资源简介

(共20张PPT)
第16章 二次根式
16.1 二次根式及其性质
二次根式的概念
沪科版·八年级下册
学习目标
1
2
经历二次根式概念的形成过程，了解二次根式是开平方运算引出的结果，理解二次根式中被开方数 a 的实际意义，即 a 是非负数，以及 的非负性；
在理解二次根式概念的过程中，鼓励学生积极探究，乐于合作与交流，发展学数学用数学意识、分类讨论意识，了解由特殊到一般再到具体的处理数学问题的思想.
复习导入
（2）3 的算术平方根是_____.
（3） 有意义吗？为什么？
（4）一个非负数 a 的算术平方根应表示为___________.
（1）3 的平方根是______.
正数有两个平方根且互为相反数；
0 的平方根是 0；
负数没有平方根.
平方根的性质：
算术平方根的性质：正数和 0 都有算术平方根；
负数没有算术平方根.
推进新课
（2）一个大正方形的面积是一个边长为 a 的正方形与另一个边长为 1 的正方形的面积之和，则大正方形的边长为_______.
用带根号的式子填空，看一看写出的结果有什么共同特征.
思 考
（1）一个长方形围栏，长是宽的 2 倍，面积为 130 m2，则它的宽为______m．
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下时离地面的高度 h（单位：m）满足关系 h = 5t2. 如果用含有 h 的式子表示 t ，
则 t 为______．
h = 5t2
（1）这些式子分别表示什么意义？
（2）这些式子有什么共同特征？
上面的问题结果分别是： ， ， ．
①根指数都为 2；
②被开方数为非负数.
分别表示 65，a2 + 1， 的算术平方根．
我们把形如 的式子叫作二次根式，
符号“ ”叫作二次根号.
注意：a 可以是数，也可以是式.
两个必备特征
①外貌特征：含有“ ”
②内在特征：被开方数 a ≥ 0
1.代数式 是二次根式吗？
代数式 只有在 a ≥ 0 的情况下，才是二次根式.
符合条件①含有二次根号；②被开方数 22 为非负数，所以是二次根式.
思 考
2. 是二次根式吗？
是的，二次根式的被开方数可以是整式或分式.
3. 是二次根式吗？
练一练
下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
（1） ； （2）81； （3） ；
（4） ； （5） .
√
×
×
√
×
分析：
是否含二次根号
是
被开方数是否为非负数
是
是二次根式
否
不是二次根式
否
当a＞0 时， 表示 a 的算术平方根，因此 ＞0；当a = 0 时， 表示 0 的算术平方根，因此 = 0；
这就是说， 是一个非负数，具有双重非负性.
例 1
实数 x 为何值时，下列式子有意义？
（1） ； （2） .
解：（1）要使 有意义，则 x + 3 ≥ 0.
解这个不等式，得 x ≥ – 3.
所以当 x ≥ – 3 时， 有意义.
（2）因为 x 为任何实数都有 x2 ≥ 0，
所以当 x 为一切实数时， 有意义.
当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
x 可以为任意实数
x ≥ 0
x 可以为任意实数
x ＞ 0
x＞ –1
x ≤ 1且 x ≠ 0
要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数 ≥ 0，列不等式求解即可. 若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为 0.
思 考
1. 下列各式中一定是二次根式的是（ ）.
A. B. C. D.
随堂练习
B
2. 二次根式 中，x 的取值范围是（ ）.
A. x＜2 B. x≤2 C. x≥2 D. x＞2
D
3. 当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
解：根据题意可得 –x2 + 2x – 1 ≥ 0.
∴ – (x2 – 2x + 1) ≥ 0.
∴ x2 – 2x + 1 ≤ 0.
∴ (x – 1)2 ≤ 0.
∵ (x – 1)2 ≥ 0，
（1） ；
∴当 x = 1 时， 在实数范围内有意义.
解：根据题意可得
–x2 – 2x – 3≥ 0，
∴ – (x2 + 2x + 3) ≥ 0.
∴ x2 + 2x + 3 ≤ 0.
∴ (x + 1)2 + 2 ≤ 0.
∵ (x + 1)2 ≥ 0，∴ (x + 1)2 + 2 ＞ 0.
（2） .
被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
∴无论 x 为何实数， 在实数范围内都有意义.
提示：多个非负数的和为 0，可得每个非负数均为 0. 我们学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
解：由题意可知 a + 3 = 0，b – 2 = 0，c – 1 = 0，
解得 a = –3，b = 2，c = 1.
所以 2a – b + 3c = (–3)×2 – 2 + 3×1 = –5.
4. 若 ，求 2a – b + 3c 的值.
1. 若 ，则 x 的取值范围是_______.
2. 实数 a，b 在数轴上的对应点如图所示，试化简：
a
b
0
x ≤ 1
拓展提升
– 3b
课堂小结
二次根式
定义
在有意义条件下求字母的取值范围
双重非负性
带有二次根号
被开方数为非负数
被开方数≥0
分母≠0
a≥0
≥0
课后作业
完成练习册本课时的习题。

展开更多......

收起↑