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3.1　等量关系和方程
第3章　一次方程(组)
初中数学湘教版（2024）七年级上
1.能通过对实际问题的分析，归纳并理解方程和一元一次方程的概念.(重点)
2.估算使方程左右两边相等的未知数的值，理解方程的解的概念.(重点)
3.会根据简单的实际问题列出一元一次方程.(难点)
4.经历把实际问题抽象为数学方程的过程，认识到方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型，初步体会建立数学模型的思想.
学习目标
情境引入
你能用方程解决下列问题吗？一山兔子一山鸡，两山拼在一山里，数数脑袋三千六，查查腿一万一，谁能算出有多少只兔子多少只鸡？
一、方程、一元一次方程的概念
问题1　如图是一个长方体形状的包装盒示意图，长为1.2 m，高为1 m，表面积为6.8 m2.
(1)这个问题涉及哪些量？它们之间有怎样的等量关系？
提示　表面积=(长×宽+宽×高+长×高)×2.
(2)若设包装盒底面的宽是y m，则根据题意可得等式：_______________
　　　　　　　.这个式子与我们上一章学的整式有什么不同？
(1.2×y+y×1+
1.2×1)×2=6.8
提示　含有等号.
知识梳理
含有未知数的 叫作方程.只含有 未知数，并且未知数的次数是 ，这样的方程叫作一元一次方程.
等式
一个
1
例1
　　下列各式哪些是一元一次方程？
①3x-5=10；②x=0；③x+2y=3；④x2-2x+1=0；⑤2x=3x；⑥2(x+1)=2；
⑦2(x+1)-2x=2.
解　①3x-5=10，是一元一次方程；
②x=0，是一元一次方程；
③x+2y=3，含有两个未知数，不是一元一次方程；
④x2-2x+1=0，未知数的最高次数是2，不是一元一次方程；
⑤2x=3x，是一元一次方程；
⑥2(x+1)=2，是一元一次方程；
⑦2(x+1)-2x=2，整理可得2=2，不是一元一次方程.
所以一元一次方程有①②⑤⑥.
反思感悟
一元一次方程的三个要素：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的次数是1；(3)方程的左、右两边都是整式.
跟踪训练1
　　 　下列方程是一元一次方程的是
A.x2-2x=0 B.2x-3=4
C.x-3>0 D.x+2y=1
√
解析　x2-2x=0未知数的次数不是1，不是一元一次方程，故A选项错误；
2x-3=4，是一元一次方程，故B选项正确，符合题意；
x-3>0不是等式，不是一元一次方程，故C选项错误；
x+2y=1含有两个未知数，不是一元一次方程，故D选项错误.
二、从实际问题中建立一元一次方程模型
知识梳理
从实际问题中建立一元一次方程模型的步骤：一设：设未知数；二找：找等量关系；三列：用含有未知数的式子将等量关系中的各种量表示出来，并根据等量关系列出方程.
例2
　　在一次植树活动中，甲班植树的株数比乙班多20%，乙班植树的株数比甲班的一半多10株.设乙班植树x株.
(1)列两个不同的含x的代数式，分别表示甲班植树的株数；
解　根据甲班植树的株数比乙班多20%，得甲班植树的株数为(1+20%)x；根据乙班植树的株数比甲班的一半多10株，得甲班植树的株数为2(x-10).
(2)根据题意列出含未知数x的方程.
解　(1+20%)x=2(x-10).
跟踪训练2
　　 　某项工作，甲单独完成需30天，乙单独完成需20天，若乙先单独做12天，剩下的由甲单独完成.问：甲、乙一共用多少天可以完成全部工
作？若设甲、乙一共用x天可以完成全部工作，则可列方程为　　　　　.
+=1
解析　甲、乙共用x天完成，则甲单独干了(x-12)天，由题意得，甲每天完成全部工作的乙每天完成全部工作的.根据等量关系列方程得+=1.
三、方程的解
问题2　填写表格.
x 1 0 -1 -2 -3 -4 …
2x+1 3 1 -1 -3 -5 -7 …
x-3 -2 -3 -4 -5 -6 -7 …
观察表格，当x=1时，2x+1=　 ；x-3=　 ；当x=　 时，2x+1=x-3.
3
-2
-4
对于含有一个未知数x的方程，若x用一个数c代入能使方程左、右两边的值相等，这个数c就是这个 ，习惯上记作 .
知识梳理
方程的一个解
x=c
例3
　　 (课本P98例题)分别检验x的下列值是否是方程2.5x+318=1 068的解.
(1)x=300；
解　把x用300代入原方程得，左边=2.5×300+318=1 068，右边=1 068，此时左边=右边，
所以x=300是方程2.5x+318=1 068的解.
(2)x=330.
解　把x用330代入原方程得，左边=2.5×330+318=1 143，右边=1 068，此时左边≠右边，
所以x=330不是方程2.5x+318=1 068的解.
反思感悟
检验一个数是不是方程的解的方法：把给出的未知数的值分别代入原方程的左、右两边，若左边=右边，则这个数是方程的解；若左边≠右边，则这个数不是方程的解.
跟踪训练3
　　 　下列方程中，解为x=2的为
A.3x=3+x B.x(x-7)=-10
C.(x-3)(x-1)=0 D.2x=10-4x
解析　把x=2代入x(x-7)=-10得-10=-10；将x=2代入其他选项均不能满足左边等于右边.
√
1.下列各式中，是方程的是
A.3-2=1 B.y-5
C.3m>2 D.x=5
√
2.下列方程中是一元一次方程的是
A.x-2= B.2x-3=5
C.y2-4y=3 D.x+2y=1
√
3.下列方程的解是x=2的方程是
A.4x+8=0 B.-x+=0
C.x=2 D.1-3x=5
√
4.“x与5的差等于x的3倍”用方程表示为　　　　.
x-5=3x
5.我国古代数学名著《九章算术》第七章“盈不足”中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问：人数、物价各几何？”题目大意：几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱.合伙人数、物品的价格分别是多少？
(1)如果设合伙人数为x，则物价可以表示成　　 　钱或　　　钱，于是可以列出方程：　　　　　；
(2)如果设物价为y钱，则人数可以表示成　　　人或　　　人，于是可以列出方程：　　　 　.
(8x-3)
(7x+4)
8x-3=7x+4
=
谢谢

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