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第17章 一元二次方程
17.5 一元二次方程的应用
可化为一元二次方程的
分式方程
沪科版·八年级下册
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解分式方程：
解：(x – 2) + 4x – 2(x + 2) = x2 – 4
x2 – 3x + 2 = 0
(x – 2)(x – 1) = 0
x = 1 或 x = 2
(舍去)
分式方程解完后一定要检验
经检验：x = 1 是原方程的根， x = 2 是增根.
一组学生组织春游，预计共需费用 1200 元. 后来又有 2 人参加进来，费用不变，这样每人可少分摊 30 元. 问原来这组学生的人数是多少？
例
【教材P42 例5】
知识点 可化为一元二次方程的分式方程
推进新课
x
总费用/元 人数 每人费用/元
原来
现在
1200
1200
x
x + 2
等量关系：
原来这组学生每人分摊的费用 – 增加人数后该组学生每人分摊的费用 = 30 元
解 设原来这组学生有 x 人，那么每人分摊的费用是 元，增加 2 人后这组学生每人分摊的费用是 元.
根据题意，得
方程两边同乘以 x(x + 2)，整理，得
x2 + 2x – 80 = 0
解方程，得 x1 = – 10，x2 = 8.
经检验，x1 = – 10，x2 = 8 都是原方程的根，
但 x1 = – 10 不合题意，所以 x = 8.
答：原来这组学生是 8 人.
解分式方程应用题时，所得的根，不仅要检验其是否为增根，还要考虑它是否符合题意.
练一练
某条高速铁路全长 720 千米，高铁列车与动车组列车在该高速铁路上运行时，高铁列车的平均速度比动车组列车每小时快 60 千米，因此全程少用 2 小时，求高铁列车全程运行的平均速度．
解：设高铁列车全程运行的平均速度为 x 千米/小时，
根据题意，得
方程两边同乘以 x(x – 60)，整理，得
x2 – 60x – 21600 = 0
方程两边同乘以 x(x – 60)，整理，得
x2 – 60x – 21600 = 0
解方程，得 x1 = – 120，x2 = 180.
经检验，x1 = – 120，x2 = 180 都是原方程的根，
答：高铁列车全程运行的平均速度为 180 千米/小时.
但 x1 = – 120 不合题意，所以 x = 180.
随堂练习
1. 将分式方程 化为整式方程是（ ）
7x – 1 = 0
7x – 3 = 0
2x2 – 3x + 1 = 0
2x2 – 3x – 1 = 0
D
2. 端午节期间，某商家将每袋粽子降价 2 元销售. 元元发现，降价后用 240 元可以比降价前多购买 10 袋. 求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是 x 元，下面所列方程正确的是（ ）
C
x = 8
3. 2025 年 4 月 19 日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京完赛. 这次机器人马拉松比赛里程约为 21 km，其中机器人甲每小时比机器人乙多跑 2 km，用时比机器人乙少 ，求机器人甲、乙的平均速度分别是多少？
解：设机器人甲的平均速度为 x km/h，则机器人乙的平均速度为 (x – 2) km/h.
根据题意，得
方程两边同乘以 x(x – 2)，整理，得
x2 – 2x – 48 = 0
解方程，得 x1 = – 6，x2 = 8.
经检验，x1 = – 6，x2 = 8 都是原方程的根，
答：机器人甲的平均速度为 8 km/h，机器人乙的平均速度为 6 km/h.
但 x1 = – 6 不合题意，所以 x = 8，所以 x – 2 = 6.
根据题意，得
课堂小结
分式方程解题步骤：
（1）将分式方程通过去分母转化为整式方程求解；
（2）解分式方程一定要验根；
（3）要根据实际情况将不符合题意的解舍去.
课后作业
完成练习册本课时的习题.
沪科版·八年级下册
第17章 一元二次方程
习题17.5
【教材P43习题17.5 T1】
1. 在忽略空气阻力的条件下，物体自由下落，其下落的高度 h（单位：m）与下落的时间 t（单位：s）有如下关系：h = 4.9t2. 如图，今有一铁球从距地面 44.1 m 处自由落下，求此铁球落到地面所用的时间.
(单位：m)
44.1
解：将 h = 44.1 代入 h = 4.9t2 中，得
4.9t2 = 44.1
x2 = – 3 不合题意，所以 x = 3.
答：此铁球落到地面所用时间为 3 s.
解方程，得 x1 = 3，x2 = – 3.
2. 一个正的两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是 5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，新的两位数与原来的两位数的积为 736，求原来的两位数.
【教材P43习题17.5 T2】
解：设原来的两位数的十位上的数字为 x ，则个位上的数字为 (5 – x).
根据题意，得 [10x + (5 – x)][10(5 – x) + x] = 736
解方程，得 x1 = 2，x2 = 3，则 5 – x1 = 3，5 – x2 = 2.
所以原来的两位数是 23 或 32.
【教材P44习题17.5 T3】
3.有一张长方形的桌子，长 2 m、宽 1 m，将一块长方形桌布铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，并且桌布的面积是桌面面积的 2 倍. 桌布的长和宽各是多少？
解：设各边垂下的长度是 x m，则桌布的长是 (2x + 2) m，宽是 (2x + 1) m.
根据题意，得 (2x + 2)(2x + 1) = 2×2×1
解方程，得
不合题意，所以
所以
答：桌布的长是 m，宽是
4. 把 195 张图片平均分给若干名学生，已知每人分得的图片数比人数少 2，学生有多少人？
【教材P44习题17.5 T4】
解：设学生有 x 人，则每人分得的图片数为 (x – 2).
根据题意，得 x(x – 2) = 195
解方程，得 x1 = 15，x2 = – 13.
x2 = – 13 不合题意，所以 x = 15.
答：学生有 15 人.
5. 为加速推进科技自立自强，我国全年研究与试验发展经费从 2012 年的 10298 亿元提高至 2022 年的 30783 亿元，居世界第二. 2020 年我国全年研究与试验发展经费为 24393 亿元，求 2020 年至 2022 年我国全年研究与试验发展经费的年平均增长率.（精确到 1%）
【教材P44习题17.5 T5】
解：2020 年至 2022 年我国全年研究与试验发展经费的年平均增长率是 x ，根据题意，得
24393(1 + x)2 = 30783
解方程，得 x1 ≈ 0.12，x2 ≈ – 2.12.
x2 ≈ – 2.12 不合题意，所以 x ≈ 0.12 = 12%.
答：2020 年至 2022 年我国全年研究与试验发展经费的年平均增长率是 12%.
6. 一家水果店以每千克 24 元的价格购进某种水果若干，然后以每千克 28 元的价格出售，每天可售出 50 kg，通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低 0.2 元，每天可多售出 10 kg.
（1）若将这种水果每千克的售价降低 x 元，则每天的销售量是多少千克？（用含 x 的代数式表示）
（2）销售这种水果要想每天盈利 300 元，且保证每天至少售出 130 kg，那么水果店需将每千克的售价降低多少元？
【教材P44习题17.5 T6】
解：（1）将这种水果每千克的售价降低 x 元，则每天的销售量是
（2）根据题意，得 (50x + 50)(28 – x – 24) = 300
解方程，得 x1 = 1，x2 = 2.
x1 = 1 时，销量 50x1 + 50 = 100 (kg)，不合题意.
答：水果店需将每千克的售价降低 2 元.
x2 = 2 时，销量 50x2 + 50 = 150 (kg)，所以 x = 2.

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