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(共27张PPT)
第1课时　航行、和差倍分、工程问题
第3章　3.4　一元一次方程的应用
初中数学湘教版（2024）七年级上
1.利用一元一次方程解决航行问题、和差倍分问题、工程问题等(重点、难点).
2.学会分析复杂问题中的数量关系和等量关系，建立方程模型解决实际问题，发展分析问题、解决问题的能力.(重点、难点)
3.探索实际问题中的相等关系，建立一元一次方程模型.经历运用方程解决实际问题的过程，体会运用一元一次方程解决实际问题的一般步骤.(重点)
学习目标
情境引入
一艘轮船在甲、乙两个码头之间航行，顺水航行时需4 h，逆水航行时需5 h，已知水流速度为2 km/h，则轮船在静水中的航行速度是多少？
一、航行问题
问题1　(1)轮船顺水航行的速度=轮船在静水中的航行速度+　　 　　；
(2)轮船逆水航行的速度=轮船在静水中的航行速度-　　　 　；
(3)本题等量关系：　　　　　　　　　　　　　　　 .
水流速度
水流速度
顺水航行的路程=逆水航行的路程
知识梳理
航行问题中的等量关系：
顺水(顺风)航行的速度=静水中(无风时)的速度+水流(风)的速度；
逆水(逆风)航行的速度=静水中(无风时)的速度-水流(风)的速度.
　　一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2 h，从乙码头返回甲码头逆流而行，用了2.5 h，已知水流的速度是3 km/h，求甲、乙两码头之间的距离.
例1
解　设船在静水中的速度为x km/h，根据题意得(x+3)×2=(x-3)×2.5，
解得x=27，2(27+3)=60(km)，
故船在静水中的速度是27 km/h；甲、乙两码头之间的距离是60 km.
反思感悟
列一元一次方程解决实际问题时需要注意以下几点：(1)恰当地设未知数，且单位要统一；(2)题中的相等关系不一定只有一个，要根据具体情况选择；(3)求出方程的解后要检验，既要检验所求出的解是不是方程的解，又要检验所求出的解是否符合实际意义.
　　 “悟空顺风探妖踪，千里只用五分钟；归时五分行六百，试问风速是多少？”大致意思是：孙悟空追寻妖精的行踪，去时顺风，1 000里只用了5分钟；回来时逆风，5分钟只走了600里，试求风的速度是每分钟
A.30里 B.40里 C.50里 D.60里
跟踪训练1
√
解析　因为去时顺风，1 000里只用了5分钟，所以顺风的速度为1 000÷5 =200(里/分钟)，设风的速度是x里/分钟，则无风时的速度为(200-x)里/分钟，逆风时的速度为(200-2x)里/分钟，由题意得，(200-2x)·5=600，解得x=40.
故风的速度为每分钟40里.
二、和、差、倍、分问题
问题2　某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演，共售出1 000张票，筹得票款69 500元，其中成人票80元一张，学生票是50元一张，成人票与学生票各售出多少张？
本题中的等量关系有：①成人票数+　　 　=1 000张；②　　　　+学生票款=69 500.
学生票数
成人票款
知识梳理
和差倍分问题中的等量关系是：各分量的和=总量.
　　 (课本P113练习第1题)某房间里有4条腿的椅子和3条腿的凳子共16个，如果椅子腿数与凳子腿数的和为60，试问：有几张椅子和几把凳子？
例2
解　设有x张椅子，则有(16-x)把凳子.根据题意，得4x+3(16-x)=60，
去括号，得4x+48-3x=60，移项、合并同类项，得x=12.
因此，凳子有16-12=4(把).
故有12张椅子，4把凳子.
　　 　用一根36 m长的铁丝围出一个长方形，使它的长是宽的1.5倍.求长方形的长比宽多多少？
跟踪训练2
解　设长方形的宽为x m，则长为1.5x m，根据题意得2(1.5x+x)=36，解得x=7.2，所以1.5x=10.8，
所以10.8-7.2=3.6 (m)，故长比宽多3.6 m.
