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2025年四川省绵阳市中考数学真题
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.每个小题只有一个选项符合题目要求。
1．﹣7的相反数是（　　）
A．﹣7 B．7 C． D．
2．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．据国内AI产品榜统计数据，某款AI搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（DAU）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（　　）
A．0.2215×107 B．2.215×106
C．22.15×106 D．2.215×107
4．若x是任意实数，则下列各式一定有意义的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图所示几何体，由5个完全相同的正方体组合而成，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
6．设a＞b，则下列不等关系正确的是（　　）
A．a+3＜b+3 B．﹣2a＞﹣2b C． D．a﹣3＜b﹣3
7．我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一个问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，问快马几天可追上慢马？据此可知快马追上慢马的天数是（　　）
A．5天 B．10天 C．15天 D．20天
8．如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC的顶点A（1，0），C（1，2），将△ABC向左平移1个单位长度，则平移后点B的坐标为（　　）
A．（﹣3，） B．（，3） C．（，2） D．（﹣2，）
9．观察下列单项式：﹣xy，x2y3，﹣x3y5，x4y7， ，探究发现其中规律，你认为从左到右第15个单项式是（　　）
A．﹣x15y27 B．﹣x15y29 C．x13y27 D．x13y29
10．如图，在正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，点F是CD的中点，连接EF并延长交AD于点G，连接BF，BG，AB＝4CE＝4，则tan∠FBG＝（　　）
A． B． C． D．2
11．随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的1.5倍．若两种机器人分别同时装载货物6吨，普通机器人比智能机器人多用20分钟，则智能机器人每小时可以装载货物（　　）
A．0.1吨 B．0.15吨 C．6吨 D．9吨
12．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝4，BC＝4，将△OCD绕点O顺时针旋转至△OC1D1，C1D1与CD，OC分别交于点E，F，当CE时，△OFC1的周长为（　　）
A．4+4 B．6+3 C．8+2 D．10
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.将答案填写在答题卡相应的横线上。
13．因式分解：x2﹣1＝　 　 ．
14．如图，在一个弯形管道ABCD中，已知拐角∠BCD＝60°，管道AB∥CD，则∠ABC＝　 　 °．
15．若关于x的一元二次方程x2﹣6x+a＝0的一个根为1，则a的值为　 　 ．
16．水是生命之源．水分子的化学式为H2O，即1个水分子H2O由2个氢原子H和1个氧原子O组成．现有形状大小完全相同的4张卡片，分别有H，H，O，O图案，小明从打乱的这4张卡片中随机任取3张，则这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率是　 　 ．
17．如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的C处，然后沿着大树底部E和竹竿底部C所在水平直线由C点后退2m至A点时，看大树顶部F视线恰好经过竹竿的顶端D，测得小明的眼睛距地面的高度AB为1.6m，竹竿CD长3m，则大树的高度EF为　 　 m．
18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，BC＝4，AD＝2，点E在四边形内，DE⊥CE，EF⊥CD于点F，将△BCG沿CG翻折，点B恰好与点E重合，延长FE交折痕CG的延长线于点H，∠DCG＝45°，则点B到直线FH的距离为　 　 ．
三、解答题。
19．（12分）为促进学生健康成长，提高身体素质，红星中学积极开展丰富多彩的体育活动．为了解该校800名学生1分钟跳绳的情况，随机抽取了50名学生1分钟的跳绳次数（次数用x表示，单位：次），将其分成以下五组：60≤x＜90，90≤x＜120，120≤x＜150，150≤x＜180，180≤x＜210，并绘制成不完整的频数分布直方图，部分信息如下：
1分钟的跳绳次数在90≤x＜120中的具体数据为92，97，99，103，105，105，105，110，113，113，114，115，115，117，119．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1分钟的跳绳次数在90≤x＜120范围内的众数是　 　 次，中位数是　 　 次；
（2）补全频数分布直方图；
