＝∠EDA＋∠CDE＝40°＋70°＝110°.
∵AD＝CD，
∴∠A＝∠DCA. 在△ADC中，∠A＋∠DCA＋∠ADC＝180°，
∴2∠A＋110°＝180°，
∴∠A＝35°.
考点三　全等三角形的判定与性质
【例4】（2025·宝安区校级月考）“风筝飞满天，笑语乐无边”，由喜闻乐见
的风筝可以抽象得到一种特殊的四边形——筝形.如图，在四边形ABCD中，
AB＝AD，CB＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形.
（1）初步认识筝形后，数学活动小组的同学通过观察、测量、折纸等方法
猜想筝形有什么性质，请你试着写出图中筝形的两条性质（定义除外）：
① ；② ；
AC垂直平分BD
△ABC≌△ADC
（2）选择（1）题中你写的其中一条筝形的性质进行证明；
解：选择性质①：
证明：∵AB＝AD，CB＝CD，
∴点A，C均在线段BD的中垂线上，
∴AC垂直平分BD.
证明：∵AB＝AD，BC＝CD，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC.
选择性质②：
（3）如图，若AC＝10，BD＝6，求筝形ABCD的面积.
解：∵AC垂直平分BD，
∴S筝形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝ BD·AO＋ BD·CO＝ BD·（AO＋CO）
＝ BD·AC＝ ×6×10＝30.
1. 如图，已知△ABC的三个角和三条边，则甲、乙、丙、丁四个三角形中，
一定和△ABC全等的图形是（　B　）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
B
1
2
3
4
5
6
7
8
2. （2025春·龙岗区校级）如图，已知△ACE≌△DBF，下列结论中正确的个数是（　C　）
①AC＝DB；②AB＝DC；③∠1＝∠2；④AE∥DF；
⑤S△ACE＝S△DFB；⑥BC＝AE.
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
C
1
2
3
4
5
6
7
8
3. （2025·南山区模拟）如图，△ABC≌△DEF，点A，B，C的对应点分别
是点D，E，F，且B，E，C，F四点在同一直线上，BC＝7，BF＝10，
那么EC的长为 .
第3题图
4　
1
2
3
4
5
6
7
8
4. （2025·盐田区校级期末）如图是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦
图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连接DF. 若EF＝ BG，DF＝
2 ，则正方形ABCD的面积为 .
第4题图
12　
解析：由题意得，BG＝AF，由条件可知EF＝ AF，
又∵DE⊥AF，
∴DE垂直平分AF，
∴DF＝AD＝2 ，
∴S正方形ABCD＝ ＝12，故答案为12.
1
2
3
4
5
6
7
8
5. （2025·罗湖区校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝46°，D是边BC
上的一点，DC＝AB，∠DAB＝21°，则∠CAD的度数为 .
第5题图
67°　
1
2
3
4
5
6
7
8
解析：如图，在CD上取点E，使得CE＝BD，
∵DC＝AB，
∴BE＝CD＝AB，
∴∠BAE＝∠BEA＝ （180°－46°）＝67°，
∴∠DAE＝67°－21°＝46°.
又∠AED＝67°，
∴∠ADE＝67°，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，∠ADB＝∠AEC.
1
2
3
4
5
6
7
8
在△ADB和△AEC中，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴∠DAB＝∠CAE＝21°，
∴∠CAD＝∠DAE＋∠CAE＝46°＋21°＝67°.故答案为67°.
1
2
3
4
5
6
7
8
6. （2025·宝安区模拟）如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是
斜边BC的中点，∠EDF＝90°，E，F分别在边AB，AC上，若BE＝
12，CF＝5，则△DEF的面积为 .
第6题图
　
1
2
3
4
5
6
7
8
解析：如图，连接AD，
∵在Rt△ABC中，AB＝AC，AD为BC边的中线，
∴∠DAC＝∠BAD＝∠C＝45°，AD⊥BC，AD＝DC.
又∵DE⊥DF，AD⊥DC，
∴∠EDA＋∠ADF＝∠CDF＋∠FDA＝90°，
∴∠EDA＝∠CDF. 在△AED与△CFD中，
∴△AED≌△CFD（ASA）.
1
2
3
4
5
6
7
8
∴AE＝CF＝5，同理AF＝BE＝12.
∵∠EAF＝90°，
∴EF2＝AE2＋AF2＝52＋122＝169.
∴EF＝13.
∵DE＝DF，
∴△DEF为等腰直角三角形，DE2＋DF2＝EF2＝169，
∴DE＝DF＝ ，
∴S△DEF＝ × ×2＝ .故答案为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
7. （2025·盐田区期中）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝45°，
BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，BE与AD相交于F.
（1）求证：BF＝AC；
证明：∵AD⊥BD，∠ABC＝45°，
∴AD＝BD.
∵∠BFD＝∠AFE，∠AFE＋∠CAD＝90°，
∠CAD＋∠ACD＝90°，
∴∠BFD＝∠ACD.
1
2
3
4
5
6
7
8
在△BDF和△ADC中，
∴△BDF≌△ADC（AAS），
∴BF＝AC.
1
2
3
4
5
6
7
8
（2）若CD＝5，求AF的长.
解：如图，连接CF，
∵△BDF≌△ADC，
∴DF＝DC.
∵CD＝5，
∴CF＝ CD＝5 .
∵AB＝BC，BE⊥AC，
∴AE＝EC，
∴AF＝CF，
∴AF＝5 .
1
2
3
4
5
6
7
8
8. （2025·深圳校级模拟）新知学习：若一条线段把一个平面图形分成面积相
等的两部分，我们把这条线段叫做该平面图形的二分线.
解决问题：
1
2
3
4
5
6
7
8
（1）①三角形的中线、高线、角平分线中，一定是三角形的二分线的
是 ；
②如图1，已知△ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，DC
上，连接EF，与AD交于点G. 若S△AEG＝S△DGF，则EF （填“是”或
“不是”）△ABC的一条二分线.
三角形的中线
是　
1
2
3
4
5
6
7
8
解析：∵AD是BC边上的中线，
∴S△ABD＝S△ACD＝ S△ABC.
∵S△AEG＝S△DGF，
∴S四边形BDGE＋S△AEG＝S四边形BDGE＋S△DGF，
∴S△BEF＝S△ABD＝ S△ABC，
∴EF是△ABC的一条二分线.故答案为是.
1
2
3
4
5
6
7
8
（2）如图2，四边形ABCD中，CD∥AB，点G是AD的中点，射线CG交
射线BA于点E，取EB的中点F，连接AC，CF. 求证：CF是四边形ABCD
的二分线.
1
2
3
4
5
6
7
8
证明：∵点F是EB的中点，
∴S△CBF＝
∵AB∥DC，
∴∠E＝∠DCG.
∵点G是AD的中点，
∴DG＝AG. 在△CDG和△EAG中，
∴△CDG≌△EAG（AAS），
1
2
3
4
5
6
7
8
∴S△AEG＝S△DCG，
∴S四边形AFCD＝S△CEF，
∴S四边形AFCD＝S△CBF，
∴CF是四边形ABCD的二分线.
1
2
3
4
5
6
7
8
（3）如图3，在△ABC中，AB＝CB＝CE＝5，D，E分别是线段BC、
AC上的点，且∠BED＝∠A，EF是四边形ABDE的一条二分线，求DF
的长.
1
2
3
4
5
6
7
8
解：如图，延长CB使BH＝CD，连接EH，
∵AB＝CB＝CE＝5，
∴∠A＝∠C，∠CBE＝∠CEB.
∵BC＝5，
∴BD＋CD＝5，
∴DH＝BD＋BH＝5.
∵∠BEC＝∠BED＋∠DEC＝∠A＋∠ABE，且∠BED＝∠A，
∴∠ABE＝∠CED.
∵AB＝CE，∠A＝∠C，
∴△ABE≌△CED（ASA），
1
2
3
4
5
6
7
8
∴AE＝CD，BE＝DE，∠AEB＝∠EDC，S△ABE＝S△EDC，
∴AE＝BH.
∵∠CBE＝∠CEB，
∴∠AEB＝∠EBH，
∴∠EBH＝∠EDC，且BE＝DE，BH＝CD，
∴△BEH≌△DEC（SAS），
∴S△BEH＝S△DEC，
∴S△BEH＝S△DEC＝S△ABE，
∴S△HED＝S四边形ABDE.
1
2
3
4
5
6
7
8
∵EF是四边形ABDE的一条二分线，
∴S△DEF＝ S四边形ABDE＝ S△HED，
∴DF＝ DH＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
参考答案
【知识要点】
1. 完全重合　2.相等　相等　3.三边　夹角
【对点练习】
1. D　2.A
3. 解：（1）B
1
2
3
4
5
6
7
8
（2）在△AOC和△BOD中，
∴△AOC≌△BOD（AAS）.
【典例精讲】
【例1】A　
【例2】A　解析：如图，过点F作FH⊥DC交DC的延长线于点H，
∴∠H＝90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝90°，AD＝DC.
1
2
3
4
5
6
7
8
∵AE绕点E逆时针旋转90°，得到FE，
∴AE＝FE，∠AEF＝90°.
∵∠DAE＋∠AED＝90°，∠HEF＋∠AED＝90°，
∴∠DAE＝∠HEF. 在△ADE和△EHF中，
∴△ADE≌△EHF（AAS），
∴AD＝EH，DE＝HF，
∴EH＝DC，
∴DE＝CH＝HF，
1
2
3
4
5
6
7
8
∴∠HCF＝45°，
∴∠G＝45°.设CH＝HF＝DE＝x，正方形边长为y，
则CE＝y－x，CF＝ x，CG＝ y，
∴FG＝CG－CF＝ y－ x，
∴ ＝ .故选A.
【例3】（1）证明：在△AFD中，∠A＋∠AFD＋∠EDA＝180°，
在△EFC中，∠E＋∠EFC＋∠ECA＝180°，
∵∠A＝∠E，∠AFD＝∠EFC，
∴∠EDA＝∠ECA.
1
2
3
4
5
6
7
8
又∵∠EDA＝∠DCB，
∴∠ECA＝∠DCB，
∴∠ECA＋∠ACD＝∠DCB＋∠ACD，
∴∠ECD＝∠ACB. 在△ECD和△ACB中，
∴△ECD≌△ACB（AAS）.
1
2
3
4
5
6
7
8
（2）∵∠EDA＝40°，
∴∠DCB＝∠EDA＝40°.
∵△ECD≌△ACB，
∴∠CDE＝∠B，CD＝CB，
∴∠CDB＝∠B.
在△CDB中，∠CDB＋∠B＋∠DCB＝180°，
∴2∠B＋40°＝180°，
∴∠B＝70°，
∴∠CDE＝∠B＝70°，
∴∠ADC＝∠EDA＋∠CDE＝40°＋70°＝110°.
1
2
3
4
5
6
7
8
∵AD＝CD，
∴∠A＝∠DCA. 在△ADC中，∠A＋∠DCA＋∠ADC＝180°，
∴2∠A＋110°＝180°，
∴∠A＝35°.
【例4】解：（1）①AC垂直平分BD　②△ABC≌△ADC
（2）选择性质①：
证明：∵AB＝AD，CB＝CD，
∴点A，C均在线段BD的中垂线上，
∴AC垂直平分BD.
选择性质②：证明：∵AB＝AD，BC＝CD，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC.
1
2
3
4
5
6
7
8
（3）∵AC垂直平分BD，
∴S筝形ABCD＝S△ABD＋S△BCD
＝ BD·AO＋ BD·CO
＝ BD·（AO＋CO）
＝ BD·AC
＝ ×6×10
＝30.
1
2
3
4
5
6
7
8
1. B　2.C　3.4　
4.12　解析：由题意得，BG＝AF，由条件可知EF＝ AF，
又∵DE⊥AF，
∴DE垂直平分AF，
∴DF＝AD＝2 ，
∴S正方形ABCD＝ ＝12，故答案为12.
【当堂检测】
1
2
3
4
5
6
7
8
5.67°　解析：如图，在CD上取点E，使得CE＝BD，
∵DC＝AB，
∴BE＝CD＝AB，
∴∠BAE＝∠BEA＝ （180°－46°）＝67°，
∴∠DAE＝67°－21°＝46°.又∠AED＝67°，
∴∠ADE＝67°，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，∠ADB＝∠AEC.
1
2
3
4
5
6
7
8
在△ADB和△AEC中，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴∠DAB＝∠CAE＝21°，
∴∠CAD＝∠DAE＋∠CAE＝46°＋21°＝67°.故答案为67°.
1
2
3
4
5
6
7
8
6. 　解析：如图，连接AD，
∵在Rt△ABC中，AB＝AC，AD为BC边的中线，
∴∠DAC＝∠BAD＝∠C＝45°，AD⊥BC，AD＝DC.
又∵DE⊥DF，AD⊥DC，
∴∠EDA＋∠ADF＝∠CDF＋∠FDA＝90°，
∴∠EDA＝∠CDF. 在△AED与△CFD中，
∴△AED≌△CFD（ASA）.
∴AE＝CF＝5，同理AF＝BE＝12.
1
2
3
4
5
6
7
8
∵∠EAF＝90°，
∴EF2＝AE2＋AF2＝52＋122＝169.
∴EF＝13.
∵DE＝DF，
∴△DEF为等腰直角三角形，DE2＋DF2＝EF2＝169，
∴DE＝DF＝ ，
∴S△DEF＝ × ×2＝ .故答案为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
7. （1）证明：∵AD⊥BD，∠ABC＝45°，
∴AD＝BD.
∵∠BFD＝∠AFE，∠AFE＋∠CAD＝90°，∠CAD＋∠ACD＝90°，
∴∠BFD＝∠ACD. 在△BDF和△ADC中，
∴△BDF≌△ADC（AAS），
∴BF＝AC.
1
2
3
4
5
6
7
8
（2）解：如图，连接CF，
∵△BDF≌△ADC，
∴DF＝DC.
∵CD＝5，
∴CF＝ CD＝5 .
