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第17章 一元二次方程
17.1 一元二次方程
沪科版·八年级下册
学习目标
1
2
了解一元二次方程的概念.
知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式.
3
经历抽象一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一种数学模型.
回顾导入
判断下列式子是否为一元一次方程：
√
√
×
一元一次方程
①只含一个未知数
②未知数的指数是一次
③方程的两边都是整式
2 + 0.3x = 5
推进新课
问题1：某蔬菜生产基地去年全年无公害蔬菜产量为 100 t，计划明年无公害蔬菜的产量比去年翻一番（即为 200 t）. 要实现这一目标，今年和明年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？（精确到 1%）
x
列方程解决应用题的一般过程是什么？
审、找、列、解、验、答
问题1：某蔬菜生产基地去年全年无公害蔬菜产量为 100 t，计划明年无公害蔬菜的产量比去年翻一番（即为 200 t）. 要实现这一目标，今年和明年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？（精确到 1%）
x
今年无公害蔬菜产量：
100 + 100x = 100(1 + x) (t)
明年无公害蔬菜产量：
100(1 + x) + 100(1 + x)·x = 100(1 + x)2 (t)
今年
100
100x
明年
100(1+x)
100(1+x)·x
100
去年
知识点一 一元二次方程
今年无公害蔬菜产量：
100 + 100x = 100(1 + x) (t)
明年无公害蔬菜产量：
100(1 + x) + 100(1 + x)·x = 100(1 + x)2 (t)
今年
100
100x
明年
100(1+x)
100(1+x)·x
100
去年
根据题意，得 100(1 + x)2 = 200.
化简，得 (1 + x)2 = 2.
整理，得 x2 + 2x – 1 = 0.
它是一
元一次方程吗？它有什么特点？
只含一个未知数 x 且其次数是 2
问题2：如图，在一块宽 20 m、长 32 m 的长方形空地上，修筑三条等宽的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把这块空地分成 6 块，建成小花坛. 要使花坛的总面积为 570 m2，小路的宽应是多少？
20
32
(单位：m)
x
x
横向小路的面积：
32x m2
纵向小路的面积：
2×20x m2
重叠部分的面积：
2x2 m2
32×20 – (32x + 2×20x) + 2x2 = 570
整理，得 x2 – 36x + 35 = 0
20
32
(单位：m)
x
思 考
有同学列出的方程是(20 – x)(32 – 2x) = 570. 这个方程对吗？
32
(单位：m)
x
思 考
有同学列出的方程是(20 – x)(32 – 2x) = 570. 这个方程对吗？
20
x2 – 36x + 35 = 0
x2 + 2x – 1 = 0
这两个方程有什么共同点？
等号两边都是整式；
只含有一个未知数；
未知数的最高次数是 2.
思 考
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫作一元二次方程.
一元
二次
知识点二 一元二次方程的一般形式
任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理都可以化为
ax2 + bx + c = 0（a，b，c 为常数，a ≠ 0）
的一般形式.
ax2 ：二次项，a 是二次项的系数；
bx ：一次项，b 是一次项的系数；
c ：常数项.
练一练
下列方程中，哪些是一元二次方程？
（1）x2 – x = 1； （2）4x2 + 3x – 2 = (2x – 1)2；
（5）y2 + 3y – 4 = 0；（6）x3 + 2x2 + x + 1 = 0.
【教材P22练习 T1】
分析：
只含有一个未知数
是
未知数最高次数为2
是
整式方程
否
不是一元二次方程
否
是一元二次方程
是
否
（3） （4）2x2 + 3 = 0；
先化为一般形式再判断
x2 – x – 1 = 0
√
×
√
×
7x – 3 = 0
×
√
例 1
已知方程 3x(x – 1) = 2(x + 2) + 4.
（1）把该方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项；
（2）判断 – 1 是否为该方程的根.
解：（1）去括号，得
3x2 – 3x = 2x + 4 + 4.
移项、合并同类项，得方程的一般形式：
3x2 – 5x – 8 = 0.
它的二次项系数是 3，一次项系数是 – 5，常数项是 – 8.
练一练
1. 将下列一元二次方程化成一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项，填入下表：
【教材P22练习 T2】
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
5x2 = 6x – 8
x(x – 1) = 0
5x2 – 6x + 8 = 0
5
– 6
8
– 2
0
x2 – x = 0
1
– 1
0
1
特殊形式 二次项系数 一次项系数 常数项
ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0，b ≠ 0) a b 0
ax2 + c = 0(a ≠ 0，c ≠ 0) a 0 c
ax2 = 0(a ≠ 0) a 0 0
一元二次方程的特殊形式：
归 纳
练一练
2. 将 48 张桌子排成若干行，且每行的桌子数相同，已知每一行的桌子数比总行数多 2. 设这些桌子排了x 行，列出关于 x 的方程，并将其化成一般形式.
【教材P22练习 T3】
解：由题意得 x(x + 2) = 48
去括号，得 x2 + 2x = 48
移项，得 x2 + 2x – 48 = 0
例 1
已知方程 3x(x – 1) = 2(x + 2) + 4.
（1）把该方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项；
（2）判断 – 1 是否为该方程的根.
解：（2）
把 x = – 1 代入原方程的左右两边，得
左边 = 3×(– 1)×(– 1 – 1) = 6.
右边 = 2×(– 1 + 2) + 4 = 6.
因为左边 = 右边，
所以 – 1 是该方程的根.
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫作这个一元二次方程的根.
练一练
下面哪些数是方程 x2 + x – 2 = 0 的根？
【教材P22练习 T4】
将这些数分别带入方程中：
(– 3)2 + (– 3) – 2 = 4
– 3，– 2，– 1，0，1，2，3.
