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4.3.1　角与角的大小比较
第4章　4.3　角
初中数学湘教版（2024）七年级上
1.理解角的定义及表示方法，认识几种特殊的角(重点、难点).
2.掌握角的大小比较方法，知道角的平分线的定义及几何语言表示(重点、难点).
学习目标
情境引入
1.如图，钟面上时针与分针、圆规的两只脚之间、扇子的扇骨之间给了你什么形象？
2.某点向右运动，与原始位置的点相连，组成　　　　　，将这条线段向右端无限延伸形成　　　　　　　.再将这条射线绕着起始端点旋转，会得到一个怎样的图形呢？
线段
射线
一、角的概念及表示方法
知识梳理
1.角的定义：把一条射线绕着它的端点从一个位置逆时针(或顺时针)旋转到另一位置时所成的图形称为 .其中，射线的端点叫作角的 .射线原来所在的位置叫作角的 ，旋转后的位置叫作角的 ，角的始边和终边统称为角的 .从始边旋转到终边所扫过的区域，叫作 .当射线绕着端点旋转到与原来的位置在同一直线上但方向相反时，所成的图形叫作 ，如图1所示.当射线绕着端点旋转一周，又重新回到原来位置时，所成的图形叫作 ，如图2所示.
角
顶点
始边
终边
边
角的内部
平角
周角
2.角的表示方法
角的表示 图例 适用范围
用三个大写字母表示 记作∠AOB或∠BOA 任何情况都适用，表示顶点的字母必须写在中间
用一个大写字母表示 记作∠O 以这一点为顶点的角只有一个
用数字表示 记作∠1 任何情况都适用，在靠近顶点处加上弧线，表示出角的范围，并注上数字或希腊字母
用希腊字母α，β，γ等表示 记作∠α 　　 (1)如图①，我们可以将角表示为　　　或　　　或　　 　；
(2)如图②，共有　　个角，它们分别是　 　　.
例1
∠B
∠1
∠ABC
3
∠α，∠β，∠AOC
反思感悟
用数字或希腊字母表示角时，要在角的内部，靠近角的顶点处加上弧线表示角的范围，如无特别说明，在初中阶段所说的角一般都指小于平角的角.
　　 　 (1)如图，∠1还可以表示为
A.∠A B.∠DAC
C.∠BAC D.∠ACE
跟踪训练1
√
(2)如图，回答下列问题：
①写出能用一个字母表示的角：　　　　　；
解　能用一个字母表示的角有2个：∠A，∠C.
②写出以B为顶点的角：　　　　　　；
解　以B为顶点的角有3个：∠ABE，∠ABC，∠EBC.
③图中共有几个小于平角的角？分别把它们表示出来.
解　图中小于平角的角有7个：∠A，∠C，∠ABE，∠ABC，∠EBC，∠AEB，∠BEC.
二、角的大小比较
问题1　类比线段长短的比较，你认为该如何比较两个角的大小？
提示　可以度量两个角的度数，然后再比较大小.(答案不唯一)
知识梳理
角的大小比较
(1)度量法：用量角器量出角的度数，根据度数比较大小；
(2)叠合法：把两个角的顶点和一条边重合，使另一边落在重合边的同侧，根据另一边的位置来比较.
情形 示意图 ∠ABC与∠DEF的关系
ED与BA重合 ∠ABC=∠DEF
ED落在∠ABC内部 ∠ABC>∠DEF
ED落在∠ABC外部 ∠ABC<∠DEF
(3)圆规法：用圆规比较两个角的大小.如图，设画出的两角分别为∠ABC，∠DEF，分别以两角的顶点B，E为圆心，以相同长度的半径画一段圆弧，与∠ABC，∠DEF的两边
分别相交于点M，N及点P，Q.再将圆规尖移至点M处，使另一脚落在点N处.在不改变圆规张角的条件下，将圆规尖移至点P处.
如图(1)，若另一脚可与点Q重合，则∠ABC___∠DEF；
如图(2)，若另一脚落在∠DEF内部，则∠ABC___∠DEF；
如图(3)，若另一脚落在∠DEF外部，则∠ABC___∠DEF.
=
<
>
　　用叠合的方法比较∠AOB和∠A'O'B'两个角的大小，先将∠A'O'B'的顶点O'与∠AOB的顶点O重合，边O'A'与边OA重合，边O'B'落在了∠AOB的内部，则∠AOB和∠A'O'B''的关系是
A.∠AOB>∠A'O'B' B.∠AOB<∠A'O'B'
C.∠AOB=∠A'O'B' D.不确定
例2
√
解析　如图，
所以∠AOB>∠A'O'B'.
　　 　如图，用同样大小的三角板比较∠A和∠B的大小，下列判断正确的是
A.∠A>∠B
B.∠A<∠B
C.∠A=∠B
D.没有量角器，无法确定
跟踪训练2
√
三、角平分线
问题2　如图，你能在∠AOB内找一条射线OC，使∠AOC=∠BOC吗？
提示　可以用度量法也可以用对折法找到.(答案不唯一)
知识梳理
1.角平分线的定义：以一个角的顶点为端点的一条 ，如果把这个角分成两个 的角，那么这条射线叫作这个角的平分线.
2.语言叙述：如图，若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC=∠AOB.
射线
相等
　　如图，射线OC平分∠AOB.若∠AOB=58°，则∠COB的度数为
A.90° B.58°
C.29° D.24°
例3
√
解析　因为射线OC平分∠AOB，∠AOB=58°，
所以∠COB=∠AOB=×58°=29°.
　　 　如图，OC，OD分别是∠AOB，∠BOC的平分线，且∠COD=30°，求∠AOB的度数.
跟踪训练3
解　因为OD是∠BOC的平分线，且∠COD=30°，所以∠BOC=2∠COD
=60°.
因为OC是∠AOB的平分线，所以∠AOB=2∠BOC=120°.
1.如图，下列说法错误的是
A.∠1与∠AOC表示的是同一个角
B.∠AOB也可用∠O表示
C.∠α表示的是∠BOC
D.∠AOB等于∠AOC与∠BOC的和
√
2.如图，现将一副三角板的直角顶点重合，按照图中方式摆放，则∠1和∠2的大小关系是
A.∠1>∠2 B.∠1<∠2
C.∠1=∠2 D.无法比较
√
3.如图，点O在直线AB上，∠AOC=40°，OD平分∠BOC，则∠BOD的度数是
A.55° B.60° C.65° D.70°
√
4.如图.①图中的∠1表示成∠A；②图中的∠2表示成∠D；③图中的∠3表示成∠C.上述角的表示方法对不对？如果不对，应该怎样改正？
解　都不对，∠1可表示为∠DAC，∠2可表示为∠ADC，∠3可表示为∠ECF.
5.如图，已知∠AOB=90°，∠EOF=60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠COB和∠AOC的度数.
解　因为∠AOB=90°，OE平分∠AOB，所以∠BOE=45°，又因为∠EOF=60°，所以∠FOB=60°-45°=15°，因为OF平分∠BOC，所以∠COB=2×15°=30°，所以∠AOC=∠BOC+∠AOB=30°+90°=120°.
谢谢

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