∵AB＝BC，BE⊥AC，
∴AE＝EC，
∴AF＝CF，
∴AF＝5 .
1
2
3
4
5
6
7
8
8. 解：（1）①三角形的中线
②是　解析：∵AD是BC边上的中线，
∴S△ABD＝S△ACD＝ S△ABC.
∵S△AEG＝S△DGF，
∴S四边形BDGE＋S△AEG＝S四边形BDGE＋S△DGF，
∴S△BEF＝S△ABD＝ S△ABC，
∴EF是△ABC的一条二分线.故答案为是.
1
2
3
4
5
6
7
8
（2）证明：∵点F是EB的中点，
∴S△CBF＝
∵AB∥DC，
∴∠E＝∠DCG.
∵点G是AD的中点，
∴DG＝AG. 在△CDG和△EAG中，
∴△CDG≌△EAG（AAS），
∴S△AEG＝S△DCG，
∴S四边形AFCD＝S△CEF，
∴S四边形AFCD＝S△CBF，
∴CF是四边形ABCD的二分线.
1
2
3
4
5
6
7
8
（3）如图，延长CB使BH＝CD，连接EH，
∵AB＝CB＝CE＝5，
∴∠A＝∠C，∠CBE＝∠CEB.
∵BC＝5，
∴BD＋CD＝5，
∴DH＝BD＋BH＝5.
∵∠BEC＝∠BED＋∠DEC＝∠A＋∠ABE，
且∠BED＝∠A，
∴∠ABE＝∠CED.
∵AB＝CE，∠A＝∠C，
1
2
3
4
5
6
7
8
∴△ABE≌△CED（ASA），
∴AE＝CD，BE＝DE，∠AEB＝∠EDC，S△ABE
＝S△EDC，
∴AE＝BH.
∵∠CBE＝∠CEB，
∴∠AEB＝∠EBH，
∴∠EBH＝∠EDC，且BE＝DE，BH＝CD，
∴△BEH≌△DEC（SAS），
∴S△BEH＝S△DEC，
1
2
3
4
5
6
7
8
∴S△BEH＝S△DEC＝S△ABE，
∴S△HED＝S四边形ABDE.
∵EF是四边形ABDE的一条二分线，
∴S△DEF＝ S四边形ABDE＝ S△HED，
∴DF＝ DH＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8(共58张PPT)
第一部分　教材复习篇
第四单元　三角形
第22讲　锐角三角函数及解直角三角形
近五年深
圳市中考
考查情况 年份 题型 分值 难易
程度 考点 备注
2021 选择 3 中等 三角函数的实际应用 利用锐角三角函数知识，结合仰角、俯角、坡度、方向角测量距离或高度
2022 填空、 解答 8 容易 特殊锐角的三角函数值及解直角三角形 掌握三角函数的定义及特殊锐角的三角函数值
近五年深
圳市中考
考查情况 年份 题型 分值 难易
程度 考点 备注
2023 选择、 解答 7 中等、 偏难 特殊角的三角函数值及与其他知识综合应用 利用解直角三角形及特殊三角函数值解决相关问题
2024 选择 3 中等 解直角三角形，锐角三角函数 考查了矩形的判定与性
质，解直角三角形，锐角三角函数等知识
近五年深圳市中考考查情况 年份 题型 分值 难易
程度 考点 备注
2025 选择 3 容易 锐角三角函数的定义 考查了锐角三角函数的定义
命题 规律 　　锐角三角函数及解直角三角形知识点考查的题型呈现多样
化，选择题、填空题、解答题都有出现，中等难度，以测量距
离、高度等解决实际问题为主，分值3～8分，是历年常考知识，
掌握三角函数的定义及特殊锐角三角函数值是解题的关键.
知识要点
1. 三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b，
正弦： sin A＝ ＝ 　 　；
　
余弦： cos A＝ ＝ 　 　；
正切：tan A＝ ＝ 　 　.
　
　
2. 特殊角的三角函数值
α sin α cos α tan α
30°
45°
60°
　
　
　
　
　
1　
　
　
　
3. 解直角三角形
（1）在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐
角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做
.
（2）解直角三角形的常用关系：三边关系（勾股定理） ；
角的关系：两锐角互余；边与角关系： 弦、 弦、正切.
解
直角三角形　
a2＋b2＝c2　
正　
余　
4. 三角函数及其应用
（1）仰角、俯角、坡度、坡角
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做 ；
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做 ；
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的 （或坡比），
记作i＝ ；坡角：坡面与水平面的夹角叫做 ，记作α，i＝tan
α.坡度越大，α角越大，坡面越陡.
仰角　
俯角　
坡度　
　
坡角　
（2）方向角
方向角指的是采用某坐标轴方向作为标准方向所确定的方位角.有时，方向角
是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于 的角.
90°　
对点练习
1. 如图，在点F处看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E，
即EF＝15米，在点E处看点D的仰角为64°，则CD的长用三角函数表示为
（　C　）
A. 15 sin 32° B. 15tan 64°
C. 15 sin 64° D. 15tan 32°
C
2. 计算：2 sin 45°－3－1＋（π－ ）0＋｜ －2｜＋ .
解：原式＝2× － ＋1＋2－ ＋
＝ － ＋3－ ＋
＝3.
3. 如图，AD是△ABC的高，若BD＝2CD＝6，tan C＝2，则AB的长
为 .
6 　
4. 如图，甲、乙两人约好一起去江边垂钓，钓鱼竿AC的长为4 m，露在水面
上的鱼线BC的长为2 m，把鱼竿AC逆时针转运15°到AC'的位置，此时
露在水面上的鱼线B'C'的长度为 m.
2 　
考点一　锐角三角函数
【例1】如图，在平面直角坐标系xOy中，有三点A（0，1），B（4，1），
C（5，6），则 sin ∠BAC＝（　C　）
C
A. B.
C. D.
考点二　解直角三角形
【例2】黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉.在
一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度.具体过程
如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102 m的C处，测得黄鹤楼顶
端A的俯角为45°，底端B的俯角为63°，则测得黄鹤楼的高度是 m.
（参考数据：tan 63°≈2）
51　
例2题图
解析：如图，过点C作CH∥BD交BA的延长线于点H，
由题意得∠ABD＝∠CDB＝90°，
∴∠AHC＝180°－90°＝90°，
∴四边形BDCH是矩形，
∴BH＝CD＝102 m.
在Rt△BCH中，∠BCH＝63°，tan∠BCH＝ ，
∴CH＝ ≈ ＝51（m）.在Rt△ACH中，∠ACH＝45°，
∴∠CAH＝45°＝∠ACH，
∴AH＝CH≈51 m，
∴AB＝BH－AH≈51 m.
答：黄鹤楼的高度约为51 m.
考点三　三角函数的应用
【例3】如图，斜坡CD的坡度i＝1∶2，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树
AB，当太阳光与水平面的夹角为60°时，大树在斜坡上的影子BE长为10
米，则大树AB的高为 米.
例3题图
（4 －2 ）　
解析：如图，过点E作水平地面的平行线，交AB的延长线于点H，则∠BEH＝∠DCF. 在Rt△BEH中，tan∠BEH＝tan∠BCF＝ ＝ ，
设BH＝x米，则EH＝2x米，
∴BE＝ ＝ x＝10米，
∴x＝2 ，
∴BH＝2 米，EH＝4 米.
∵∠EAH＝180°－60°－90°＝30°，
∴AH＝ EH＝4 米，
∴AB＝AH－BH＝（4 －2 ）米.
∴大树AB的高度为（4 －2 ）米.
【例4】某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量
活动.
活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积
测量工具 皮尺、测角仪、计算器等
活
动
过
程 模
型 抽
象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形ABCD，其
示意图如图.
活
动
过
程 测
绘
过 程
与
数 据
信
息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上；
②过点E作GH⊥CE，并沿EH方向前进到点F，用皮尺测得
EF的长为4米；
③在点F处用测角仪测得∠CFG＝60.3°，∠BFG＝45°，
∠AFG＝21.8°；
④用计算器计算得 sin 60.3°≈0.87， cos 60.3°≈0.50，tan
60.3°≈1.75， sin 21.8°≈0.37， cos 21.8°≈0.93，tan
21.8°≈0.40.
请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：
（1）求线段CE和BC的长度；
解：∵GH⊥CE，EF的长为4米，∠CFG＝60.3°，
∴tan∠CFE＝tan 60.3°＝ ≈1.75，
∴CE≈7米.
∵∠BFG＝45°，
∴BE＝EF＝4米，
∴CB＝CE－BE≈7－4＝3（米）.
（2）求底座的底面ABCD的面积.
解：过点A作AM⊥GH于点M，如图所示.
∵∠AFG＝21.8°，
∴tan∠AFG＝tan 21.8°＝ ≈0.4.
∵AM＝BE＝4米，
∴MF≈10米，
∴AB＝ME≈10－4＝6（米），
∴底座的底面ABCD的面积为3×6＝18（平方米）.
【例5】中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡
献.为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站.如图是矩形PQMN
充电站的平面示意图，矩形ABCD是其中一个停车位.经测量，∠ABQ＝
60°，AB＝5.4 m，CE＝1.6 m，GH⊥CD，GH是另一个车位的宽，所有
车位的长宽相同，按图示并列划定.
根据以上信息回答下列问题：（结果精确到0.1 m，参考数据 ≈1.73）
（1）求PQ的长；
解：∵四边形PQMN是矩形，
∴∠Q＝∠P＝90°.在Rt△ABQ中，∠ABQ＝60°，AB＝5.4 m，
∴AQ＝AB· sin ∠ABQ＝ m，∠QAB＝30°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠BAD＝∠BCD＝∠ABC＝∠BCE＝90°，
∴∠CBE＝30°，
∴BC＝ ＝ m，
∴AD＝ m.
∵∠PAD＝180°－30°－90°＝60°，
∴AP＝AD· cos ∠PAD＝ m，
∴PQ＝AP＋AQ＝ ≈6.1（m）.
（2）该充电站有20个停车位，求PN的长.
解：在Rt△BCE中，BE＝ ＝3.2m，在Rt△ABQ中，BQ＝AB· cos ∠ABQ＝2.7 m，
∵该充电站有20个停车位，
∴QM＝QB＋20BE＝66.7 m.
∵四边形PQMN是矩形，
∴PN＝QM＝66.7 m.
1. （2025·深圳模拟）如图，一束太阳光从天花板和落地窗交界处的点P射
入，经过地板MN反射到天花板上形成光斑.中午和下午某时刻光线与地板的
夹角分别为α，β.已知天花板与地面是平行的，且它们之间的距离为3 m，当α
＝45°，β＝30°时，光斑移动的距离AB为（　B　）
A. 3 m B. （6 －6） m
C. （3 －3） m D. 6 m
B
第1题图
1
2
3
4
5
6
解析：如图，过点C作CE⊥PB，垂足E，过点D作DF⊥PB，垂足为F，由题意得CE＝DF＝3 m，△ACP和△BDP都是等腰三角形，BP∥MN，
∴∠APC＝∠PCM＝45°，∠BPD＝∠PDM＝30°.
在Rt△PCE中，PE＝ ＝3 m，
∴AP＝2PE＝6 m.在Rt△PDF中，PF＝ ＝ ＝3 （m），
∴BP＝2PF＝6 m，
∴AB＝BP－AP＝（6 －6）m，
∴光斑移动的距离AB为（6 －6）m，故选B.
1
2
3
4
5
6
2. 如图，某地修建的一座建筑物的截面图的高BC＝5 m，坡面AB的坡度为
1∶ ，则AB的长度为（　A　）
A. 10 m B. 10 m C. 5 m D. 5 m
第2题图
A
1
2
3
4
5
6
3. （2025·宝安区校级三模）如图，化妆镜由镜面和镜柱组成，其中镜面是以
AB为直径的☉O，镜柱为OF，高为5 cm的橡皮CE与镜子在同一水平上
竖立，旋转镜面至∠BOF＝30°，若A，B，C三点共线，OB＝ OC，此
时测得EF＝15 cm，此时A点到桌面的距离为（　B　）
A. cm B. 25 cm
C. cm D. 20 cm
B
第3题图
1
2
3
4
5
6
解析：如图，过点C作CH⊥OF，垂足为H，过点A作AG⊥EF，交EF的延长线于点G，过点O作OM⊥AG，垂足为M，
由题意得CE＝HF＝5 cm，CH＝EF＝15 cm，AG∥OF，
∴∠COH＝∠CAG＝30°.
在Rt△COH中，OC＝2CH＝30 cm，OH＝ CH＝15 cm，
∵OB＝ OC，
∴OB＝OA＝10 cm，
在Rt△AOM中，AM＝AO· cos 30°＝10× ＝5 （cm），
1
2
3
4
5
6
∴AG＝AM＋OH＋HF＝5 ＋15 ＋5 ＝25 （cm），
此时A点到桌面的距离为25 cm，故选B.
1
2
3
4
5
6
4. 如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用
无人机进行测量，他们将无人机上升并飞行至距湖面90 m的点C处，从C点
测得A点的俯角为60°，测得B点的俯角为30°（A，B，C三点在同一竖
直平面内），则湖泊两端A，B的距离为 m（结果保留根号）.
第4题图
120 　
1
2
3
4
5
6
解析：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，由题意得EF∥AB，
∴∠FCA＝∠CAB＝60°，∠ECB＝∠CBA＝30°.
在Rt△ACD中，CD＝90 m，
∴AD＝ ＝ ＝30 （m）.
在Rt△BCD中，BD＝ ＝ ＝90 （m），
∴AB＝AD＋BD＝120 m，
∴湖泊两端A，B的距离为120 m.故答案为120 .
1
2
3
4
5
6
5. 如图1，棱长为9 cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面
高度BM＝7 cm.将此正方体放在坡角为α的斜坡上，此时水面MN恰好与点
A齐平，其主视图如图2所示，则tan α＝ .
