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(共19张PPT)
16.2 二次根式的运算
1. 二次根式的乘除
二次根式的乘法
沪科版·八年级下册
学习目标
1
经历二次根式乘法运算法则的探索过程，了解二次根式的乘法运算法则，并能用它们进行有关实数的运算，掌握化简二次根式的方法.
情境导入
正方形面积
长方形面积
推进新课
计算下列各题：
思 考
你能发现什么规律？
2×5 = 10
0.5×10 = 5
两个二次根式相乘，等于把它们的被开方数相乘，根指数不变.
性质3
(乘法法则)
如果 a 0，b 0，那么有
因为当 a 0，b 0 时，
又因为 ，ab 的算术平方根只有一个，
所以
证 明
例 1
计算：
解：（1）
（1） ；（2）
表示 a 与 的乘积，即
例 1
计算：
解：（2）
（1） ；（2）
系数与系数相乘
根式与根式相乘
练一练
计算：
【教材P7练习 T1】
（1） ；（2） ；（3）
解：（1）
（2）
下边的式子如何运算？
可先用乘法结合律，再运用二次根式的乘法法则
乘法法则的推广：
练一练
计算：
【教材P7练习 T1】
（1） ；（2） ；（3）
（3）
一般地，
由等式的对称性，反过来：
利用上述性质，可以化简二次根式，也就是把被开方数中的“完全平方数”从根号内移到根号外，并用它的算术平方根代替。
练一练
计算：
【教材P7练习 T2】
（1） ；（2） ；（3） ；（4）
解：（1）
（2）
（3）
（4）
化简二次根式的步骤
把被开方数分解因式（或因数）.
1
3
2
把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积.
方法
如果因式中有平方式（或平方数），应用关系式 将二次根式化简.
这位同学的做法对吗？如果不对，请改正.
×
不对. 被开方数的两个因数是负数，不能直接用性质 3 来计算.
思 考
改正：
随堂练习
1. 分组答题（字母均为非负数）.
15
点击标签1、2触发动画
6
2
77
1
2
2. 一个长方形的长和宽分别是 和 . 求这个长方形的面积.
解：长方形的面积 S
3. 化简二次根式：
解：根据题意，知
所以 x < 0.
注意被开方数必须是非负数！
课堂小结
性质3
还可以写为
如果 a 0，b 0，那么有
正用：计算
逆用：化简
课后作业
完成练习册本课时的习题。(共24张PPT)
16.2 二次根式的运算
1. 二次根式的乘除
二次根式的除法
沪科版·八年级下册
学习目标
1
经历二次根式除法运算法则的探索过程，了解二次根式的除法运算法则，并能用它们进行有关实数的运算.
2
理解最简二次根式的概念以及把二次根式化成最简二次根式的必要性.
3
了解比较两个不含字母的二次根式大小的方法.
情境导入
登高可以望远.
已知观察者观察高度（单位：m）与可见水平距离 d（单位：km）之间存在近似关系
观察者从观察高度为 n m 的山腰登上观察高度为 2n m 的山顶，此时的可见水平距离是原来的多少倍？这就需要计算 ，你能将这个式子化简吗？
推进新课
计算下列各题：
思 考
你能发现什么规律？
猜想
分母不能为0！
知识点一 二次根式的除法
证 明
猜想
因为当 b > 0 时，
所以
设 a 0，b > 0，则
性质 4
(除法法则)
如果 a 0，b > 0，那么有
两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的被开方数.
当二次根式根号外因数不为 1 时，根据单项式除以单项式法则类比，可得
因此观察者从观察高度为 n m 的山腰登上观察高度为 2n m 的山顶，此时的可见水平距离是原来的 倍.
例 2
计算：
解：（1）
（1） ；（2）
分母有理化：分子和分母同乘以一个式子去掉分母中的根号的方法.
二次根式运算的结果通常需化简
例 2
计算：
（2）
（1） ；（2）
练一练
计算：(1) ；
【教材P10练习 T3】
（2） ；（3） ；（4）
解:（1）
（2）
（3）
（4）
一般地，
由等式的对称性，反过来：
练一练
计算：
【教材P10练习 T2】
（1） ；（2）
解：（1）
（2）
知识点二 最简二次根式
思 考
观察上面各小题计算的最后结果：
（1）你觉得这些结果还能再化简吗？
（2）这些结果有什么共同特点？你认为一个二次根式满足什么条件就可以说它是最简二次根式了？
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
分母无根号，根号无分母.
满足上述两个条件的二次根式就是最简二次根式.
练一练
下列二次根式中，哪些是最简二次根式？
【教材P10练习 T1】
①被开方数不含分母；
②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
最简二次根式的概念：
知识点三 比较二次根式的大小
比较 与 的大小.
你能想到几种方法？
直接比较；
1
3
2
作差法：两式相减，将结果与 0 比较大小；
作商法：两式相除，将结果与 1 比较大小；
例 3
4
平方法：两式均平方，去根号后比较大小；
5
倒数法：变换两式为倒数，结果大的，原式更小；
6
分子有理化法······
例 3
比较 与 的大小.
方法一
解：
为什么把根号外的正因数移到根号内？
例 3
比较 与 的大小.
方法二
方法三
你还会用其他方法比较吗？
练一练
【教材P10练习 T4】
比较 与 的大小.
解：
随堂练习
1. 计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
解：（1）
（2）
（3）
（4）
2. 把下列二次根式化成最简二次根式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
3. 设长方形的面积为 S，相邻两边长分别为 a，b. 已知 S = 16，b = ，求 a.
解：因为 S = ab，所以
课堂小结
性质 4
也可以写成
如果 a 0，b 0，那么有
一、二次根式的除法法则：
二、最简二次根式特征：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
课后作业
完成练习册本课时的习题。

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