(– 2)2 + (– 2) – 2 = 0
(– 1)2 + (– 1) – 2 = – 2
02 + 0 – 2 = – 2
12 + 1 – 2 = 0
22 + 2 – 2 = 4
32 + 3 – 2 = 10
√
√
√
√
1. 一元二次方程 3x2 = 5x 的二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A. 3，5 B. 3，0 C. 3，– 5 D. 5，0
2. 下列哪些数是方程 x2 + x – 12 = 0 的根？
– 4，– 3，– 2，– 1， 0， 1， 2， 3， 4.
C
解： – 4， 3.
随堂练习
3. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出该方程的二次项系数、一次项系数和常数项.
（1）3x2 + 1 = 6x； （2）4x2 = 81 – 5x.
解：（1）一般形式：3x2 – 6x + 1 = 0，二次项系数是 3，一次项系数是 – 6，常数项是 1；
（2）一般形式：4x2 + 5x – 81 = 0，二次项系数是 4，一次项系数是 5，常数项是– 81.
4. 根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.
（1）有一根 1 m 长的铁丝，怎样用它围一个面积为 0.06 m2 的长方形？
解：设长方形的长为 x m，则宽为 (0.5 – x) m.
根据题意，得 x(0.5 – x) = 0.06，
整理，得 50x2 – 25x + 3 = 0.
（2）一个直角三角形的两条直角边相差 3 cm，面积是 9 cm2，求较长的直角边的长.
解：设这个直角三角形较长的直角边为 x cm，则另一条直角边为 (x – 3) cm.
根据题意，得
整理，得 x2 – 3x – 18 = 0.
5. 在一幅长 80 cm，宽 50 cm 的矩形风景画四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图. 要使整个挂图的面积是 5400 cm2，设金色纸边的宽为 x cm，则 x 满足的方程是（ ）
A. x2 + 130x + 1400 = 0
B. x2 + 65x – 350 = 0
C. x2 – 130x – 1400 = 0
D. x2 – 65x – 350 = 0
B
6. 如果 2 是方程 x2 – c = 0的一个根，求常数 c.
解：将 x = 2 代入原方程中，得
22 – c = 0，
解得 c = 4.
课堂小结
一般形式： ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
a
b
c
二次项系数
一次项系数
常数项
一元二次方程
概念
只含有一个未知数
未知数的最高次数是 2
整式方程
沪科版·八年级下册
第17章 一元二次方程
习题17.1
1. 根据题意，列出关于 x 的方程，并将其化成一般形式.
（1）一个长方形的长比宽多 2，且面积是 120，求这长方形的长 x；
【教材P23习题17.1 T1】
解：该长方形的长为 x，则宽为 (x – 2).
根据题意，得 x(x – 2) = 120，
整理，得 x2 – 2x – 120 = 0.
1. 根据题意，列出关于 x 的方程，并将其化成一般形式.
（2）一个直角三角形的两直角边长之和为 7，且面积为 6，求这个三角形的一直角边长 x；
【教材P23习题17.1 T1】
解：这个三角形的一直角边长为 x，则另一条直角边长为 (7 – x).
根据题意，得
整理，得 x2 – 7x + 12 = 0.
1. 根据题意，列出关于 x 的方程，并将其化成一般形式.
（3）某小组同学元旦互赠贺年卡一张，全组共赠贺年卡 90 张，求这个小组的同学数 x；
【教材P23习题17.1 T1】
解：根据题意，得 x(x – 1) = 90，
整理，得 x2 – x – 90 = 0.
1. 根据题意，列出关于 x 的方程，并将其化成一般形式.
（4）一个小组的同学元旦见面时，若每两人都握手一次，则所有人共握手 10次，求这组同学数 x；
【教材P23习题17.1 T1】
解：根据题意，得
整理，得 x2 – x – 20 = 0.
1. 根据题意，列出关于 x 的方程，并将其化成一般形式.
【教材P23习题17.1 T1】
（5）某村计划建造如图所示的长方形蔬菜温室，要求长与宽的比为 2：1. 在此温室内，左侧内墙保留 3 m 宽的空地，其他三侧内墙各保留 1 m 宽的通道，设长方形温室的长为 x m，要使蔬菜种植区域的面积为 288 m2，求 x.
左侧空地
蔬菜种植区域
3
(单位：m)
1
1
1
左侧空地
蔬菜种植区域
3
(单位：m)
1
1
1
解：根据题意，得
整理，得
x2 – 8x – 560 = 0.
2. 已知关于 x 的方程 x2 – (2m + 1)x – (2m – 1) = 0 的一个根为 1，求 m 的值.
【教材P23习题17.1 T2】
解：将 x = 1 代入原方程中，得
12 – (2m + 1)×1 – (2m – 1) = 0，
解得
【教材P23习题17.1 T3】
3. 已知 a 是方程 x2 – 3x – 2 = 0 的根，求：
（1）代数式 2a2 – 6a + 3 的值；
解：（1）∵a 是方程 x2 – 3x – 2 = 0 的根，
∴ a2 – 3a – 2 = 0，
∴ 2a2 – 6a + 3
= 2(a2 – 3a – 2) + 7
= 2×0 + 7 = 7.
【教材P23习题17.1 T3】
3. 已知 a 是方程 x2 – 3x – 2 = 0 的根，求：
（2）代数式 a3 – 11a 的值.
解：（2）∵ a2 – 3a – 2 = 0，
∴ a2 = 3a + 2，
a2 – 3a = a(a – 3) = 2.
∴ a3 – 11a = a(a2 – 11)
= a(3a + 2 – 11)
= a(3a – 9)
= 3a(a – 3)
= 3×2 = 6.

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