　
1
2
3
4
5
6
解析：如图，延长AN，交直线BC于点E，由题意得AD＝BC＝CD＝9 cm，∠D＝90°，AD∥BC，AN∥FG，设DN＝x cm，则CN＝CD－DN＝（9－x）cm，
∵密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为α的斜坡上，容器里水的体积不变；且放在坡角为α的斜坡上时，水的体积等于长为9 cm、宽为9 cm、高为 （9－x）cm的长方体的体积与长为9 cm、宽为9 cm、高为x cm的
长方体的体积的一半之和，
1
2
3
4
5
6
∴9×9（9－x）＋ ×9×9x＝9×9×7，解得x＝4，即DN＝4 cm.
∵AN∥FG，
∴∠AEF＝∠F＝α.
∵AD∥BC，
∴∠DAN＝∠AEF＝α，
∴tan α＝tan∠DAN＝ ＝ .故答案为 .
1
2
3
4
5
6
6. 【问题情境】2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样
探测的新篇章.某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某
个部件使用3D打印完成，如图1.
【问题提出】部件主视图如图2所示，由于l的尺寸不易直接测量，需要设计
一个可以得到l的长度的方案，以检测该部件中l的长度是否符合要求.
【方案设计】兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法.
测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱（圆柱）.
1
2
3
4
5
6
操作步骤：如图3，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧
密贴合.示意图如图4，☉O分别与AC，AD相切于点B，D. 用游标卡尺测量
出CC'的长度y.
1
2
3
4
5
6
【问题解决】已知∠CAD＝∠C'A'D'＝60°，l的长度要求是1.9 cm～2.1
cm.
（1）求∠BAO的度数；
解：∵☉O分别与AC，AD相切于点B，D，
∴AB＝AD，∠OAB＝∠OAD＝ ∠CAD＝30°.
1
2
3
4
5
6
解：∵钢柱的底面圆半径为1 cm，
∴BC＝OB＝1 cm.
∵∠OAB＝30°，∠OBA＝90°，
∴AB＝ ＝ cm，
∴AC＝BC＋AB＝（1＋ ）cm，同理A'C'＝（1＋ ）cm，
∴l＝7.52－2（1＋ ）≈2.06（cm）.
∵1.9＜2.06＜2.1，
∴该部件l的长度符合要求.
（2）已知钢柱的底面圆半径为1 cm，现测得y＝7.52 cm.根据以上信息，通
过计算说明该部件l的长度是否符合要求.（参考数据： ≈1.73）
1
2
3
4
5
6
【结果反思】（3）本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量
的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说明
理由.
解：能，将圆柱换成正方体.
1
2
3
4
5
6
参考答案
【知识要点】
1. 　 　 　
2. 　 　 　 　 　1　 　 　
3. （1）解直角三角形　（2）a2＋b2＝c2　正　余
4. （1）仰角　俯角　坡度　 　坡角　（2）90°
1
2
3
4
5
6
1. C2.解：原式＝2× － ＋1＋2－ ＋
＝ － ＋3－ ＋
＝3.
【对点练习】
1
2
3
4
5
6
3.6 　4.2
【典例精讲】
【例1】C
【例2】51　解析：如图，过点C作CH∥BD交BA的延长
线于点H，由题意得∠ABD＝∠CDB＝90°，
∴∠AHC＝180°－90°＝90°，
∴四边形BDCH是矩形，
∴BH＝CD＝102 m.
在Rt△BCH中，∠BCH＝63°，
1
2
3
4
5
6
tan∠BCH＝ ，
∴CH＝ ≈ ＝51（m）.
在Rt△ACH中，∠ACH＝45°，
∴∠CAH＝45°＝∠ACH，
∴AH＝CH≈51 m，
∴AB＝BH－AH≈51 m.
答：黄鹤楼的高度约为51 m.
【例3】（4 －2 ）　解析：如图，过点E作水平地面
的平行线，交AB的延长线于点H，则∠BEH＝∠DCF.
1
2
3
4
5
6
在Rt△BEH中，tan∠BEH＝tan∠BCF＝ ＝ ，
设BH＝x米，则EH＝2x米，
∴BE＝ ＝ x＝10米，
∴x＝2 ，
∴BH＝2 米，EH＝4 米.
∵∠EAH＝180°－60°－90°＝30°，
∴AH＝ EH＝4 米，
∴AB＝AH－BH＝（4 －2 ）米.
∴大树AB的高度为（4 －2 ）米.
1
2
3
4
5
6
【例4】解：（1）∵GH⊥CE，EF的长为4米，∠CFG＝60.3°，
∴tan∠CFE＝tan 60.3°＝ ≈1.75，
∴CE≈7米.
∵∠BFG＝45°，
∴BE＝EF＝4米，
∴CB＝CE－BE≈7－4＝3（米）.
1
2
3
4
5
6
（2）过点A作AM⊥GH于点M，如图所示.
∵∠AFG＝21.8°，
∴tan∠AFG＝tan 21.8°＝ ≈0.4.
∵AM＝BE＝4米，
∴MF≈10米，
∴AB＝ME≈10－4＝6（米），
∴底座的底面ABCD的面积为3×6＝18（平方米）.
【例5】解：（1）∵四边形PQMN是矩形，
∴∠Q＝∠P＝90°.
1
2
3
4
5
6
在Rt△ABQ中，∠ABQ＝60°，AB＝5.4 m，
∴AQ＝AB· sin ∠ABQ＝ m，∠QAB＝30°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠BAD＝∠BCD＝∠ABC＝∠BCE＝90°，
∴∠CBE＝30°，
∴BC＝ ＝ m，
∴AD＝ m.
∵∠PAD＝180°－30°－90°＝60°，
∴AP＝AD· cos ∠PAD＝ m，
∴PQ＝AP＋AQ＝ ≈6.1（m）.
1
2
3
4
5
6
（2）在Rt△BCE中，BE＝ ＝3.2 m，
在Rt△ABQ中，BQ＝AB· cos ∠ABQ＝2.7 m，
∵该充电站有20个停车位，
∴QM＝QB＋20BE＝66.7 m.
∵四边形PQMN是矩形，
∴PN＝QM＝66.7 m.
1
2
3
4
5
6
1. B　 解析：如图，过点C作CE⊥PB，垂足为E，过点D作DF⊥PB，垂
足为F，由题意得CE＝DF＝3 m，△ACP和△BDP都是等腰三角形，
BP∥MN，
∴∠APC＝∠PCM＝45°，∠BPD＝∠PDM＝30°.
在Rt△PCE中，PE＝ ＝3 m，
∴AP＝2PE＝6 m.
在Rt△PDF中，PF＝ ＝ ＝3 （m），
∴BP＝2PF＝6 m，
【当堂检测】
1
2
3
4
5
6
∴AB＝BP－AP＝（6 －6）m，
∴光斑移动的距离AB为（6 －6）m，故选B.
2. A
3. B　解析：如图，过点C作CH⊥OF，垂足为H，过点
A作AG⊥EF，交EF的延长线于点G，过点O作
OM⊥AG，垂足为M，
1
2
3
4
5
6
由题意得CE＝HF＝5 cm，CH＝EF＝15 cm，AG∥OF，
∴∠COH＝∠CAG＝30°.
在Rt△COH中，OC＝2CH＝30 cm，OH＝ CH＝15 cm，
∵OB＝ OC，
∴OB＝OA＝10 cm，
在Rt△AOM中，AM＝AO· cos 30°＝10× ＝5 （cm），
∴AG＝AM＋OH＋HF＝5 ＋15 ＋5 ＝25 （cm），
此时A点到桌面的距离为25 cm，故选B.
1
2
3
4
5
6
4.120 　解析：如图，过点C作
CD⊥AB，垂足为D，
由题意得EF∥AB，
∴∠FCA＝∠CAB＝60°，∠ECB＝∠CBA＝30°.
在Rt△ACD中，CD＝90 m，
∴AD＝ ＝ ＝30 （m）.
在Rt△BCD中，BD＝ ＝ ＝90 （m），
∴AB＝AD＋BD＝120 m，
∴湖泊两端A，B的距离为120 m.故答案为120 .
1
2
3
4
5
6
5. 　解析：如图，延长AN，交直线BC于点E，
由题意得AD＝BC＝CD＝9 cm，∠D＝90°，AD∥BC，AN∥FG，
设DN＝x cm，则CN＝CD－DN＝（9－x）cm，
∵密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放
在坡角为α的斜坡上，容器里水的体积不变；
且放在坡角为α的斜坡上时，水的体积等于长
为9 cm、宽为9 cm、高为 （9－x）cm的长方
体的体积与长为9 cm、宽为9 cm、高为x cm的
长方体的体积的一半之和，
∴9×9（9－x）＋ ×9×9x＝9×9×7，解得x＝4，
1
2
3
4
5
6
即DN＝4 cm.
∵AN∥FG，
∴∠AEF＝∠F＝α.
∵AD∥BC，
∴∠DAN＝∠AEF＝α，
∴tan α＝tan∠DAN＝ ＝ .故答案为 .
6. 解：（1）∵☉O分别与AC，AD相切于点B，D，
∴AB＝AD，∠OAB＝∠OAD＝ ∠CAD＝30°.
1
2
3
4
5
6
（2）∵钢柱的底面圆半径为1 cm，
∴BC＝OB＝1 cm.
∵∠OAB＝30°，∠OBA＝90°，
∴AB＝ ＝ cm，
∴AC＝BC＋AB＝（1＋ ）cm，同理A'C'＝（1＋ ）cm，
∴l＝7.52－2（1＋ ）≈2.06（cm）.
∵1.9＜2.06＜2.1，
∴该部件l的长度符合要求.
（3）能，将圆柱换成正方体.
1
2
3
4
5
6(共46张PPT)
第一部分　教材复习篇
第四单元　三角形
第17讲　三角形和多边形
近五年深
圳市中考
考查情况 年份 题型 分
值 难易
程度 考点 备注
2021 填
空、 解答 7 容
易、 中等 三角形与折叠的
性质、多边形的
面积 掌握三角形与折叠的性
质
2022 未考查 近五年深
圳市中考
考查情况 年份 题型 分
值 难易
程度 考点 备注
2023 选择 3 容易 三角形外角的性
质 考查利用平行线的性
质、三角形外角的性
质、对顶角综合解题
2024 未考查 2025 未考查 命题 规律 　　三角形和多边形知识点难度不定，单独考时难度小，容易得
分，若与其他知识综合考查，则难度大些，熟练掌握三角形的相
关定义、性质即可.
知识要点
1. 三角形中的三条重要线段
（1）中线：三角形的三条中线的交点在三角形的 部，这个交点叫做
三角形的 .
（2）角平分线：三角形的三条角平分线的交点在三角形的 部.
（3）高： 三角形的三条高的交点在三角形的内部；直角三角形的
三条高的交点是 ； 三角形的三条高所在直线的交点在
三角形的外部.
内　
重心　
内　
锐角　
直角顶点　
钝角　
线段 中线（AD） 角平分线（AD） 高线（AD）
图形
性质 BD＝ ＝BC ∠BAD＝ ＝∠BAC AD⊥BC∠ADB＝∠ADC＝
°
DC　
∠CAD　
90　
2. 三角形的三边关系
三角形的两边之和 第三边，三角形的两边之差 第三边.
3. 三角形的内角和定理及推论
（1）定理：三角形三个内角的和等于 .
（2）推论：①三角形的一个外角等于和它 的和.
②直角三角形的两个锐角 .
大于　
小于　
180°　
不相邻的两个内角　
互余　
4. 多边形
（1）内角和定理：n边形的内角和是 .
（2）外角和定理：任意多边形的外角和等于 .
（3）正多边形：各个角 ，各条边 的多边形.
（n－2）×180°　
360°　
相等　
相等　
对点练习
1. （2025春·宝安区模拟）下列能表示△ABC的边BC上的高的是（　B　）
B
A B
C D
2. 下列长度（单位：cm）的3根小木棒能搭成三角形的是（　B　）
A. 1，2，3 B. 2，3，4
C. 3，5，8 D. 4，5，10
3. （2025·福田区模拟）如图，∠AOB＝35°，∠ABD＝110°，则∠OAB
的度数为（　C　）
A. 65° B. 70° C. 75° D. 80°
B
C
4. 如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则α＋β＝（　B　）
A. 140° B. 150° C. 160° D. 170°
B
解析：如图，正六边形的每个内角为
＝120°，正方形的每个内角为90°，
∵四边形的内角和是（4－2）×180°＝360°，
∴∠1＋∠2＝360°－120°－90°＝150°.
∵α＝∠1，β＝∠2，
∴α＋β＝150°，故选B.
考点一　三角形和多边形有关的内角和外角
【例1】如图，已知直线l1，l2，l3两两相交，且l1⊥l3，若α＝50°，则β的度
数为（　C　）
A. 120° B. 130° C. 140° D. 150°
例1题图
C
【例2】（2025·坪山区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝70°，则∠1＋∠2
＝（　C　）
A. 140° B. 180° C. 250° D. 360°
例2题图
解析：∵∠C＝70°，
∴∠A＋∠B＝180°－∠C＝110°.
∴∠1＋∠2＝360°－（∠A＋∠B）＝250°.
故选C.
C
考点二　三角形的高、中线、角平分线
【例3】（2025·南山区模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD，
AE，BF分别是△ABC的高线、中线和角平分线，下列结论错误的是
（　D　）
D
A. ∠ABF＝∠CBF B. ∠ABC＝∠CAD
C.S△ABE＝ D. AF＝CF
例3题图
解析：A. ∵BF是△ABC的角平分线，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴结论A正确，故该选项不符合题意；
B. ∵AD是△ABC的高线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABC＋∠BAD＋∠ADB＝180°，
∴∠ABC＋∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＋∠CAD＝90°，
∴∠ABC＝∠CAD，
∴结论B正确，故该选项不符合题意；
C. ∵AE是△ABC的中线，
∴BE＝CE，
∴ BE·AD＝ CE·AD，即S△ABE＝S△ACE，
∴结论C正确，故该选项不符合题意；
D. ∵BF是△ABC的角平分线，无法判定BF是△ABC的中线，
∴结论D错误，故该选项符合题意.故选D.