三、工程问题
问题3　一项工程需要甲、乙两队完成，已知甲队单独完成需要48天，乙队单独完成需要60天.甲队先做12天，然后甲、乙两队合作完成剩下的工程.问甲、乙两队合作还需要多少天完成此项工程.
(1)甲队的工作效率为　　，乙队的工作效率为　　，设甲、乙两队合作完成剩下的工作还需要x天，则甲队共完成的工作量为　 　　，乙队完成的工作量为　　；
(2)本题的等量关系是____________________________________________
____________，因此，可得方程　　　　　　　　　　.
(12+x)
x
甲队先做12天完成的工作量+甲、乙两队合作完成
的工作量=1
×12+x=1
(1)在工程问题中，如果总工作量未知而又不求总工作量时，通常把总工作量看成1；
(2)工程问题的基本关系式为工作量=工作时间×工作效率，工作效率=工作量÷工作时间，工作时间=工作量÷工作效率.
知识梳理
　　(课本P112例2)刺绣是我国民间传统手工艺之一.若刺绣一件作品，甲单独绣需要15天才能完成，乙单独绣需要12天才能完成，现在甲先单独绣1天，接着乙又单独绣4天，剩下的工作由甲、乙两人合绣.试问：再合绣多少天可以完成这件作品？
例3
解　设剩下的工作由甲、乙两人合绣x天可以完成，
则根据题意，得(x+1)+(x+4)=1.
解得x=4.
故甲、乙两人再合绣4天就可以完成这件作品.
反思感悟
在工作量、工作效率、工作时间这三个量中，如果一个量已知，对第二个量设元，那么从第三个量找相等关系列方程.
　　 　某自来水公司为保障居民供水及道路安全，经排查，决定改造丹阳路一段面临老化的地下管线.此改造工程若由甲工程队单独完成需要16天，由乙工程队单独完成需要24天.计划由甲、乙两队一起合作完成此工程，但在实际工作中，甲队全程参与，乙队因工作调动中途离开了6天，问此工程一共用了多少天？
跟踪训练3
解　设这项工程一共用了x天，由题意得x+(x-6)=1，解得x=12，
故这项工程一共用了12天.
1.一艘船从甲地到乙地顺水而行，用了3小时；从乙地返回甲地逆水而行，用了4小时.已知水流的速度为每小时4千米，船在静水中的平均速度为每小时x千米，则列方程正确的是
A.4(x+4)=3(x-4)
B.3(x+4)=4(x-4)
C.4x+4=3(x-4)
D.3(x+4)=4x-4
√
2.某新能源车企今年5月交付新车35 060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1 100辆.设该车企去年5月交付新车x辆，根据题意，可列方程为
A.1.2x+1 100=35 060
B.1.2x-1 100=35 060
C.1.2(x+1 100)=35 060
D.x-1 100=35 060×1.2
√
3.某工程甲单独完成要45天，乙单独完成要30天，若乙先单独干22天，剩下的由甲单独完成.问甲、乙一共用几天可以完成全部工作？若设甲、乙共用x天完成，则符合题意的方程是
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
√
4.某市今年进行天然气工程改造，甲、乙两个工程队共同承包这个工程.这个工程若甲队单独做需要8天完成；若乙队单独做需要12天完成.若甲、乙两队同时施工4天，余下的工程由乙队完成，问乙队还需要_____天能够完成任务.
2
5.学校生物小组计划在实验区种植郁金香和三色堇两种春季草本花卉，研究它们的生长特性.已知种植每株郁金香需2平方分米的营养面积，种植每株三色堇需1平方分米的营养面积，总种植面积为24平方分米，两种花卉的总数量为15株.请你计算郁金香和三色堇分别种植多少株？
解　设郁金香种植了x株，则三色堇种植了(15-x)株，根据题意得2x+(15-x) =24，
解得x=9，所以15-x=15-9=6(株).
故郁金香种植了9株，三色堇种植了6株.
谢谢

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