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职教高考一轮复习
9.7 平面与平面位置关系复习
第九章 立体几何
直击高考
考点 考点解读 山东省近五年春季高考统计 常考题型
2020年 2021年 2022年 2023年 2024年
平面与平面的位置关系 ①理解平面与平面的位置关系②掌握平面与平面平行、垂直关系的判定与性质③理解平行平面间的距离的概念，并会解决相关的距离问题④理解二面角的概念，并会解决相关的简单问题 — — — (27) — 解答题
本节平面与平面的位置关系的性质及判定为重点考查内容之一，难度中等，注意加强计算能力与空间想象能力的训练．
面面
平行
知识梳理
1．平面与平面的位置关系（两个不重合）
(1)平行：无公共点；(2)相交：有一条公共直线．
2．平面与平面的平行
位置关系 内容 图形表示 符号表示
平面与平面平行 定义 若两个平面①___________，则称这两个平面平行 α∥β
没有公共点
位置关系 内容 图形表示 符号表示
平面与平面平行 判定 定理 若一个平面内有两条②________直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行 α∥β
相交
平面与平面平行 推论 若一个平面内的两条③________直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行 α∥β
相交
用于证明面面平行
位置关系 内容 图形表示 符号表示
平面与平面平行 性质 定理 若两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线④________ a∥b
平行
两个平行平 面的公垂线 与两个平行平面都垂直的直线叫作这两个平行平面的⑤________ 夹在两个平行平面间的⑥________(图中的线段AB)的长度叫作两个平行平面间的距离
公垂线
公垂线段
3．二面角
二面角 内容 图形表示 符号表示
定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角 α－AB－β
二面角的平 面角 在二面角的棱上任取一点，以这个点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则①__________所组成的角叫作二面角的平面角，它的取值范围是②________ ∠COD
两条射线
[0，π]
直二面角 平面角是③________的二面角叫作直二面角 ∠COD＝90°
直角
4．平面与平面的垂直
面面垂直 内容 图形表示 符号表示
定义 两个平面相交，若所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相①________ ∠COD＝90° α⊥β
垂直
判定 定理 若一个平面经过另一个平面的一条②________，则这两个平面互相垂直 α⊥β
垂线
性质 定理 若两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们③________的直线④________于另一个平面 l⊥α
交线
垂直
用于证明面面垂直
空间垂直关系关键点
是线面垂直！
典例分析
【知识要点1】两个平面的位置关系
【例1】　(1)已知α，β表示平面，m，n表示直线，下列命题中正确的是(　　)
A．若m∥α，m⊥n，则n∥α B．若m α，n β，α∥β，则m∥n
C．若α∥β，m α，则m∥β D．若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β
C
【解析】本题主要考查线线、线面、面面之间的关系．
若m∥α，m⊥n，则n∥α或n α或n与α相交，因此A错误；
若m α，n β，α∥β，则m与n不相交，m与n异面或m∥n，因此B错误；
若α∥β，m α，则m与β不相交，即m∥β，则C正确；
若m α，n α，m∥β，n∥β，且m，n相交时，才有α∥β，因此D错误．故选C.
(2)已知α，β，γ三个平面，若α⊥β，β⊥γ，则α与γ的位置关系为(　　)
A．平行 B．垂直 C．相交 D．平行或相交
D
【举一反三1】有下列五个命题：
①两个平行平面中的一个平面内的直线必平行于另一个平面；
②分别在两个平行平面内的两条直线平行；
③若一条直线与两个平行平面中的一个相交，则这条直线必与另一个平面相交；
④若两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行；
⑤夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．
其中，正确命题的序号是________．
①③④⑤
【提示】 本题考查面面平行的推论及性质．
可用克隆功能拖曳
【知识要点2】平面与平面平行的判定
【例2】　如图9－7－1所示，四面体O－ABC中，点E，F，G分别是OA，OB，OC的中点．
求证：平面EFG∥平面ABC.
证明：∵点E，F，G分别是OA，OB，OC的中点，
∵EG∥AC，EF∥AB.
又∵EG∩EF＝E，且EG 平面EFG，EF 平面EFG，
AB 平面ABC，AC 平面ABC，
∴平面EFG∥平面ABC.
活动设计：学生口述步骤，教师利用蒙层展现步骤
【举一反三2】 已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，
点M，N分别是A1B1和AB的中点．
求证：平面MAC1∥平面B1NC.
证明：∵棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，
∴四边形ABB1A1是矩形，∴A1B1∥AB，
∵点M，N分别是A1B1，AB的中点，
∴B1M∥AN，且B1M＝AN.
B1N∩NC＝N，且B1N 平面B1NC，
NC 平面B1NC，
∴平面MAC1∥平面B1NC.