考点三　三角形的三边关系
【例4】（2025·龙岗区模拟）如图，A，B为池塘岸边两点，小明在池塘的
一侧取一点O，测得OA＝16米，OB＝12米，则A，B间的距离可能是
（　A　）
A
A. 25米 B. 30米 C. 35米 D. 40米
【例5】（2025·福田区期中）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足｜a－
7｜＋（b－2）2＝0，c为奇数，则△ABC的周长为 .
16　
1. （2025·深圳校级模拟）如图，将三角形纸片ABC按下面四种方式折叠，
则AD是△ABC的高的是（　D　）
A B C D
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2. 下列命题是假命题的是（　C　）
A. 任意一个三角形中，两边的差小于第三边
B. 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
C. 如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等
D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
3. （2025·宝安区月考）如果三角形的三边长分别为a，4，5，那么整数a的
值不可能是（　A　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
C
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4. 如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于
点D，DE∥AB，交BC于点E，则∠BDE的度数是（　B　）
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
第4题图
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5. 直线l与正六边形ABCDEF的边AB，EF分别相交于点M，N，如图所
示，则α＋β＝（　B　）
A. 115° B. 120° C. 135° D. 144°
第5题图
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
6. （2024·坪山区期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BE
与CF相交于点O，∠A＝58°，则∠BOC为 °.
第6题图
119　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
解析：在△ABC中，∠A＝58°，
∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝180°－58°＝122°.
∵∠ABC和∠ACB的平分线BE与CF相交于点O，
∴∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB，
∴∠OBC＋∠OCB＝ ∠ABC＋ ∠ACB＝ （∠ABC＋∠ACB）＝
×122°＝61°.
在△OBC中，∠BOC＝180°－（∠OBC＋∠OCB）＝180°－61°＝
119°，故答案为119.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
7. 如果一个多边形的每一个外角都是40°，那么这个多边形的边数为 .
9　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8. 如图，△ABC中，CE平分∠ACB，将△ABC沿CD折叠，点B的对应点
B'刚好落在AB边上，点B'在点E左侧，若∠B'CE＝6°，∠A＝42°，则
∠B＝ °.
70　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
解析：根据折叠的性质，得∠B＝∠CB'B，
∵∠CB'B＝∠A＋∠ACB'，∠A＝42°，
∴∠B＝∠CB'B＝42°＋∠ACB'.
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ACE.
∵∠ACE＝∠ACB'＋∠B'CE，∠B'CE＝6°，
∴∠ACB＝2（∠ACB'＋6°）＝2∠ACB'＋12°.
∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，
∴42°＋42°＋∠ACB'＋2∠ACB'＋12°＝180°，
∴∠ACB'＝28°，
∴∠B＝70°，故答案为70.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
9. （2024·深圳期末）如图，在△ABC中，D，E分别在AB，AC上.已知
DE∥BC，∠EDC＝40°，∠AED＝80°.
（1）求证：CD平分∠ACB；
证明：∵DE∥BC，
∴∠BCD＝∠EDC＝40°，∠ACB＝∠AED＝80°，
∴∠ACD＝∠ACB－∠BCD＝80°－40°＝40°.
∴∠ACD＝∠BCD，
∴CD平分∠ACB.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
（2）过点B作∠ABC的平分线BF交CD于点F，若∠A＝52°，求∠BFC
的度数.
解：∵∠A＝52°，
∴∠ABC＝180°－∠ACB－∠A＝180°－80°－52°＝48°.
∵BF平分∠ABC，
∴∠FBC＝ ∠ABC＝ ×48°＝24°，
∴∠BFC＝180°－∠FBC－∠FCB
＝180°－24°－40°＝116°，
即∠BFC的度数为116°.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10. （2025·深圳校级模拟）如图，AB⊥AK，点A在直线MN上，AB，AK
分别与直线EF交于点B，C，∠MAB＋∠KCF＝90°.
（1）如图1，求证：EF∥MN；
证明：∵AB⊥AK，
∴∠MAB＋∠NAC＝90°.
又∵∠MAB＋∠KCF＝90°，
∴∠NAC＝∠KCF，
∴MN∥EF.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
（2）如图2，作∠CBA与∠BCA的平分线交于点G，求∠G的度数；
解：∵AB⊥AK，
∴∠BAC＝90°，
∴∠CBA＋∠ACB＝90°.
∵BG平分∠CBA，
∴∠CBG＝ ∠CBA，同理∠BCG＝ ∠BCA，
∴∠CBG＋∠BCG＝ （∠CBA＋∠BCA）＝45°，
∴∠BGC＝180°－（∠CBG＋∠BCG）＝135°.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
（3）如图3，作∠NAB与∠ECK的平分线交于点H，请问∠H的值是否为
定值？若是，请求出定值；若不是，请说明原因.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
解：∠H的值是定值.设∠MAB＝x，则∠ABC＝x，∠KCF＝90°－x，
∵AH平分∠BAN，
∴∠HAB＝∠HAN＝ ∠BAN＝90°－ x，
∴∠HAC＝ x.同理∠HCK＝ ∠BCK＝45°＋ x，
∴∠H＝45°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
参考答案
【知识要点】
1. （1）内　重心　（2）内　（3）锐角　直角顶点　钝角　CD
∠CAD　90　2.大于　小于　3.（1）180°　（2）①不相邻的两个内角　②
互余　4.（1）（n－2）×180°　（2）360°　（3）相等
相等
【对点练习】
1. B　2.B　3.C　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4. B　 解析：如图，正六边形的每个内角为
＝120°，正方形的每个内角为90°，
∵四边形的内角和是（4－2）×180°＝360°，
∴∠1＋∠2＝360°－120°－90°＝150°.
∵α＝∠1，β＝∠2，
∴α＋β＝150°，故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
【典例精讲】
【例1】C　
【例2】C　解析：∵∠C＝70°，
∴∠A＋∠B＝180°－∠C＝110°.
∴∠1＋∠2＝360°－（∠A＋∠B）＝250°.故选C.
【例3】D　解析：A.
∵BF是△ABC的角平分线，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴结论A正确，故该选项不符合题意；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B. ∵AD是△ABC的高线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABC＋∠BAD＋∠ADB＝180°，
∴∠ABC＋∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＋∠CAD＝90°，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
∴∠ABC＝∠CAD，
∴结论B正确，故该选项不符合题意；
C. ∵AE是△ABC的中线，
∴BE＝CE，
∴ BE·AD＝ CE·AD，即S△ABE＝S△ACE，
∴结论C正确，故该选项不符合题意；
D. ∵BF是△ABC的角平分线，无法判定BF是△ABC的中线，
∴结论D错误，故该选项符合题意.故选D.
【例4】A　【例5】16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1. D　2.C　3.A　4.B　5.B
6.119　解析：在△ABC中，∠A＝58°，
∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝180°－58°＝122°.
∵∠ABC和∠ACB的平分线BE与CF相交于点O，
∴∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB，
∴∠OBC＋∠OCB＝ ∠ABC＋ ∠ACB＝ （∠ABC＋∠ACB）＝
×122°＝61°.
在△OBC中，∠BOC＝180°－（∠OBC＋∠OCB）＝180°－61°＝
119°，故答案为119.
7.9　
【当堂检测】
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8.70　解析：根据折叠的性质，得∠B＝∠CB'B，
∵∠CB'B＝∠A＋∠ACB'，∠A＝42°，
∴∠B＝∠CB'B＝42°＋∠ACB'.
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ACE.
∵∠ACE＝∠ACB'＋∠B'CE，∠B'CE＝6°，
∴∠ACB＝2（∠ACB'＋6°）＝2∠ACB'＋12°.
∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，
∴42°＋42°＋∠ACB'＋2∠ACB'＋12°＝180°，
∴∠ACB'＝28°，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
∴∠B＝70°，故答案为70.
9. （1）证明：∵DE∥BC，
∴∠BCD＝∠EDC＝40°，
∠ACB＝∠AED＝80°，
∴∠ACD＝∠ACB－∠BCD＝80°－40°＝40°.
∴∠ACD＝∠BCD，
∴CD平分∠ACB.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
（2）解：∵∠A＝52°，
∴∠ABC＝180°－∠ACB－∠A＝180°－80°－52°＝48°.
∵BF平分∠ABC，
∴∠FBC＝ ∠ABC＝ ×48°＝24°，
∴∠BFC＝180°－∠FBC－∠FCB＝180°－24°－40°＝116°，
即∠BFC的度数为116°.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10. （1）证明：∵AB⊥AK，
∴∠MAB＋∠NAC＝90°.
又∵∠MAB＋∠KCF＝90°，
∴∠NAC＝∠KCF，
∴MN∥EF.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
（2）解：∵AB⊥AK，
∴∠BAC＝90°，
∴∠CBA＋∠ACB＝90°.
∵BG平分∠CBA，
∴∠CBG＝ ∠CBA，
同理∠BCG＝ ∠BCA，
∴∠CBG＋∠BCG＝ （∠CBA＋∠BCA）＝45°，
∴∠BGC＝180°－（∠CBG＋∠BCG）＝135°.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
（3）解：∠H的值是定值.
设∠MAB＝x，则∠ABC＝x，∠KCF＝90°－x，
∵AH平分∠BAN，
∴∠HAB＝∠HAN＝ ∠BAN＝90°－ x，
∴∠HAC＝ x.同理∠HCK＝ ∠BCK＝45°＋ x，
∴∠H＝45°.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10(共43张PPT)
第一部分　教材复习篇
第四单元　三角形
第16讲　线、角、相交线与平行线
近五年深
圳市中考
考查情况 年份 题型 分
值 难易
程度 考点 备注
2021 填
空 3 容易 角平分线与垂直
平分线的性质定
理 掌握角平分线与垂直平分线的性质定理及其运算
2022 选
择 3 容易 平行线的性质 掌握平行线的性质是解题的关键
近五年深
圳市中考
考查情况 年份 题型 分
值 难易
程度 考点 备注
2023 选择 3 容易 平行线、三角形
外角的性质定理 掌握平行线、三角形外角的性质
2024 选择 3 容易 平行线的性质 考查了平行线的性质，熟悉同位角的概念是解题的关键
2025 选择 3 容易 平行线的性质 考查了平行线的性质，熟悉内错角的概念是解题的关键
命题 规律 　　线、角、相交线与平行线知识点相对简单，考查的题型以
填空、选择为主，常会与其他知识综合考查，分值3分左右，中
考中拿分题，掌握其定义、性质即可.
知识要点
1. 线和角
（1）两个基本事实：
①经过两点有且只有 直线.
②两点之间， 最短.
一条　
线段　
（2）互余的性质：同角（或等角）的余角 .
（3）互补的性质：同角（或等角）的补角 .
（4）对顶角的性质：对顶角 .
相等　
相等　
相等　
2. 垂直及其性质
（1）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的 的长度.
（2）垂直的基本性质：
①在同一平面内，过一点 一条直线垂直于已知直线.
②连接直线外一点与直线上各点的线段中， 最短.
垂线段　
有且只有　
垂线段　
3. 平行线的性质及判定
（1）平行公理
公理：经过直线外一点，有且只有 条直线与这条直线平行.
推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相 .
（2）性质和判定
①两直线平行 同位角 .
②两直线平行 内错角 .
③两直线平行 同旁内角 .
一　
平行　
相等　
相等　
互补　
性质：∵l1∥l2， 判定：⑦∵ ，
∴④ ， ∴l1∥l2.
⑤ ， ⑧∵ ，
∴l1∥l2.
⑥ .　 ⑨ 　∵ ，
∴l1∥l2.
∠1＝∠2　
∠1＝∠2　
∠2＝∠3　
∠2＝∠3　
∠2＋∠4＝180°　
∠2＋∠4＝180°
4. 角平分线的性质与判定
（1）性质：角平分线上的点到角两边的 相等.
（2）判定：角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的 上.
距离　
平分线　
5. 线段的垂直平分线
（1）性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 .
（2）判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的
上.
相等　
垂直平分
线　
对点练习
1. （1）若∠A＝25°，则∠A的余角为（　B　）
A. 25° B. 65° C. 75° D. 155°
（2）若∠A＝80°，则∠A的补角是（　A　）
A. 100° B. 80° C. 40° D. 10°
B
A
2. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为直线
AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是（　C　）
A. 3 B. 2.5 C. 2.4 D. 2
C
解析：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，当
PC⊥AB时，PC的值最小，此时△ABC的面积＝ ·AB·PC＝ AC·BC，
∴5PC＝3×4，
∴PC＝2.4.故选C.
3. （1）如图，直线AB∥CD，已知∠1＝120°，则∠2＝（　D　）
A. 60° B. 70° C. 100° D. 120°
D
（2）一副三角板如图所示放置，斜边平行，则∠1的度数为（　C　）
A. 5° B. 10° C. 15° D. 20°
C
4. 如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC交BC于
点D，DE⊥AB，垂足为E. 若DE＝1，则BC的长为（　A　）
A. 2＋
B. ＋
C. 2＋
D. 3
A
解析：如图所示，过点D作DF⊥AC于点F，
∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于点E，
DF⊥AC于点F，
∴DE＝DF＝1.在Rt△BED中，∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝2，在Rt△CDF中，∠C＝45°，
∴△CDF为等腰直角三角形，
∴CD＝ DF＝ ，
∴BC＝BD＋CD＝2＋ .故选A.
5. 如图，已知∠BAC＝60°，AD是角平分线且AD＝10，作AD的垂直平分
线交AC于点F，作DE⊥AC，则△DEF的周长为 .
5＋5 　
考点一　余角、补角、对顶角
【例1】如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC. 若∠AOC＝58°，则
∠EOB的大小为（　B　）
A. 29° B. 32° C. 45° D. 58°
例1题图
B
考点二　角平分线、线段的垂直平分线
【例2】如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，
AD于点E，F，若BE＝3，AF＝5，则AC的长为（　A　）
A. 4 B. 4 C. 10 D. 8
例2题图
A
【例3】如图，在△ABC中，BC＝7，AB的垂直平分线分别交AB，BC于
点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，则△AEG的周长
为（　C　）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
例3题图
C
解析：∵AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分
别交AC，BC于点F，G，
∴EA＝EB，GA＝GC，
∴△AEG的周长＝EA＋EG＋GA＝EB＋EG＋GC＝BC＝7.故选C.
