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(共36张PPT)
　3.7　二元一次方程组的应用
初中数学湘教版（2024）七年级上
第3章　一次方程(组)
1.会根据问题情境及条件列出二元一次方程组解决实际问题.(重点)
2.从实际问题中抽象出二元一次方程组.(难点)
学习目标
3.进一步积累用列二元一次方程组解决实际问题的经验.(重点)
4.从具体问题情境中找等量关系.(难点)
情境引入
小楠收集的中国邮票和外国邮票共有335张，其中中国邮票的张数比外国邮票的张数的3倍少17.小楠收集的中国邮票和外国邮票各有多少张？小明同学利用一元一次方程求出了结果，如何列二元一次方程组来解决这一问题呢？
解决所列方程中含“x+y=”形式的实际问题
问题　设小楠有中国邮票x张，外国邮票y张，根据等量关系“中国邮票和外国邮票共有335张”可列方程：　　　　　；根据“中国邮票的张数比外国邮票的张数的3倍少17.”可列方程：　　　　.
x+y=335
x=3y-17
知识梳理
用二元一次方程组解决实际问题的步骤：
(1)审题：弄清题意和题目中的数量关系；
(2)设元：用字母表示题目中的未知数；
(3)列方程组：根据2个等量关系列出方程组；
(4)解方程组：利用代入法或加减法解出未知数的值；
(5)检验作答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.
　　(课本P128例1)某业余运动员针对自行车和长跑项目进行专项训练.某次训练中，他骑自行车的平均速度为10 m/s，跑步的平均速度为 m/s，自行车路段和长跑路段共5 km，共用时15 min.求自行车路段和长跑路段的长度.
例1
解　设自行车路段的长度为x m，长跑路段的长度为y m，
则解得
故自行车路段的长度为3 000 m，长跑路段的长度为2 000 m.
反思感悟
一般地，题目有几个未知数，就可以从题目中找到几个等量关系.
　　 　李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工需步行一段路，到学校共用时18 min.他骑自行车的平均速度是300 m/min，步行的平均速度是120 m/min，他家离学校的路程是4 500 m.李明上学时骑自行车的路程和步行的路程分别为多少米？
跟踪训练1
解　设李明上学时骑自行车和步行的时间分别为x min，y min.由题意，
得
解得300x=300×13=3 900，120y=120×5=600.
故李明上学时骑自行车的路程和步行的路程分别为3 900 m和600 m.
　　(课本P129例2)甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价15%，乙商品提价10%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和降低了5%.求甲、乙两种商品原来的单价.
例2
解　设甲商品原来的单价为x元，乙商品原来的单价为y元.根据题意，
得
解得
故甲商品原来的单价为60元，乙商品原来的单价为40元.
反思感悟
商品销售问题中，进价、售价、标价、利润、折扣之间的关系是：利润=售价-进价；售价=标价×折扣.
　　 　春节期间商场优惠促销，将甲、乙两种服装分别按标价的八折和九折出售.某顾客购买甲、乙两种服装各1件，共付182元，两种服装的标价之和为210元，则甲、乙两种服装的标价分别为
A.70元，140元 B.50元，100元
C.56元，126元 D.140元，70元
跟踪训练2
√
解析　设甲、乙两种服装的标价分别为x元、y元，
根据题意有
解得
则甲、乙两种服装的标价分别为70元，140元.
解决所列方程中含x，y系数不都为1的实际问题
问题1　小华从家里到学校的路是一段上坡路和一段平路.假设他始终保持上坡路每分钟走40 m，平路每分钟走60 m，下坡路每分钟走80 m，则他从家里到学校需15 min，从学校到家里需10 min.试问：小华家离学校多远？
问题中的等量关系：走上坡路的时间+走平路的时间=　　　　，
走平路的时间+走下坡路的时间=　　 　，
若设小华家到学校的上坡路长x m，平路长y m.根据等量关系，可得方程组
为　　　　　　　，求得方程组的解为所以小华家离学校　　m.
15 min
10 min
700
知识梳理
对于行程问题，一般可以借助示意图表示题中的数量关系，可以更加直观的找到相等关系.
　　 (课本P131例3)某果园要将一批水果运往该县城一家水果加工厂，分两次租用了某汽车运输公司的甲、乙两种货车，具体信息如表所示：
例1
解　设甲、乙两种货车每辆次分别可运水果x t，y t.根据题意，
得解得
于是，第三次运输了水果3×4+5×6=42(t).
