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沪科版·八年级下册
第17章 一元二次方程
17.2 一元二次方程的解法
配方法
学习目标
1
2
掌握用配方法解一元二次方程.
理解通过变形运用开平方法解一元二次方程的方法，进一步体验降次的数学思想方法.
3
在学生合作交流过程中，进一步增强合作交流意识，培养探究精神，增强数学学习的乐趣.
回顾导入
1. 已知代数式 x2 + 8x + m 是一个完全平方式，则 m 的值为_________.
2. 已知代数式 x2 + nx + 9 是一个完全平方式，则 n 的值为_________.
16
6 或 – 6
推进新课
问题1：某蔬菜生产基地去年全年无公害蔬菜产量为 100 t，计划明年无公害蔬菜的产量比去年翻一番（即为 200 t）. 要实现这一目标，今年和明年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？（精确到 1%）
x
知识点 用配方法解一元二次方程
x2 + 2x – 1 = 0.
如何解这个方程？
思 考
把常数项移到等号右边，得 x2 + 2x = 1.
方程两边同时加上 1，得 x2 + 2x + 1 = 1 + 1.
则 (x + 1)2 = 2.
x2 + 2x – 1 = 0.
开平方，得
所以原方程的根是
为什么
在方程两边同时加上数“1” ？
只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能配成完全平方式.
像这样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法.
配方法的基本思路：
把方程化为 (x + n)2 = p 的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解.
“化归方法”是将待解的问题转化成先前已经解决的问题的一种数学思想方法.配方法是将一元二次方程通过配方转化成可直接开平方求解的方法，这是一种化归方法.
练一练
填空：
【教材P26练习 T1】
（1）x2 – 8x + ( )2 = (x – )2；
（2）y2 + 5y + ( )2 = (y + )2；
（3）x2 – + ( )2 = (x – )2；
（4）x2 + px + ( )2 = (x + )2.
4
4
例 2
用配方法解下列方程：
（1） x2 – 4x – 1 = 0；（2）2x2 – 3x – 1 = 0.
分析：(1) 方程的二次项系数为 1，直接运用配方法.
解：（1）移项，得
x2 – 4x = 1.
配方，得
x2 – 2×x×2 + ____ = 1 + ____.
4
4
则
(x – ____) 2 = ____.
2
5
开平方，得 _____________.
所以原方程的根是 x1 = _______，x2 = _______.
（2）2x2 – 3x – 1 = 0.
分析：先将方程的二次项系数化为 1，再配方.
解：（2）先把 x2 的系数变为 1，即把原方程两边同除以 2，得
移项，得
配方，得
则
开平方，得
所以原方程的根是
用配方法解一元二次方程的步骤：
化二次项系数为 1.
1
2
移项，含未知数的项移至左边，常数项移至右边.
3
配方，方程左右两边都加上一次项系数一半的平方.
4
开方，利用平方根的意义开平方.
5
解两个一元一次方程.
归 纳
最关键的步骤
练一练
解下列方程：
【教材P26练习 T2】
（1）x2 = 25；（2）(2x – 2)2 = x2；
（5）3x2 – 6x + 1 = 0；（6）2x2 + 5x + 1 = 0.
（3） ；（4）x2 – 3x – 2 = 0；
直接开平方法
配方法
解：（1）开平方，得
x = ±5
所以原方程的根是
x1 = 5，x2 = – 5.
（2）开平方，得
2x – 2 = x 或 2x – 2 = – x
所以原方程的根是
（3） ；（4）x2 – 3x – 2 = 0；
（3）整理，得
开平方，得
所以原方程的根是
（4）移项，得 x2 – 3x = 2
配方，得
则
开平方，得
所以原方程的根是
（3） ；（4）x2 – 3x – 2 = 0；
（5）3x2 – 6x + 1 = 0；（6）2x2 + 5x + 1 = 0.
（5）方程两边同除以 3，得
移项，得
配方，得
则
开平方，得
所以原方程的根是
（5）3x2 – 6x + 1 = 0；（6）2x2 + 5x + 1 = 0.
（6）方程两边同除以 2，得
移项，得
配方，得
则
开平方，得
所以原方程的根是
随堂练习
1. 填空：
（1）x2 – x + ( ) = (x – )2；
（2）y2 + 6y + ( ) = (y + )2；
（3）x2 – + ( ) = (x – )2；
（4）4x2 + 4x + ( ) = (2x + )2.
9
3
1
1
2. 解下列方程：
（3）x2 + 4x – 9 = 2x – 11；（4）x(x + 4) = 8x + 12.
（1） ；（2）4x2 – 6x – 3 = 0；
解：（1）移项，得
配方，得
则
开平方，得
所以原方程的根是
二次项系数化为 1，得
配方，得
则
开平方，得
所以原方程的根是
（2）移项，得 4x2 – 6x = 3
2. 解下列方程：
（3）x2 + 4x – 9 = 2x – 11；（4）x(x + 4) = 8x + 12.
（1） ；（2）4x2 – 6x – 3 = 0；
配方，得 x2 + 2x + 1 = – 2 + 1
则 (x + 1)2 = – 1
所以原方程没有实数根.
（3）移项，得 x2 + 4x – 2x = – 11 + 9
2. 解下列方程：
（3）x2 + 4x – 9 = 2x – 11；（4）x(x + 4) = 8x + 12.
（1） ；（2）4x2 – 6x – 3 = 0；
x2 + 2x = – 2
配方，得 x2 – 4x + 4 = 12 + 4
则 (x – 2)2 = 16
（4）去括号，得 x2 + 4x = 8x + 12
2. 解下列方程：
（3）x2 + 4x – 9 = 2x – 11；（4）x(x + 4) = 8x + 12.
（1） ；（2）4x2 – 6x – 3 = 0；
移项，得 x2 – 4x = 12
开平方，得 x – 2 = ±4
所以原方程的根是 x1 = 6，x2 = – 2.
3. 当a为何值时，多项式 a2 + 2a + 18 有最小值？求出这个最小值.
解：对原式进行配方，则原式 = (a + 1)2 + 17.
∵(a + 1)2 0，
∴当 a = – 1时，原式有最小值，为 17.
4. 有一根 20 m 长的绳，怎样用它围一个面积为 24 m2 的矩形？
解：设围成的矩形的一边长为 x m，则另一边为 (10 – x) m.
根据题意，得 x(10 – x) = 24，
解得 x1 = 6，x2 = 4.
当 x = 6 时，10 – x = 4；当 x = 4 时，10 – x = 6.
所以围成矩形的长和宽分别为 6 m 和 4 m 即可.
课堂小结
用配方法解一元二次方程的步骤：
化二次项系数为 1.
1
2
移项，含未知数的项移至左边，常数项移至右边.
3
配方，方程左右两边都加上一次项系数一半的平方.
4
开方，利用平方根的意义开平方.
5
解两个一元一次方程.
课后作业
完成练习册本课时的习题.

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