考点三　平行线的性质与判定
【例4】数学中的“≠”可以看作是两条平行的线段被第三条线段所截而成，放
大后如图所示.若∠1＝56°，则∠2的度数是（　D　）
A. 34° B. 44° C. 46° D. 56°
D
1. 如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线
BE，DF交于主光轴上一点G. 若∠ABE＝130°，∠CDF＝150°，则
∠EGF的度数是（　C　）
A. 60° B. 70° C. 80° D. 90°
第1题图
C
1
2
3
4
5
6
7
8
解析：由题意可知AB∥PQ∥CD，
∵AB∥PQ，
∴∠ABE＋∠BGP＝180°.
∵∠ABE＝130°，
∴∠BGP＝180°－130°＝50°.
∵PQ∥CD，
∴∠PGD＋∠CDF＝180°.
∵∠CDF＝150°，
∴∠PGD＝180°－150°＝30°，
∴∠BGD＝∠BGP＋∠PGD＝50°＋30°＝80°，
∴∠EGF＝∠BGD＝80°，故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
2. 如图是一款儿童小推车的示意图，若AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝70°，
则∠3的度数为（　A　）
A. 40° B. 35° C. 30° D. 20°
第2题图
A
1
2
3
4
5
6
7
8
3. 如图，一束平行光线穿过一张对边平行的纸板，若∠1＝115°，则∠2的度
数为（　D　）
A. 75° B. 90° C. 100° D. 115°
第3题图
D
1
2
3
4
5
6
7
8
4. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，分别以点A，点B为圆心，
大于 AB的长为半径作弧，两弧交于点E，F，过点E，F作直线交AC于
点D，连接BD，则△BCD的周长为（　C　）
A. 7 B. 8 C. 10 D. 12
第4题图
C
1
2
3
4
5
6
7
8
5. 如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，在BA，BC上分别截
取线段BE，BF，使BE＝BF；分别以点E，F为圆心，大于 EF的长为
半径画弧，在∠ABC内，两弧交于点P，作射线BP，交AD于点M，过点
M作MN⊥AB于点N. 若MN＝2，AD＝4MD，则AM＝ .
第5题图
6　
1
2
3
4
5
6
7
8
6. 如图，已知∠MAN，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与AM，
AN相交于点B，C；分别以B，C为圆心，以大于 BC的长为半径作弧，
两弧在∠MAN内部相交于点P，作射线AP. 分别以A，B为圆心，以大于
AB的长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别与AB，AP相交
于点F，Q. 若AB＝4，∠PQE＝67.5°，则点F到AN的距离为 .
　
第6题图
1
2
3
4
5
6
7
8
7. 如图，在△ABC中，DE∥BC，∠EDF＝∠C.
（1）求证：∠BDF＝∠A；
证明：∵DE∥BC，
∴∠C＝∠AED.
∵∠EDF＝∠C，
∴∠AED＝∠EDF.
∴DF∥AC.
∴∠BDF＝∠A.
1
2
3
4
5
6
7
8
（2）若∠A＝45°，DF平分∠BDE，请直接写出△ABC的形状.
解：∵∠A＝45°，
∴∠BDF＝45°.
∵DF平分∠BDE，
∴∠BDE＝2∠BDF＝90°.
∵DE∥BC，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形.
1
2
3
4
5
6
7
8
8. 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，∠BAC的平分线AD交
BC于点D，如图1.
（1）求∠ADC的度数；
解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝60°.
∵∠BAC的平分线AD交BC于点D，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴∠ADC＝180°－30°－30°＝120°.
1
2
3
4
5
6
7
8
（2）已知AB＝3，分别以C，D为圆心，以大于 CD的长为半径作弧，两
弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点E，交AD的延长线于点F. 如图
2，求DF的长.
解：由（1）知∠ACD＝∠CAD＝30°，
∴AD＝CD，∠ADB＝60°，
∴∠CDF＝60°.
如图，连接CF，
由作图过程可知MN是CD的垂直平分线，
1
2
3
4
5
6
7
8
∴FC＝FD，
∴△CDF是等边三角形，
∴FC＝FD＝CD＝AD.
∵AB＝3，∠BAD＝30°，
∴AD＝ ＝ ＝2 ，
∴DF＝AD＝2 .
1
2
3
4
5
6
7
8
参考答案
【知识要点】
1. （1）①一条　②线段　（2）相等　（3）相等　（4）相等
2. （1）垂线段
（2）①有且只有
②垂线段
3.（1）一
平行
（2）①相等
②相等
③互补
④∠1＝∠2
⑤∠2＝∠3
⑥∠2＋∠4＝180° ⑦∠1＝∠2 ⑧∠2＝∠3 ⑨∠2＋∠4＝
180°
4. （1）距离　（2）平分线
5. （1）相等　（2）垂直平分线
1
2
3
4
5
6
7
8
1. （1）B　（2）A
2. C　解析：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，
当PC⊥AB时，PC的值最小，此时△ABC的面积＝ ·AB·PC＝
AC·BC，
∴5PC＝3×4，
∴PC＝2.4.故选C.
3. （1）D　（2）C
4. A　 解析：如图所示，过点D作DF⊥AC于点F，
【对点练习】
1
2
3
4
5
6
7
8
∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于点E，
DF⊥AC于点F，
∴DE＝DF＝1.
在Rt△BED中，∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝2，
在Rt△CDF中，∠C＝45°，
∴△CDF为等腰直角三角形，
∴CD＝ DF＝ ，
∴BC＝BD＋CD＝2＋ .故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
5.5＋5
【典例精讲】
【例1】B　【例2】A　
【例3】C　解析：∵AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的
垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，
∴EA＝EB，GA＝GC，
∴△AEG的周长＝EA＋EG＋GA＝EB＋EG＋GC＝BC＝7.故选C.
【例4】D　
【当堂检测】
1
2
3
4
5
6
7
8
1. C　 解析：由题意可知AB∥PQ∥CD，
∵AB∥PQ，
∴∠ABE＋∠BGP＝180°.
∵∠ABE＝130°，
∴∠BGP＝180°－130°＝50°.
∵PQ∥CD，
∴∠PGD＋∠CDF＝180°.
∵∠CDF＝150°，
∴∠PGD＝180°－150°＝30°，
∴∠BGD＝∠BGP＋∠PGD＝50°＋30°＝80°，
1
2
3
4
5
6
7
8
∴∠EGF＝∠BGD＝80°，故选C.
2. A　3.D　4.C　5.6　6.
7. （1）证明：∵DE∥BC，
∴∠C＝∠AED.
∵∠EDF＝∠C，
∴∠AED＝∠EDF.
∴DF∥AC.
∴∠BDF＝∠A.
1
2
3
4
5
6
7
8
（2）解：∵∠A＝45°，
∴∠BDF＝45°.
∵DF平分∠BDE，
∴∠BDE＝2∠BDF＝90°.
∵DE∥BC，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形.
1
2
3
4
5
6
7
8
8. 解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝60°.
∵∠BAC的平分线AD交BC于点D，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴∠ADC＝180°－30°－30°＝120°.
1
2
3
4
5
6
7
8
（2）由（1）知∠ACD＝∠CAD＝30°，
∴AD＝CD，∠ADB＝60°，
∴∠CDF＝60°.
如图，连接CF，由作图过程可知MN是CD的垂直平
分线，
∴FC＝FD，
∴△CDF是等边三角形，
∴FC＝FD＝CD＝AD.
∵AB＝3，∠BAD＝30°，
∴AD＝ ＝ ＝2 ，
∴DF＝AD＝2 .
1
2
3
4
5
6
7
8(共54张PPT)
第一部分　教材复习篇
第四单元　三角形
第21讲　直角三角形
近五年深
圳市中考
考查情况 年份 题型 分
值 难易
程度 考点 备注
2021 解答 9 偏
难 等腰直角三角形
及相似知识的综
合 掌握等腰直角三角形及
相似三角形的性质
2022 填空 3 偏
难 等腰直角三角形
及全等三角形知
识的综合 等腰直角三角形的性质
及全等性质的综合运用
近五年深
圳市中考
考查情况 年份 题型 分
值 难易
程度 考点 备注
2023 填空 6 中
等 含30°角直角三
角形的性质与反
比例函数 直角三角形相关性质与
函数、三角形全等的综
合运用
2024 填空 3 难 勾股定理、平行
线分线段成比例
定理 考查了解直角三角形、
勾股定理、平行线分线
段成比例定理
近五年深
圳市中考
考查情况 年份 题型 分
值 难易
程度 考点 备注
2025 填
空、 解答 13 中
等 等腰直角三角形
及全等、相似知
识的综合 直角三角形相关性质与
三角形全等、相似和圆
的综合运用
命题 规律 　　直角三角形知识点难度不定，单独考时难度小，容易得
分，若与其他知识综合考查，则难度大些，熟练掌握直角三角
形相关性质是解题关键
知识要点
1. 直角三角形的性质
（1）直角三角形的两个锐角 ；
（2）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的 ；
（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的 ；
（4）勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为
c，那么 .
互余　
一半　
一半　
a2＋b2＝c2　
2. 直角三角形的判定
（1）定义：有一个角是 的三角形是直角三角形；
（2）有两个角 的三角形是直角三角形；
（3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边a，b，c满足
（其中c为最长边），那么这个三角形是直角三角形.
90°　
互余　
a2＋b2＝c2　
对点练习
1. （2025·南山区二模）将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1＝
50°，则∠2的度数是（　C　）
A. 60° B. 50° C. 40° D. 30°
第1题图
C
2. （2024·安徽）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，点D在AB的延长线
上，且CD＝AB，则BD的长是（　B　）
A. － B. －
C. 2 －2 D. 2 －
第2题图
B
解析：如图，过点C作CH⊥AB于点H，
∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，CH⊥AB，
∴AB＝2 ，AH＝BH＝CH＝ .
∵CD＝AB＝2 ，
∴DH＝ ＝ ＝ ，
∴DB＝ － .故选B.
3. （2024秋·盐田区期末）由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是
（　B　）
A. ∠A＋∠B＝∠C B. a∶b∶c＝1∶1∶2
C. （b＋c）（b－c）＝a2 D. a＝1，b＝ ，c＝
B
4. （2024·宝安区期末）如图是宝安公园一角的平面地图，利用软件测得起点
A到第一个拐角处点B的距离为30米，点B到终点C的距离是30米，如果
∠ABC＝90°，那么A，C两点的距离大约是（　B　）
A. 30米
B. 40米
C. 60米
D. 70米
B
考点一　等腰直角三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理
【例1】阅读下面内容，完成后面的任务.
探究不同裁剪方式的面积大小问题 素材1 现有一批斜边长为30 cm的等腰直角△ABC的白铁皮材料如图1.
素材2 按图2和图3的方式，正方形的顶点都在等腰三角形的边上，分别裁
出一块正方形.
素材3 因生产的需要，对材料的裁剪按如下步骤：如图4，
步骤1：在等腰直角△ABC白铁皮上裁下一块长宽不等的长方形
DECF，矩形的四个顶点都在△ABC的边上，留下两块等腰直角三
角形零料，分别记为△AED，△DFB.
步骤2：取其中一块零料△DFB，从零料上裁下一块正方形GHIJ，
正方形的四个顶点都在零料边上.
问题解决 任务1 按图2和图3裁出正方形，试比较裁出的两种正方形的面积大小，通
过计算说明.
解：∵等腰直角△ABC的斜边长为30 cm，
∴AC＝BC＝ ＝15 cm.
任务1：如图1，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝45°.
∵四边形DEFG是正方形，
∴EF∥AB，
∴∠EFC＝∠B＝45°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴CE＝CF，EF＝ CE.
∵∠FGB＝90°，
∴△BFG是等腰直角三角形，
∴BF＝ FG. 设CE＝CF＝a cm，
∴EF＝FG＝ a cm，BF＝2a cm.
∵BC＝15 cm，
∴a＋2a＝15 ，解得a＝5 ，
∴S正方形DEFG＝（5 × ）2＝100（cm2）.
如图2，同理得△B'D'F'是等腰直角三角形，
∴B'F'＝D'F'＝C'F'.
∵B'C'＝15 cm，
∴C'F'＝ cm，
∴S正方形C'F'D'E'＝ ＝ （cm2），
∴S正方形DEFG＜S正方形C'F'D'E'.
解：任务2：如图3，同理得△BIJ，△HIF是等腰直角三角形，
∴BJ＝IJ＝HI＝x cm，FI＝ x cm，BI＝ IJ＝ x cm.
∵BC＝15 cm，
∴CF＝15 － x－ x＝（15 － x）cm.
∵四边形DECF是矩形，
∴DE＝CF＝（15 － x）cm.
任务2 在图4中，设裁下的正方形GHIJ的边长为x cm，用x来表示DE的
长.
任务3 按图4的裁剪方法，裁出的长方形和正方形的面积和可以做到和图2
裁出的正方形的面积相等吗？通过计算说明.
解：任务3：同理得△BDF是等腰直角三角形，
∴DF＝BF＝ x＋ x＝ x cm.
假设按题图4的裁剪方法，裁出的长方形和正方形的面积和与图2裁出的正方
形的面积相等，则 · x＋x2＝100，
化简得7x2－90x＋200＝0，
∵Δ＝（－90）2－4×7×200＝2 500＞0，
∴x有解，
∴可以做到.
考点二　直角三角形全等的判定、勾股定理
【例2】（1）发现：如图1所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将
△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交CD边于点G，求证：
△BFG≌△BCG；
（1）证明：∵将△AEB沿BE翻折到△FEB处，四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BF，∠BFE＝∠A＝90°，
∴∠BFG＝90°＝∠C.
∵AB＝BC＝BF，BG＝BG，
∴Rt△BFG≌Rt△BCG（HL）.