（3）请估计该校学生1分钟的跳绳次数不低于120次的人数．
20．（12分）如图，在中心为O的正六边形ABCDEF中，点G，H分别在边AF，CD上，且不同于正六边形的顶点，CH＝FG．
（1）证明：四边形BGEH为平行四边形；
（2）若正六边形的边长为4，以点O为圆心，OB为半径的扇形BOF与正六边形形成阴影部分，求图中阴影部分的面积．
21．（12分）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种：
①一次性购买A型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售．
②一次性购买B型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售．
若购买30本A型相册和10本B型相册，共需支付2240元；若购买20本A型相册和40本B型相册，共需支付3100元．
（1）这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？
（2）若该社团计划购买A型和B型相册共15本，要求A型相册数量大于或等于B型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案．
22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝mx（m≠0）的图象与反比例函数y（k≠0）的图象交于A（﹣2，m﹣9），B两点，点C在反比例函数的图象上，且在第一象限内点B的右侧，连接BC，OC，△BOC的面积为5．
（1）求点A，B的坐标及反比例函数的解析式；
（2）探究在x轴上是否存在点M，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（12分）如图，点A，C在⊙O上，连接AO，CO并延长，分别与⊙O的切线相交于点B，点D，切点为E，CD与⊙O交于点F，连接AE，AF，AD⊥BD，垂足为点D，DE＝3，DF＝1．
（1）求证：AE平分∠BAD；
（2）设AB＝kOB（k＞0），求k的值；
（3）求cos∠EAF的值．
24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，点B在y轴右侧的x轴上，抛物线y＝ax2x+c（a≠0）经过A，B，C三点，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式及点B，D的坐标；
（2）点P在直线AC上运动，当△BDP的周长最小时，求点P的坐标；
（3）探究在△ABC内部能否截出面积最大的矩形EFGH（顶点E，F，G，H在△ABC各边上）？若能，求出此时矩形在AB边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由．
2025年四川省绵阳市中考数学参考答案
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.每个小题只有一个选项符合题目要求。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B C D． A C C D A B B D B
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.将答案填写在答题卡相应的横线上。
13．（x+1）（x﹣1） 14．120 15．5 16． 17．10 18．
三、解答题。
19．解：（1）1分钟的跳绳次数在90≤x＜120范围内的众数是105次，中位数是110次；
故答案为：105，110；
（2）1分钟的跳绳次数在120≤x＜150中的人数为50﹣5﹣15﹣8﹣2＝20，
补全频数分布直方图如下：
（3）800480（人），
答：估计该校学生1分钟的跳绳次数不低于120次的人数为480人．
20．（1）证明：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠C＝∠D＝∠F＝∠BAF，AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝AF，
∵CH＝FG，
∴CD﹣CH＝AF﹣FG，
即HD＝AG，
在△BCH和△EFG中，
，
∴△BCH≌△EFG（SAS），
∴BH＝EG，
在△ABG和△DEH中，
，
∴△ABG≌△DEH（SAS），
∴BG＝EH，
∴四边形BGEH为平行四边形；
（2）解：如图，连接OA、OB、OF，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB＝∠AOF60°，OA＝OB＝OF，
∴△AOB，△AOF是正三角形，
∴OA＝OB＝OF＝AB＝4，
∴S阴影部分＝2S弓形AB
＝2（S扇形AOB﹣S△AOB）
＝2×（4）
π﹣8．
21．解：（1）设这家商场A型相册每本的零售价是x元，B型相册每本的零售价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：这家商场A型相册每本的零售价是60元，B型相册每本的零售价是50元；
（2）设购买m本A型相册，则购买（15﹣m）本B型相册，
根据题意得：，
解得：10≤m≤12，
又∵m为正整数，
∴m可以为10，11，12，
∴该社团共有3种购买方案，
方案1：购买10本A型相册，5本B型相册；
方案2：购买11本A型相册，4本B型相册；
方案3：购买12本A型相册，3本B型相册．
选择购买方案1所需费用为60×10+50×5＝850（元）；
选择购买方案2所需费用为60×11+50×4＝860（元）；
