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沪科版·八年级下册
第17章 一元二次方程
17.2 一元二次方程的解法
公式法
学习目标
1
2
经历探索求根公式的过程，理解并掌握求根公式，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力.
能利用公式法求一元二次方程的解.
3
用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼学生的运算能力，养成良好的运算习惯，培养严谨认真的科学态度.
回顾导入
用配方法解一元二次方程的步骤：
化二次项系数为 1.
1
2
移项，含未知数的项移至左边，常数项移至右边.
3
配方，方程左右两边都加上一次项系数一半的平方.
4
开方，利用平方根的意义开平方.
5
解两个一元一次方程.
最关键的步骤
推进新课
知识点一 一元二次方程的求根公式
思 考
如何解一般形式的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) ？
我们能否用配方法得出它的解呢？
因为 a ≠ 0，所以把方程两边都除以 a，得
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
移项，得
配方，得
则
两边能直接开方吗？
因为 a ≠ 0，所以 4a2 > 0.
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
式子 b2 – 4ac 的值有以下三种情况：
① 当 b2 – 4ac < 0 时，
x 取任何实数都不能使式子左边< 0，因此方程无实数根
② 当 b2 – 4ac = 0 时，
③ 当 b2 – 4ac > 0 时，
可直接开平方，方程有实数根
因为 a ≠ 0，所以 4a2 > 0.
当 b2 – 4ac 0 时，
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
将方程①两边开平方，得
化简、整理，得
因此，
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，且 b2 – 4ac 0) 的求根公式：
知识点二 用公式法解一元二次方程
要解一个一元二次方程，只要先把它整理成一般形式，确定 a，b，c 的值，然后，把 a，b，c 的值代入求根公式，就可以得出方程的实数根. 这种解法叫作公式法.
例 3
用公式法解下列方程：
（1）2x2 + 7x – 4 = 0；（2）
分析：(1) 先确定二次项系数、一次项系数、常数项的值，并比较 b2 – 4ac 与 0 的大小.
解：（1）∵ a = 2，b = 7，c = – 4，
∴ b2 – 4ac = 72 – 4×2×(– 4) = 81 > 0.
代入求根公式，得
所以原方程的根是
（2）
分析：(2) 先将方程化为一般形式，再代入公式运算.
解：（2）将原方程化为一般形式，得
∵ a = 1，b = ，c = 3，
∴ b2 – 4ac = – 4×1×3 = 0.
代入求根公式，得
所以原方程的根是
方程有两个相等的实数根(如 p)，应写为 x1 = x2 = p，而不是 x = p.
练一练
解关于 x 的方程： 2x2 – mx – n2 = 0.
【教材P28练习 T2】
解：∵ a = 2，b = – m，c = – n2，
∴ b2 – 4ac = (– m)2 – 4×2×(– n2) = m2 + 8n2 0.
代入求根公式，得
所以原方程的根是
例 4
解方程：x2 + x – 1 = 0.（精确到 0.001）
解：由题意，得 a = 1，b = 1，c = – 1，
代入求根公式，得
用计算器求得
所以原方程的根是
用配方法解一元二次方程的步骤：
将一元二次方程化为一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
1
2
确定 a，b，c 的值.
3
求出 b2 – 4ac 的值，比较其与 0 的大小.
4
若 b2 – 4ac 0，则利用求根公式求解；若 b2 – 4ac < 0，则方程无实数根.
归 纳
练一练
用公式法解下列方程：
【教材P28练习 T1】
（1）3x2 + 5x – 2 = 0；（2）2x2 + 5x – 12 = 0；
（3） ；（4）x2 – 3x – 1 = 0（精确到 0.1）.
解：（1）∵ a = 3，b = 5，c = – 2，
∴ b2 – 4ac = 52 – 4×3×(– 2) = 49 > 0.
代入求根公式，得
所以原方程的根是
用公式法解下列方程：
（1）3x2 + 5x – 2 = 0；（2）2x2 + 5x – 12 = 0；
（2）∵ a = 2，b = 5，c = – 12，
∴ b2 – 4ac = 52 – 4×2×(– 12) = 121 > 0.
代入求根公式，得
所以原方程的根是
练一练
【教材P28练习 T1】
（3） ；（4）x2 – 3x – 1 = 0（精确到 0.1）.
练一练
【教材P28练习 T1】
（3）∵ a = 1，b = ，c = 2，
∴ b2 – 4ac = – 4×1×2 = 0.
代入求根公式，得
所以原方程的根是
（3） ；（4）x2 – 3x – 1 = 0（精确到 0.1）.
练一练
【教材P28练习 T1】
（4）∵ a = 1，b = – 3，c = – 1，
∴ b2 – 4ac = (– 3)2 – 4×1×(– 1) = 13 > 0.
代入求根公式，得
用计算器求得
所以原方程的根是
随堂练习
1. 利用求根公式求 5x2 + = 6x 的根时，a，b，c 的值分别是（ ）
C
A. 5， ，6 B. 5，6，
C. 5，– 6， D. 5，– 6，
2. 用公式法解下列方程：
（1）4x2 – 12x = 3；（2）3x2 – 6x – 2 = 0.
∵ a = 4，b = – 12，c = – 3，
∴ b2 – 4ac = (– 12)2 – 4×4×(– 3) = 192 > 0.
代入求根公式，得
所以原方程的根是
解：（1）将方程化为一般形式，得 4x2 – 12x – 3 = 0
2. 用公式法解下列方程：
（1）4x2 – 12x = 3；（2）3x2 – 6x – 2 = 0.
（2）∵ a = 3，b = – 6，c = – 2，
∴ b2 – 4ac = (– 6)2 – 4×3×(– 2) = 60 > 0.
代入求根公式，得
所以原方程的根是
3. 在正数范围内有一种运算“*”，其运算规则为 a*b = a + b2. 根据这个规则，求方程 x*(x + 1) = 5 的根.
解：由题意得，x*(x + 1) = x + (x + 1)2 = 5.
化简、整理，得 x2 + 3x – 4 = 0.
代入求根公式，得
所以化简后方程的根是 x1 = – 4，x2 = 1.
因为“*”是在正数范围内， x1 = – 4 不符题意，舍去.
所以原方程的根是 x = 1.
课堂小结
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，且 b2 – 4ac 0) 的求根公式：
课后作业
完成练习册本课时的习题。

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