资源简介

西南名校联盟2026届“3+3+3”高考备考诊断性联考（一）·双向细目表
数 学
题号 考点 难度
1 集合的运算（交集） 易
2 三角函数的性质（最小正周期、初相） 易
3 复数的运算（求模） 易
4 向量的坐标运算（共线问题） 易
5 双曲线的离心率 易
6 空间几何体的表面积 中
7 正余弦定理的应用 中
8 函数的综合性质（分段函数） 中
9 抛物线的标准方程与几何性质 易
10 等比数列的性质 中
11 立体几何的综合问题 难
12 指数函数的过定点问题 易
13 古典概型的应用 中
14 三次函数的零点问题 中
15 统计（2×2列联表，K方检验，离散型随机变量的分布列、期望） 易
16 等差数列的应用及简单放缩法的应用 易
17 空间几何体的位置关系及平面与平面的夹角问题 中
18 椭圆的综合问题（定值问题，面积的最值问题） 难
19 导数的综合问题（求切线方程，极值，零点问题等） 难西南名校联盟2026届“3+3+3”高考备考诊断性联考（一）
数学参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B C D B D A D
【解析】
3．由题意，所以，故选C．
另解：．
4．，所以，故选D．
5．双曲线的右焦点到渐近线的距离为，得，又，所以，又且为中点，所以，即该双曲线为等轴双曲线，所以离心率，故选B．
(
图1
)6．由题意知区域和全等，且都是底面半径为，高为的圆柱的侧面的一部分．将区域还原到如图1所示圆柱中，可知，，．由扇形的弧长公式可知，，由圆柱的侧面积公式可知，所以，所以被瓦片覆盖的区域和的总面积为，故选D．
7．因为，且角的平分线交边于，且，所以，即，又，所以，所以，，由余弦定理
，所以，即，故选A．
(
图2
)8．由题意得，如图2所示，因为，所以，所以，即，因为，所以可设，所以，所以原不等式即，又是R上的增函数，所以对恒成立，所以，则，即，故选D．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
题号 9 10 11
答案 AD AB ABD
【解析】
9．对于选项A：由抛物线方程可得，即，且焦点在轴正半轴上，所以的准线方程为，故A正确；对于选项B：令，得，所以，由抛物线定义得：，故B错误；对于选项C：由选项B知，所以直线的斜率为，故C错误；对于选项D：若三点共线，则的最小值为通径，令得，所以，所以的最小值为8，故D正确，故选AD．
10．对于A，，则，A正确；对于B，由，有，所以，所以，故，B正确；对于C，，，成等比数列，，，所以，即，C错误；对于D，，所以，D错误，故选AB．
11．对于A，因为，，所以，A正确；对于B，取中点，则由于正方体的结构特征及已知，平面，以平面为底面，则为定值，B正确；对于C，过点与体对角线平行或重合的4条直线均满足要求，C错误；对于D，点在以的中点为球心，半径为的球面上，动点的轨迹为平面与球的球面的交线，点在四边形内的轨迹是圆，平面，设球心到平面的距离为，平面截球所得截面圆的半径为，，因此动点的轨迹长度为，D正确，故选ABD．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
题号 12 13 14
答案
【解析】
12．令，解得，此时，所以函数
(，且)的图象恒过定点．
13．先后抛掷两次正方体骰子，用数组表示可能的结果，是第一次抛掷的点数，是第二次抛掷的点数，则试验的样本空间为，其中共有36个样本点，由得，，满足题意的样本点共3个：，所以的概率．
14．由题意可知，有且只有两个不同的零点，设，则．令，得，，由中，且，经检验得．此时，．令，得或，由单调性可知，的极大值为．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
解：（1）根据统计表格数据可得列联表如下：
性别 志愿服务 合计
一般参与 积极参与
男生 20 5 25
女生 10 15 25
合计 30 20 50
………………………………………………………………………………………（2分）
零假设为：性别与参与志愿服务情况独立，即性别因素与学生志愿服务的参与积极性无关， ……………………………………………………………………………………（3分）
根据列联表的数据计算可得，
………………………………………………………………………………………（5分）
因为，…………………………………………………………………（6分）
所以，依据小概率值的独立性检验，认为性别因素与学生参与志愿服务的积极性有关系．
………………………………………………………………………………………（7分）
（2）由题可知8名“最美志愿者”有2名男生，6名女生，所以的所有可能取值为0，1，2，…………………………………………………………………………………（8分）
且服从超几何分布，的分布列为：，
，
…………………………………………………（11分）（写对一个给1分，共3分）
可得．
……………………………………………………………………………………（13分）
