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第2课时　余角与补角
第4章　4.3　4.3.2　角的度量与计算
初中数学湘教版（2024）七年级上
1.在具体的现实情境中，认识一个角的余角和补角，掌握余角和补角的性质.(重点、难点)
2.运用余角和补角的性质进行计算和简单的推理.(难点)
学习目标
情境引入
大家知道比萨斜塔吗？比萨斜塔因为倾斜而出名，现在已知塔身倾斜了约5.5°，那么你知道塔身和地面成多少度角吗？
一、余角和补角的概念
问题1　如图，量一量、算一算，∠1+∠2，∠3+∠4的度数分别是多少？
提示　∠1+∠2=90°，
∠3+∠4=180°.
问题2　将一张长方形纸片，沿一个角折叠后，折痕与长方形的边形成了4个角.
提示　∠1+∠2=90°，∠3+∠4=180°.
∠1与∠2有什么数量关系？∠3与∠4有什么数量关系？
知识梳理
如果两个角的和等于一个直角(90°)，那么就说这两个角 (简称互余)，也说其中一个角是另一个角的 .
如果两个角的和等于一个平角(180°)，那么就说这两个角 (简称互补)，也说其中一个角是另一个角的 .
互为余角
余角
互为补角
补角
　　 (课本P165例4)如图，∠AOB与∠BOD互为余角，OC是∠BOD的平分线，∠AOB=29.66°，求∠COD的度数.
例1
解　因为∠AOB与∠BOD互为余角，所以∠BOD=90°-∠AOB=90°-29.66°=60.34°.又因为OC是∠BOD的平分线，所以∠COD=∠BOD =×60.34°=30.17°.因此，∠COD的度数为30.17°.
反思感悟
解决余角、补角、角平分线的综合题，关键要理解互余、互补、角的平分线的定义，然后结合角的和差关系求解.
　　 　如图所示，已知点O为直线AB上一点，∠BOC= 100°，∠COD=90°，OM平分∠AOC.
(1)求∠MOD的度数；
跟踪训练1
解　∠AOC=180°-∠BOC=180°-100°=80°，
又因为OM平分∠AOC，所以∠COM=∠AOC=40°，
因为∠COD=90°，所以∠MOD=∠COD-∠COM=90°-40°=50°.
　　 　如图所示，已知点O为直线AB上一点，∠BOC= 100°，∠COD=90°，OM平分∠AOC.
(2)若∠BOP与∠AOM互余，求∠POD的度数.
跟踪训练1
解　由(1)可知∠AOM=∠COM=40°，
由题意可得∠BOP=90°-∠AOM=50°，
因为∠BOC=100°，所以∠POC=100°-50°=50°，
所以∠POD=∠COD+∠POC=90°+50°=140°.
　　(课本P166例5)已知一个角的余角是这个角的补角的求这个角的度数.
例2
解　设这个角为x°，则这个角的余角为(90-x)°，补角为(180-x)°.
根据题意，得90-x=(180-x)，
解得x=45.因此，这个角为45°.
反思感悟
根据互余、互补的关系求角度时，常用含一个角的代数式来表示余角和补角，得到关于这个角的方程，再通过解方程求解.
　　 　已知一个角比它的余角的3倍多10°，求这个角的度数.
跟踪训练2
解　设这个角为α，根据题意可得，α=3(90°-α)+10°，解得a=70°.
所以这个角的度数为70°.
二、余角和补角的性质
问题3　(1)如图1，∠1与∠2互补，∠1与∠3互补，那么∠2与∠3有什么大小关系？
提示　∠2=∠3.
(2)如图2，∠4与∠5互余，∠4与∠6互余，那么∠5与∠6有什么大小关系？
提示　∠5=∠6.
知识梳理
同角(或等角)的补角 ，同角(或等角)的余角 .
相等
相等
　　如图，将一副直角三角板的直角顶点重叠在一起，即∠AOB=∠COD
=90°，可以推导出∠AOC=∠DOB，最合理的理由是
A.等角的补角相等
B.等角的余角相等
C.同角的补角相等
D.同角的余角相等
例3
√
解析　因为∠AOB=∠COD=90°，所以∠BOC+∠AOC=90°，∠BOC+ ∠BOD=90°，所以∠AOC=∠BOD(同角的余角相等).
　　 　若∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°，则∠2=∠3，理由是______
____________.
跟踪训练3
同角
的补角相等
互余 互补
两角间的 数量关系 ∠1+∠2=90° (∠1=90°-∠2) ∠1+∠2=180°
(∠1=180°-∠2)
对应图形
性质 同角(或等角)的余角相等 同角(或等角)的补角相等
1.若∠A=55°，则∠A的补角为
A.35° B.45°
C.115° D.125°
√
2.若∠A=40°，则∠A的余角的度数是
A.50° B.60°
C.140° D.160°
√
3.如果α与β互为余角，则
A.α+β=180° B.α-β=180°
C.α-β=90° D.α+β=90°
√
4.如果∠1与∠2互为补角，∠1=72°，∠2=　　　，若∠3=∠1，则∠3的补角为　　　，理由是　　　　　　　　.
108°
108°
等角的补角相等
5.如图，点O是直线AB上一点，∠AOE=∠FOD=90°，OB平分∠COD.
(1)写出图中与∠DOE互补的角，并写出理由；
解　与∠DOE互补的角为∠BOF，理由如下：因为∠AOE=∠FOD=90°，
所以∠AOF=∠DOE=90°-∠EOF，因为∠AOF+∠BOF=180°，所以∠DOE+∠BOF=180°，
所以∠DOE与∠BOF互补.
5.如图，点O是直线AB上一点，∠AOE=∠FOD=90°，OB平分∠COD.
(2)写出图中与∠EOF相等的角，并写出理由.
解　与∠EOF相等的角为∠BOD，∠BOC，理由如下：
因为∠AOE=∠FOD=90°，∠AOE+∠BOE=180°，
所以∠BOE=∠FOD=90°，所以∠EOF=∠BOD=90°-∠DOE，
因为OB平分∠COD，所以∠EOF=∠BOD=∠BOC.
谢谢

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