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平行四边形的判定1
R·八年级数学下册
四边形
21
学习目标
1.理解并掌握用边、角、对角线来判定平行四边形的方法,
培养学生严谨的书写表达能力．
2.理解平行四边形的判定定理与性质定理之间的区别和联系,
感悟用逆向思维来研究问题．
3.综合运用平行四边形的判定方法与性质进行证明和计算．
平行四边形的定义.
新课导入
2
3
4
（提示：点击传送门分别打开平行四边形的创造方法）
探索新知
A
B
C
小华家准备安装一块平行四边形的装饰玻璃 ABCD，但是粗心的小华不小心碰碎了玻璃的一部分，剩下的部分如图所示.
现在小华想买一块一模一样的玻璃，你能在图纸上帮他画出来吗？
我根据平行四边形的定义来画.
D
还有其他的方法吗？
归纳小结
几何语言：
平行四边形的判定方法1
∵AB∥CD，AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
A
B
C
D
如图①为便携式折叠钓鱼椅，将其抽象成几何图形，如图②所示.已知∠ABD = 118°，∠GFE = 62°，BD ∥ CE ∥ GE.
求证：四边形 BCED 是平行四边形.
证明：BD∥GF，∠GFE = 62°，
∴∠BDF = 180°－∠GFE = 118°.
∵∠ABD = 118°，
∴∠ABD = ∠BDF，
∴ BC∥DE.
又 ∵BD∥CE， ∴四边形 BCED 是平行四边形.
逆命题
A
B
C
D
O
平行四边形有哪些性质？
反过来成立吗？
平行四边形的性质
对边相等
对角相等
对角线互相平分
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线互相平分的四边形是平行四边形
猜想
已知：如图所示，在四边形 ABCD 中，AD = BC，AB = CD.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
证明：如图所示，连接 BD.
∵AD = CB，AB = CD，BD = DB，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
∴∠ABD = ∠CDB，∠ADB = ∠CBD，
∴AB∥CD，AD∥BC .
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
A
B
C
D
猜想：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
归纳小结
几何语言：
平行四边形的判定方法2
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
A
B
C
D
∵ AB = CD，AD = BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
如图，AE = DF，BE = CF，AD = BC，且∠AEB = ∠DFC，
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
证明：在△AEB 和△DFC中，
AE = DF，
∠AEB = ∠DFC，
BE = CF，
∴ △AEB ≌ △DFC（SAS），
∴AB = DC.
又AD = BC，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
已知：如图所示，在四边形 ABCD 中，∠A = ∠C，∠B = ∠D.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
证明：∵∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°，
∠A = ∠C，∠B = ∠D，
∴∠A + ∠B = 180°，∠C + ∠B = 180°，
∴ AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
A
B
C
D
猜想：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
归纳小结
几何语言：
平行四边形的判定方法3
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
∵∠A =∠C，∠B =∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形
D
C
A
B
如图，在四边形 ABCD 中，AB//CD，∠B = 55°，∠1 = 85°，∠2 = 40°.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
证明：∵AB//CD，
∴∠DCB = 180°－∠B = 125°，∠CAB = ∠2 = 40°.
∴∠DAB =∠1 + ∠CAB = 85°+ 40°= 125°.
∴∠DCB =∠DAB.
∵∠D = 180°－∠1－∠2 = 180°－85°－40°= 55°，
∴∠D =∠B，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
如图，在四边形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，且OA = OC，OB = OD. 求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
A
B
C
D
O
证明：∵OA = OC，OB = OD，∠AOB = ∠COD，
∴△AOB ≌△COD. （SAS）
∴∠OAB = ∠OCD.
∴AB∥CD.（内错角相等，两直线平行）
同理 AD∥BC.
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
猜想：
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
归纳小结
几何语言：
平行四边形的判定方法4
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
∵OA=OC，OB=OD
∴四边形ABCD是平行四边形
D
C
A
B
O
如图，在四边形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，AE ⊥ BD，CF ⊥ BD，垂足分别为 E，F，BE ＝ DF，AF∥CE．试判断
四边形 AECF、四边形 ABCD 的形状，并说明理由．
解：四边形 AECF、四边形 ABCD 都是平行四边形．
∵AE ⊥ BD，CF ⊥ BD，
理由如下:
∴易得 AE∥CF．
又 AF∥CE，
∴四边形 AECF 是平行四边形．
∴ OA ＝OC，OE＝OF．
又 BE＝DF，
∴OE + BE ＝ OF + DF，
即 OB ＝ OD ．
∴四边形 ABCD 是平行四边形．
如图，在四边形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，AE ⊥ BD，CF ⊥ BD，垂足分别为 E，F，BE ＝ DF，AF∥CE．试判断
四边形 AECF、四边形 ABCD 的形状，并说明理由．
如图，□ ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 在 AC 上，并且 AE = CF. 求证：四边形 BFDE 是平行四边形.
例 4
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AO = CO，BO = DO .
∵AE = CF，
∴AO－AE = CO－CF，即 EO = FO.
又 BO = DO，
∴四边形 BFDE 是平行四边形.
（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
你还有其他证明方法吗？
有.证明如下：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB = CD，AB∥CD，∴∠BAE = ∠DCF .
在△BAE 和△DCF 中，
∵AB = CD，∠BAE = ∠DCF，AE = CF，
∴△BAE ≌ △DCF（SAS），
∴BE = DF . 同理可证△BCF ≌ △DAE，∴BF = DE，
∴四边形 BFDE 是平行四边形.
如图，在△ABC中，分别以AB，AC，BC为边在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF.试说明四边形 DAEF 是平行四边形．
证明：∵△ABD和△BCF都是等边三角形，
∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝60°.
∴∠DBF＝∠ABC.又∵BD＝BA，BF＝BC，
∴△DBF≌△ABC(SAS).∴AC＝DF.
又∵△ACE是等边三角形，∴AC＝DF＝AE.
同理可证△ABC≌△EFC，∴AB＝EF＝AD.
∴四边形DAEF是平行四边形．
思维拓展
练 习
1. 如图，在四边形 ABCD 中，∠ADB =∠CBD，∠C +∠ABC =180°，
四边形 ABCD 是平行四边形吗？请说明理由.
解：四边形 ABCD 是平行四边形.
理由如下：
∵∠ADB =∠CBD，∴AD∥BC.
∵∠C + ∠ABC = 180°，∴AB∥CD.
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
B
C
A
D
【选自教材第60页 练习 第1题】
2. 如图，AB = DC = EF，AD = BC，DE = CF . 图中有哪些
互相平行的线段？
先判定平行四边形，再找平行的线段.
解：AB∥CD∥EF，AD∥BC，DE∥CF.
【选自教材第61页 练习 第2题】
3. 如图， ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，且 E，F
分别是 OA，OC 的中点，连接 DE，DF，BE，BF .
求证：四边形 DEBF 是平行四边形.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA = OC，OB = OD.
∵E，F 分别是 OA，OC 的中点，
∴OE = OA，OF = OC.
∴OE = OF.
∴四边形 DEBF 是平行四边形.
【选自教材第61页 练习 第3题】
课堂小结
图示 元素 文字语言 符号语言（书写格式）
边
角
对角线
平行四边形的判定方法
已知四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O.
D
C
A
B
O
∵OA=OC，OB=OD
∴四边形ABCD是平行四边形
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
∵∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC，
∴四边形ABCD是平行四边形
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
∵AB=CD，AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
∵AB∥CD，AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
课后作业

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