（备注：体现期望公式得1分，结论1分）
16．（本小题满分15分）
证明：（1）由，得，……………………………（3分）
因为数列为正项数列，所以，即，
………………………………………………………………………………………（5分）
又因为，所以数列是以为首项，2为公差的等差数列．
………………………………………………………………………………………（7分）
（2）由（1）可知，，即，……………………………（9分）
则， …………………………………………（12分）
，………………………（14分）
，，．……………………………………（15分）
17．（本小题满分15分）
（1）证明：取的中点为，在上取点，使，
连接，如图3，…………………………………（1分）
因为是的中点，所以，
(
图3
)……………………………………………………………（2分）
又因为，所以，………………………………………（3分）
所以，………………………………………………………………（4分）
即四边形为平行四边形，所以，………………………………………（5分）
因为平面平面，
平面．………………………………………………………………………（6分）
（2）解：设，
因为平面是的中点，
所以，
即，
所以．………………………………………………………………………………（7分）
分别取的中点，连接，如图4，
则，
因为平面，所以平面，
又因为为正三角形，所以，
(
图
4
)即两两垂直，
以为轴建系，……………………………………………………（8分）
则，………………………………………………（9分）
设平面的一个法向量为，
则，………………………………………（11分）
平面的一个法向量为，……………………………………………（12分）
所以，………………………………………（14分）
所以平面与平面的夹角的余弦值为．………………………………（15分）
18．（本小题满分17分）
（1）解：由题意得，短轴长为，所以，解得，
……………………………………………………………………………………（1分）
，所以，则，………………………………………（2分）
所以椭圆的标准方程为．………………………………………………（3分）
（2）（ⅰ）解：与斜率存在且不为零，不妨设的方程为，
联立，消去，可得，
……………………………………………………………………………………（4分）
设，则，
，………………………………………（5分）
所以，
……………………………………………………………………………………（7分）
在的表达式中用“”代“”可得，
……………………………………………………………………………………（9分）
所以， ……………………………………（10分）
则，，
得，则或．…………………………………………………（12分）
（ⅱ）证明：解法1：由第（2）（ⅰ），由是AB中点，则，
…………………………………………………………………………………（13分）
，即；………………………………（14分）
将换为，则，………………………………………………（15分）
则直线MN的方程为
，
…………………………………………………………………………………（16分）
即为，
则直线恒过定点(4，0)得证． ……………………………………………………（17分）
解法2：由第（2）（ⅰ），由是AB中点，则，
…………………………………………………………………………………（13分）
，即；………………………………（14分）
将换为，则，………………………………………………（15分）
记定点(4，0)为点，
则，
过定点(4，0)得证．…………………………………………………………………（17分）
19．（本小题满分17分）
解：（1）由可得，则，
……………………………………………………………………………………（1分）
又，则，……………………………………………（3分）
所以在处的切线方程为，即
……………………………………………………………………………………（4分）
（2）由可知，，
……………………………………………………………………………………（5分）
又，
……………………………………………………………………………………（6分）
当时，，，恒成立，
则在定义域内单调递增，仅有一个零点，与题意不符，舍去；
……………………………………………………………………………………（7分）
当时，恒成立，
则在定义域内单调递减，仅有一个零点，与题意不符，舍去；
……………………………………………………………………………………（8分）
当时，由于的，
可设的两个根为．
下证：，事实上，这表明，
又，这表明，
结合的定义域，则有时，，递增；
时，，递减；时，，递增；
注意到，则有，，
且趋于正无穷时，趋于正无穷大，趋于时，趋于负无穷大．
由零点存在定理，可知存在，使得，
又，这表明．……………………………………………………………（9分）
综上，． ………………………………………………………………………（10分）
（3），
………………………………………………………………………………………（11分）