（2）探究：如图2，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD＝8，AB＝
6.将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交BC边于G点，延长BF交CD
边于点H，且FH＝CH，求AE的长.
（2）解：如图，连接GH，
∵CH＝FH，GH＝GH，
∴Rt△FGH≌Rt△CGH（HL），
∴CG＝FG. 设CG＝FG＝x，
则BG＝8－x，在Rt△BFG中，BF2＋FG2＝BG2，
∴62＋x2＝（8－x）2，解得x＝ ，
∴BG＝8－ ＝ .
∵∠GBE＝∠AEB＝∠FEB，
∴EG＝BG＝ ，
∴EF＝EG－FG＝ ，
∴AE＝ .
1. （2025·南山区期中）如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线
交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB，若BE＝2，则AE的长是
（　B　）
A. B. 1 C. 2 D.
B
1
2
3
4
5
6
7
解析：∵DE垂直平分BC，
∴EC＝EB＝2，
∴∠ECB＝∠B＝30°.
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE＝30°，
∴∠A＝180°－30°－30°－30°＝90°，
∴AE＝ CE＝1.故选B.
1
2
3
4
5
6
7
2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿CB方向向右平移至
△EGF处，使EF恰好过边AB的中点D，连接CD，若CD＝1，则GE＝
（　B　）
A. 3 B. 2 C. 1 D.
B
1
2
3
4
5
6
7
3. 如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，边AC的中点为D，边BC
上的点E满足ED⊥AC. 若DE＝ ，则AC的长是（　B　）
A. 4 B. 6 C. 2 D. 3
B
1
2
3
4
5
6
7
解析：∵∠A＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝ ×（180°－120°）＝30°.
∵ED⊥AC，
∴∠CDE＝90°.
∵tan C＝tan 30°＝ ＝ ＝ ，
∴DC＝3.
∵D是AC的中点，
∴AC＝2DC＝6.故选B.
1
2
3
4
5
6
7
4. （2025·光明区二模）如图，可折叠工具箱共有三层，工具箱打开前，连接
装置与水平方向的夹角为30°，连接装置转动90°后箱子完全打开，每一根
连接装置长15 cm（可看作一条线段），当三层工具箱完全打开后，整体高
度比打开前增加（　C　）
A. 15 cm B. 30 cm
C. （15 －15）cm D. （ － ）cm
C
1
2
3
4
5
6
7
解析：如图，AB表示一根连接装置，AB＝15 cm，AB旋转90°后到AC位置，过点B作BM⊥MN于点M，过点C作CN⊥MN于点N，
∵∠BAM＝30°，
∴∠CAN＝180°－90°－30°＝60°，
∴∠ACN＝90°－60°＝30°.
∵∠AMB＝∠ANC＝90°，
∴MB＝ AB＝ cm，AN＝ AC＝ cm，
∴CN＝ AN＝ cm，
1
2
3
4
5
6
7
∴当三层工具箱完全打开后，整体高度比打开前增加
2×（ － ）＝（15 －15）cm.故选C.
1
2
3
4
5
6
7
5. 某房梁如图所示，立柱AD⊥BC，E，F分别是斜梁AB，AC的中点.若
AB＝AC＝8 m，则DE的长为 m.
4　
1
2
3
4
5
6
7
6. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2.以点A为圆心，
以AB长为半径作弧；再以点C为圆心，以BC长为半径作弧，两弧在AC上
方交于点D，连接BD，则BD的长为 .
　
1
2
3
4
5
6
7
解析：如图，连接AD，CD，设AC与BD交于点O，
由作图可知，AD＝AB，CD＝CB，
∴AC垂直平分BD，即AC⊥BD，OB＝OD，
∵∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，
∴AC＝ ＝ ＝ .
∵S△ABC＝ AC·OB＝ AB·BC，
∴OB＝ ＝ ＝ ，
∴BD＝2OB＝ ，故答案为 .
1
2
3
4
5
6
7
7. （2025·宝安区校级月考）如图，在等边三角形ABC中，BD是中线，延长
BC至点F，使CF＝CD. 过点D作DE⊥BC于点E.
（1）求证：点E是BF的中点；
证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠CBD＝ ∠ABC＝30°.
∵CD＝CF，∠F＋∠CDF＝∠ACB＝60°，
∴∠F＝∠CDF＝30°，
∴∠CBD＝∠F＝30°，
1
2
3
4
5
6
7
∴BD＝DF.
∵DE⊥BF，
∴点E是BF的中点.
1
2
3
4
5
6
7
（2）若CE＝2，求BF的长.
解：∵DE⊥BF，
∴∠DEC＝90°.
∵∠ACB＝60°，
∴∠CDE＝30°，
∴CD＝2CE＝4，
∴CD＝CF＝4，
∴EF＝CE＋CF＝6.
∵E是BF的中点，
∴BF＝2EF＝12.
1
2
3
4
5
6
7
参考答案
【知识要点】
1. （1）互余　（2）一半　（3）一半　（4）a2＋b2＝c2
2. （1）90°　（2）互余　（3）a2＋b2＝c2
1
2
3
4
5
6
7
1. C2.B　解析：如图，过点C作CH⊥AB于点H，
∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，CH⊥AB，
∴AB＝2 ，AH＝BH＝CH＝ .
∵CD＝AB＝2 ，
∴DH＝ ＝ ＝ ，
∴DB＝ － .故选B.
【对点练习】
1
2
3
4
5
6
7
3. B　4.B
【典例精讲】
【例1】解：∵等腰直角△ABC的斜边长为30 cm，
∴AC＝BC＝ ＝15 cm.
任务1：如图1，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝45°.
∵四边形DEFG是正方形，
∴EF∥AB，
1
2
3
4
5
6
7
∴∠EFC＝∠B＝45°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴CE＝CF，EF＝ CE.
∵∠FGB＝90°，
∴△BFG是等腰直角三角形，
∴BF＝ FG. 设CE＝CF＝a cm，
∴EF＝FG＝ a cm，BF＝2a cm.
∵BC＝15 cm，
∴a＋2a＝15 ，解得a＝5 ，
1
2
3
4
5
6
7
∴S正方形DEFG＝（5 × ）2＝100（cm2）.
如图2，同理得△B'D'F'是等腰直角三角形，
∴B'F'＝D'F'＝C'F'.
∵B'C'＝15 cm，
∴C'F'＝ cm，
∴S正方形C'F'D'E'＝ ＝ （cm2），
∴S正方形DEFG＜S正方形C'F'D'E'.
任务2：如图3，同理得△BIJ，△HIF是等腰直角三角形，
1
2
3
4
5
6
7
∴BJ＝IJ＝HI＝x cm，FI＝ x cm，BI＝ IJ＝ x cm.
∵BC＝15 cm，
∴CF＝15 － x－ x＝（15 － x）cm.
∵四边形DECF是矩形，
∴DE＝CF＝（15 － x）cm.
任务3：同理得△BDF是等腰直角三角形，
∴DF＝BF＝ x＋ x＝ x cm.
1
2
3
4
5
6
7
假设按题图4的裁剪方法，裁出的长方形和正方形的面积和与图2裁出的正方
形的面积相等，则 · x＋x2＝100，
化简得7x2－90x＋200＝0，
∵Δ＝（－90）2－4×7×200＝2 500＞0，
∴x有解，
∴可以做到.
【例2】（1）证明：∵将△AEB沿BE翻折到△FEB处，四边形ABCD是正
方形，
∴AB＝BF，∠BFE＝∠A＝90°，
1
2
3
4
5
6
7
∴∠BFG＝90°＝∠C.
∵AB＝BC＝BF，BG＝BG，
∴Rt△BFG≌Rt△BCG（HL）.
（2）解：如图，连接GH，
∵CH＝FH，GH＝GH，
∴Rt△FGH≌Rt△CGH（HL），
∴CG＝FG. 设CG＝FG＝x，则BG＝8－x，在
Rt△BFG中，BF2＋FG2＝BG2，
∴62＋x2＝（8－x）2，解得x＝ ，
1
2
3
4
5
6
7
∴BG＝8－ ＝ .
∵∠GBE＝∠AEB＝∠FEB，
∴EG＝BG＝ ，
∴EF＝EG－FG＝ ，
∴AE＝ .
1
2
3
4
5
6
7
【当堂检测】
1. B　 解析：∵DE垂直平分BC，
∴EC＝EB＝2，
∴∠ECB＝∠B＝30°.
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE＝30°，
∴∠A＝180°－30°－30°－30°＝90°，
∴AE＝ CE＝1.故选B.
2. B　
1
2
3
4
5
6
7
3. B　 解析：∵∠A＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝ ×（180°－120°）＝30°.
∵ED⊥AC，
∴∠CDE＝90°.
∵tan C＝tan 30°＝ ＝ ＝ ，
∴DC＝3.
∵D是AC的中点，
∴AC＝2DC＝6.故选B.
1
2
3
4
5
6
7
4. C　解析：如图，AB表示一根连接装置，AB＝15 cm，
AB旋转90°后到AC位置，过点B作BM⊥MN于点
M，过点C作CN⊥MN于点N，
∵∠BAM＝30°，
∴∠CAN＝180°－90°－30°＝60°，
∴∠ACN＝90°－60°＝30°.
∵∠AMB＝∠ANC＝90°，
∴MB＝ AB＝ cm，AN＝ AC＝ cm，
1
2
3
4
5
6
7
∴CN＝ AN＝ cm，
∴当三层工具箱完全打开后，整体高度比打开前增加2×（ － ）＝
（15 －15）cm.故选C.
5.4
1
2
3
4
5
6
7
6. 　解析：如图，连接AD，CD，设AC与BD交于点O，
由作图可知，AD＝AB，CD＝CB，
∴AC垂直平分BD，即AC⊥BD，OB＝OD，
∵∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，
∴AC＝ ＝ ＝ .
∵S△ABC＝ AC·OB＝ AB·BC，
∴OB＝ ＝ ＝ ，
∴BD＝2OB＝ ，故答案为 .
1
2
3
4
5
6
7
7. （1）证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠CBD＝ ∠ABC＝30°.
∵CD＝CF，∠F＋∠CDF＝∠ACB＝60°，
∴∠F＝∠CDF＝30°，
∴∠CBD＝∠F＝30°，
∴BD＝DF.
∵DE⊥BF，
∴点E是BF的中点.
1
2
3
4
5
6
7
（2）解：∵DE⊥BF，
∴∠DEC＝90°.
∵∠ACB＝60°，
∴∠CDE＝30°，
∴CD＝2CE＝4，
∴CD＝CF＝4，
∴EF＝CE＋CF＝6.
∵E是BF的中点，
∴BF＝2EF＝12.
1
2
3
4
5
6
7(共57张PPT)
第一部分　教材复习篇
第四单元　三角形
第19讲　相似三角形
近五年深
圳市中考
考查情况 年份 题型 分
值 难易
程度 考点 备注
2021 解答 9 偏
难 三角形相似性质 等腰三角形转换为三角形相似的综合性
问题
2022 填空 3 偏
难 三角形相似性质 利用三角形相似、三角形全等综合解题
近五年深
圳市中考
考查情况 年份 题型 分
值 难易
程度 考点 备注
2023 解答 9 偏难 三角形相似性质与判定 利用三角形相似性质与判定，结合平行四边形性质解题
2024 解答 6 难 相似三角形的判定与性质 考查了垂中平行四边形的定义，平行四边形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，尺规作图，等腰三角形的判定与性质等
近五年深
圳市中考
考查情况 年份 题型 分
值 难易
程度 考点 备注
2025 解答 6 难 相似三角形的判定与
性质 考查了双等四边形、伴随三角形的定义，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等
命题 规律 　　相似三角形知识点难度不定，单独考时难度小，容易得分，
若与其他知识综合考查，则难度大些，熟练掌握相似三角形的相
关性质是关键.
知识要点
1. 相似三角形的性质
性质1：相似三角形的对应角 ，对应边的比等于 .
性质2：相似三角形周长的比等于 .
性质3：相似三角形对应 的比、对应 的比、对应
的比等于相似比.
性质4：相似三角形面积的比等于相似比的 .
相等　
相似比　
相似比　
高　
中线　
角平分
线　
平方　
2. 相似三角形的判定
（1） 的两个三角形相似；
（2） 的两个三角形相似；
（3） 的两个三角形相似.
两角分别相等　
两边成比例且夹角相等　
三边成比例　
3. 位似
（1） 定义：如果两个图形不仅 ，而且每组对应点所在直线都经过
同一点，那么这样的两个图形叫做 ，这个点叫做
，此时相似比又称 .
（2）性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于
，位似图形的对应角相等，对应边成比例，位似图形的对应点所连的线
段互相 （或在同一条直线上）.
相似　
位似图形　
位似中
心　
位似比　
相似
比　
平行　
对点练习
1. （2025·福田区一模）如图，若△OAB∽△OCD，OA∶OC＝3∶2，△OAB
与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是
（　A　）
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
A
2. 如图，∠B＝∠D，补充下列条件之一，不一定能判定△ABC和△ADE相
似的是（　D　）
A. ∠ACB＝∠AED
B. ∠CAE＝∠BAD
C. ∠DAE＝∠BAC
D. ＝
D
3. （2025·深圳二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，两个“E”字是位似图
形，位似中心为点O，①号“E”与②号“E”的位似比为2∶1.点P（－6，9）在
①号“E”上，则点P在②号“E”上的对应点Q的坐标为（　A　）
A. （－3， ）
B. （－2，3）
C. （－ ，3）
D. （－3，2）
A
考点一　比的相关性质与比例线段
【例1】（2025·深圳二模）如果mn＝ab（m，n，a，b均不为零），则下
列比例式中错误的是（　B　）
A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝
B
【例2】（2025·深圳模拟）透视是一种绘画技巧，通过视平线和消失点的关
系来表现物体的立体感和空间感.如图是运用透视法绘制的一个图案，已知
AB∥CD∥EF， ＝ ，则 的值为（　A　）
A. B. C. D.
A
例2题图
解析：∵AB∥CD∥EF，
∴ ＝ .
∵ ＝ ，
∴ ＝ ，故选A.