【知识要点3】 平面与平面平行的性质
【例3】　如图9－7－3所示，已知平面α∥平面β，点P是α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.若PA＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3 cm，求线段PD的长．
【解析】　本题考查面面平行的性质，关键在于利用面面平行推出线线平行，由空间几何问题转化为平面几何问题．
证明：∵PB∩PD＝P，∴PB，PD确定一个平面，记作γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又∵α∥β，∴AC∥BD.∴ ＝ ，即
＝ ，则PD＝ ＝(cm).
【举一反三3】(1)已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为(　　)
A．16 B．24或
C．14或 D．20
B
注意考虑要全面！利用好初中几何相似形知识
(2)在四棱锥P－ABCD中，已知底面ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点．
求证：MN∥平面PAD.
证明：如图所示，取CD的中点E，连接ME，NE.
∵M，N分别是AB，PC的中点，
∴ME∥AD，NE∥PD，
∴ME∥平面PAD，NE∥平面PAD.
又∵ME∩NE＝E，
∴平面MNE∥平面PAD.
又∵MN 平面MNE，
∴MN∥平面PAD.
还可以怎么证明
【知识要点4】平面与平面垂直的判定
【例4】　如图9－7－5所示，已知四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD.
求证：平面PAD⊥平面PCD.
证明：∵AB∥CD，∠DAB＝90°，
∴CD⊥AD，
∵PA⊥面ABCD，CD 底面ABCD，
∴PA⊥CD，
又∵PA 平面PAD，AD 平面PAD，PA∩AD＝A，
∴CD⊥平面PAD，
又∵CD 平面PCD，
∴平面PAD⊥平面PCD.
关键从其中一个平面内找到一条具有更多垂直
关系的线，去证明线面垂直！
【举一反三4】如图9－7－6所示，在四棱锥S－ABCD中，已知底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，求证：平面SAB⊥平面SBC.
证明：∵SA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，
∴SA⊥BC；
又∵正方形ABCD中BC⊥AB，且AB∩SA＝A，
∴BC⊥平面SAB，
∵BC 平面SBC，∴平面SAB⊥平面SBC.
活动设计：启发学生综合分析，理清思路，教师利用蒙层展现步骤
【知识要点5】 平面与平面垂直的性质
【例5】　如图9－7－7所示，在四棱锥S－ABCD中，已知底面ABCD是正方形，侧面SAD是正三角形，且侧面SAD⊥底面ABCD.求侧棱SB与底面所成角的正切值．
∴tan ∠SBO＝ ＝ ＝ .
【举一反三5】在三棱锥S－ABC中，已知SA⊥底面ABC，
且侧面SAB⊥侧面SBC.
求证：AB⊥BC.
证明：过点A作AD⊥SB于点D，如图所示．
又∵侧面SAB⊥侧面SBC，侧面SAB∩侧面SBC＝SB，AD 侧面SAB，
∴AD⊥侧面SBC.
又∵BC 侧面SBC，∴BC⊥AD.
∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥BC.
又∵SA∩AD＝A，∴BC⊥侧面SAB.
又∵AB 侧面SAB，∴AB⊥BC.
活动设计：教师启发引导学生探究思路，并利用蒙层展现步骤
【知识要点6】 二面角
【例6】　如图9－7－10所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC交BD于点O，求二面角D1－AC－D的余弦值．
【解析】　连接D1O，B1D1(图略).
∵B1B⊥底面ABCD，∴B1B⊥AC.
又∵BD⊥AC，BD∩B1B＝B，
∴AC⊥平面BB1D1D，
∴D1O⊥AC，DO⊥AC，
∴∠D1OD是二面角D1－AC－D的平面角．
设正方体的棱长为2，则DO＝ .
在Rt△D1OD中，D1O＝ ＝ ，
∴cos ∠D1OD＝ ＝ ＝ .
【举一反三6】如图所示，在棱长都相等的正三棱锥
S－ABC中，二面角S－AB－C的余弦值为________．
【提示】 取AB的中点O，连接SO，OC(图略)，则∠SOC是二面角S－AB－C的平面角．设棱长为2a，则SO＝OC＝ a.在△SOC中，由余弦定理可得cos ∠SOC＝ .
一、选择题
1．已知两条不同的直线a，b，三个不同的平面α，β，γ.