选择购买方案3所需费用为60×12+50×3＝870（元），
∵850＜860＜870，
∴方案1所需费用最少．
答：该社团共有3种购买方案，
方案1：购买10本A型相册，5本B型相册；
方案2：购买11本A型相册，4本B型相册；
方案3：购买12本A型相册，3本B型相册，方案1所需费用最少．
22．解：（1）将A（﹣2，m﹣9）代入y＝mx得，
m﹣9＝﹣2m，
解得m＝3，
∴正比例函数表达式为y＝3x，A（﹣2，﹣6），
∴k＝﹣2×（﹣6）＝12，
∴反比例函数解析式为y，
∵点A、B关于原点对称，
∴B（2，6）；
综上所述，A（﹣2，﹣6），B（2，6），反比例函数解析式为y；
（2）过C作CG∥x轴，交AB于点G，
设C（c，），则G（，），
∴CG＝c，
∴S△BOCCG （yB﹣yO）（c）×6＝5，
解得c＝3或c（舍去），
∴C（3，4），则OC5．
当OC为菱形的边时，有如下三种情况：
①如图，点N在点C左侧，
此时CN∥x轴，且CN＝5，
∴N（﹣2，4）；
②如图，此点N在点C右侧，
此时CN∥x轴，且CN＝5，
∴N（8，4）；
③如图，OM、CN为对角线，
此时点C与点N关于x轴对称，则N（3，﹣4）；
当OC为菱形的对角线时，有如下一种情况：
过C作CL⊥x轴于点L，
设OM＝a，则CM＝a，ML＝a﹣3，
在Rt△CLM中，（a﹣3）2+42＝a2，
解得a，
∴CN，
∴N（，4）；
综上所述，点N坐标为（﹣2，4）或（8，4）或（3，﹣4）或（，4）．
23．（1）证明：连接OE，如图1所示，
∵BD切⊙O于点E，
∴∠BEO＝90°，
∵∠BDA＝90°，
∴EO∥DA，
∴∠OEA＝∠DAE，
∵OE＝OA，
∴∠OEA＝∠OAE，
∴∠DAE＝∠OAE，即AE平分∠BAD；
（2）解：设⊙O半径为r，
在Rt△DEO中，由勾股定理可得DE2+EO2＝DO2，
即9+r2＝（r+1）2，解得r＝4．
作OG⊥AD于点D，如图2所示，
则四边形DEOG为矩形，
故OG＝DE＝3，
由勾股定理可得AG，
∴sin∠GOA，
∵OG∥BD，
∴sinB＝sin∠GOA，
∴OB，
∴k11；
（3）解：∵DE2＝9，DF×DC＝1×9＝9，
∴DE2＝DF×DC，
又∵∠EDF＝∠CDE，
∴△DEF∽△DCE，
∴，
故设EF＝m，CE＝3m，
在Rt△CEF中，由勾股定理可得CE2+EF2＝CF2，
即（3m）2+m2＝82，解得m（负根舍去），
连接CE、EF，如图3所示，
则∠EAF＝∠ECF，
∵CF为直径，
∴∠CEF＝90°，
∴cos∠EAF＝cos∠ECF．
24．解：（1）令x＝0，则y＝2，
∴C（0，2），
令y＝0，则2x+2＝0，
∴x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
∵抛物线y＝ax2x+c（a≠0）经过A，B，C三点，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为yx+2．
令y＝0，则x+2＝0，
∴x＝﹣1，或x＝4，
∴B（4，0）．
∵yx+2，
∴顶点D（，）；
（2）∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），
∴OA＝1，OB＝4，OC＝2，
∴AB＝5，AC，BC2，
∵AC2+BC2＝5+20＝25＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
延长BC至点B′，使B′C＝BC＝2，连接B′D，交直线y＝2x+2于点P，如图，
则B′，B关于直线y＝2x+2对称，此时△BDP的周长最小，
过点B′作B′E⊥x轴于点E，
∵B′E⊥x轴，OC⊥x轴，
∴OC∥B′E，
∵B′C＝BC，
∴OC为△BB′E的中位线，
∴OE＝OB＝4，B′E＝2OC＝4，
∴B′（﹣4，4），
设直线B′D的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线B′D的解析式为y，
∴，
∴，
∴P（，）．
（3）在△ABC内部能截出面积最大的矩形EFGH（顶点E，F，G，H在△ABC各边上），此时矩形在AB边上的顶点的坐标为（，0），（2，0）或（，0）．
①如图，顶点E，F，G，H在△ABC各边上，设EF与OC交于点K，
设EF＝m，
∵四边形EFGH为矩形，KO⊥AB，
∴四边形EHOK，FGOK为矩形，EF∥AB，
∴OK＝EH，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴，
∴，
∴EH，
∴矩形EFGH的面积＝EF EH
＝m
2m
，
∵m，
∴当m时，矩形EFGH的面积取得最大值为．
∴EH1，
∵EH∥OC，EHOC，
∴H为OA的中点，
∴H（，0）．
同理，点G为OB的中点，
∴G（2，0）．
②如图，顶点E，F，G，H在△ABC各边上，H与点C重合，
设GF＝m，
∵四边形EFGH为矩形，
∴FG∥AC，
∴△BFG∽△BAC，
∴，
∴，
∴GH＝22m，
∴矩形EFGH的面积＝FG GH
＝m（22m）
＝﹣2m2+2m
＝﹣2，
∵m＝﹣2＜0，
∴当m时，矩形EFGH的面积取得最大值为．
∴GH＝22m，
∴点G为BC的中点，
∵FG∥AC，
∴FG为△ABC的中位线，
∴BFAB，
∴OF＝OB﹣FB，
∴F（，0）．
综上，在△ABC内部能截出面积最大的矩形EFGH（顶点E，F，G，H在△ABC各边上），此时矩形在AB边上的顶点的坐标为（，0），（2，0）或（，0）．
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