注意到，即，由于，则有，
注意到的三个零点，所以有，
………………………………………………………………………………………（12分）
要证：，即证：，
即证：，
即证：，………………………………………………（13分）
由于，，即证：，即证：，
………………………………………………………………………………………（14分）
由于，，
则有，………………………………………………………………（15分）
即证：，即证：，
………………………………………………………………………………………（16分）
构造：，则，
所以在上单调递增，
所以，证毕！………………………………………（17分）西南名校联盟2026届“3+3+3”高考备考诊断性联考（一）
数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答
题卡上填写清楚
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求)
1.已知集合A={-1,0,1,2},B={0,2,3},则AnB=
A.{0,1}
B.{0,2}
C.{-1,1}
D.{0,2,3}
2已知函数)=2nx+写引，
则它的最小正周期、初相分别是
A2m,写
B.
2T T
35
C.2m,-2
2
D.
3已知复数：2（为虚数单位，则1
号
B.240
5
D.30
4.已知向量a=(1,2),=(2,m),若a与共线，则实数m=
A.-1
B.1
C.2
D.4
数学·第1页（共6页）
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3已知0为坐标原点，过双曲线C:兰卡=1(a>0,>0)的右焦点P作一条浙近线的罪
线，垂足为点M,过M作x轴的垂线，垂足为N,若N为OF的中点，则双曲线的离
心率为
A.1
B.2
C.√3
D.2
6.如图1是某古代建筑的屋顶结构模型，其中ABCD为矩形，AB=40m,AE,DE,B,
C示为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为10m,圆心角为？已知区域ABFE和DCFE
是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为
A
2090
g
B.
图1
C.200mm2
005
D.
7.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,A=
3
△ABC的面积为
√5，角A的平分线交边BC于D,且BD=2DC,则a为
A.14
B.√10
C.√2
D.1
r(x-2)2,x≥2
8.已知函数(x)=
若对于任意的实数x,不等式16f(2x-a)≤f(x2+2)
1-f(4-x),x<2
恒成立，则实数a的取值范围为
A.[1,+∞）
B.[1,2]
c,+
D.[2,+∞)）
数学·第2页（共6页）
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.已知0为坐标原点，F是抛物线C:y2=8x的焦点，A,B,D是C上的三个点，且
A(m,2√2)，则下列说法正确的是
A.C的准线方程为x=-2
B.|AF|=4
C.直线OA的斜率为√2
D.若B,D,F三点共线，则|BD|的最小值为8
10.已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,a1+a2=3,a4+a5=24,则下列说法正
确的是
A.q=2
69
B.
C.a,+ag+a,=504
D.a1a2a…a-10=2
11.正方体ABCD-A1B,C,D1的棱长为2，线段B,D1上有两个动点E、F,且EF=√2，则
下列说法正确的是
A.AC⊥EF
B.三棱锥A-EFC的体积为定值
C.过点A仅能作1条直线，使正方体的12条棱所在直线与此直线所成的角都相等
D.点P是平面BDD,B1内一点，若BP⊥PC1,则点P的轨迹长度是6T
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.已知函数y=a-25+2025(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,则点P的坐标为
13.将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6），先后抛掷
两次，将得到的点数分别记为m,n,若向量a=(2m-3,n-1,4),=(1,1,-1),
则alb的概率是
14.已知f八x)=x3+mx2+nx+p(m,n,peR),f'(x)是f(x)的导函数，若f(x)有且只有两
个不同的零点，且f(x)和f'(x)的零点均在集合{3,1，-3}中，则f(x)的极大值为
数学·第3页（共6页）
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