下列各项中能推出α∥β的是(　　)
A．a∥α，b∥β，a∥b B．a⊥γ，b⊥γ，a α，b β
C．a⊥α，b⊥β，a∥b D．a α，b β，a∥β，b∥α
C
随堂检测
2．下列命题中，正确的是(　　)
A．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则平面α⊥平面β
B．过平面α外一点P有且只有一个平面β与平面α垂直
C．若直线l∥平面α，l⊥平面β，则平面α⊥平面β
D．垂直于同一个平面的两个平面平行
C
3．已知α，β是两个不同平面，m，n是两条不同直线．有四个命题：
①若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β；②若m⊥α，n∥α，则m⊥n；
③若α∥β，m α，则m∥β；④若m∥n，α∥β，则m与α所成的角和n与β所成的角相等．
其中，正确命题的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
C
4．如图所示，已知直二面角α－m－β，在α内的直线PA⊥m，
在β内的直线PB与m不垂直，则∠APB是(　　)
A．锐角 B．钝角
C．锐角或钝角 D．直角
D
5．若直线a∥平面β，则下列说法中正确的是(　　)
A．平面β内不存在与a垂直的直线 B．平面β内有且只有一条与a垂直的直线
C．平面β内有且只有一条与a平行的直线 D．平面β内有无数条直线与a不平行
D
二、填空题
6．已知正方形ABCD的边长为1，若将该正方形沿对角线AC折
成60°的二面角，则B，D两点间的距离等于________．
7．已知平面α与β平行，直线l被两平面截得的线段长为6 cm，直线l与平面所成的角是60°，则这两平面间的距离为________．
9 cm
8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角
C1－AB－D的大小为________．
三、解答题
9．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点．
(1)求证：BD1∥平面AEC；(2)判断CC1上是否存在一点F，
使得平面AEC∥平面BFD1，并说明理由．
(1)证明：连接BD，交AC于点O，连接EO，则O为BD的中点．
又因为E为DD1的中点，所以OE∥BD1.
又因为OE 平面AEC，BD1 平面AEC，
所以BD1∥平面AEC.
(2)解：当点F为CC1的中点时，
平面AEC∥平面BFD1.理由如下：
如图所示，连接BF，D1F.
因为F为CC1的中点，E为DD1的中点，
所以CF∥ED1，CF＝ED1，
所以四边形CFD1E为平行四边形，所以D1F∥EC.
又因为EC 平面AEC，D1F 平面AEC，
所以D1F∥平面AEC.
由(1)知BD1∥平面AEC，
又因为BD1∩D1F＝D1，
BD1，D1F 平面BFD1，
所以平面AEC∥平面BFD1.
10．如图所示，已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1.
(1)求三棱锥C1－BCD的体积；
(2)求证：平面C1BD⊥平面A1B1CD.
(1)解：由正方体的棱长为1，
可得△BCD的面积为 ×1×1＝ ，
所以 × ×1＝ .
(2)证明：由CD⊥平面B1BCC1，
又因为BC1 平面B1BCC1，得CD⊥BC1.
在正方形B1BCC1中，B1C⊥BC1，
且B1C∩CD＝C，B1C 平面A1B1CD，
CD 平面A1B1CD，
所以BC1⊥平面A1B1CD，
因为BC1 平面C1BD，
所以平面C1BD⊥平面A1B1CD.
选做
2．已知a，b，c为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面．有四个命题：
①若c⊥α，c⊥β，则α∥β；②若a⊥β，b⊥β，则a∥b；
③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若α⊥β，a⊥β，则a∥α.
其中，正确命题的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
B
3．如图所示的四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，
且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是(　　)
A．平面PAB⊥平面PAD B．平面PAB⊥平面PBC
C．平面PBC⊥平面PCD D．平面PCD⊥平面PAD
C
5．如图所示，已知等边三角形ABC的边长为2 ，AD是BC边上的高．
将△ABD沿AD折起，使得△ABD与△ACD所在的平
面成120°的二面角，则折叠后点A到BC的距离为________．
三、解答题
6．在四棱锥S－ABCD中，底面是正方形，
平面SAD⊥平面ABCD，SA＝SD＝2，AB＝3.
(1)求SA与BC所成角的余弦值；
(2)求证：AB⊥SD.
SA与BC所成角的余弦值是 .
7．如图所示，已知四棱锥P ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
(1)求证：平面AEC⊥平面PDB；
(2)当PD＝ AB且点E为PB的中点时，
求AE与平面PDB所成的角的大小．
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，
∵AC 平面AEC，
∴平面AEC⊥平面PDB.
(2)解：设AC∩BD＝O，连接OE(图略)，
由(1)知AC⊥平面PDB于点O，
则∠AEO为AE与平面PDB所成的角，
∵点O，E分别为DB，PB的中点，
∴OE∥PD，OE＝ PD，
又∵PD⊥底面ABCD，
∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO.
∴∠AEO＝45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°.
在Rt△AOE中，OE＝ PD＝ AB＝AO，
课堂小结
面面位置
平行
理清三种平行关系循环递推内容
垂直
会证明，由线面垂直得
注意空间三类垂直关系线性递推联系
二面角
了解其平面角含义
1.书面必做作业：完成复习资料相关题目；
2.拓展提升作业：依据考点根据自身掌握情况，利用复习书练习进一步训练巩固相关内容
布置作业
Thanks!
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

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