第一次 第二次
甲种货车辆数 2 5
乙种货车辆数 3 6
累计运货量/t 26 56
该果园第三次打算继续租用该公司3辆甲种货车和5辆乙种货车，可一次刚好运完这批水果，如果每吨运费为30元，该果园三次总共应付运费多少元？
　　 (课本P131例3)某果园要将一批水果运往该县城一家水果加工厂，分两次租用了某汽车运输公司的甲、乙两种货车，具体信息如表所示：
例1
解　因而合计运输了26+56+42=124(t).
因此，三次总共应付运费124×30=3 720(元).
故该果园三次总共应付运费3 720元.
第一次 第二次
甲种货车辆数 2 5
乙种货车辆数 3 6
累计运货量/t 26 56
该果园第三次打算继续租用该公司3辆甲种货车和5辆乙种货车，可一次刚好运完这批水果，如果每吨运费为30元，该果园三次总共应付运费多少元？
反思感悟
列方程组解应用题的关键是把未知转化成已知的化归思想，把未知量与已知量联系起来，找出题目中的等量关系.
　　 　某旅馆的客房有三人间和两人间两种，三人间每人每天40元，两人间每人每天50元，一个50人的旅游团到该旅馆住宿，租住了若干客房，且每个客房正好住满，一天共花去住宿费2 320元，两种客房各租住了多少间？
跟踪训练1
解　设三人间客房租了x间，二人间客房租了y间，根据题意，
得解得
故三人间客房租了6间，二人间客房租了16间.
利用二元一次方程组解决代数问题
问题2　已知代数式x2+bx+c，当x=1时，代数式的值是0；当x=-2时，代数式的值是15，求b，c的值.
根据“当x=1时，代数式的值是0”可得方程：　　　　　；
根据“当x=-2时，代数式的值是15”可得方程：　　　　　 ；
将两个方程联立成一个方程组可得　　　　　　　 　，求得方程组的解
为　　　　　.
1+b+c=0
4-2b+c=15
知识梳理
将方程或代数式中的两对对应值分别代入，得到以字母系数为未知数的二元一次方程组，求出方程组的解，即可求出方程或代数式中字母系数的值.
　　(课本P132例4)对于多项式kx+b(其中k，b为常数)，若x分别用1，-1代入时，kx+b的值分别为-1，3，求k和b的值.
例2
解　根据题意，得解得故所求k和b的值分别为-2和1.
　　 　代数式x2+ax+b，当x=2时，其值是3，当x=-3时，其值是4，则代数式a-b的值是多少？
跟踪训练2
解　因为代数式x2+ax+b，当x=2时，其值是3，当x=-3时，其值是4，所以
解得a-b=-=.
1.某班37名学生在爱心图书捐赠活动中共捐92本书，其中男生平均每人捐3本，女生平均每人捐2本，设该班男生有x人，女生有y人.根据题意，所列方程组正确的是
A. B.
C. D.
√
2.如图，用8块相同的小长方形地砖拼成一个宽为80 cm的大长方形，则每个小长方形的面积为
A.2 000 cm2 B.1 200 cm2
C.4 800 cm2 D.1 600 cm2
√
解析　设小长方形地砖的长为x cm，宽为y cm，由题图可得
解得
故每个小长方形的面积为60×20=1 200(cm2)
3.一艘轮船顺流航行，每小时行20 km；逆流航行，每小时行16 km，则轮船在静水中的速度为　　km/h，水流速度为　　km/h.
18
2
4.钢琴素有“乐器之王”的美称.键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个.求白色琴键和黑色琴键的个数.
解　设白色琴键的个数为x，黑色琴键的个数为y，
由题意得解得
故白色琴键的个数为52，黑色琴键的个数为36.
5.从甲地到乙地有一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时走3 km，平路每小时走4 km.下坡每小时走5 km，那么从甲地到乙地需54 min，从乙地到甲地需42 min.设从甲地到乙地的上坡路程长x km，平路路程长y km，依题意列方程组正确的是
A.　　B.　　C.　　D.
√
6.某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，已知一个螺栓配套两个螺帽，应该如何分配工人才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？则生产螺栓和生产螺帽的人数分别为
A.50人，40人 B.30人，60人
C.40人，50人 D.60人，30人
√
7.甲、乙两人相距4 km，以各自的速度同时出发.如果同向而行，甲2 h追上乙；如果相向而行，两人0.5 h后相遇.试问两人的速度各是多少？
解　设甲、乙的速度分别是x km/h，y km/h.根据题意有解得
故甲的速度是5 km/h，乙的速度是3 km/h.
8.在等式y=x2+bx+c中，当x=1时，y=0；当x=2时，y=-1，求当x=3时，y的值.
解　由题意可得解得
所以等式为y=x2-4x+3.当x=3时，y=32-4×3+3=0.
谢谢

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