考点二　黄金分割
【例3】黄金分割是汉字结构最基本的规律，借助如图的正方形习字格书写
的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A，B分别在习字格
的边MN，PQ上，且AB∥NP，“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割
点C处，且 ＝ ，若NP＝2 cm，则BC的长为 　（ －1）　 cm.（结
果保留根号）
（ －1）　
例3题图
考点三　相似多边形
【例4】如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，点E，F在边AB上，沿着
DE折叠，使DA边落在DC边上，点A落在点H处；沿着CF折叠，使CB边
落在CD边上，点B落在点G处.若矩形HEFG与原矩形ABCD相似，则
＝ .
－1　
例4题图
解析：设AD＝a，CD＝b，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝a，∠A＝∠ADH＝90°.
由折叠的性质得到DH＝AD＝a，CG＝BC＝a，∠DHE＝90°，
∴GH＝DC－DH－CG＝b－2a.
∵∠A＝∠ADH＝∠DHE＝90°，AD＝DH，
∴四边形ADHE是正方形，
∴EH＝AD＝a.
∵矩形HEFG与原矩形ABCD相似，
∴ ＝ ，
∴ ＝ .令 ＝x，则x2＋2x－1＝0，
∴x＝ －1（舍去负值），
∴ ＝ －1.故答案为 －1.
考点四　相似三角形的性质与判定
【例5】（2023·深圳）如图，在△ABC中，AB＝AC，tan B＝ ，点D为
BC上一动点，连接AD，将△ABD沿AD翻折得到△ADE，DE交AC于点
G，GE＜DG，且AG∶CG＝3∶1，则 ＝ 　 　.
例5题图
　
解析：如图，过点A作AF⊥BC于点F，过点A作AH⊥DE于点H，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
根据折叠的性质可知，∠B＝∠E，AF＝AH，AB＝AE，BF＝EH，
∴∠E＝∠C. 设CG＝a，则AG＝3a，
∴AB＝AC＝AE＝4a.在Rt△ABF中，tan B＝ ＝ ，
∴BF＝ AF，
∴ ＋AF2＝（4a）2，
解得AF＝ a或AF＝－ a（舍去），
∴AH＝AF＝ a，BF＝EH＝ a.
在Rt△AGH中，GH＝ ＝ ＝ a，
∴EG＝EH－GH＝ a－ a＝ a.
∵∠AGE＝∠DGC，∠E＝∠C，
∴△AEG∽△DCG，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴DG＝ a，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ .故答案为 .
考点五　图形的位似
【例6】如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似
中心为点O. 若点A（－3，1）的对应点为A'（－6，2），则点B（－2，
4）的对应点B'的坐标为（　A　）
A
A. （－4，8） B. （8，－4）
C. （－8，4） D. （4，－8）
例6题图
1. （2025·深圳二模）如图，在△ABC中，DE∥BC，且分别交AB，AC于
点D，E，若 ＝ ，则下列说法不正确的是（　D　）
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
D
1
2
3
4
5
6
7
8
2. （2025·深圳模拟）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符.
实验发现，当液面高度AC与瓶高AB之比为黄金比（约等于0.618）时（如
图），可以敲击出音符“sol”的声音.若AB＝10 cm，且敲击时发出音符“sol”
的声音，则液面高度AC约为（　C　）
A. 3.82 cm B. 5 cm C. 6.18 cm D. 7.2 cm
C
1
2
3
4
5
6
7
8
3. （2025·宝安区校级三模）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于
点O，E是DC延长线上的一点，连接OE交BC于点F. 已知AB＝6，BC＝
8，CE＝3，则CF的长为（　C　）
A. 1 B. C. 2 D.
第3题图
C
1
2
3
4
5
6
7
8
解析：如图，取BC的中点H，连接OH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
对角线AC与BD相交于点O，AB＝6，BC＝8，
∴BO＝DO，BH＝CH＝ BC＝4，CD＝AB＝6，
∴HO∥CD，HO＝ CD＝3.
∵点E在DC的延长线上，CE＝2，
∴CE∥HO，
1
2
3
4
5
6
7
8
∴△CEF∽△HOF，
∴ ＝ ＝ ＝1，
∴CF＝ CH＝2.故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
4. （2025·深圳模拟）如果 ＝ ＝ 且x＋y＋z＝5，那么x＋y－z＝ 　 　.
5. （2025·南山区校级三模）《周髀算经》记载：“圆出于方，方出于矩.”度
方知圆，感悟数学之美.如图，正方形ABCD的边长为2，以其对角线交点为
位似中心，作它的位似图形A'B'C'D'，若AB∶A'B'＝1∶2，则四边形A'B'C'D'
的面积是 .
　
16　
第5题图
1
2
3
4
5
6
7
8
解析：∵正方形ABCD的边长为2，
∴正方形ABCD的面积为4.
∵正方形ABCD与正方形A'B'C'D'是位似图形，
∴正方形ABCD∽正方形A'B'C'D'.
∵AB∶A'B'＝1∶2，
∴正方形ABCD与正方形A'B'C'D'的相似比为1∶2，
∴正方形ABCD与正方形A'B'C'D'的面积比为1∶4，
∴正方形A'B'C'D'的面积为4×4＝16，故答案为16.
1
2
3
4
5
6
7
8
6. （2025·龙华区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，E为AB延长线
上一点，F为AD上一点，∠DEF＝∠C. 若DE＝4，AF＝ ，则AD的长
是 .
第6题图
　
1
2
3
4
5
6
7
8
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠A＝∠C.
∵∠DEF＝∠C，
∴∠DEF＝∠A.
∵∠EDF＝∠ADE，
∴△DFE∽△DEA，
∴ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
∵DE＝4，AF＝ ，
∴DF＝AD－AF＝AD－ ，
∴ ＝ ，
∴AD＝ 或AD＝－3（舍去），
∴AD的长是 ，故答案为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
7. （2024·深圳模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别
是A（4，8），B（4，4），C（10，4），△A1B1C1与△ABC关于原点O
位似，A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，其中B1的坐标是（2，2）.
（1）△A1B1C1和△ABC的相似比是 ；
（2）请画出△A1B1C1；
如图所示，△A1B1C1即为所求.
　
1
2
3
4
5
6
7
8
（3）BC边上有一点M（a，b），在B1C1边上与点M对应的点的坐标
是 ；
（4）△A1B1C1的面积是 .
解析：△A1B1C1的面积是 ×2×3＝3.故答案为3.
（ a， b）　
3　
1
2
3
4
5
6
7
8
8. （2024·自贡）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用
了多种测量方法.
1
2
3
4
5
6
7
8
（1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF恰好等于自己的
身高DE. 此时，小组同学测得旗杆AB的影长BC为11.3 m，据此可得旗杆高
度为 m.
解析：∵影长EF恰好等于自己的身高DE，
∴△DEF是等腰直角三角形.
由平行投影性质可知，△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝BC＝11.3 m.故答案为11.3.
11.3　
1
2
3
4
5
6
7
8
（2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观
测到旗杆顶部A. 小组同学测得小李的眼睛距地面高度DE＝1.5 m，小李到镜
面距离EC＝2 m，镜面到旗杆的距离CB＝16 m.求旗杆高度.
解：如图1，由反射定律可知，∠DCE＝∠ACB，
又∠DEC＝90°＝∠ABC，
∴△DEC∽△ABC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得AB＝12，
∴旗杆高度为12米.
1
2
3
4
5
6
7
8
（3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大.在更新测量工具，优
化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功
测量了江姐故里广场雕塑的高度.方法如下：
1
2
3
4
5
6
7
8
如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水
面M，N两点始终处于同一水平线上.
如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线PQ始终垂直于水平
地面.
如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同
一水平线的D，G两点，并标记观测视线DA与标高线交点C，测得标高CG
＝1.8 m，DG＝1.5 m.将观测点D后移24 m到D'处.采用同样方法，测得C'G'
＝1.2 m，D'G'＝2 m.求雕塑高度.（结果精确到1 m）
1
2
3
4
5
6
7
8
解：如图2，
∵∠CDG＝∠ADB，∠CGD＝90°＝∠ABD，
∴△DCG∽△DAB，
∴ ＝ .
设AB＝x m，BD＝y m，则 ＝ ，
∴y＝ x.同理可得 ＝ ，
∴ ＝ ，
1
2
3
4
5
6
7
8
∴ ＝ ，解得x＝28.8，
经检验，x＝28.8是原方程的解，故AB≈29 m.
∴雕塑高度约为29 m.
1
2
3
4
5
6
7
8
参考答案
【知识要点】
1. 相等　相似比　相似比　高　中线　角平分线　平方
2. （1）两角分别相等　（2）两边成比例且夹角相等　（3）三边成比例　3.
（1）相似　位似图形　位似中心　位似比　（2）相似比　平行
【对点练习】
1. A　2.D　3.A　
【典例精讲】
【例1】B　
1
2
3
4
5
6
7
8
【例2】A　解析：∵AB∥CD∥EF，
∴ ＝ .
∵ ＝ ，
∴ ＝ ，故选A.
【例3】（ －1）
1
2
3
4
5
6
7
8
【例4】 －1　解析：设AD＝a，CD＝b，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝a，∠A＝∠ADH＝90°.
由折叠的性质得到DH＝AD＝a，CG＝BC＝a，∠DHE＝90°，
∴GH＝DC－DH－CG＝b－2a.
∵∠A＝∠ADH＝∠DHE＝90°，AD＝DH，
∴四边形ADHE是正方形，
∴EH＝AD＝a.
∵矩形HEFG与原矩形ABCD相似，
1
2
3
4
5
6
7
8
∴ ＝ ，
∴ ＝ .令 ＝x，则x2＋2x－1＝0，
∴x＝ －1（舍去负值），
∴ ＝ －1.故答案为 －1.
【例5】 　解析：如图，过点A作AF⊥BC于点F，过点A作AH⊥DE于点H，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
1
2
3
4
5
6
7
8
根据折叠的性质可知，∠B＝∠E，AF＝AH，AB＝AE，BF＝EH，
∴∠E＝∠C.
设CG＝a，则AG＝3a，
∴AB＝AC＝AE＝4a.
在Rt△ABF中，tan B＝ ＝ ，
∴BF＝ AF，
∴ ＋AF2＝（4a）2，
1
2
3
4
5
6
7
8
解得AF＝ a或AF＝－ a（舍去），
∴AH＝AF＝ a，BF＝EH＝ a.
在Rt△AGH中，GH＝ ＝ ＝ a，
∴EG＝EH－GH＝ a－ a＝ a.
∵∠AGE＝∠DGC，∠E＝∠C，
∴△AEG∽△DCG，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
1
2
3
4
5
6
7
8
∴DG＝ a，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ .故答案为 .
【例6】A
【当堂检测】
1. D　2.C　
3. C　解析：如图，取BC的中点H，连接OH，
1
2
3
4
5
6
7
8
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，AB＝6，BC
＝8，
∴BO＝DO，BH＝CH＝ BC＝4，CD＝AB＝6，
∴HO∥CD，HO＝ CD＝3.
∵点E在DC的延长线上，CE＝2，
∴CE∥HO，
∴△CEF∽△HOF，
∴ ＝ ＝ ＝1，
∴CF＝ CH＝2.故选C.
4.
1
2
3
4
5
6
7
8
5.16　 解析：∵正方形ABCD的边长为2，
∴正方形ABCD的面积为4.
∵正方形ABCD与正方形A'B'C'D'是位似图形，
∴正方形ABCD∽正方形A'B'C'D'.
∵AB∶A'B'＝1∶2，
∴正方形ABCD与正方形A'B'C'D'的相似比为1∶2，
∴正方形ABCD与正方形A'B'C'D'的面积比为1∶4，
∴正方形A'B'C'D'的面积为4×4＝16，故答案为16.
1
2
3
4
5
6
7
8
6. 　解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠A＝∠C.
∵∠DEF＝∠C，
∴∠DEF＝∠A.
∵∠EDF＝∠ADE，
∴△DFE∽△DEA，
∴ ＝ .
∵DE＝4，AF＝ ，
1
2
3
4
5
6
7
8
∴DF＝AD－AF＝AD－ ，
∴ ＝ ，
∴AD＝ 或AD＝－3（舍去），
∴AD的长是 ，故答案为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
7. 解：（1）
（2）如图所示，△A1B1C1即为所求.
（3）（ a， b）
（4）3　解析：△A1B1C1的面
积是 ×2×3＝3.故答案为3.
1
2
3
4
5
6
7
8
8. 解：（1）11.3　解析：∵影长EF恰好等于自己的身高DE，
∴△DEF是等腰直角三角形.
由平行投影性质可知，△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝BC＝11.3 m.
故答案为11.3.
1
2
3
4
5
6
7
8
（2）如图1，由反射定律可知，∠DCE＝∠ACB，
又∠DEC＝90°＝∠ABC，
∴△DEC∽△ABC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，解得AB＝12，
∴旗杆高度为12米.
图1
图1
1
2
3
4
5
6
7
8
（3）如图2，
图2
∵∠CDG＝∠ADB，∠CGD＝90°＝∠ABD，
1
2
3
4
5
6
7
8
∴△DCG∽△DAB，
∴ ＝ .设AB＝x m，BD＝y m，则 ＝ ，
∴y＝ x.同理可得 ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，解得x＝28.8，
经检验，x＝28.8是原方程的解，故AB≈29 m.
∴雕塑高度约为29 m.
1
2
3
4
5
6
7
8(共48张PPT)
第一部分　教材复习篇
第四单元　三角形
第20讲　等腰三角形
近五年深
圳市中考
考查情况 年份 题型 分
值 难易
程度 考点 备注
2021 解答 9 偏难 等腰三角形及相似
三角形知识的综合 等腰三角形及相似三角形性质的综合运用
2022 填空 3 偏难 等腰三角形及全等
三角形知识的综合 等腰、等边三角形的性质及全等性质的综合运用
2023 未考查 近五年深
圳市中考
考查情况 年份 题型 分
值 难易
程度 考点 备注
2024 解答 6 难 等腰三角
形的判定
与性质 考查了垂中平行四边形的定义，平行四边形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，尺规作图，等腰三角形的判定与性质等
2025 解答 6 难 相似三角
形的判定
与性质 考查了双等四边形、伴随三角形的定义，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等
命题 规律 　　等腰三角形知识点难度不定，单独考时难度小，容易得分，
若与其他知识综合考查，则难度大些，熟练掌握等腰三角形的相
关性质是解题关键.
