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第17章 一元二次方程
17.2 一元二次方程的解法
直接开平方法
沪科版·八年级下册
学习目标
1
2
会利用直接开平方法解形如 x2 = p (p 0) 的方程.
初步了解形如 (x + n)2 = p (p 0) 方程的解法.
3
能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，通过对实例的探究过程，体会类比、转化、降次的数学思想方法.
回顾导入
1. 如果 x2 = a，则 x 叫作 a 的 .
2. 如果 x2 = a (a 0)，则 x = .
3. 如果 x2 = 16，则 x = .
4. 任何数都有平方根吗？
平方根
±4
负数没有平方根.
推进新课
知识点 用直接开平方法解一元二次方程
试一试
求 x2 = 9 中 x 的值.
开平方，得
x = ±3
所以开平方就可求得方程 x2 = 9 的两个根：
x1 = 3，x2 = –3.
像这样的求一元二次方程的根的方法，叫作直接开平方法.
练一练
用直接开平方法解下列方程：
（1）x2 = 36；（2）x2 – 0.81 = 0.
解：（1）开平方，得
x = ±6
所以原方程的根是 x1 = 6，x2 = – 6.
（2）原方程可化为 x2 = 0.81
x = ±0.9
所以原方程的根是 x1 = 0.9，x2 = – 0.9.
开平方，得
对于一元二次方程 x2 = p：
归 纳
（1）当 p ＞ 0 时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根 ；
（2）当 p = 0 时，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = 0；
（3）当 p ＜ 0 时，因为对任意实数 x，都有x2 0，所以方程无实数根.
例 1
用直接开平方法解下列方程：
（1）3x2 = 12；（2）(x + 3)2 = 5.
解：（1）两边同除以 3，得
x2 = 4.
开平方，得
x = ±2.
所以原方程的根是 x1 = 2，x2 = – 2.
例 1
用直接开平方法解下列方程：
（1）3x2 = 12；（2）(x + 3)2 = 5.
可以怎
样解这个方程？
由方程 x2 = 25 得 x = ±5.
依此类推：由 (x + 3)2 = 5 可得
例 1
用直接开平方法解下列方程：
（1）3x2 = 12；（2）(x + 3)2 = 5.
解：（2）开平方，得
所以原方程的根是
解方程 (x + 3)2 = 5 ，实质上是把一个一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程，再解两个一元一次方程，即得原方程的解.
练一练
用直接开平方法解下列方程：
（1）3(x + 1)2 = 48；（2）2(x – 2)2 – 4 = 0.
解：（1）原方程可化为 (x + 1)2 = 16
开平方，得 x + 1 = ±4
所以原方程的根是 x1 = 3，x2 = – 5.
（2）原方程可化为 (x – 2)2 = 2
所以原方程的根是
开平方，得
对于一元二次方程 (x + n) 2 = p：
归 纳
（1）当 p ＞ 0 时，方程有两个不等的实数根
（2）当 p = 0 时，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = – n；
（3）当 p ＜ 0 时，方程无实数根.
用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤
移项，将方程变成左边是完全平方式，右边是非负数的形式.
1
3
2
开平方，将方程化为两个一元一次方程.
方法
解这两个一元一次方程，得一元二次方程的两个根.
随堂练习
1. 一元二次方程 (x + 6)2 = 16 可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是 x + 6 = 4，则另一个一元一次方程是（ ）
A. x – 6 = – 4 B. x – 6 = 4
C. x + 6 = 4 D. x + 6 = – 4
D
2. 方程 3x2 + 9 = 0 的根为（ ）
A. 3 B. – 3 C. ±3 D. 无实数根
D
3. 若 8x2 – 16 = 0，则 x 的值是 .
4. 解下列方程：
（1）2x2 – 8 = 0；（2）9x2 – 5 = 3.
解：（1）原方程可化为 x2 = 4
开平方，得 x = ±2
所以原方程的根是 x1 = 2，x2 = – 2.
所以原方程的根是
开平方，得
（2）原方程可化为
（3）(x + 6)2 – 9 = 0；（4）3(x – 1)2 – 6 = 0；
解：（3）原方程可化为 (x + 6)2 = 9
开平方，得 x + 6 = ±3
所以原方程的根是 x1 = – 3，x2 = – 9.
所以原方程的根是
开平方，得
（4）原方程可化为 (x – 1)2 = 2
（5）x2 – 4x + 4 = 5；（6）9x2 + 5 = 1.
解：（5）原方程可化为 (x – 2)2 = 5
所以原方程的根是
开平方，得
（6）原方程可化为
∵ ∴原方程无实数根.
课堂小结
用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤：
移项，将方程变成左边是完全平方式，右边是非负数的形式.
开平方，将方程化为两个一元一次方程.
解这两个一元一次方程，得一元二次方程的两个根.
课后作业
完成练习册本课时的习题。

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