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第17章 一元二次方程
小结 · 评价
沪科版·八年级下册
知识体系
一元二次方程
解法
根的判别式
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法
根与系数的关系
应用
回顾与思考
考点1
一元二次方程
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫作一元二次方程.
ax2 + bx + c = 0（a，b，c 为常数，a ≠ 0）
一般形式：
举一反三训练
1. 方程 (2x + 1)(x – 3) = x2 + 1 化成一般形式为_______________，二次项系数、一次项系数和常数项分别是____________.
x2 – 5x – 4 = 0
1，– 5，– 4
举一反三训练
2. 已知 2 是关于 x 的一元二次方程 kx2 + (k2 – 2)x + 2k + 4 = 0 的一个根，则 k 的值为_____.
– 3
考点2
一元二次方程的解法
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法
把方程化为 (x + n)2 = p 的形式
(mx + n)2 = p (m ≠ 0，p ≥ 0)
适用于一边为 0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程
提公因式法
公式法
十字相乘法
思 考
解一元二次方程的方法中，哪些体现了化归的思想方法？
“化归方法”是将待解的问题转化成先前已经解决的问题的一种数学思想方法.
配方法：将一元二次方程配成完全平方式，转化成可直接开平方求解的方程.
因式分解法：将一元二次方程因式分解，转化成两个一元一次方程.
举一反三训练
1. 用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上 4 的是（ ）
A. x2 – 2x = 5 B. 2x2 – 4x = 5
C. x2 + 4x = 5 D. x2 + 2x = 5
C
举一反三训练
2. 用适当的方法解下列方程：
（1）x2 + 6x + 7 = 0；（2）2x2 – 3x – 5 = 0；
（3）x2 + 4x = 5(x + 4).
解：（1）移项，得 x2 + 6x = –7
配方，得 x2 + 2×3x + 9 = –7 + 9
则 (x + 3)2 = 2
开平方，得
所以原方程的根是
（2）2x2 – 3x – 5 = 0；
（3）x2 + 4x = 5(x + 4).
（2）∵ a = 2，b = – 3，c = – 5，
∴ b2 – 4ac = (– 3)2 – 4×2×(– 5) = 49 > 0.
代入求根公式，得
所以原方程的根是
（3）移项，得
因此，有 x – 5 = 0 或 x + 4 = 0.
所以原方程的根是
x2 + 4x – 5(x + 4) = 0.
提取公因式，得
(x – 5)(x + 4) = 0.
3. 对于实数 p，q，我们用符号 min{p，q}表示 p，q 两数中较小的数，如 min{1，2} = 1，min{– 2，– 3} = – 3. 若 min{(x – 1)2，x2} = 1，则 x 的值为________.
2 或 – 1
① (x – 1)2 = 1，且 (x – 1)2 < x2
② x2 = 1，且 x2 < (x – 1)2
举一反三训练
考点3
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
1. 根的判别式
2. 根与系数的关系
Δ = b2 – 4ac
当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；
当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；
当 Δ < 0 时，方程没有实数根.
如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1 、 x2 ，
那么
举一反三训练
1. 若关于 x 的一元二次方程 ax2 + 2x – 1 = 0 有两个不等的实数根，则 a 的取值范围是（ ）
A. a ≠ 0 B. a > – 1 且 a ≠ 0
C. a ≥ – 1 且 a ≠ 0 D. a > – 1
B
Δ = 22 + 4a > 0
a ≠ 0
举一反三训练
2. 关于 x 的一元二次方程 3x2 – 2x + m = 0 有两根 x1，x2，其中一根 x1 = 1，则这两根之积为（ ）
D
举一反三训练
3. 已知关于 x 的方程 x2 – 2x + 2k – 1 = 0 有实数根.
（1）求 k 的取值范围；
（2）设方程的两根分别是 x1，x2，且
试求 k 的值.
解：（1）根据题意，得
Δ = (–2)2 – 4×1×(2k – 1) = 8 – 8k.
因为方程有实数根，所以 Δ ≥ 0，即 8 – 8k ≥ 0.
解得 k ≤ 1.
所以当 k ≤ 1 时，方程有实数根.
（2）因为 x1，x2 是方程的两根，
所以 x1 + x2 = 2，x1x2 = 2k – 1 .
解得
经检验，
都是原方程的根，
由（1），k ≤ 1，所以
考点4
一元二次方程的应用
步骤：
审、找、列、解、验、答
几种常见类型
面积问题
数字问题
变化率问题
循环问题
商品利润问题
可化为一元二次方程的分式方程
举一反三训练
1. 某超市一月份的营业额为 200 万元，一、二、三月份的总营业额为 1000 万元，设平均每月营业额的增长率为 x，则由题意列方程为（ ）
A. 200 + 200×2x = 1000
B. 200(1 + x)2 = 1000
C. 200 + 200×3x = 1000
D. 200[1 + (1 + x) + (1 + x)2] = 1000
D
2. 某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品，据市场分析，若以每千克 50 元销售，一个月能售出 500 kg，销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10 kg，针对这种水产品情况，商店想在月销售成本不超过 10000 元的情况下，使得月销售利润达到 8000 元，销售单价应为多少？
解：设销售单价应为 x 元，则月销售量为 [500 – 10(x – 50)] kg.
根据题意，得 (x – 40)[500 – 10(x – 50)] = 8000
解方程，得 x1 = 60，x2 = 80.
因为月销售成本想要不超过 10000 元，即 40×[500 – 10(x – 50)] ≤ 10000
解得 x ≥ 75.
所以 x1 = 60 不合题意，所以 x = 80.
答：销售单价应为 80 元.
自评与互评
请同学们各写一个一元二次方程，大家互相讨论，看看应该选择哪种方法解答，并说明选择的理由.
“方程是反映现实世界数量关系的一个数学模型”，请编制一道可以利用一元二次方程解决现实问题的题目，并解决它. 列方程解应用题，方程往往有多种列法，你认为产生多种列法的思路是如何形成的？你有几种列法？
课后作业
完成练习册本课时的习题.

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