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3.5　认识二元一次方程组
第3章　一次方程(组)
初中数学湘教版（2024）七年级上
1.了解二元一次方程、二元一次方程组和它的一个解的含义.(重点)
2.能根据简单的实际问题列二元一次方程组，会检验一对数是不是某个二元一次方程(组)的解.(重点、难点)
学习目标
情境引入
《孙子算经》中有一题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何.”大意为：有若干只鸡和兔同在一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚.问笼中各有多少只鸡和兔？
(1)找出上述趣题中的等量关系；
(2)根据等量关系，你能列出一元一次方程吗？能否设两个未知数解决呢？
一、二元一次方程的概念
问题1　在鸡兔同笼问题中，若设兔子有x只，鸡有y只，根据“从上面数有35个头”可得方程　　　　；根据“从下面数有94只脚”可得方程___________.观察以上两个方程，它们各含有几个未知数？含未知数的项的次数是多少？
x+y=35
4x+2y=94
提示　都含有二个未知数，含未知数的项的次数是1.
知识梳理
含有 个未知数，并且含未知数的项的次数都是 ，这样的方程叫作二元一次方程.
两
1
例1
　　下列方程中，哪些是二元一次方程，哪些不是，为什么？
(1)x+y=1；(2)x2+y=1；(3)2x-3y=4z；(4)5xy+x=6；(5)2x+=4.
解　(1)符合二元一次方程的定义，是二元一次方程；
(2)含有未知数x的项的次数不是1，所以它不是二元一次方程；
(3)含有三个未知数，所以它不是二元一次方程；
(4)含有两个未知数，但含有未知数的项5xy的次数不是1，所以它不是二元一次方程；
(5)不是整式方程，所以它不是二元一次方程.
故(1)是二元一次方程，(2)(3)(4)(5)不是二元一次方程.
反思感悟
判断一个方程是不是二元一次方程的方法：一看原方程是不是整式方程且只含有两个未知数；二看化简整理后的方程是否具备两个未知数的系数都不为0且含未知数的项的次数都是1.
跟踪训练1
　　 　下列方程是二元一次方程的是
A.x+2y B.x+y-z=1
C.2x+y-1=0 D.x-=-1
√
二、二元一次方程组的概念
问题2　如果把鸡兔同笼这两个方程结合在一起，并用大括号联立起来，就得到我们把它叫作什么呢？
知识梳理
只含有 个未知数，并且含未知数的项的次数都是 的方程组叫作二元一次方程组.
两
1
例2
　　判断下列方程组是否是二元一次方程组.
(1)(2)(3)(4)
(5)
解　根据二元一次方程组的定义可知(1)(2)(3)是二元一次方程组.
反思感悟
判断一个方程组是不是二元一次方程组关键是看两点：(1)共含有两个未知数；(2)共有两个方程且每个方程都是一次方程.
跟踪训练2
　　 　在下列方程组中，是二元一次方程组的是
A. B.
C. D.
√
三、二元一次方程(组)的解
问题3　在鸡兔同笼问题中，得到方程组满足方程x+y
=35，且符合问题的实际意义(鸡兔的只数)的值有哪些？把它们填入表中.
x …
y …
(1)如果不考虑方程表示的实际意义，还可以取哪些值？这些值是有限的吗？
提示　x=1，y=34；x=2，y=33；…；x=34，y=1都能使x=y=35，两边的值相等.
还可以取x=-1，y=36；x=0.5，y=34.5；…，有理数中只要满足x+y=35的值都可以，无限个数值满足式子.
问题3　在鸡兔同笼问题中，得到方程组满足方程x+y
=35，且符合问题的实际意义(鸡兔的只数)的值有哪些？把它们填入表中.
x …
y …
(2)上述表格中是否存在同时满足方程①和方程②的值呢？
提示　存在，x=12，y=23.
1.一般地，使二元一次方程左右两边的值 的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解.
2.一般地，对于未知数为x，y的二元一次方程组，若x，y分别用数c1，c2代入，能使每个方程左右两边的值相等，则把(c1，c2)叫作这个方程组的
一个解.习惯上记作求方程组的解的过程叫作解方程组.
注意点：在书写二元一次方程组时，必须用大括号“{”联立起来，一般
写成的形式.
知识梳理
相等
例3
　　 (课本P118例题)小玲在文具店买了3本练习本，2支圆珠笔，共花去17元，其中购买练习本比圆珠笔多花1元.
(1)设练习本的单价是x元，圆珠笔的单价是y元，试列出相应的二元一次方程组；
解　根据等量关系，得
例3
　　 (课本P118例题)小玲在文具店买了3本练习本，2支圆珠笔，共花去17元，其中购买练习本比圆珠笔多花1元.
(2)是列出的二元一次方程组的一个解吗？
解　把x用3，y用4分别代入方程①②可得：方程①左边的值是3×3+2×4 =17，方程①右边的值也是17；方程②左边的值为3×3-2×4=1，方程②右边的值也是1.
因此是列出的二元一次方程组的一个解.
反思感悟
判断一组数是不是二元一次方程的解，将这组数代入二元一次方程中进行检验，若方程的左右两边相等，则这组数是二元一次方程的解；判断一组数是不是二元一次方程组的解，必须将这组数代入每一个二元一次方程中进行检验，若满足每一个方程，则这组数就是这个方程组的解，只要不满足其中任何一个方程，则这组数就不是二元一次方程组的解.
跟踪训练3
　　 　二元一次方程组的解是
A. B.
C. D.
√
1.下列各方程中是二元一次方程的是
A.x+5y=2 B.3xy+xz=4
C.2x2+xy=3 D.x+5=3
√
2.下列方程组是二元一次方程组的是
A. B.
C. D.
√
3.二元一次方程x+2y=6的一个解是
A. B.
C. D.
√
4.下列是二元一次方程组的解的是
A. B.
C. D.
√
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