知识要点
1. 等腰三角形
（1）定义：有 相等的三角形是等腰三角形.
（2）性质：①轴对称性：等腰三角形是轴对称图形，
是它的对称轴.
②定理：（ⅰ）等腰三角形的两个底角 （简称： ）.
（ⅱ）等腰三角形顶角的 、底边上的中线和底边上的 相互
重合（简称“三线合一”）.
（3）判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也
（简写为“ ”）.
两边　
底边上的中线（或
底边上的高或顶角平分线）所在的直线　
相等　
等边对等角　
平分线　
高　
相
等　
等角对等边　
2. 等边三角形
（1）定义： 相等的三角形.
（2）性质：①等边三角形的三个内角都 ，并且每一个角都等
于 .
②等边三角形是轴对称图形，并且有 条对称轴.
（3）判定：①三个角都 的三角形.
②有一个角是60°的 三角形.
三边　
相等　
60°　
3　
相等　
等腰　
对点练习
1. （1）已知等腰三角形的两边长分别为4 cm和8 cm，则此三角形的周长
为 cm.
（2）等腰三角形的顶角度数为70°，则它的底角度数为 .
（3）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，若BC＝4，则
BD＝ .
20　
55°　
2　
2. 如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树
（A为小树位置）.测得的相关数据为∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，BC＝
48米，则AC＝ 米.
48　
考点一　等腰三角形的性质和判定
【例1】（2025·罗湖区校级期中）小华新买了一根跳绳，如图1，他按照体育
老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，
两肘弯曲90°，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度.将图1
抽象成图2，若两手握住的绳柄两端距离约为1米，小臂到地面的距离约1.2
米，则适合小华的绳长为（　C　）
C
A. 2.2米 B. 2.4米 C. 2.6米 D. 2.8米
如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB＝AC，
∴BD＝ BC＝ 米.
∵AD＝1.2米，
∴AB＝AC＝ ＝1.3米，
∴绳长为1.3×2＝2.6米.故选C.
【例2】（教材七下北师大版P133随堂练习第1题改编）如图，在△ABC中，
AC＜AB＜BC.
（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC
＝2∠B.
证明：∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，
∴PA＝PB，
∴∠B＝∠BAP.
∵∠APC＝∠B＋∠BAP，
∴∠APC＝2∠B.
（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接
AQ. 若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数.
解：根据题意可知BA＝BQ，
∴∠BAQ＝∠BQA.
∵∠AQC＝3∠B，∠AQC＝∠B＋∠BAQ，
∴∠BAQ＝2∠B.
∵∠BAQ＋∠BQA＋∠B＝180°，
∴5∠B＝180°，
∴∠B＝36°.
考点二　等边三角形的性质和判定
【例3】（2024春·龙岗区校级月考）已知在等边三角形ABC中，点E在AB
上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC.
（1）【特殊情况，探索结论】
如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写
出结论：AE DB（填“＞”“＜”或“＝”）.
＝　
（2）【特例启发，解答题目】
如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你
直接写出结论，AE DB（填“＞”“＜”或“＝”）；理由如下：过点E作
EF∥BC，交AC于点F. （请你完成解答过程）.
＝　
解：（2）AE＝DB，理由如下：如图1，过点E作EF∥BC，交AC于点F.
∵△ABC为等边三角形，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE＝EF，BE＝CF.
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECD.
∵∠DEB＝60°－∠D，
∠ECF＝60°－∠ECD，
∵∴∠DEB＝∠ECF. 在△DBE和△EFC中，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴DB＝EF，
∴AE＝DB.
（3）【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且
ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图
形，并直接写出结果）.
解：（3）点E在AB的延长线上，作EF∥AC，则
△EFB为等边三角形，
如图2所示，同理可得△DBE≌△CFE，
∵AB＝1，AE＝2，
∴BE＝1.
∵DB＝FC＝FB＋BC＝2，
∴CD＝BC＋DB＝3.
1. （2025·宝安区模拟）如图，AB∥EF，∠A＝128°，DC＝DE，则
∠CED的度数为（　A　）
A. 26° B. 38° C. 52° D. 64°
第1题图
A
1
2
3
4
5
6
7
2. （2025·龙岗区期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AC的垂
直平分线分别交AB，AC于D，E两点，连接CD，则∠BCD等于
（　C　）
A. 40° B. 20° C. 30° D. 70°
第2题图
C
1
2
3
4
5
6
7
解析：∵∠A＝40°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°.
又∵DE垂直平分AC，
∴DA＝DC，
∴∠ACD＝∠A＝40°，
∴∠BCD＝∠ACB－∠ACD＝70°－40°＝30°.故选C.
1
2
3
4
5
6
7
3. 如图，等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12 m.现将钢架立柱
缩短成DE，∠BED＝60°，则新钢架减少用钢（　D　）
A. （24－12 ）m B. （24－8 ）m
C. （24－6 ）m D. （24－4 ）m
第3题图
D
1
2
3
4
5
6
7
4. （2025·光明区月考）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D在AC上，
且AD＝AB，DE⊥BD交BC于点E，若BE＝AD，CE＝1，则CD的长为
（　B　）
A. 3 B. 2 C. D.
第4题图
B
1
2
3
4
5
6
7
解析：如图，过点A作AE'⊥BD于点E'，AE'的延长线
交BC于点F，连接DF，
∵DE⊥BD，
∴AF∥DE.
∵AD＝AB，
∴∠BAF＝∠DAF. 在△ABF和△ADF中，
∴△ABF≌△ADF（SAS），
1
2
3
4
5
6
7
∴∠ABC＝∠ADF＝90°，BF＝DF，
∴∠1＋∠4＝90°.
∵DE⊥BD，
∴∠1＋∠2＝90°，
∴∠2＝∠4.
又∵∠3＋∠DBE＝∠ABC＝90°，
∠DBE＋∠BED＝90°，
1
2
3
4
5
6
7
∴∠3＝∠BED.
∵AD＝AB，
∴∠3＝∠4，
∴∠2＝∠BED，
∴DF＝EF，
∴BF＝DF＝EF. 设BF＝DF＝EF＝a，CD＝x，其中a≠0，
∴BE＝2a，
∵AD＝AB，BE＝AD，
1
2
3
4
5
6
7
∴AB＝AD＝BE＝2a，
∴AC＝AD＋CD＝2a＋x，CF＝EF＋CE＝a＋1，
∵AF∥DE，
∴△CDE∽△CAF，
∴CD∶AC＝CE∶CF，即x∶（2a＋x）＝1∶（a＋1），解得x＝2.
∴CD＝2.故选B.
1
2
3
4
5
6
7
5. （2025·宝安区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝80°，按如下步
骤尺规作图：①以点B为圆心，BC的长为半径作弧交边AB于点D；②以点
A为圆心，AD的长为半径作弧交AC于点E；③连接CD与DE，则∠CDE
的度数是（　A　）
A. 50° B. 55° C. 70° D. 80°
第5题图
A
1
2
3
4
5
6
7
解析：在△ABC中，∠ACB＝80°，
∴∠A＋∠B＝180°－∠ACB＝100°，
由作图可得BC＝BD，AE＝AD，
∴∠BDC＝∠BCD＝ ，
∠ADE＝∠AED＝ ，
∴∠CDE＝180°－∠BDC－∠ADE＝180°－ － ＝
＝50°，故选A.
1
2
3
4
5
6
7
6. （2024·重庆）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分
∠ABC交AC于点D. 若BC＝2，则AD的长度为 .
第6题图
2　
1
2
3
4
5
6
7
7. （2024春·罗湖区期中）如图，在△ABC中，∠C＝2∠A，AB的垂直平分
线分别交AC，AB于点D，E，连接BD.
（1）求证：△BCD是等腰三角形；
证明：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠DBA＝∠A，
∴∠BDC＝∠DBA＋∠A＝2∠A.
又∵∠C＝2∠A，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
∴△BCD是等腰三角形.
1
2
3
4
5
6
7
（2）若AC＝5，AD∶CD＝3∶2，求AB的长.
解：∵AD∶CD＝3∶2，
∴设AD＝3k，CD＝2k.
又∵AC＝AD＋CD＝5，
∴5k＝5，解得k＝1，
∴AD＝3，CD＝2.
由（1）可知，AD＝BD，BD＝BC，
∴BD＝BC＝AD＝3.
如图所示，过点B作BF⊥CD于点F，则CF＝DF＝ CD＝1，
1
2
3
4
5
6
7
∴AF＝AD＋DF＝4.在Rt△BDF中，由勾股定理，
得BF＝ ＝2 ，
在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB＝ ＝2 .
1
2
3
4
5
6
7
参考答案
【知识要点】
1. （1）两边　（2）①底边上的中线（或底边上的高或顶角平分线）所在的
直线　②（ⅰ）相等　等边对等角　（ⅱ）平分线　高
（3）相等　等角对等边　
2. （1）三边　（2）①相等　60°　②三　（3）①相等　②等腰
【对点练习】
1. （1）20　（2）55°　（3）2　2.48
1
2
3
4
5
6
7
【典例精讲】
【例1】C　解析：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB＝AC，
∴BD＝ BC＝ 米.
∵AD＝1.2米，
∴AB＝AC＝ ＝1.3米，
∴绳长为1.3×2＝2.6米.故选C.
【例2】（1）证明：∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，
1
2
3
4
5
6
7
∴PA＝PB，
∴∠B＝∠BAP.
∵∠APC＝∠B＋∠BAP，
∴∠APC＝2∠B.
1
2
3
4
5
6
7
（2）解：根据题意可知BA＝BQ，
∴∠BAQ＝∠BQA.
∵∠AQC＝3∠B，∠AQC＝∠B＋∠BAQ，
∴∠BAQ＝2∠B.
∵∠BAQ＋∠BQA＋∠B＝180°，
∴5∠B＝180°，
∴∠B＝36°.
【例3】解：（1）＝
1
2
3
4
5
6
7
（2）AE＝DB，理由如下：
如图1，过点E作EF∥BC，交AC于点F.
∵△ABC为等边三角形，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE＝EF，BE＝CF.
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECD.
∵∠DEB＝60°－∠D，
∠ECF＝60°－∠ECD，
∴∠DEB＝∠ECF.
在△DBE和△EFC中，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴DB＝EF，
∴AE＝DB.
图1
图1
1
2
3
4
5
6
7
（3）点E在AB的延长线上，作EF∥AC，则
△EFB为等边三角形，
如图2所示，同理可得△DBE≌△CFE，
∵AB＝1，AE＝2，
∴BE＝1.
∵DB＝FC＝FB＋BC＝2，
∴CD＝BC＋DB＝3.
图2
图2
1
2
3
4
5
6
7
1. A2.C　解析：∵∠A＝40°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°.
又∵DE垂直平分AC，
∴DA＝DC，
∴∠ACD＝∠A＝40°，
∴∠BCD＝∠ACB－∠ACD＝70°－40°＝30°.故选C.
3. D　
4. B　解析：如图，过点A作AE'⊥BD于点E'，AE'的延
长线交BC于点F，连接DF，
【当堂检测】
1
2
3
4
5
6
7
∵DE⊥BD，
∴AF∥DE.
∵AD＝AB，
∴∠BAF＝∠DAF. 在△ABF和△ADF中，
∴△ABF≌△ADF（SAS），
∴∠ABC＝∠ADF＝90°，BF＝DF，
∴∠1＋∠4＝90°.
∵DE⊥BD，
1
2
3
4
5
6
7
∴∠1＋∠2＝90°，
∴∠2＝∠4.
又∵∠3＋∠DBE＝∠ABC＝90°，∠DBE＋∠BED＝90°，
∴∠3＝∠BED.
∵AD＝AB，
∴∠3＝∠4，
∴∠2＝∠BED，
∴DF＝EF，
∴BF＝DF＝EF. 设BF＝DF＝EF＝a，CD＝x，其中a≠0，
∴BE＝2a，
1
2
3
4
5
6
7
∵AD＝AB，BE＝AD，
∴AB＝AD＝BE＝2a，
∴AC＝AD＋CD＝2a＋x，CF＝EF＋CE＝a＋1，
∵AF∥DE，
∴△CDE∽△CAF，
∴CD∶AC＝CE∶CF，即x∶（2a＋x）＝1∶（a＋1），
解得x＝2.
∴CD＝2.故选B.
1
2
3
4
5
6
7
5. A　解析：在△ABC中，∠ACB＝80°，
∴∠A＋∠B＝180°－∠ACB＝100°，
由作图可得BC＝BD，AE＝AD，
∴∠BDC＝∠BCD＝ ，
∠ADE＝∠AED＝ ，
∴∠CDE＝180°－∠BDC－∠ADE＝180°－ － ＝
＝50°，故选A.
1
2
3
4
5
6
7
6.2　
7. （1）证明：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠DBA＝∠A，
∴∠BDC＝∠DBA＋∠A＝2∠A.
又∵∠C＝2∠A，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
∴△BCD是等腰三角形.
1
2
3
4
5
6
7
（2）解：∵AD∶CD＝3∶2，
∴设AD＝3k，CD＝2k.
又∵AC＝AD＋CD＝5，
∴5k＝5，解得k＝1，
∴AD＝3，CD＝2.
由（1）可知，AD＝BD，BD＝BC，
∴BD＝BC＝AD＝3.
如图所示，过点B作BF⊥CD于点F，
则CF＝DF＝ CD＝1，
1
2
3
4
5
6
7
∴AF＝AD＋DF＝4.
在Rt△BDF中，由勾股定理，得BF＝ ＝2 ，
在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB＝ ＝2 .
1
2
3
4
5
6
7

展开更多......

收起↑